Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Теорема Виета

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен. Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с . Тогда полýчится дробь Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен. Докáжем, что дроби Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равени Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенравны. То есть докажем, что равенство Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенявляется верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Поскольку равенство Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенявляется пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равени Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенравны. Теорема доказана.

Видео:Решаем квадратные уравнения, как?.. Чётный второй коэффициент нам в помощь.Скачать

Решаем квадратные уравнения, как?.. Чётный второй коэффициент нам в помощь.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 , а его корнями являются числа x1 и x2 , то справедливы следующие два равенства:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 .

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x 2 + 4x + 3 = 0 . Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4 , взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4 . Тогда:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3 . Тогда:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4 , и равно ли произведение 3 . Для этого найдём корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 . А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Корнями уравнения являются числа −1 и −3 . По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 является 4 . Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , то есть числу 3 . Видим, что это условие тоже выполняется:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Значит выражение Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенявляется справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 8x + 15 = 0 . По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8 . Если взять его с противоположным знаком, то получим 8 . Тогда:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x 2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15 . Тогда:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8 , и равно ли произведение 15 . Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Видим, что корнями уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3 . Их сумма равна 8 . То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 , взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15 . То есть равно свободному члену уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 .

Значит выражение Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенявляется справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 . Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Но уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4 . Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

А значит записывать выражение Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенне имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5 , поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5 , так и равенству x1 × x2 = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6 . Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 . Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Найдём сумму корней x1 и x2 . Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Сократим дробь Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенна 2 , тогда получим −b

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c .

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . Тогда в числителе полýчится Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенА знаменатель будет равен 4

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь в числителе выражение (−b) 2 станет равно b 2 , а выражение Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенстанет равно просто D

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Но D равно b 2 − 4ac . Подстáвим это выражение вместо D , не забывая что a = 1 . То есть вместо b 2 − 4ac надо подставить b 2 − 4c

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Сократим получившуюся дробь на 4

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком ( x1 + x2 = −b ), а произведение корней равно свободному члену ( x1 × x2 = c ). Теорема доказана.

Видео:Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений. Теорема Виета.Скачать

Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений. Теорема Виета.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b , а произведение x1 и x2 равно c . В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x 2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

А затем подобрали корни 3 и 2 . По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 , взятому с противоположным знаком (числу 5 ), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6 ). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 .

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1 . Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6 , поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6 . А произведение корней будет равно 8

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6 , так и равенству x1 × x2 = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2 , произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8 , но и равенству x1 + x2 = 6 .

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8 , но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6 .

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8 , так и равенству x1 + x2 = 6 , поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Значит корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2 .

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n . Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b , а произведение mn равно c

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 , нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x , затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b . Выразим его из равенства m + n = −b . Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x 2 + bx + c = 0 вместо x , а выражение −m − n подставим вместо b

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 . Подставим вместо x букву n , а вместо c подставим mn , поскольку c = mn .

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x 2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену :

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2 . Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Значение x1 совпадает с x2 . Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x 2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь подберём значения x1 и x2 . Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2 . Число 2 можно получить перемножив 1 и 2 . Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3 . Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2 .

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2 , но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3 .

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2 .

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Пример 3. Решить уравнение x 2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5) . В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16 , а их произведение равно 15 . Значит корнями уравнения x 2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Пример 4. Решить уравнение x 2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3 . Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13 , поскольку при перемножении этих чисел получается −39 , а при сложении 10

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Значит корнями уравнения x 2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Пример 5. Первый корень уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 15 . Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b .

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15 .

Тогда второй корень будет равен 3 , потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь определим значение коэффициента b . Для этого напишем сумму корней уравнения:

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15 , а свободный член уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 45

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Из этой системы следует найти x2 и b . Выразим эти параметры:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Но нас интересует b , а не −b . Следует помнить, что −b это −1b . Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1 . Тогда b станет равно −18

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Этот же результат можно получить если в выражении Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равенумножить первое равенство на −1

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x 2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Выполним умножение −18 на x . Получим −18x

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8 .

В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2 , x2 = 8 . По ним надо составить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 .

Запишем сумму и произведение корней:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10 , то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10 .

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16 .

Значит b = −10 , c = 16 . Отсюда:

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равени Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен.

Запишем сумму и произведение корней:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Теорема Виета. 8 класс.

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Если к примеру в квадратном уравнении a x 2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на a

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Получилось уравнение Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен, которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен, а свободный член равен Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен. Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Например, решим квадратное уравнение 4x 2 + 5x + 1 = 0 . Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на 4

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен, а свободный член Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен. Тогда по теореме Виета имеем:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x 2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x 2

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Получили уравнение Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен. Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Отсюда методом подбора находим корни 2 и Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x 2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2 . Сделать это можно в уме. Если 2x 2 разделить на 2 , то полýчится x 2

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Далее если −3x разделить на 2 , то полýчится Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен. Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Далее если −2 разделить на 2 , то полýчится −1

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Отсюда методом подбора находим корни 2 и Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Видео:Квадратные уравнения (второй коэфф. чётный). Урок для ЕгораСкачать

Квадратные уравнения (второй коэфф. чётный). Урок для Егора

Теорема Виета для квадратного уравнения

Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

О чем эта статья:

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

  • если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Видео:СУММА КОЭФФИЦИЕНТОВ: Как решать Квадратные Уравнения по МАТЕМАТИКЕ 8 классСкачать

СУММА КОЭФФИЦИЕНТОВ: Как решать Квадратные Уравнения по МАТЕМАТИКЕ 8 класс

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

  • x₁ + x₂ = −b,
  • x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

    Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

    Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминант

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

    Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

  1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

    При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Видео:Алгебра 8 класс: решение квадратного уравнения с четным коэффициентом b на примере 449.Скачать

Алгебра 8 класс: решение квадратного уравнения с четным коэффициентом b на примере 449.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 классСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 класс

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

  1. Получилось следующее приведенное уравнение:

    Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

  • Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.
  • Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

  • Метод подбора помогает найти корни: −1 и
  • Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

    Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

    Теорема Виета

    Французский математик Франсуа Виет доказал связь между коэффициентами и корнями квадратных уравнений. Такая зависимость помогает как при поиске решений квадратных уравнений, так и при проверке найденных корней.

    Видео:Два правила решения квадратных уравнений. Алгебра 8 классСкачать

    Два правила решения квадратных уравнений. Алгебра 8 класс

    Теорема Виета

    Теорема 1. Сумма корней квадратного уравнения равна отношению второго коэффициента к первому с противоположным знаком. Произведение корней квадратного уравнения равно отношению свободного члена к первому коэффициенту.

    Докажем теорему Виета. По условию квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет корни, значит, дискриминант неотрицательное число.

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    Следствие. Если квадратное уравнение приведенное (первый коэффициент равен единице), то сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену: x1+x2=b; x1∙x2=c.

    Видео:Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

    Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетитор

    Теорема обратная теореме Виета

    Теорема 2. Если сумма двух чисел равна отношению второго коэффициента к первому с противоположным знаком и произведение этих чисел равно отношению свободного члена к первому коэффициенту, то эти числа – корни квадратного уравнения.

    Докажем теорему обратную теореме Виета. Возьмем два числа равные

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    Сделаем квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 приведенным:

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    Заменим в последнем уравнении переменную числами e и f, то есть сделаем проверку: e 2 -(e+f)e+ef= e 2 – e 2 –ef+ef=0 и f 2 -(e+f)f+ef= f 2 – ef –f 2 +ef=0. В результате получили, что числа e и f являются конями приведенного уравнения, а, следовательно, корнями исходного квадратного уравнения.

    Следствие. Если сумма двух чисел равна второму коэффициенту с противоположным знаком и произведение их равно свободному члену, то эти числа корни приведенного квадратного уравнения.

    Задание 1. Вычислить сумму и произведение корней квадратного уравнения 4x 2 –16x+3=0.

    Определим знак дискриминанта: D=(-16) 2 –4∙4∙3=256–48=208. Так как дискриминант положителен, то у уравнения существуют два корня. Применим теорему Виета: x1+x2=-(-16):4=4; x1∙x2=3:4=0,75.

    Задание 2. Найти свободный член и второй коэффициент квадратного уравнения x 2 +bx+c=0, если числа 3 и –6 корни этого уравнения. Записать уравнение.

    Поскольку заданное уравнение является приведенным, то по теореме Виета: b=-(3–6)=3, c=3∙(-6)=-18. Уравнение примет вид: x 2 +3x–18=0.

    Задание 3. Составить квадратные уравнения с целыми коэффициентами если его корни равны:

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    1) Найдем сумму и произведение корней.

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    По теореме обратной теореме Виета составим уравнение с заданными корнями, а, чтобы коэффициенты были целыми умножим обе части на 5:

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    2) Найдем сумму и произведение корней.

    Второй коэффициент квадратного уравнения взятый с противоположным знаком равен

    По теореме обратной теореме Виета составим уравнение с заданными корнями, а, чтобы коэффициенты были целыми умножим обе части на 9:

    🎦 Видео

    Свойства коэффициентов квадратного уравненияСкачать

    Свойства коэффициентов квадратного уравнения

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

    ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

    ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫ
    Поделиться или сохранить к себе: