Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  | b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  | k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  |  |
 | p 2 — 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  , где D = b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  , где D = k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  , где D = |
 , где D = p 2 — 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
- Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
так как она относится к формуле:
,
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
- Решение квадратных уравнений через дискриминант
- Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
- Примеры
- Вывод формул
- Как найти дискриминант квадратного уравнения
- Понятие квадратного уравнения
- Понятие дискриминанта
- Как решать квадратные уравнения через дискриминант
- Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
- 📺 Видео
Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,
Уравнение имеет всего один корень:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D1 = k 2 − ac , а корни по формулам 
и 
.
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Примеры
Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .
Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .
Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .
В этом произведении k = 5 .
Число 12 можно представить как 2 × 6 .
В этом произведении k = 6 .
Число −14 можно представить как 2 × (−7)
В этом произведении k = −7 .
Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .
В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.
Найдем дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac
Теперь вычислим корни по формулам: и .
Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .
В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D1 = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .
И в отличие от формул 
и 
формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.
Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0
Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и
Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0
Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и
Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.
Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2
Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2
Пример 5. Решить квадратное уравнение 
Коэффициент b равен 
. Это выражение состоит из множителя 2 и выражения 
. То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что 
Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и
При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.
В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен 
.
Вычислим второй корень уравнения:
Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать
Вывод формул
Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.
Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k
Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k
Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:
Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4
Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .
В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.
То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1
Теперь посмотрим как выводятся формулы и .
В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)
Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D1 . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:
Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:
Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2
Сократим получившуюся дробь на 2
Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:
Видео:Итоговое повторение «2. Уравнения». Часть 5/5Скачать
Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Видео:Как решать квадратные уравнения через дискриминант. Простое объяснениеСкачать
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
📺 Видео
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать
Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать
Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать
Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула КорнейСкачать
