Все виды уравнений до 8 класса

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Видео:Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Видео:Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Проектная работа «Виды уравнений и способы их решения»
методическая разработка (8 класс) по теме

Проектная деятельность учащихся дает наилучшие результаты в старших классах. Но подготовка к серьезной проектной деятельности начинается еще в 5-8 классах.

Пример проектной работы.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Скачать:

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

Тема проекта : «Виды уравнений и способы их решений».

Участники проекта: ученики 8 класса.

Сроки реализации проекта: две недели.

Результат: защита проектов, а затем оказание помощи одноклассникам, испытывающим затруднения по данному учебному материалу.

Задания для групп (в каждой группе 2-3 человека)

Задание для группы 1.

1.Сбор информации по теме «Линейные уравнения, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).

2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).

3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

4. Подготовка к защите проекта.

5.Защита проекта (презентация).

Задание для группы 2.

1.Сбор информации по теме «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).

2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).

3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

4. Подготовка к защите проекта.

5.Защита проекта (презентация).

Задание для группы 3.

1.Сбор информации по теме «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).

2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).

3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

4. Подготовка к защите проекта.

5.Защита проекта (презентация).

Задание для группы 4.

1.Сбор информации по теме «Уравнения высших порядков, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).

2.Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).

3.Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

4. Подготовка к защите проекта.

5.Защита проекта (презентация).

• Приложение 1. «Линейные уравнения, методы их решения»

• Приложение 2. «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения»

• Приложение 3. «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения»

• Приложение 4. «Уравнения высших порядков, методы их решения»

Для учеников работа над учебными проектами — это возможность максимального раскрытия их творческого потенциала. Она позволяет проявить себя индивидуально или в группе, попробовать свои силы, приложить свои знания, принести пользу, показать публично достигнутый результат. Это деятельность, направленная на решение интересной проблемы, сформулированной зачастую самими учащимися в виде задачи, когда результат этой деятельности — найденный способ решения проблемы — носит практический характер, имеет важное прикладное значение и, что весьма важно, интересен и значим для самих открывателей.

Предварительный просмотр:

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Подписи к слайдам:

Уравнение вида ax + b = 0 где a , b – некоторые числа, x – переменная, называется линейным уравнением.

Если а ≠ 0 , то линейное уравнение имеет единственный корень х = — b/a Если а = 0 ; b ≠ 0 , то линейное уравнение не имеет решений. Если а = 0 ; b = 0 , то х – любое число.

Линейные уравнения (приводимые к виду ax = b ) a = 0 a ≠ 0 b = 0 b ≠ 0 0x = 0 0x ≠ 0 b є R ax = b бесконечное множество корней (x є R) нет действительных корней Один корень ( x = a/b) b = 0 b ≠ 0

Пример 1 . Решим уравнение 2 x – 3 + 4(x – 1) = 5 Решение. 2x – 3 + 4x – 4 = 5 6x = 5 + 4 + 3 6x = 12 x = 12 : 6 x = 2 Ответ : 2

Пример 2. Решим уравнение 2x – 8 – 2(x – 2) = 0 Решение. 2x – 8 – 2x + 4 = 0 — 4 = 0 Ответ : решений нет.

Пример 3. Решим уравнение 3x + 6 – 3(x + 2) = 0 Решение. 3x + 6 – 3x – 6 = 0 0 = 0 Ответ : x – любое число.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Предварительный просмотр:

Уравнение вида ax + b = 0 , где a , b – некоторые числа x – переменная, называется линейным уравнением.

Алгоритм решения линейного уравнения

Если a ≠ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень x = —

Пример: 2x – 3 + 4(x -1) = 5

2x – 3 + 4x – 4 = 5

Если a = 0; b ≠ 0, то линейное уравнение не имеет решений.

Пример: 2x – 8 – 2( x – 2 ) = 0

2x – 8 – 2x + 4 = 0

Ответ: решений нет!

Если a = 0; b =0, то x – любое число.

Пример: 3x + 6 – 3( x + 2 ) = 0

3x + 6 – 3x – 6 = 0

Ответ: x – любое число.

Примеры и решения линейных уравнений.

1. 6х – 12 = 5х + 4 2 . -9а + 8 = -10а – 2

6х – 5х = 12 + 4 -9а + 10а = -8 — 2

х = 16 : 1 а = -10 : 1

Ответ: 16 Ответ: -10

3. 7m + 1 = 8m + 9 4 . 4 + 25y = 6 + 24y

7m – 8m = 9 – 1 25y – 24y = 6 — 4

m = 8 : (-1) y = 2 : 1

Ответ: -8 Ответ: 2

5. 11 – 5z = 12 – 6z 6. 4k + 7 = -3 + 5k

-5z + 6z = 12 – 11 4k – 5k = -3 — 7

z = 1: 1 k = -10 : (-1)

Ответ: 1 Ответ: 10

7. -40 * ( -7x + 5 ) = -1600 8. ( -20x – 50 ) * 2 = 100

280x – 200 = -1600 -40 – 100 = 100

280x = -1600 + 200 -40 = 100 + 100

280x = -1400 40x = 200

x = -1400 : 280 x = 200 : 40

Ответ: -5 Ответ: 5

9. 2.1 * ( 4 – 6y ) = -42 10. -3 * ( 2 – 15x ) = -6

8.4 – 12.6y = -42 -6 + 45x = -6

-12.6 = -42 – 8.4 45x = -6 + 6

-12.6 = -50.4 45x = 0

y = -50.4 : ( -12.6 ) x = 0 : 45

Ответ: 4 Ответ: 0

11. 13 – 5x = 8 – 2x 12. 5x + ( 3x – 7 ) = 9

-5x + 2x = 8 – 13 5x + 3x – 7 = 9

x = -5 : ( -3 ) x = 16 : 8

Ответ: 1, 2/3 Ответ: 2

13. 4y + 15 = 6y + 17 14. 3y – (5 – y) = 11

4y – 6y = 17 – 15 3y – 5 + y = 11

y = 2 : ( -2 ) y = 16 : 4

Ответ: -1 Ответ: 4

15. -27x + 220 = 5x 16. -2x + 16 = 5x — 19

-27x + 5x = — 220 -2x – 5x = -19 — 16

-22x = -220 -7x = -35

x = -220 : ( -22 ) x = -35 : ( -7 )

Ответ: -10 Ответ: 5

17. 25 – 3b = 9 – 5b

18. 3 * (4x – 8 ) = 3x – 6

19. -4 * ( -z + 7) = z + 17

20. c -32 = ( c + 8 ) * ( -7 )

21. 12 – 2 * ( k + 3 ) = 26

22. -5 * ( 3a + 1 ) – 11 = -16

23. -5 * ( 0.8z – 1.2 ) = -z + 7.2

24. -20 * ( x – 13 ) = -220

25. ( 30 – 7x ) * 8 = 352

26. ( 2.8 – 0.1x ) * 3.7 = 7.4

27. ( 3x – 1.2 ) * 7 = 10.5

28. 6x + 12 – 42x = 0

29. 3( y – 5 ) – 2( y – 4 ) = 8

3y – 15 – 2y – 8 = 8

3y – 2y = 8 + 8 + 15

30. -5( 5 – x ) – 4x = 18

Предварительный просмотр:

Видео:Алгебра с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Подписи к слайдам:

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где коэффициенты a , b , c — любые действительные числа, причем а≠0. Многочлен ax 2 + bx + c называют квадратным трехчленом.

Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0 называют всякое значение переменной x , при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена. Квадратные уравнения с коэффициентами a , b , c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта. Решить квадратное уравнение –значит найти все его корни или установить ,что корней нет.

Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b , c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.

Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q =0 сумма корней равна — p , а произведение корней равно q .

Особые квадратные уравнения: 2 x 2 — x -1= 0 D=9 x 1 =1 x 2 =-1 ∕2 2x 2 +3x-5=0 D=49 x 1 =1 x 2 =-5∕2 x 2 +3x-4=0 D=25 x 1 =1 x 2 = -4

3x 2 +2x-1=0 D=16 x 1 = -1 x 2 = 1/3 2x 2 +x-1=0 D=9 x 1 =-1 x 2 =1/2 x 2 -3x-4=0 D=25 x 1 =-1 x 2 =4

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где коэффициенты a,b,c- любые действительные числа, причем а≠ 0.

Многочлен ax 2 +bx+c называют квадратным трехчленом.

Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax 2 +bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.

Квадратные уравнения с коэффициентами a, b, c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить ,что корней нет.

Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b,c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.

Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 сумма корней равна

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Квадратные уравнения (8 класс)

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде (ax^2+bx+c=0), где (x) неизвестная, (a), (b) и (с) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем (a≠0)).

В первом примере (a=3), (b=-26), (c=5). В двух других (a),(b) и (c) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду (ax^2+bx+c=0), они обязательно появятся.

Коэффициент (a) называют первым или старшим коэффициентом, (b) – вторым коэффициентом, (c) – свободным членом уравнения.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

Преобразовать уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

Выписать значения коэффициентов (a), (b) и (c).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения (2x^2-3x+5=0), коэффициент (b=-3), а не (3).

Вычислить значение дискриминанта по формуле (D=b^2-4ac).

Решите квадратное уравнение (2x(1+x)=3(x+5))
Решение:

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_2=frac<-b — sqrt>).

Решите квадратное уравнение (x^2+9=6x)
Решение:

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_1=frac<-b — sqrt>).

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Решите квадратное уравнение (3x^2+x+2=0)
Решение:

Уравнение сразу дано в виде (ax^2+bx+c=0), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_1=frac<-b — sqrt>).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение (x^2-7x+6=0).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут (6), а в сумме (7). Простым подбором получаем, что эти числа: (1) и (6). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: (x_1=1), (x_2=6).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты (b) и (c).

🔍 Видео

ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

Как расставлять коэффициенты в уравнении реакции? Химия с нуля 7-8 класс | TutorOnlineСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать