Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x 1, x 2, . x m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x 1, x 2, . x m оператора A с попарно различными собственными числами λ1, λ2, …, λm линейно независимы.
3. Если собственные числа λ12= λm= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x 1, x 2, . x n, соответствующих различным собственным числам λ1, λ2, …, λn, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства Rn. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1тогда Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1.
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R3 по закону A· x =(x1-3x2+4x3, 4x1-7x2+8x3, 6x1-7x2+7x3), где x1, x2, . xn — координаты вектора x в базисе e 1=(1,0,0), e 2=(0,1,0), e 3=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e 1=(1,4,6)
A· e 2=(-3,-7,-7)
A· e 3=(4,8,7)
Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x1-3x2+4x3=0
x1-(7+λ)x2+8x3=0
x1-7x2+(7-λ)x3=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1

Пример №2 . Дана матрица Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1.
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1

Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой ai k =ak i .

Замечания .

  1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
  2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Раздел1 «Линейные пространства»

1. Проверить, является ли данное множество линейным пространством:

1.1. Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости.

1.2. Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой.

1.3. Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0.

1.4. Множество всех матриц размера 2×3.

1.5. Множество невырожденных матриц третьего порядка.

1.6. Множество вырожденных матриц третьего порядка.

1.7. Множество многочленов степени не выше третьей.

1.8. Множество многочленов Р(t)=a0+a1t+a2t 2 с положительными коэффициентами.

1.9. Множество расходящихся последовательностей.

1.10. Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.

2. Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

3. Векторы e̅1(1,1,1), e̅2(1,1,2), e̅3(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅1, e̅2, e̅3 образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе.

4. Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х 2 и 1-х, 2х-х 2 , -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

5. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если

— поменять местами два вектора первого базиса?

— поменять местами два вектора второго базиса?

6. В пространстве геометрических векторов V3 дана система векторов

1= 2i̅ + j̅ — 3k̅, e̅2= 3i̅ + 2j̅ — 5k̅, e̅3= i̅ — j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V3, составить матрицу перехода от базиса i̅ , j̅ , k̅ к базису e̅1, e̅2, e̅3 и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ — 7k̅ в базисе e̅1, e̅2, e̅3.

7. Дана матрица перехода от базиса e̅1, e̅2, e̅3 к базису e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍. Найти координаты векторов e̅1, e̅2, e̅3 в базисе e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍.

8. Найти координаты многочлена t 2 -t+2 в базисе 1,t-1, (1-t) 2 .

9. Доказать, что если системы векторов

образуют базисы в пространстве Vn, то справедливо матричное равенство: Т Е→ Е̍ ̍Е→ Е̍ Т Е̍→ Е̍ ̍.

10. Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V3 на R3:

10.1. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z)

10.2. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y)

10.3. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)

Ответы к разделу 1

1. 1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат

4. Матрица перехода

5. Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца.

9. Указание: воспользоваться определением матрицы перехода.

10. 10.1. является

10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения.

10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.

Раздел 2 «Линейные подпространства и линейные многообразия»

1. Проверить, являются ли заданные множества линейными подпространствами; указать какой-нибудь базис и размерность линейных подпространств:

1.1. Множество всех геометрических векторов из V3, компланарных фиксированной плоскости.

1.2. Множество геометрических векторов из V3, удовлетворяющих условию (͞х ,͞а)=0, где͞ а-фиксированный вектор.

1.3. Множество всех геометрических векторов из V3, удовлетворяющих условию | ̅х̅ | =1.

1.5. Множество всех симметрических матриц порядка n.

1.6. Множество решений линейной однородной системы уравнений

1.7. Множество всех векторов из Rn, координаты которых удовлетворяют условию: х1n.

2. Найти размерность линейной оболочки L(x̅1, x̅2) арифметических векторов x̅1(1, 0, 2, -1), x̅2(0, -1, 2, 0). Показать, что вектор x̅(1, -1, 4, -1) принадлежит оболочке.

3. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅1(1, 0, 0, -1), x̅2(2, 1, 1, 0), x̅3(1, 1, 1, 1), x̅4(1, 2, 3, 4), x̅5(0, 1, 2, 3).

4. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅1(1, 1, 1, 1, 0), x̅2(1, 1, -1, -1, -1), x̅3(2, 2, 0, 0, -1), x̅4(1, 1, 5, 5, 2), x̅5(1, -1, -1, 0, 0).

5. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅1, x̅2) и L(y̅1, y̅2):

6. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅1, x̅2, x̅3) и L(y̅1, y̅2):

7. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄) и многообразия L(а̄) +b̅, если а̄= -2i̅ + j̅ — k̅, b̅= 2i̅ — j̅.

8. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄1, a̅2) и многообразия L(а̄1, a̅2) + b̅, если а̄1= -i̅ + j̅ + k̅, а̄2=2 j̅ — k̅ b̅= i̅ + k̅.

9. Задана система уравнений

Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R5.Сдвигом какого подпространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства. Найти какой-нибудь вектор сдвига.

Ответы к разделу 2

1. 1.2. является, dimL=1, 1.3.не является, 1.4. является, dimL=n-2, 1.5. является, dimL=n 2 — Cn 2 , 1.6. является, dimL=3, 1.7.является, dimL=n-1

5. Размерность пересечения равна 1, базисный вектор имеет координаты z̅ (5, -2, -3, -4); размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из векторов z̅, x̅1, y̅1.

6. Сумма совпадает с первым пространством, пересечение – со вторым.

7. Линейная оболочка – прямая, проходящая через точку (0, 0, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1), линейное многообразие — прямая, проходящая через точку (2,-1, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1)

8. Линейная оболочка – плоскость -3x – y — 2z =0, линейное многообразие – плоскость -3x – y — 2z + 5=0.

9. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности 3 решений соответствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы.

10. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линейных подпространств: L1, заданного уравнением х12+…+хn=0 и L2, заданного системой уравнений х12=…=хn.

11. Пусть линейное пространство L является прямой суммой линейных подпространств L1 и L2. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей подпространств L1 и L2, причем любые базисы L1 и L2 дают вместе базис L.

12. Доказать, что сумма L линейных подпространств L1 и L2 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x̅, принадлежащий L, представляется в виде x̅= x̅1+ x̅2, где x̅1 принадлежит L1, x̅2 принадлежит L2.

Раздел3 «Евклидовы пространства»

1. Пусть͞ х( х1, х2), ȳ(y1, y2) — произвольные векторы арифметического пространства R2. Проверить, можно ли следующими способами определить скалярное произведение в R2:

Записать неравенство Коши – Буняковского в тех случаях, где это возможно.

2. Доказать, что в пространстве многочленов не выше n-1 степени скалярное произведение многочленов

можно определить следующим способом:

Написать неравенство Коши – Буняковского, неравенства треугольника для этого пространства.

3. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам: (1,1,1,1), (1,-1,-1,1), (2,1,1,3).

4. Проверить, что векторы следующей системы попарно ортогональны:

5. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы (1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2) и (1∕6, 1∕6, 1∕2, -5∕6).

6. Посредством процесса ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства, натянутого на данные системы векторов:

7. Проверить ортогональность следующей системы векторов и дополнить ее до ортогонального базиса:

8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x̅(4,-1,-3,4) на линейное подпространство L, натянутое на векторы ē1(1,1,1,1), ē2(1,2,2,-1), ē3(1,0,0,3).

9. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:

10. Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора x̅ и y̅ ортогональны тогда и только тогда, когда | x̅ — y̅ | 2 = | x̅ | 2 + | y̅ | 2 .

Ответы к разделу 3

1. 1.1.можно, 1.2.нельзя

5. За остальные два вектора можно взять, например, 1∕√26(0, -4, 3, 1) и 1∕√234(-13, 5, 6, 2).

8. Ортогональная проекция (1,-1,-1,5), ортогональная составляющая (3,0,-2,-1)

9. Базис ортогонального дополнения (2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)

Раздел4 «Линейные операторы»

1. Установить, какие из заданных отображений пространства V3 являются линейными операторами, выписать их матрицы в базисе i̅ , j̅, k̅:

1.2. Аx̅ = λx̅ +a̅, λ и a̅ фиксированы.

1.3. Аx̅ =( x̅, e̅) e̅, где e̅ — заданный единичный вектор.

1.4. Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

1.5. Аx̅ = (y+z) i̅ + (2x+z) j̅ +(3x-y+z) k̅, где x̅ = x i̅ +y j̅ +z k̅.

2. Установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными, выписать их матрицы в каноническом базисе:

3. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами, найти матрицу этого преобразования в базисе 1,х, х 2 ,…х n .

4. В пространстве L4 задан линейный оператор, матрица которого в некотором базисе e̅1, e̅2, e̅3, e̅4 равна

5. В пространстве L3 заданы два базиса:

Найти матрицу оператора в базисе e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍, , e̅3̍ ̍, если его матрица в базисе e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍ имеет вид

6. В пространстве L2 оператор А в базисе a̅1(1,2), a̅2(2,3) имеет матрицу

а оператор В в базисе b̅1(3,1), b̅2(4,2) имеет матрицу

Найти матрицу оператора А+В в базисе b̅1, b̅2.

7. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V3: Аx̅ =( x̅, e̅) e̅, где e̅ — заданный единичный вектор.

8. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V3: Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

9. Для линейного оператора, действующего в пространстве R3, определить ранг и дефект, а также найти базисы ядра и образа:

10. Доказать, что оператор невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства.

11. Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на плоскость Oxy в пространстве V3.

12. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

13. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

14. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

15. Выяснить, какие из матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

Ответы к разделу 4

1. 1.1.является, матрица оператора

1.3.является оператором проектирования на ось

1.4.является, если a̅ = a1i̅ +a2j̅ +a3k̅, то матрица перехода

1.5. является, матрица оператора

2. 2.1.является, матрица оператора

2.3. является, матрица оператора

3. матрица оператора

4. Матрица оператора

5. Матрица оператора в базисе e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍, , e̅3̍ ̍ имеет вид

6.Матрица оператора А+В

7. Ядро оператора — двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору e̅, образ оператора — одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору e̅.

8. Ядро оператора — одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору a̅, образ оператора — двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору a̅.

9. Дефект оператора равен 1, ранг оператора равен 2. В качестве базиса

образа оператора могут быть выбраны, например, векторы e̅1(1,1,1), e̅2(2,0,1,), в качестве базиса ядра оператора может быть выбран, например, вектор e̅(1,-1,1).

11.λ1=1, собственные векторы– векторы, компланарные плоскости Oxy; λ2=0, собственные векторы- векторы, ортогональные плоскости Oxy.

Базис образуют, например, векторы e̅1(1,1,1), e̅2(1,0,0), e̅3(1,0,-3).

16. Матрица к диагональному виду не приводится.

Раздел 5 «Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением»

1. Линейный оператор А в базисе e̅1(1,0), e̅2(1,1) имеет матрицу

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅1, e̅2, если векторы e̅1, e̅2 заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

2. Линейный оператор А в базисе e̅1(1,2,1), e̅2(1,1,2), e̅3(1,1,0) имеет матрицу

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅1, e̅2, e̅3, если векторы e̅1, e̅2, e̅3 заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

3. Вычислить А n , если

4. Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному оператору А* обладает следующими свойствами

5. В пространстве многочленов степени не выше второй задано скалярное произведение: (f,g)=a0b0+a1b1+a2b2, где f(t)=a0+a1t+a2t 2 . Найти матрицы оператора дифференцирования D и сопряженного оператора D* в базисе 0.5t 2 -0.5t, t 2 -1, 0.5t 2 +0.5t.

6. Выяснить, можно ли с помощью перехода к новому базису диагонализировать оператор А, заданный своей матрицей в некотором фиксированном базисе. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы

7. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

📽️ Видео

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Векторное произведение векторов | Высшая математика

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Векторы #2: скалярное произведение векторов, системы координатСкачать

Векторы #2: скалярное произведение векторов, системы координат

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторыСкачать

Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторы

Координаты вектора в базисе. Собственные числа и векторы (решение задач)Скачать

Координаты вектора в базисе. Собственные числа и векторы (решение задач)

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: