Все векторы из rn координаты которых удовлетворяют уравнению x1 x2 xn 1 (4 видео)

Содержание

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
Раздел1 «Линейные пространства»
🎥 Видео

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x ₁, x ₂, . x _m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x ₁, x ₂, . x _m оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x ₁, x ₂, . x _n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε _i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R₃ по закону A· x =(x₁-3x₂+4x₃, 4x₁-7x₂+8x₃, 6x₁-7x₂+7x₃), где x₁, x₂, . x_n — координаты вектора x в базисе e ₁=(1,0,0), e ₂=(0,1,0), e ₃=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e ₁=(1,4,6)
A· e ₂=(-3,-7,-7)
A· e ₃=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x₁-3x₂+4x₃=0
x₁-(7+λ)x₂+8x₃=0
x₁-7x₂+(7-λ)x₃=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Пример №2 . Дана матрица .
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой a_i k =a_k i .

Замечания .

Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Раздел1 «Линейные пространства»

1. Проверить, является ли данное множество линейным пространством:

1.1. Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости.

1.2. Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой.

1.3. Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0.

1.4. Множество всех матриц размера 2×3.

1.5. Множество невырожденных матриц третьего порядка.

1.6. Множество вырожденных матриц третьего порядка.

1.7. Множество многочленов степени не выше третьей.

1.8. Множество многочленов Р(t)=a₀+a₁t+a₂t 2 с положительными коэффициентами.

1.9. Множество расходящихся последовательностей.

1.10. Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.

2. Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

3. Векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(1,1,2), e̅₃(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅₁, e̅₂, e̅₃ образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе.

4. Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х 2 и 1-х, 2х-х 2 , -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

5. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если

— поменять местами два вектора первого базиса?

— поменять местами два вектора второго базиса?

6. В пространстве геометрических векторов V₃ дана система векторов

e̅₁= 2i̅ + j̅ — 3k̅, e̅₂= 3i̅ + 2j̅ — 5k̅, e̅₃= i̅ — j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V₃, составить матрицу перехода от базиса i̅ , j̅ , k̅ к базису e̅₁, e̅₂, e̅₃ и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ — 7k̅ в базисе e̅₁, e̅₂, e̅_3.

7. Дана матрица перехода от базиса e̅₁, e̅₂, e̅₃ к базису e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍. Найти координаты векторов e̅₁, e̅₂, e̅₃ в базисе e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍.

8. Найти координаты многочлена t 2 -t+2 в базисе 1,t-1, (1-t) 2 .

9. Доказать, что если системы векторов

образуют базисы в пространстве V_n, то справедливо матричное равенство: Т _Е→ _{Е̍ ̍} =Т _Е→ _Е̍ Т _Е̍→ _{Е̍ ̍}.

10. Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V₃ на R₃:

10.1. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z)

10.2. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y)

10.3. φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)

Ответы к разделу 1

1. 1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат

4. Матрица перехода

5. Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца.

9. Указание: воспользоваться определением матрицы перехода.

10. 10.1. является

10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения.

10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.

Раздел 2 «Линейные подпространства и линейные многообразия»

1. Проверить, являются ли заданные множества линейными подпространствами; указать какой-нибудь базис и размерность линейных подпространств:

1.1. Множество всех геометрических векторов из V₃, компланарных фиксированной плоскости.

1.2. Множество геометрических векторов из V₃, удовлетворяющих условию (͞х ,͞а)=0, где͞ а-фиксированный вектор.

1.3. Множество всех геометрических векторов из V₃, удовлетворяющих условию | ̅х̅ | =1.

1.5. Множество всех симметрических матриц порядка n.

1.6. Множество решений линейной однородной системы уравнений

1.7. Множество всех векторов из R_n, координаты которых удовлетворяют условию: х₁=х_n.

2. Найти размерность линейной оболочки L(x̅₁, x̅₂) арифметических векторов x̅₁(1, 0, 2, -1), x̅₂(0, -1, 2, 0). Показать, что вектор x̅(1, -1, 4, -1) принадлежит оболочке.

3. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅₁(1, 0, 0, -1), x̅₂(2, 1, 1, 0), x̅₃(1, 1, 1, 1), x̅₄(1, 2, 3, 4), x̅₅(0, 1, 2, 3).

4. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы векторов x̅₁(1, 1, 1, 1, 0), x̅₂(1, 1, -1, -1, -1), x̅₃(2, 2, 0, 0, -1), x̅₄(1, 1, 5, 5, 2), x̅₅(1, -1, -1, 0, 0).

5. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅₁, x̅₂) и L(y̅₁, y̅₂):

6. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек L(x̅₁, x̅₂, x̅₃) и L(y̅₁, y̅₂):

7. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄) и многообразия L(а̄) +b̅, если а̄= -2i̅ + j̅ — k̅, b̅= 2i̅ — j̅.

8. Написать уравнение геометрического образа линейной оболочки

L(а̄₁, a̅₂) и многообразия L(а̄₁, a̅₂) + b̅, если а̄₁= -i̅ + j̅ + k̅, а̄₂=2 j̅ — k̅ b̅= i̅ + k̅.

9. Задана система уравнений

Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве R₅.Сдвигом какого подпространства получается это линейное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпространства. Найти какой-нибудь вектор сдвига.

Ответы к разделу 2

1. 1.2. является, dimL=1, 1.3.не является, 1.4. является, dimL=n-2, 1.5. является, dimL=n 2 — C_n 2 , 1.6. является, dimL=3, 1.7.является, dimL=n-1

5. Размерность пересечения равна 1, базисный вектор имеет координаты z̅ (5, -2, -3, -4); размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из векторов z̅, x̅₁, y̅₁.

6. Сумма совпадает с первым пространством, пересечение – со вторым.

7. Линейная оболочка – прямая, проходящая через точку (0, 0, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1), линейное многообразие — прямая, проходящая через точку (2,-1, 0) параллельно вектору с координатами (-2, 1, -1)

8. Линейная оболочка – плоскость -3x – y — 2z =0, линейное многообразие – плоскость -3x – y — 2z + 5=0.

9. Множество решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полученное из подпространства размерности 3 решений соответствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы.

10. Доказать, что пространство R_n есть прямая сумма двух линейных подпространств: L₁, заданного уравнением х₁+х₂+…+х_n=0 и L₂, заданного системой уравнений х₁=х₂=…=х_n.

11. Пусть линейное пространство L является прямой суммой линейных подпространств L₁ и L₂. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей подпространств L₁ и L₂, причем любые базисы L₁ и L₂ дают вместе базис L.

12. Доказать, что сумма L линейных подпространств L₁ и L₂ тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x̅, принадлежащий L, представляется в виде x̅= x̅₁+ x̅₂, где x̅₁ принадлежит L₁, x̅₂ принадлежит L₂.

Раздел3 «Евклидовы пространства»

1. Пусть͞ х( х₁, х₂), ȳ(y₁, y₂) — произвольные векторы арифметического пространства R₂. Проверить, можно ли следующими способами определить скалярное произведение в R₂:

Записать неравенство Коши – Буняковского в тех случаях, где это возможно.

2. Доказать, что в пространстве многочленов не выше n-1 степени скалярное произведение многочленов

можно определить следующим способом:

Написать неравенство Коши – Буняковского, неравенства треугольника для этого пространства.

3. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам: (1,1,1,1), (1,-1,-1,1), (2,1,1,3).

4. Проверить, что векторы следующей системы попарно ортогональны:

5. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы (1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2) и (1∕6, 1∕6, 1∕2, -5∕6).

6. Посредством процесса ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства, натянутого на данные системы векторов:

7. Проверить ортогональность следующей системы векторов и дополнить ее до ортогонального базиса:

8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x̅(4,-1,-3,4) на линейное подпространство L, натянутое на векторы ē₁(1,1,1,1), ē₂(1,2,2,-1), ē₃(1,0,0,3).

9. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:

10. Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора x̅ и y̅ ортогональны тогда и только тогда, когда | x̅ — y̅ | 2 = | x̅ | 2 + | y̅ | 2 .

Ответы к разделу 3

1. 1.1.можно, 1.2.нельзя

5. За остальные два вектора можно взять, например, 1∕√26(0, -4, 3, 1) и 1∕√234(-13, 5, 6, 2).

8. Ортогональная проекция (1,-1,-1,5), ортогональная составляющая (3,0,-2,-1)

9. Базис ортогонального дополнения (2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)

Раздел4 «Линейные операторы»

1. Установить, какие из заданных отображений пространства V₃ являются линейными операторами, выписать их матрицы в базисе i̅ , j̅, k̅:

1.2. Аx̅ = λx̅ +a̅, λ и a̅ фиксированы.

1.3. Аx̅ =( x̅, e̅) e̅, где e̅ — заданный единичный вектор.

1.4. Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

1.5. Аx̅ = (y+z) i̅ + (2x+z) j̅ +(3x-y+z) k̅, где x̅ = x i̅ +y j̅ +z k̅.

2. Установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R₃ в себя являются линейными, выписать их матрицы в каноническом базисе:

3. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами, найти матрицу этого преобразования в базисе 1,х, х 2 ,…х n .

4. В пространстве L₄ задан линейный оператор, матрица которого в некотором базисе e̅₁, e̅₂, e̅₃, e̅₄ равна

5. В пространстве L₃ заданы два базиса:

Найти матрицу оператора в базисе e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍, , e̅₃̍ ̍, если его матрица в базисе e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍ имеет вид

6. В пространстве L₂ оператор А в базисе a̅₁(1,2), a̅₂(2,3) имеет матрицу

а оператор В в базисе b̅₁(3,1), b̅₂(4,2) имеет матрицу

Найти матрицу оператора А+В в базисе b̅₁, b̅₂.

7. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V₃: Аx̅ =( x̅, e̅) e̅, где e̅ — заданный единичный вектор.

8. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V₃: Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

9. Для линейного оператора, действующего в пространстве R₃, определить ранг и дефект, а также найти базисы ядра и образа:

10. Доказать, что оператор невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства.

11. Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на плоскость Oxy в пространстве V₃.

12. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

13. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

14. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

15. Выяснить, какие из матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

Ответы к разделу 4

1. 1.1.является, матрица оператора

1.3.является оператором проектирования на ось

1.4.является, если a̅ = a₁i̅ +a₂j̅ +a₃k̅, то матрица перехода

1.5. является, матрица оператора

2. 2.1.является, матрица оператора

2.3. является, матрица оператора

3. матрица оператора

4. Матрица оператора

5. Матрица оператора в базисе e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍, , e̅₃̍ ̍ имеет вид

6.Матрица оператора А+В

7. Ядро оператора — двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору e̅, образ оператора — одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору e̅.

8. Ядро оператора — одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору a̅, образ оператора — двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору a̅.

9. Дефект оператора равен 1, ранг оператора равен 2. В качестве базиса

образа оператора могут быть выбраны, например, векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(2,0,1,), в качестве базиса ядра оператора может быть выбран, например, вектор e̅(1,-1,1).

11.λ₁=1, собственные векторы– векторы, компланарные плоскости Oxy; λ₂=0, собственные векторы- векторы, ортогональные плоскости Oxy.

Базис образуют, например, векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(1,0,0), e̅₃(1,0,-3).

16. Матрица к диагональному виду не приводится.

Раздел 5 «Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением»

1. Линейный оператор А в базисе e̅₁(1,0), e̅₂(1,1) имеет матрицу

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅₁, e̅₂, если векторы e̅₁, e̅₂ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

2. Линейный оператор А в базисе e̅₁(1,2,1), e̅₂(1,1,2), e̅₃(1,1,0) имеет матрицу

Найти матрицу сопряженного оператора в базисе e̅₁, e̅₂, e̅₃, если векторы e̅₁, e̅₂, e̅₃ заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

3. Вычислить А n , если

4. Доказать, что операция * перехода от оператора А к сопряженному оператору А* обладает следующими свойствами

5. В пространстве многочленов степени не выше второй задано скалярное произведение: (f,g)=a₀b₀+a₁b₁+a₂b₂, где f(t)=a₀+a₁t+a₂t 2 . Найти матрицы оператора дифференцирования D и сопряженного оператора D* в базисе 0.5t 2 -0.5t, t 2 -1, 0.5t 2 +0.5t.

6. Выяснить, можно ли с помощью перехода к новому базису диагонализировать оператор А, заданный своей матрицей в некотором фиксированном базисе. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы

7. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей