Все о квадратных уравнениях теория

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Видео:Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Теория и практика квадратных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0, а x – неизвестное. Выражение <displaystyle ax^+bx+c> ax 2 + bx + c называют квадратным трёхчленом.

а называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым , средним или коэффициентом, c – свободным членом .

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля:

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;

Имеют ровно один корень;

Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого нужен дискриминант .

Корни квадратного уравнения:

Два различных корня

Один корень (два равных)

Пример 1: Решите квадратные уравнения.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

5 x 2 + 3 x + 7 = 0;

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет .

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один

Решение неполных квадратных уравнений

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член, либо сразу оба), равен нулю: ;

Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0.

Пусть с =0, тогда получаем ax 2 + bx = 0.

Вынесем общий множитель за скобку:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

b = c = 0, уравнение принимает вид ax 2 = 0 . Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0

приведенное квадратное уравнение. теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице: <displaystyle x^+px+q=0,quad p=<frac >,quad q=<frac >.> или

Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле.

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел <displaystyle x_,x_> , будучи решением системы уравнений , являются корнями уравнения <displaystyle x^+px+q=0> : <displaystyle <beginx_+x_=-p;\x_x_=q;end>>

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Формулы подходят для уравнений вида ax 2 + 2 k x + c = 0 , где

Любой квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле: , где x ₁ , x ₂ – его корни

1. Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

2. Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите в ответ больший

3. Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите в ответ меньший.

4. Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите в ответ их сумму.

5. Найдите корни уравнения .

6. Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7. Найдите корни уравнения

8. Найдите корни уравнения

9. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C .

10 . На рисунке изображены графики функций и Вычислите координаты точки B ., в ответ запишите их сумму.

11. Уравнение имеет корни −6; 4. Найдите

12. Квадратный трёхчлен разложен на множители: Найдите

13 Решите уравнение

14. Решите уравнение

15. Решите уравнение

16. Решите уравнение

17. Уравнение имеет корни −5; 7. Найдите p

19 ..Найти корни уравнения:

20 . Решите уравнения: а)2 x 2 -50=0; б)4 x 2 +5 x = 0; в)-5 x 2 =0; г)4 x 2 +7=0 д)6 x 2 -30=0 е)6 x 2 -5 x +10=3 x 2 + x +10

21. Решите уравнения: а) 9 x 2 +24 x +16=0; б) 3 x 2 -8 x +7=0; в) 3 x 2 +16 x -12=0; г) (2 x -1)( x +3)=3 x 2 -5

Видео:Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Лекция 1. Ильяшенко Ю. С.Скачать

Все о квадратном уравнении

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (491 кБ)

Цели урока:

• Систематизировать и обобщить знания и умения по теме “Квадратное уравнение”: определение, неполные уравнения, решение уравнения выделением квадрата двучлена, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета, биквадратные уравнения.
• Развивать коммуникативно-технические умения, навыки коллективного труда, умение распределять обязанности.
• Воспитывать интерес к предмету.

Форма урока: многосерийный фильм “Квадратное уравнение”, каждая серия которого отражает один из перечисленных выше разделов теоретического материала.

Оборудование: карточки с вопросами по теории, карточки с заданиями практического характера, доска, компьютер, проектор, презентация для проверки теоретических знаний.

Подготовка к уроку:

Класс делится на пять групп, каждой группе дается карточка, содержащая вопросы по теории и практические задания одного раздела. Каждая группа учащихся работает самостоятельно и должна по окончании работы создать сценарий одной серии фильма, в котором обязательно должно быть следующее:

• Краткий конспект по теории с ответами на поставленные учителем вопросы.
• Решение всех практических заданий.
• Четыре варианта заданий для остальных групп.

После обсуждения всех пяти сценариев каждая группа должна решить 4 варианта, подготовленные другими “съемочными” группами.

I. Организационный момент (слайд 1).

Учитель распределяет учеников на 5 групп и рассаживает их компактно, для удобной работы. Раздает всем группам заранее подготовленные карточки с теоретическими вопросами и практическими заданиями. Группа выбирает “режиссера” — для написания конспекта и ответов на вопросы, остальные учащиеся распределяют работу по решению задач и написанию задания для других групп. Время для написания сценария — 15 минут.

II. Систематизация теоретического материала.

Серия 1: “Определение квадратного уравнения, неполные уравнения” (слайд 2).

1. Какие уравнения называют квадратными? (слайд 3)

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а 0.

2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?(слайд 4)

а – первый или старший коэффициент,

b – второй коэффициент,

с – свободный член.

3. Какие уравнения называют приведёнными? Как из полного уравнения получить приведённое? (слайд 5)

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида Нужно полное квадратное уравнение разделить на коэффициент а.

4. Какие бывают неполные квадратные уравнения?

• Если а 0, b = 0, с = 0, то ах 2 = 0.
• Если а 0, b ? 0, с = 0, то ах 2 + bx = 0.
• Если а 0, b = 0, c 0, то ах 2 + с = 0.

5. Описать методы решения неполных квадратных уравнений.

• ах 2 = 0, х = 0.
• ах 2 + bx = 0, х(ах + b) = 0, х₁ = 0, х₂ = — b/a.
• ах 2 + с = 0, x 2 = — c/a, x_1,2 = — c/a.

Серия 2. “Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена” (слайд 8)

1. Запишите формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности (слайд 9).

• Квадрат суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• Квадрат разности (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

2. Решите уравнения: (x + k) 2 = 0 и (x – k) 2 = 0 (слайд 10).

• (x + k) 2 = 0, x + k = 0, x = – k.
• (x – k) 2 = 0, x – k = 0, x = k.

3. Запишите алгоритм решения приведённого квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена (слайд 11).

• x 2 + 2px + q = 0;
• x 2 + 2px + p 2 = p 2 – q;
• (x + p) 2 = p 2 – q;
• x + p = p 2 – q, если p 2 – q 0;
• x_1,2 = – p p₂ – q.

Серия 3. “Формула корней квадратного уравнения” (слайд 12).

1. Запишите общую формулу квадратного уравнения (слайд 13).

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а 0.

2. Что такое дискриминант? (слайд 14)

3. Какая зависимость между знаком дискриминанта и количеством решений квадратного уравнения? (слайд 15)

• если D > 0, то уравнение имеет два корня;
• если D = 0, то уравнение имеет один корень;
• если D 0. (слайд 17)

если D > 0, то

Серия 4. “Теорема Виета” (слайд 18)

1. Запишите формулу приведённого квадратного уравнения. (слайд 19)

2. Чему равен дискриминант приведённого квадратного уравнения?(слайд 20)

3. Сформулируйте теорему Виета для приведённого квадратного уравнения (слайд 21)

“Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”

4. Запищите формулы Виета для квадратного уравнения общего вида (слайд 22)

5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. (слайд 23)

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁ + х₂ = – р и х₁ * х₂ = q, то эти числа – корни уравнения х 2 + рх + q = 0.

Серия 5. “Биквадратные уравнения” (слайд 24)

1. Запишите общий вид биквадратного уравнения. (слайд 25)

ax 4 + bx 2 + c = 0

2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения. (слайд 26)

• ввести новую переменную х 2 = t;
• сделать замену в уравнении: at 2 + bt + c = 0;
• найти корни полученного уравнения:

💥 Видео

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

ВСЕ ВИДЫ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙСкачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Теорема ВиетаСкачать