Все формулы по неравенствам и уравнениям

Содержание
  1. Математика: Все главные формулы
  2. Оглавление:
  3. Формулы сокращенного умножения
  4. Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
  5. Основные свойства математических корней:
  6. Формулы с логарифмами
  7. Определение логарифма:
  8. Свойства логарифмов:
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Тригонометрия
  12. Формулы двойного угла
  13. Тригонометрические формулы сложения
  14. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
  15. Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
  16. Формулы понижения степени
  17. Формулы половинного угла
  18. Тригонометрические формулы приведения
  19. Тригонометрическая окружность
  20. Тригонометрические уравнения
  21. Геометрия на плоскости (планиметрия)
  22. Геометрия в пространстве (стереометрия)
  23. Координаты
  24. Все формулы по неравенствам и уравнениям
  25. Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
  26. Основные свойства математических корней:
  27. Формулы с логарифмами
  28. Определение логарифма:
  29. Свойства логарифмов:
  30. Арифметическая прогрессия
  31. Геометрическая прогрессия
  32. Тригонометрия
  33. Формулы двойного угла
  34. Тригонометрические формулы сложения
  35. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
  36. Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
  37. Формулы понижения степени
  38. Формулы половинного угла
  39. Тригонометрические формулы приведения
  40. Тригонометрическая окружность
  41. Тригонометрические уравнения
  42. Геометрия на плоскости (планиметрия)
  43. Геометрия в пространстве (стереометрия)
  44. Координаты
  45. Таблица умножения
  46. Таблица квадратов двухзначных чисел
  47. Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
  48. Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
  49. Нашли ошибку?
  50. Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
  51. Неравенства

Видео:Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!

Математика: Все главные формулы

Оглавление:

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Формулы сокращенного умножения

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тогда дискриминант находят по формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Если D 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Основные свойства математических корней:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Для арифметических корней:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Формулы с логарифмами

Определение логарифма:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойства логарифмов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Вынесение степени за знак логарифма:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Другие полезные свойства логарифмов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |

Арифметическая прогрессия

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула суммы арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Геометрическая прогрессия

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула суммы геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Тригонометрия

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тогда, определение синуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Основное тригонометрическое тождество:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Косинус двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тангенс двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Котангенс двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы сложения

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Произведение синуса и косинуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула понижения степени для косинуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула понижения степени для тангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула понижения степени для котангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула половинного угла для котангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭ

Тригонометрические уравнения

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnlineСкачать

Система уравнений VS Система неравенств. ОГЭ по математике №9, 13| Математика TutorOnline

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Пусть имеется произвольный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тогда, сумма углов треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула Герона для площади треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Основное свойство высот треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема косинусов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема синусов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь правильного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина средней линии трапеции:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь квадрата через длину его стороны:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о касательной и секущей:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о двух секущих:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство центральных углов и хорд:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство центральных углов и секущих:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Сумма углов n-угольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Центральный угол правильного n-угольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь правильного n-угольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина окружности:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина дуги окружности:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь круга:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь кругового сегмента:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Главная диагональ куба:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объём кругового цилиндра:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объем кругового конуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина образующей прямого кругового конуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объём шара:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Координаты

Длина отрезка на координатной оси:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина отрезка на координатной плоскости:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис Трушин

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тогда дискриминант находят по формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Если D 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Основные свойства математических корней:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Для арифметических корней:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnlineСкачать

Формулы сокращенного умножения | Математика | TutorOnline

Формулы с логарифмами

Определение логарифма:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойства логарифмов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Вынесение степени за знак логарифма:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Другие полезные свойства логарифмов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | Математика

Арифметическая прогрессия

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула суммы арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство арифметической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?

Геометрическая прогрессия

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула суммы геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство геометрической прогрессии:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА неравенства с корнемСкачать

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА неравенства с корнем

Тригонометрия

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тогда, определение синуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Основное тригонометрическое тождество:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Косинус двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тангенс двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Котангенс двойного угла:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы сложения

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Произведение синуса и косинуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула понижения степени для косинуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула понижения степени для тангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула понижения степени для котангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула половинного угла для котангенса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Часть 1| Математика

Тригонометрические уравнения

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Пусть имеется произвольный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Тогда, сумма углов треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Формула Герона для площади треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Основное свойство высот треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема косинусов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема синусов:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь правильного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина средней линии трапеции:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь квадрата через длину его стороны:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о касательной и секущей:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о двух секущих:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство центральных углов и хорд:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Свойство центральных углов и секущих:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Сумма углов n-угольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Центральный угол правильного n-угольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь правильного n-угольника:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина окружности:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина дуги окружности:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь круга:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь кругового сегмента:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение неравенства методом интервалов

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Главная диагональ куба:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объём кругового цилиндра:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объем кругового конуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина образующей прямого кругового конуса:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Объём шара:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Координаты

Длина отрезка на координатной оси:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина отрезка на координатной плоскости:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Таблица умножения

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Таблица квадратов двухзначных чисел

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Все формулы по неравенствам и уравнениямВсе формулы по неравенствам и уравнениям

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Все формулы по неравенствам и уравнениям

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Неравенства
  • Линейные неравенства

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

≥ больше или равно,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

  • Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

  • Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

  • Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Все формулы по неравенствам и уравнениям

НеравенствоГрафическое решениеФорма записи ответа
x cx ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ cx ∈ ( − ∞ ; c ]
x > cx ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c

Алгоритм решения линейного неравенства

  1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

  1. Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
  • Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .
  • Если a 0 , то знак неравенства меняется на противоположный , неравенство приобретает вид x ≥ b a .
  1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

  1. x – любое число
  2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
  3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

  1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .
  1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

  1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x .

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

  1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

  1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя .
  1. Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя .

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

  1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые .

Если знак неравенства строгий ,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые .

Если знак неравенства нестрогий ,
при нанесении на ось x нули числителя жирные .

  1. Расставить знаки на интервалах.
  1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

  1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
  1. Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

  1. Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .

  1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

  1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

  1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

  1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

  1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

  1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

  1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

  1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

  1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
  1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

  1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

  1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

  1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

  1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

  1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x .
  1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x .
  1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x .
  1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

  1. Решаем первое неравенство системы.

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

  1. Решаем второе неравенство системы.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

  1. Наносим оба решения на ось x .
  1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

  1. Решаем первое неравенство системы.

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

  1. Решаем второе неравенство системы.

3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

  1. Наносим оба решения на ось x .
  1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

  1. Решаем первое неравенство системы.

Графическая интерпретация решения:

  1. Решаем второе неравенство системы

2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Графическая интерпретация решения:

  1. Наносим оба решения на ось x .
  1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

  1. Решаем первое неравенство системы.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

  1. Решаем второе неравенство системы

Решаем методом интервалов.

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 — два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

  1. Наносим оба решения на ось x .
  1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Поделиться или сохранить к себе: