Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Видео:Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Задача №9

Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом p в положительном направлении оси x.

Поскольку в данном случае потенциальная энергия частицы равна нулю U(x) = 0, то уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения. (14)

Решение данного уравнения будем искать методом разделения переменных, т.е. представим Y в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, а другая – только от времени t.

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения. (15)

Подставляя (15) в (14) получим

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, (16)

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения.

Т.к. обе части уравнения (16) являются функциями независимых переменных, то равенство правой и левой его частей возможно лишь тогда, когда они равны одной и той же константе. Из сравнения уравнения (16) со стационарным уравнением Шредингера можно видеть, что этой константой является E. Тогда

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияВременная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Общие решения данных дифференциальных уравнений должны иметь следующий вид (в этом нетрудно убедиться их непосредственной подстановкой):

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, где Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения;

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, где Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения.

Тогда для частицы, движущейся в положительном направлении вдоль оси х, искомое решение уравнения (1) будет иметь вид

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения. (17)

Данное решение будет конечным при Е > 0, причем Е в этом случае может быть любым. Волна, описываемая уравнением (17), имеет вид дебройлевской.

Плотность вероятности местоположения частицы Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения. Это означает равновероятность нахождения частицы в любой точке пространства (оси х). Данный вывод хорошо согласуется с соотношением неопределенностей: при Dpx = 0 Dx ® ¥, т.е. частица «размазана» по всему пространству.

Видео:Уравнение ШрёдингераСкачать

Уравнение Шрёдингера

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.1)

где Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения– оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

в которой Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияи Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнениязаменены операторами импульса Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияx, Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияy, Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияz и координаты Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

х → Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения= х, y → Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения= y, z → Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения= z,

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

где Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения– гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения,t) = ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения)θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияне зависит от времени, тогда уравнение Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияψ = iћψ принимает вид θВременная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияψ = iћψθ или

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

θ(t) = exp(−iEt/ћ), Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) = Eψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) и Ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения,t) = ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения)exp(−iEt/ћ).

Уравнение Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) = Eψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияили Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения):

−(ћ 2 /2m)Δψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) + U(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения)ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) = Eψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения) = Eψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения).(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения,t) = ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения)exp(−iEt/ћ)(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.5)

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения
Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx,(4.7)

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Аsin kL = 0.(4.8)

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияn = 1, 2, 3, …(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

En = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияn = 1, 2, …
Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Одномерный гармонический осциллятор:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияEn = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ),(4.15)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)(4.16)
Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияYlm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)
Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения
(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r0 = ћ 2 /mee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

Решения уравнения

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и Lz являются решением уравнений

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения2 Ylm(θ,φ) = L 2 Ylm(θ,φ) и Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияzYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0s-состояние
l = 1p-состояние
l = 2d-состояние
l = 3f-состояние
l = 4g-состояние
l = 5h-состояние
и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияпри квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияпо отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияи квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияи орбитальным квантовым числом l:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения2 = ћ 2 s(s + 1)(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияна любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

szћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число sz − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина sz совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения sz = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияявляется векторной суммой орбитального Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияи спинового Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнениямоментов количества движения.

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения= Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения+ Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения.

Квадрат полного момента имеет значение:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияи Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения, может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияна выделенную ось Jz также принимает дискретные значения:

Число значений проекции Jz равно 2j + 1. Если для Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияи Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияопределены единственные значения проекций на ось z lz и sz, то jz также определена однозначно: jz = lz + sz.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

nРадиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, jПолный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения2 = ћ 2 j(j + 1).
L, lОрбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
mМагнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, sСпиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
szКвантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или πПространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения→ — Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения(зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
IИзоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

  • Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
  • Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
  • Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
  • Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

  • Кулоновский потенциал U = Q/r,
  • Прямоугольная потенциальная яма Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения
  • Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
  • Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

где U0, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, jz, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения→ —Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d5/2?

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>n = |1, 1 /2: 3 /2>, |l,s:j>p = |1, 1 /2: 3 /2>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>1 = |1, 1 /2: 3 /2> и |l,s:j>2 = |1, 1 /2: 3 /2>?

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; jz = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; jz = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию Jz. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияэлектронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /2L, x = 2 /3L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /3L, 2 /3L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L 2 ?
Ответ: Lz = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L 2 ?

Видео:Лекция №4 "Волновая функция. Уравнение Шредингера" (Гавриков А.В.)Скачать

Лекция №4 "Волновая функция. Уравнение Шредингера" (Гавриков А.В.)

Уравнения Шрёдингера (временное и стационарное). Стационарные состояния. Квантование энергии

Основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики было предложено австрийским физиком Э. Шрёдингером в 1926 г. Как и уравнения движения Ньютона в классической механике, уравнение Шрёдингера постулируется. Следствия из уравнения Шрёдингера подтверждены экспериментально для атомных, молекулярных и ядерных явлений.

Уравнение Шрёдингера описывает изменение во времени состояния квантового объекта, характеризуемого волновой функцией. Если известна волновая функция W в начальный момент времени, то, решая уравнение Шрёдингера, можно найти V в любой последующий момент времени t.

Запишем уравнение Шрёдингера для частицы массой т, движущейся со скоростью, много меньшей скорости света в вакууме (и 2 д 2 д 2

где/—мнимая единица (/’ = — 1); A = V ——уН—уН—у —операторЛа-

пласа; 4*(x,y,z,t) — временная волновая функция частицы, которая зависит от координат и времени. Уравнение (26.12) содержит производную от функции Ч* по времени и называется временным (нестационарным) уравнением Шрёдингера. В релятивистской области (v

с) уравнение Шрё- дингера заменяется более сложным релятивистским уравнением Дирака.

Стационарными состояниями называют состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не изменяются с течением времени. В частности, не изменяется со временем плотность вероятности |W(r,f)[ . Стационарные решения уравнения Шрёдингера имеют смысл для тех задач, в которых силовое поле потенциально и, следовательно, потенциальная энергия U не зависит от времени: U = U(х,у,г) •

В стационарных состояниях состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени Ч* с циклической частотой со. При этом Ч’-функция определяется полной энергией частицы:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

где функция ф(г) не зависит от времени, а выражение для частоты со следует из соотношения, связывающего полную энергию Е частицы (в случае стационарного поля Е — const) и частоту со дебройлевской волны (26.1).

При таком виде Ч’-функции плотность вероятности Р остается постоянной:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Для нахождения невременной волновой функции ф(г) в стационарных состояниях подставим выражение (26.13) в уравнение Шрёдингера (26.12). Произведем дифференцирование выражения (26.13) по времени:

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Тогда из уравнения (26.12) с учетом выражения (26.13) имеем Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияРазделим правую и левую части уравнения на e

lEt,h и получим Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравненияТаким образом, выведено уравнение Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

которое называют стационарным уравнением Шрёдингера и записывают в виде

Временная часть уравнения шредингера имеет вид eti найти решение уравнения

Это уравнение играет основную роль в атомной физике.

Отметим, что потенциальная энергия U(r) здесь задается классически, т.е. как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

Квантование энергии. Учтем, что физический смысл имеют лишь такие решения уравнения (26.15), когда невременная волновая функция ф(г) и ее первые производные по координатам удовлетворяют стандартным условиям (см. подтему 26.4). Эти условия являются требованиями, накладываемыми на искомое решение дифференциального уравнения. Решения уравнения Шрёдингера (26.15), удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е, называемых собственными значениями энергии. Функции ф , являющиеся решениями уравнения (26.15) при этих значениях энергии, есть собственные функции, принадлежащие собственным значениям Е.

Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (сплошном) спектре энергии, во втором — о ее дискретном спектре.

Уравнение Шрёдингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами. Оно удовлетворяет принципу соответствия Бора (см. подтему 26.9) и в предельном случае, когда длина волны де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, позволяет описать движение частиц по законам классической механики.

Релятивистское обобщение ф-функции в квантовой механике было осуществлено П. Дираком для электрона в 1928 г. Основное уравнение релятивистской квантовой механики — уравнение Дирака — обобщает уравнение Шрёдингера и широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.

📺 Видео

Рубцов А. Н. - Введение в квантовую физику - Волновая функция и уравнение ШредингераСкачать

Рубцов А. Н.  -  Введение в квантовую физику  - Волновая функция и уравнение Шредингера

Урок 32. Уравнение ШрёдингераСкачать

Урок 32. Уравнение Шрёдингера

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший выводСкачать

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший вывод

Урок 455. Уравнение ШрёдингераСкачать

Урок 455. Уравнение Шрёдингера

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.Скачать

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.

Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

Уравнение Шредингера Стационарные состоянияСкачать

Уравнение Шредингера  Стационарные состояния

Воронина Е. Н. - Атомная физика. Семинары - Решение уравнения Шредингера для потенциальной ямыСкачать

Воронина Е. Н. - Атомная физика. Семинары - Решение уравнения Шредингера для потенциальной ямы

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"Скачать

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"

Структура материи 6: уравнение Шрёдингера. Зачем нужна квантовая механика – Виталий Бейлин | НаучпопСкачать

Структура материи 6: уравнение Шрёдингера. Зачем нужна квантовая механика – Виталий Бейлин | Научпоп

Ацюковский: Уравнения Шрёдингера - уравнение колебаний материальной точкиСкачать

Ацюковский: Уравнения Шрёдингера - уравнение колебаний материальной точки

Петров С.В. - Квантовая механика - 7. Особенности решения уравнения ШредингераСкачать

Петров С.В. - Квантовая механика - 7. Особенности решения уравнения Шредингера

Урок 459. Обзор квантовой теории атома водородаСкачать

Урок 459. Обзор квантовой теории атома водорода

Свешников К.А. - Квантовая теория.Часть 1.Лекции - 8. Свойства и следствия уравнения ШредингераСкачать

Свешников К.А. - Квантовая теория.Часть 1.Лекции - 8. Свойства и следствия уравнения Шредингера

Физика Лекция 8 Уравнение ШредингераСкачать

Физика  Лекция 8  Уравнение Шредингера

Корректный вывод уравнения Шрёдингера и его физический смысл: Липовка А.А. - Глобальная волнаСкачать

Корректный вывод уравнения Шрёдингера и его физический смысл: Липовка А.А. - Глобальная волна

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: