Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений

Видео:Интегральные уравнения с вырожденным ядромСкачать

Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Существование решений линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Интегральные уравнения ВольтерраСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Аблабеков Б.С., Артыков А.Ж.

В работе исследован вопрос о существовании решений многоточечных краевых задач для линейного возмущенного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра. Предлагается метод решения линейной многоточечной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения , основанный на теоремах Фредгольма. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи.

Видео:Спектральный анализ вольтерровых интегро-дифференциальных уравненийСкачать

Спектральный анализ вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Аблабеков Б.С., Артыков А.Ж.

Видео:Решить интегральное уравнениеСкачать

Решить интегральное уравнение

EXISTENCE OF SOLUTIONS OF LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF VOLTERRA TYPE

We have studied the question of the existence of solutions of multipoint boundary value problems for linear perturbed Volterra integro-differential equation. A method for solving a linear multi-point boundary value problem for integro-differential equations , based on theorems Fredgolma. Obtained necessary and sufficient conditions for the solvability of the problem.

Видео:26.10.2021 || Исследование вольтерровых интегро-дифференциальных урав-ий в гильбертовом пространствеСкачать

26.10.2021 || Исследование вольтерровых интегро-дифференциальных урав-ий в гильбертовом пространстве

Текст научной работы на тему «Существование решений линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра»

д-р физ.-мат. наук, профессор, Кыргызский государственный технический университет

им. И. Раззакова, г. Бишкек, Киргизия

канд. физ.-мат. наук, доцент, Ошский государственный технический университет

им. М.М. Адышева, г. Ош, Киргизия

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

Аннотация. В работе исследован вопрос о существовании решений многоточечных краевых задач для линейного возмущенного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра. Предлагается метод решения линейной многоточечной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения, основанный на теоремах Фредгольма. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, уравнения Вольтерра, существования решения.

B.S. Ablabekov, Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov, Bishkek, Kyrgyzstan

A.G. Artikov, Osh State Technological University named academic M.M. Adyshev, Osh, Kyrgyzstan

EXISTENCE OF SOLUTIONS OF LINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF VOLTERRA TYPE

Abstract. We have studied the question of the existence of solutions of multipoint boundary value problems for linear perturbed Volterra integro-differential equation. A method for solving a linear multi-point boundary value problem for integro-differential equations, based on theorems Fredgolma. Obtained necessary and sufficient conditions for the solvability of the problem.

Keywords: integro-differential equations, equation Volterra, existence of solutions.

История разработки теории интегро-дифференциальных уравнений началась с работ Бурбаки в 1903 г. В 1934 г. были опубликованы работы А.И. Некрасова [1] по решению интегро-дифференциальных уравнений. Затем идеи этой работы развивались В.В. Васильевым [5; 6], Я.В. Быковым [4] и другими.

Вопросы существования и единственности решения рассматривались в работах Б.М. Галаева [7], А.И. Егорова [8], О. Женхена [9], Г.А. Шишкина [10] и др.

В данной работе построения ведутся в терминах операторного решения в [3], как это делается и в теории дифференциальных уравнений, где все построения ведутся в терминах фундаментальной матрицы решений.

Рассмотрим многоточечную краевую задачу для системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра:

— = A(t)x + j K(t, s)x(s)ds + f(t) + eA, (t) x(t) , (1)

XMix(ti) = b, t e [0,1], (2)

где A(t), A(t),K (t,s) — nxn -мерные матрицы, f (t) — n-мерный вектор-столбец, x = col(x1(t)),x2(t). xn(t), причём все эти функции — A(t), A (t),K(t,s),f(t) — предполагаются непрерывными в соответствующих областях определения Mi — (mxn) — матрицы, b- (mxn) — вектор-константа из m-мерного вещественного E-вкладов пространства Rm,E — малый параметр.

Отметим, что случай т ф п для интегро-дифференциальных уравнений ранее не изучался. Предположим, что у порождающей краевой задачи, получающейся из (1), (2), при £=0

X M,x(f,) = b t е [0,1], (4)

не существует решений произвольных неоднородностей f(t),p.

Возникает вопрос: можно ли с помощью линейных возмущений сделать краевую задачу (3), (4) разрешимой, чтобы краевая задача (1), (2) имела решение при любых f(t) и в. Наряду с неоднородной краевой задачей (3), (4) рассмотрим краевую задачу

— = A(t )x + J K (t, s)x(s)ds, (5)

Определение. Краевая задача (3), (4), для которой соответствующая ей линейная однородная краевая задача (5), (6) имеет (не имеет) нетривиальное решение, называется критической (некритической).

Для того чтобы ответить на эти вопросы, решение поставленной задачи будем искать в виде ряда:

x(t,e) = XteJxj (t), (7)

где xJ(t) — удовлетворяет краевому условию

Подставляем ряд (7) в краевую задачу (1), (2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях £. Следовательно, при е-1 для x-1(t) получим однородную краевую задачу:

—1 = A(t)x-1 + JK(t,s)x-1(s)ds, XM,x-1(t,) = 0. (8)

Рассмотрим критический случай. Когда однородная краевая задача (5), (6) имеет нетривиальные решения, т.е. rang M=r. По предположениям, однородная краевая задача (8) имеет r-параметрическое семейство решений x-1(t, С-1). Константа С-1 будет определена на следующем шаге из условия разрешимости задачи для x0(t). При £0 приходим для x0(t) к краевой задаче:

—0- = A(t )x0 + J K (t, s )x0 (s)ds + A (t )x-1 (t) + f (t), X Мл (ti) = p. (9)

dt 0 i =1 Тогда по теореме 2 [5] критерий разрешимости краевой задачи (9) имеет следующий вид:

p- X Mi J F(ti, s)(A1 (s)x-1 (s, С-1) + f (s))ds

Откуда получаем алгебраическую систему относительно С-1:

p- X Mi J F(ti ,s)f (s)ds

где D = 0M (X Mi J F(t, ,s)A,(s)Fr (s,0)ds), F(t,s) — операторное решение в смысле Быкова [4],

M = XMiF(t,0), 0M — левая-0 — собственная матрица для M в смысле [1; 2], Фг(t,0) — опера-

торное решение системы (8).

Для разрешимости системы (11) при произвольных f(t) и в необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие:

Если дополнительно потребовать rangD = r ^ 0D = 0, то система (11) единственным образом разрешима относительно С_1:

b- X Mt J F(t| ,s)f (s )ds

где й+ — псевдо-обратная матрица.

Тогда краевая задача (9) имеет /—параметрическое семейство решений в виде

где С0 — г-мерный вектор констант, который будет однозначно определён на следующем шаге из условия разрешимости краевой задачи для х1(?). При е1 имеем

-1 = А« )Х1 + | К (*, 5 )Х1 (5 )с5 + А (* )Х0 (*), £ М/Х1 (*/) = 0.

Тогда критерий разрешимости задачи (13) имеет следующий вид:

£ М11 Ф(/, ,5)Д(5 )Х0(8,С0^8

Из условия (необходимого и достаточного) разрешимости этой краевой задачи получаем алгебраическую систему относительно С0:

X Mi J F(ti, s)A, (s) (J F(t|, t)A (t)F(t, 0)D+ 0M(b — X Mi J F(t,, J)f(J)dJ) + f(s))ds

_ i=1 0 0 i=1 0 _

Для разрешимости последней необходимо и достаточно выполнить условие:

Если потребовать rank D=r, то система относительно С0 имеет единственное решение.

Продолжая этот процесс методом математической индукции, доказываем, что при выполнении условия (14) коэффициенты xj(t) ряда (7) однозначно определяются из соответствующих краевых задач. Сходимости ряда (7) также доказываются традиционными способами мажорирования.

Итак, справедлива ТЕОРЕМА.

Пусть краевая задача (1), (2) удовлетворяет указанным выше условиям так, что имеет место критический случай, и соответствующая порождающая краевая задача (3), (4) при произвольных неоднородностях f(t), b не имеет решений.

Тогда если выполнены условия rank D=r, 0D0M = 0, то для краевой задачи (1), (2) существует при произвольных f(t), b единственное решение, представимое в виде сходящегося при e е [0,e.] ряда (7).

Анализируя теорему, замечаем, что краевая задача вида (1), (2) принадлежит к классу задач нефредгольмового типа. Действительно, в случае rank M=r, когда необходимо следует, что размерность m-краевых условий больше размерности n-системы интегро-дифференциальных уравнений (m>n), краевая задача (1), (2) может иметь единственное решение, однако не при любых f(t), ß, а только при тех, для которых выполняется (10). С другой стороны, если rank M=r=m Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

ВОЛЬТЕ́РРА

  • В книжной версии

    Том 5. Москва, 2006, стр. 689

    Скопировать библиографическую ссылку:

    • Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений
    • Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений
    • Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений
    • Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений
    • Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений

    ВОЛЬТЕ́РРА (Volterra) Ви­то (3.5.1860, Ан­ко­на – 11.10.1940, Рим), итал. ма­те­ма­тик, иностр. чл.-корр. Пе­терб. АН (1908), чл. Нац. ака­де­мии деи Лин­чеи (1899), чл. Лон­дон­ско­го ко­ро­лев­ско­го об-ва (1910). По окон­ча­нии ун-та в Пи­зе (1882) проф. в Ту­ри­не и Ри­ме (1900–31). Осн. тру­ды по диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ям с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, ин­те­граль­ным (урав­не­ния Воль­тер­ры) и ин­тег­ро-диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ям, функ­цио­наль­но­му ана­ли­зу и тео­рии уп­ру­го­сти, а так­же при­ме­не­ни­ям ма­те­ма­ти­ки в био­ло­гии.

    Видео:Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Операционный метод для случаев разностного ядраСкачать

    Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Операционный метод для случаев разностного ядра

    ВОЛЬТЕРРА, ВИТО

    ВОЛЬТЕРРА, ВИТО (Volterra, Vito) (1860–1940), итальянский математик. Родился в Анконе 3 мая 1860. В 11 лет начал самостоятельно изучать математику, а в 13 лет, прочитав роман Жюля Верна Путешествие на Луну, пытался вычислить траекторию снаряда в гравитационном поле Земли и Луны. Стал препаратором физической лаборатории Флорентийского университета. Поступил во Флорентийский университет, прослушал курс лекций по естественным наукам в Пизанском университете. В 1880 поступил в Высшую нормальную школу в Пизе. В 1882 получил степень доктора по физике за работу по гидродинамике, в которой переоткрыл закон, сформулированный ранее Стоксом. В 1883 Вольтерра стал профессором Пизанского, в 1893 – Туринского, в 1900 – Римского университетов.

    Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений

    Работы Вольтерра посвящены дифференциальным уравнениям в частных производных, теории упругости, интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и теории множеств. В частности, Вольтерра построил примеры непрерывных функций, производные которых существуют, но не удовлетворяют критерию интегрируемости ни на каком интервале. В книге Лефшеца по топологии, вышедшей в 1924 в Париже, приведены фотографии моделей, сконструированных Вольтерра для того, чтобы показать, как два многообразия, определенные различными способами, могут быть гомеоморфны друг другу.

    Во время Первой мировой войны Вольтерра работал над усовершенствованием дирижаблей, первым предложил использовать для их наполнения гелий вместо водорода, участвовал в организации производства этого газа в Италии. Был удостоен высшей военной награды – Железного креста.

    Вольтерра в теория функционалов интегральных и интегро дифференциальных уравнений

    Вольтерра состоял иностранным членом многих научных обществ (в частности, Лондонского королевского общества), был почетным доктором Кембриджского, Оксфордского, Эдинбургского университетов. После того как Вольтерра, отказавшись присягать на верность фашистскому правительству, покинул Римский университет, где преподавал более 30 лет, и отказался от членства во всех Академиях наук Италии, папа Пий ХI назначил его членом Академии в Ватикане. С 1932 ученый жил в основном в Париже. Умер Вольтерра в Риме 11 октября 1940.

    Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев, 1979
    Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М., 1982

    📺 Видео

    18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

    Уравнения Вольтерра - 1Скачать

    Уравнения Вольтерра - 1

    2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

    2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

    7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

    7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

    Уравнения Фредгольма - 1Скачать

    Уравнения Фредгольма - 1

    Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

    Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия
    Поделиться или сохранить к себе: