Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Видео:Механические модели волн. 1.Скачать

Механические модели волн. 1.

Лекция №9. Механические волны

6.1. Распространение колебаний в упругой среде

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях и газообразных средах.

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом телеУпругая волна называется поперечной , если колебания частиц среды происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела.

На рис. 6.1.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси 0х . График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны также равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концентрических сфер.

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания частицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S будет зависеть только от координаты х и времени t

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x/υ . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

где А − амплитуда волны; ϕ0 − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t-x/υ)+ϕ0=const. Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы, и называется фазовой скоростью .

При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Придадим уравнению плоской волны симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину $$k = $$ , которая называется волновым числом , которое можно представить в виде Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону A=A0e −βx . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

6.3. Волновое уравнение

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

где r − радиус-вектор, точки волны; r =k× n − волновой вектор ; n − единичный вектор нормали к волновой поверхности

Волновой вектор − это вектор, равный по модулю волновому числу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности называется.

Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом телеТогда уравнение (6.3.2) примет вид

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Сложив производные по координатам, и с учетом производной по времени, получим

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

6.4. Скорость распространения волн в различных средах

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси 0х . Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S0 и высотой dx . Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение S , то смещение основания с координатой x+dx будет S+dS . Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформацию ε=∂S/∂x (деформации растяжения). Наличие деформации свидетельствует о существовании нормального напряжения σ , которое при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

где Е − модуль Юнга среды.

Из зависимости смещения от координаты x видно, что относительная деформация ∂S/∂x , а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движения. Масса этого объема Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

где ρ − плотность недеформированной среды.

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилиндра одинаковым и равным

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F1 и F2 , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент времени. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

После разложения силы F2 в ряд, получим

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

и результирующая F1 , F2 сил, действующая на элемент объема равна

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Используя основное уравнение динамики поступательного движения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для плоской волны (6.3.6) $$=$$ , получим Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

где Е − модуль Юнга.

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продольных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Видео:🌊 Продольные и поперечные волны ⚛ ФизикаСкачать

🌊 Продольные и поперечные волны ⚛ Физика

Продольные и поперечные волны

Отвлечемся от внутреннего строения вещества для того, чтобы исследовать законы распространения механических волн. Вещество будем рассматривать как сплошную среду, непрерывно изменяющуюся в пространстве.

Частицей, изучая колебания, будем называть малый элемент объема среды, размеры которого много больше, чем расстояния между молекулами, при этом частицу среды принимаем за материальную точку.

Рассматривая механические волны, будем считать вещества, в которых они распространяются, упругими, внутренние силы, возникающие в них при малых деформациях, пропорциональными величине деформации.

При возбуждении колебания, в каком- либо месте упругой среды, в результате взаимодействия частиц среды, оно распространяется в веществе от точки к точке с некоторой конечной скоростью. Процесс распространения колебаний называют волной. Важным свойством волнового процесса является то, что в нем не происходит переноса массы, каждая частица выполняет колебания около положения равновесия. В волне от частицы к частице передается состояние колебательного движения и энергия колебаний. Волна переносит энергию.

В зависимости от направления колебаний частицы вещества по отношению к направлению распространения волны, волны делят на продольные и поперечные.

Видео:Волновое движение. Механические волны. 9 класс.Скачать

Волновое движение. Механические волны.  9 класс.

Продольные волны

Если частицы совершают колебания в направлении распространения волны, то такую волну называют продольной.

Продольные волны распространяются в веществе, в котором возникают силы упругости, при деформации растяжения и сжатия в веществе в любом агрегатном состоянии.

Так, например, волны звука, распространяющиеся в воздухе, относят к продольным волнам. Продольные волны, имеющие частоты от 17 до 20

000 Гц называют звуковыми. Скорость распространения акустических волн зависит от свойств среды и ее температуры.

При распространении продольной волны в среде возникают чередования сгущений и разрежений частиц, перемещающихся в направлении распространения волны со скоростью $v$. Все время существования волны, элементы среды выполняют колебания у своих положений равновесия, при этом разные частицы совершают колебания со сдвигом по фазе. В твердых телах скорость распространения продольных волн больше, чем скорость поперечных волн.

Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях равна:

где $K$ — модуль объемной упругости вещества; $rho =const$ — плотность среды. В газах формула (1) справедлива, если избыточное давление много меньше, чем равновесное давление невозмущенного газа.

Скорость распространения продольных волн в тонком стержне, вызванных его продольным растяжением и сжатием равна:

где $E$ — модуль Юнга вещества стержня.

Видео:Распространение колебаний в среде. Волны | Физика 9 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Распространение колебаний в среде. Волны | Физика 9 класс #28 | Инфоурок

Поперечные волны

Поперечной волной называют такую волну, в которой колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.

Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Следовательно, в жидкостях и газах механических поперечных волн не наблюдают. Поперечные механические волны возникают в твердых телах. Примером таких волн являются волны, которые распространяются в натянутых струнах.

Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде можно вычислить как:

где $G$ — модуль сдвига среды; $rho $ — плотность вещества.

Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.

Приведенная здесь скорость распространения упругих волн называется фазовой скоростью.

Видео:Волны. Основные понятия. Решение задач.Задача 1Скачать

Волны. Основные понятия. Решение задач.Задача 1

Уравнение продольной и поперечной волны

Основной задачей при изучении волн является установление закона изменения во времени и пространстве физических величин, которые однозначно характеризуют движение волны. При рассмотрении упругих волн такой величиной служит, например, смещение ($s$) частиц среды от их положений равновесия. Функция $s$ в зависимости от координат пространства и времени называется уравнением волны.

Самым простым видом волн являются гармонические волны. В таких волнах параметры $s$ для всех частиц среды, которые охвачены волной, совершают гармонические колебания с одинаковыми частотами. Для реализации данного волнового процесса необходимо, чтобы источник гармонических волн совершал незатухающие гармонические колебания.

Уравнение одномерной волны записывают как:

$k$ — волновое число; $lambda $ — длина волны; $A$ — амплитуда волны в точке (если среда не поглощает энергию, то амплитуда колебаний совпадает с амплитудой колебаний источника волн); $left[omega t-kx+varphi right]$ — фазой волны; $omega $- циклическая частота колебаний; $varphi $ — начальная фаза.

Видео:Продольные и поперечные волныСкачать

Продольные и поперечные волны

Примеры задач с решением

Задание: Поперечная волна распространяется по натянутой струне со скоростью $v=2frac$, период колебаний точек струны равен T= 1 с, амплитуда колебаний составляет 0,05 м. Какими будут смещение и скорость малого элемента струны, который находится на расстоянии $x_1=1 $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c?

Решение: Основой для решения задачи служит уравнение одномерной волны:

где $s$ — смещение точки струны, совершающей колебания; $x$ — расстояние от источника волны до рассматриваемой точки; $k=frac$ — волновое число; $v$ — скорость распространения волны.

Циклическую частоту $omega $ найдем (при T=1 c) как:

Тогда волновое число при $v=2frac$ равно:

Уравнение для нашей волны в учетом данных задачи приобретет вид:

Смещение точки струны, находящейся на расстоянии $x_1=1 $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c будет равно:

Скорость рассматриваемой точки струны найдем как:

Ответ: $s_1=-0,05$ м; $frac

left(t_1, x_1right)$=0$frac$

Задание: Плоская одномерная волна распространяется в упругой среде. Изобразите на графике направление скорости частиц среды в точках $s=0, $при t=0 для продольной и поперечной волн.

Решение: Уравнением одномерной плоской волны служит выражение:

При $t=0 c$ из выражения (2.1) получаем:

В продольной волне частицы смещаются вдоль направления скорости движения волны (рис.1).

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

В продольной волне частицы совершают колебания поперек направления скорости движения волны рис.2.

Видео:Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)Скачать

Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)

Волновое уравнение упругой волны и его решение

Выведем дифференциальное волновое уравнение, решением которого является уравнение плоской упругой волны. Прежде всего запишем закон Гука (3.15) для деформированного тела. Ранее мы формул провали этот закон для пружинки, к которой приложена сила. Деформированное тело можно представить как набор пружинок, каждая из которых в каждый момент времени взаимодействует с соседними.

Выделим элемент упругого стержня длиной Ах. Закрепив левую часть элемента, правую сместим на величину As вдоль оси х (рис. 7.1). По закону

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Гука сила упругости Fyiip пропорциональна деформации: Fyiip = -kAs. Коэффициент упругости k зависит от материала стержня, его длины и площади сечения.

Введем понятия нормального напряжения а = — (S — площадь сечения

элемента) и относительной деформации г = —

(для элемента малой

длины). Запишем закон Гука для упругого тела через эти понятия: aS = kzAx, или

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

где Е = -у- — модуль Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Это несложно показать, рассматривая упругое тело как набор последовательно и параллельно соединенных пружинок. Модуль Юнга меняется в широких пределах. Так, для стали этот коэффициент равен 2-10 11 Н/м 2 , а для резины в сто тысяч раз меньше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся вдоль упругого стержня. По-прежнему будем рассматривать элемент стержня площадью сечения S и длиной Ах в невозмущенном состоянии. Применим второй закон Ньютона для описания колебаний этого элемента как целого (рис. 7.2):

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Здесь в левой части имеем произведение массы элемента р5Ах на вторую производную смещения центра масс элемента; р — плотность стержня. В правой части — алгебраическая сумма внешних сил, действующих на элемент с торцов.

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Разделим обе части уравнения на SAx и, устремив Ах том определения производной

0, получим с уче-

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Наконец, воспользовавшись определением относительной деформации е, получим волновое уравнение Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Убедимся, что уравнение плоской волны (7.7) с произвольной начальной фазой s(x, t) = Acos(u)t — kx + а) является его решением:

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Подставив эти выражения в уравнение (7.13), получим для фазовой скорости упругой продольной волны соотношение

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

В результате волновое уравнение (7.13) можно записать в виде

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Можно геометрически показать, что для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении в трехмерном пространстве, волновое уравнение имеет вид

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

или в сокращенном виде с помощью скалярного оператора Лапласа

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Волновое уравнение продольных упругих волн в твердом теле

Волны вида s(x, t) = Acos(oj( — kx + a), все точки которых перемещаются с одной и той же скоростью, принято называть бегущими. Временной график такой волны представляет синусоиду, равномерно перемещающуюся со временем вдоль оси х.

📽️ Видео

74. Упругие волныСкачать

74. Упругие волны

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волныСкачать

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волны

Урок 95 (осн). Механические волны. ЗвукСкачать

Урок 95 (осн). Механические волны. Звук

Распространение волн в упругих средах. Звуковые волны | Физика 11 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Распространение волн в упругих средах. Звуковые волны | Физика 11 класс #18 | Инфоурок

Распространение колебаний в упругих средах Продольные и поперечные волны convertedСкачать

Распространение колебаний в упругих средах  Продольные и поперечные волны converted

Упругие механические волны. 1 часть. 11 класс.Скачать

Упругие механические волны. 1 часть. 11 класс.

Волновое движениеСкачать

Волновое движение

Вывод волнового уравненияСкачать

Вывод волнового уравнения

Колебания и волны. Лекция 13. ВОЛНЫ В УПРУГОМ ИЗОТРОПНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕСкачать

Колебания и волны. Лекция 13. ВОЛНЫ В УПРУГОМ ИЗОТРОПНОМ ТВЕРДОМ  ТЕЛЕ

Общая физика | Л23: Элементы теории волн. Волновое уравнение. Поперечные и продольные колебанияСкачать

Общая физика | Л23: Элементы теории волн. Волновое уравнение. Поперечные и продольные колебания

5.6 Механические волны. Виды волнСкачать

5.6 Механические волны. Виды волн

Лекция №14 "Волны в упругих средах" (Попов П.В.)Скачать

Лекция №14 "Волны в упругих средах" (Попов П.В.)
Поделиться или сохранить к себе: