Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Видео:Физика 9 класс (Урок№12 - Волновые явления. Длина волны. Скорость распространения волн.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№12 - Волновые явления. Длина волны. Скорость распространения волн.)

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

2018-05-31 Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с
Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $chi = 60 cos (1800t — 5,3x)$, где $chi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.

$xi = 60 cos (1800 t 5 cdot 3 x)$

$xi = a cos ( omega t — kx)$, где $a = 60 cdot 10^ м$
$omega = 1800 $ в секунду и $k = 5,3$ на метр

и $k = frac$, поэтому $v = frac = 340 м/с$

Таким образом, амплитуда колебаний скорости

$left ( frac right )_ $ или $v_ = a omega = 0,11 м / с$ (1)

и искомое отношение амплитуды колебаний скорости к скорости распространения волны

(в) Относительная деформация $= frac = ak sin ( omega t — kx) $

Таким образом, относительная амплитуда деформации

$= left ( frac right )_ = ak = (60 cdot 10^ cdot 5,3) м = 3,2 cdot 10^ м$ (2)

Видео:Якута А. А. - Механика - Волновое уравнение. Механические волны. Скорость распространения волнСкачать

Якута А. А. - Механика - Волновое уравнение. Механические волны. Скорость распространения волн

Формула скорости волны

Фронт волны (волновая поверхность) — это геометрическое место точек среды, для которых в некоторый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение.

Скоростью волны называют скорость, с которой движется фронт волны.

Видео:Урок 371. Фазовая скорость волны. Скорость поперечной волны в струнеСкачать

Урок 371. Фазовая скорость волны. Скорость поперечной волны в струне

Формула фазовой скорости волны

Рассмотрим одномерный случай для гармонической волны. Уравнение волновой поверхности при это запишем как:

[Ф_s=omega t-kx+varphi left(1right),]

где$_s$ — фаза волны; $k=frac$ — волновое число; $lambda $ — длина волны; $omega $ — циклическая частота; $varphi $ — начальная фаза. Уравнению (1) в каждый момент времени соответствует только одна точка оси X координата которой, равна:

Разным значениям фазы волны $Ф_s$ соответствуют разные волновые поверхности, каждая из которых в одномерной волне превращается в точку. Из формулы (2) видно, что волновые поверхности перемещаются в среде со скоростью:

где $T$ — период колебаний точек в волне.

Если волны гармонические, то скорость движения волновой поверхности равна скорости распространения волны. Скорость, которую определяет выражение (3) является фазовой скоростью.

Фазовая скорость гармонической волны совпадает со скорость распространения энергии волны.

Скорость волны зависит от вещества, в котором распространяется волна и типа волны. Скорость волны — это не то же самое, что скорость колебания частиц среды в волне.

Видео:10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"

Формула для вычисления фазовой скорости распространения продольных волн

Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях может быть вычислена как:

где $K$ — модуль объемной упругости вещества; $rho =const$ — плотность среды. В газах формула (4) выполняется, если избыточное давление много меньше, равновесного давление газа в невозмущенном состоянии.

Для нахождения скорости распространения продольных волн в газе применяют выражение:

где $gamma $ — показатель адиабаты; $p$ — давление газа.

Продольные механические волны могут распространяться в твердых телах, их фазовая скорость равна:

где $E$ — модуль Юнга вещества стержня.

Видео:74. Упругие волныСкачать

74. Упругие волны

Формула для фазовой скорости распространения поперечных волн

Поперечные механические волны способны распространяться только в твердых телах. Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде при этом можно найти как:

где $G$ — модуль сдвига среды; $rho $ — плотность вещества.

Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Формула для групповой скорости волн

Кроме фазовой скорости для описания распространения диспергирующих волн применяют понятие групповой скорости. При этом фазовая скорость может зависеть от частоты, при этом в веществе распространяются волны сложного негармонического характера, тогда с групповую скорость проще использовать, как характеристику скорости распространения волн.

Групповой скоростью называют скорость перемещения группы (цуга) волн, которые создают в каждый момент времени, локализованный в пространстве, волновой пакет. Любая реальная волна представляет собой суперпозицию гармонических волн. Скорость, с которой такая волна распространяется в веществе, имеющем дисперсию, равна фазовой скорости накрадывающихся волн. Распространение волны определяют перемещением энергии колебаний, которую переносит группа вол от источника.

Групповая скорость ($u$) связана с фазовой скоростью ($v$) формулой:

Если дисперсия отсутствует, то $frac=0$, тогда фазовая и групповая скорости равны и не зависят от длины волны.

Видео:Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

Примеры задач с решением

Задание. За время равное $t=20$ c волне совершается $N=$100 колебаний, при этом расстояние между соседними максимумами волны составляет 1 м. Какова скорость распространения волны?

Решение. Сделаем рисунок.

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления фазовой скорости волны вида:

Найдем период колебаний как время одного полного колебания:

Используя формулу (1.2) скорость будем вычислять, применяя формулу:

Вычислим искомую скорость:

Ответ. $v=5frac$

Задание. Уравнение плоской волны, которая распространяется вдоль положительного направления оси X, имеет вид: $xi left(x,tright)=2<cos left[omega left(t-fracright)right] >left(мright).$ Частота колебаний $nu =450$Гц, длина волны $lambda =0,8 $м. Какова скорость распространения волны, какой будет максимальная скорость колебания частиц среды?

Решение. Фазовую скорость движения волны найдем как:

где период — величина обратная частоте колебаний:

Вычислим фазовую скорость:

[v=450cdot 0,8=360 left(fracright).]

Скорость колебания частиц равна:

Максимальное значение скорости колебаний частиц в волне из (2.3) равно:

Циклическую частоту найдем как:

Вычислим максимальную скорость колебаний частиц:

Видео:Длина волны. Скорость распространения волн | Физика 9 класс #29 | ИнфоурокСкачать

Длина волны. Скорость распространения волн | Физика 9 класс #29 | Инфоурок

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды (Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с) и токи (j = 0):

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Величины Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с— электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Постоянные Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м схарактеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м сэлектромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с.

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

где Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с— введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Получаем в итоге:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

и вводя показатель преломления среды

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где vфазовая скорость света в среде:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Полученные волновые уравнения для Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м созначают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

В отсутствие среды (при Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Далее, ни у Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с, ни у Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м снет компонент параллельных оси х:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м сбыл направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Отсюда следует, что вектор Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м снаправлен вдоль оси z:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

а также связь амплитуд колебаний полей:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Подставим эти выражения в выражение для фазы Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с, чтобы получить фазу Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м сволны в движущейся системе отсчета:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Это выражение можно записать как

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

где Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с— циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Для электромагнитной волны в вакууме

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м сс осью х:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с, то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Если Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с, то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E0 вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H0 и вектора магнитной индукции B0 в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м сплощадка получила от волны энергию Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с. Тогда переданный площадке импульс равен

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

На площадку действует со стороны волны сила

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Давление Р, оказываемое волной, равно

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м спопадет энергия из объема Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м си

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Волновое уравнение имеет вид найти фазовую скорость волны в м с

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

🎥 Видео

Билет №36 "Волновод"Скачать

Билет №36 "Волновод"

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******Скачать

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******

4.1. Общее решение волнового уравненияСкачать

4.1. Общее решение волнового уравнения

Лекция 2 ВолныСкачать

Лекция 2 Волны

Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 9: "Волны"Скачать

Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 9: "Волны"

Колебания и волны | волны | волновое уравнение | 3Скачать

Колебания и волны | волны | волновое уравнение | 3

Волновое уравнение для волн в упругой среде.Скачать

Волновое уравнение для волн в упругой среде.

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волныСкачать

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волны

Лекция 101-3. Падающие и отраженные волны. Фазовая скоростьСкачать

Лекция 101-3. Падающие и отраженные волны. Фазовая скорость

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

4.1 Задача Коши для волнового уравнения IСкачать

4.1 Задача Коши для волнового уравнения I

76. Скорость акустических волн в различных средахСкачать

76. Скорость акустических волн в различных средах
Поделиться или сохранить к себе: