Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Видео:Якута А. А. - Механика - Волновое уравнение. Механические волны. Скорость распространения волнСкачать

Якута А. А. - Механика - Волновое уравнение. Механические волны. Скорость распространения волн

Уравнение волны и фазовая скорость волны

Уравнение упругой волны — это зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при похождении в ней рассматриваемой волны. При распространении в упругой среде механических возмущений, возбуждаемых источником волн, происходит перенос энергии, поэтому такие волны называют бегущими волнами.

Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение, называется волновой поверхностью. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ в непоглощающей среде, можно записать в виде:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Здесь s — величина, характеризующая колебательное движение среды; и — скорость распространения волны. Колебания в некоторой точке отличаются от колебаний в начале координат (О) сдвигом по времени

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ, имеет вид:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Здесь А — амплитуда волны; со = —— циклическая частота волны,

Т — период колебаний; ср0 — начальная фаза колебаний в точках координатной плоскости х = 0; (р = ( + ср0) — фаза плоской волны.

Расстояние X = х>Т, на которое распространяется синусоидальная волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны. Длина волны X равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, для которых разность фаз колебаний равна 2л.

Еще одна характеристика синусоидальной волны — волновое число к, которое численно равно количеству длин волн, укладывающихся на отрезке длиной 2л.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Уравнение плоской синусоидальной волны (4.3.2) можно также записать в виде:

Волновым вектором называется вектор к, по модулю равный волновому числу к и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке. Лучом называется линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распространения волны, т. е. с направлением переноса энергии волной.

Волновой вектор плоской синусоидальной волны не зависит от выбора точки. Для плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, выражение (4.3.4) можно записать в виде:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Здесь к — ki, кх = кг, где г — радиус-вектор, определяющий положение равновесия колеблющейся точки среды.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер; такие волны возбуждаются в однородной изотропной среде уединенным точечным источником. Центр этих сфер называется центром волны.

Для синусоидальной сферической волны запишем:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

где А(г) — амплитуда волны; ср0 — начальная фаза колебаний в центре волны.

Можно доказать, что при распространении сферической волны в непоглощающей среде амплитуда волны удовлетворяет соотношению:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

где а0 физическая величина, численно равна амплитуде волны на расстоянии г = 1 м от центра волны.

В линейной однородной, изотропной, непоглощающей среде волны описываются дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением и имеет вид:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Скорость v распространения синусоидальной волны называется фазовой скоростью. Эта скорость равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы синусоидальной волны.

Например, для случая плоской синусоидальной волны, задавая фиксированное значение фазы волны, cotкх + ср0 = const, найдем производную от координаты по времени, т. е. скорость:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Можно получить, что скорость продольной волны в однородной газообразной среде определяется выражением:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

где р — плотность газа (р = const), К — модуль объемной упругости газа.

Скорость поперечных упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Здесь G — модуль сдвига среды, р — плотность среды.

Распространение продольных волн в тонком стержне связано с его продольным растяжением и сжатием. Для скорости продольных волн в тонком стержне можно получить, используя модуль Юнга Е для материала стержня,

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Скорость распространения поперечных волн в натянутой тонкой нити (в струне) зависит от натяжения струны и определяется выражением:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

где F — сила натяжения струны; р — плотность материала струны; Sceч — площадь ее поперечного сечения.

Заметим, что упругие свойства и плотность твердых тел и жидкостей зависят от химического состава и мало изменяются при различных давлениях и температурах.

Приближенно можно считать, что скорость упругих волн в твердых телах и в жидкостях постоянна.

Модуль объемной упругости К газа зависит от вида термодинамического процесса его объемной деформации, поэтому скорость упругих волн в идеальном газе зависит от частоты волн (дисперсия волн). Колебания частиц среды при распространении в ней упругих волн совершаются с той же частотой, что и колебания источника волн.

Будем считать, что при очень быстрой деформации, т. е. при достаточно большой частоте колебаний частиц среды (газа), реализуется адиабатический процесс.

Тогда можно получить выражение для скорости упругих волн в идеальном газе при адиабатическом процессе.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

где у — показатель адиабаты; R — универсальная газовая постоянная, Т — температура, М- молярная масса.

Из опытов скорость слышимых звуковых волн в газах слабо зависит от частоты и может определиться выражением (4.3.9), если плотность газов не велика.

Видео:Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

Волновое уравнение и его решения

Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (25.19) в отсутствие электрических зарядов и токов:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Эта система допускает существование электромагнитного поля в виде электромагнитной волны. Покажем это. Сначала вычислим ротор от обеих частей третьего уравнения Максвелла:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Из математики известно, что где оператор Лапласа V 2 дается выражением

Из первого уравнения Максвелла следует, что

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Подставив все это в формулу (25.37), с учетом четвертого уравнения Максвелла получим

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Такое уравнение называется волновым, и оно может описывать плоскую бегущую волну, распространяющуюся в произвольном направлении в трехмерном пространстве и похожую на рассмотренную в механике упругую волну в упругой среде:

Здесь v — фазовая скорость волны; s — смещение от положения равновесия частиц упругой среды. Сравнение последних уравнений позволяет сразу определить фазовую скорость волны:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Можно показать, что решение волнового уравнения для плоской волны в трехмерном пространстве имеет вид

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Заметим, что фазовая скорость определяется лишь скоростью перемещения косинусоиды (25.44). Можно показать, что скорость переноса энергии и информации волной определяется групповой скоростью, которая равна

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Подчеркнем, что каждая из компонент вектора ? описывается волновым уравнением (25.41).

В одномерном случае волновое уравнение (25.42) сводится к виду

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Несложно убедиться, что решением его является выражение

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Это решение представляет собой волну, бегущую вдоль оси х.

Заметим, что фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света с. Поэтому из формулы для фазовой скорости (25.43) следует связь трех физических констант

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (25.36) в отсутствие электрических зарядов и токов симметрична относительно электрического и магнитного полей. Поэтому очевидно, что вычисление ротора от обеих частей четвертого уравнения Максвелла и последующие преобразования дадут для магнитного поля уравнение, аналогичное (25.41):

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Оно имеет следующее решение по аналогии с решением (25.44):

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Оказывается, что и магнитное поле волны имеет волновой характер, причем фазовая скорость волны магнитного поля совпадает с фазовой скоростью волны электрического ноля. Если исследовать решения уравнений непосредственно, то окапывается, что плоские волны электрического и магнитного полей специальным образом ориентированы друг относительно друга, имеют одинаковую начальную фазу колебаний и согласованные между собой амплитуды. Частоты и волновые векторы у этих волн тоже одинаковы. Электромагнитные волны поперечны: векторы ? иЯ лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны. При этом векторы ? и Я взаимно перпендикулярны. Из уравнений Максвелла следует, что электрическое и магнитное поля в любой момент времени в любой точке связаны соотношением

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Вычислим теперь интенсивность электромагнитной волны 1К — усредненную за период энергию, переносимую волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Эту важную энергетическую характеристику волны можно получить с учетом формул (25.34) и (25.48) усреднением модуля вектора Умова — Пойнтинга:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Здесь используется то, что среднее значение квадрата косинуса по периоду равно 1/2. Амплитуду волны Л0 характеризуют амплитудами напряженности как электрического (?0), так и магнитного (Я0) полей. При этом амплитуды напряженности электрического и магнитного полей в соответствии с формулой (25.52) линейно связаны друг с другом. Отсюда следует вывод, что энергетическая характеристика волны пропорциональна квадрату амплитуды волны:

Видео:Урок 371. Фазовая скорость волны. Скорость поперечной волны в струнеСкачать

Урок 371. Фазовая скорость волны. Скорость поперечной волны в струне

Физика волновых процессов

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

1. Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны. Цилиндрические и сферические волны.

2. Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Глубина проникновения. Поток мощности. Скорость волны. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой.

3. Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Нормальная и аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение.

4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные условия Леонтовича.

5. Плоские электромагнитные волны в анизотропных средах. Продольное и поперечное распространение в намагниченной плазме. Обыкновенная и необыкновенная волны. Эффекты Фарадея и Коттона-Мутона.

6. Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.

7. Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.

8. Приближение геометрической оптики. Уравнение эйконала. Световые лучи. Область применимости лучевого приближения. Принцип Ферма. Рефракция.

Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны. Цилиндрические и сферические волны.

Зададим некоторое возмущение, распространяющееся в пространстве, в виде U=U(at–bs), где t – текущее время; s – пространственная координата, вдоль которой распространяется возмущение, и продифференцируем 2 раза по t и 2 раза по s:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна(1) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна(2)

сравнивая (1) и (2) и учитывая, что Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где v – скорость распространения возмущения, убеждаемся, что U(s,t) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка гиперболического типа (уравнению Даламбера), которое принято называть волновым уравнением:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна (1-я каноническая форма).

Перейдя к характеристическим переменным Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, можем записать уравнение в виде Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна(2-я каноническая форма). Эти уравнения описывают распространение возмущения в пространстве в виде свободных волн. Интегрируя последнее уравнение, находим решение в виде суперпозиции двух волн: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, первая из которых является уходящей, а вторая – приходящей. Волны, соответствующие решению однородного волнового уравнения, называются свободными волнами.

Здесь предполагается, что U изменяется только в одном направлении s, задаваемом единичным вектором m, тогда s = (mr) (r – радиус-вектор точки наблюдения). В некоторый момент времени t=to U() = const, если s = const. Т. к. (mr) = const – уравнение плоскости, то Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнапредставляет собой плоскую волну, бегущую в направлении m. Аргумент определяет фазу волны. Плоскость, на которой фаза постоянна (фазовый фронт, поверхность равных фаз) перемещается в пространстве со скоростью v (фазовая скорость).

Если Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, то функция U может быть представлена в виде интеграла Фурье Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна(образ). Подставив U(s,t) в волновое уравнение, видим что она будет решением, если ее образ F(s,) удовлетворяет уравнению Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

(приведенное волновое уравнение или уравнение Гельмгольца). Это уравнение описывает распространение гармонических свободных волн. Величина Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаопределяет пространственную периодичность функции F и называется волновым числом. Решение уравнения Гельмгольца Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнапредставляет суперпозицию двух гармонических волн c амплитудами A1, A2 и фазами (wt+jks), (wt+y+ks), бегущих навстречу друг другу. Расстояние, которое гармоническая волна пробегает за период колебаний Т, или расстояние между точками с одинаковой фазой колебаний называется длина волны l. Тогда k=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Пусть начальные фазы j и y равны нулю. При А2= 0 имеем уходящую бегущую гармоническую волну Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, а при А1=0 – приходящую бегущую гармоническую волну Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Если А1=А2=А, то Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. решение представляет собой синфазное гармоническое колебание, амплитуда которого имеет периодическую пространственную зависимость с периодичностью l/2. Такую ситуацию называют стоячая волна. Точки, в которых F(s) имеет максимум или минимум называют, соответственно, пучностями и узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны lст = l/2.

Если волна распространяется в направлении единичного вектора m, можем ввести вектор k = km (волновой вектор), тогда ks = (kr), и поверхность равных фаз ks = const определяется уравнением плоскости (kr) = const, нормальной к направлению распространения волны. Если k вещественный вектор, то А=const всюду. Такая волна называется однородной плоской волной.

Функция F удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и в том случае, если

k=k+ik но при условии, что |k|2 = k2 – вещественно, т. е. (kk) = 0, а |k|2–|k|2 = k2. В этом случае решение Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаописывает неоднородную плоскую гармоническую волну, у которой поверхность равных фаз и поверхность равных амплитуд – плоскости, ортогональные друг другу, а скорость меньше, чем у однородной волны с той же частотой и в той же среде.

Для произвольной зависимости от координат однородное волновое уравнение имеет следующий вид Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Чтобы плоская волна распространялась в направлении оси х (в прямоугольной системе координат), должно выполняться Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. источником плоской волны является бесконечная плоскость y0z.

В цилиндрических координатах Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Если возмущение исходит от бесконечного цилиндра, то Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, и волновое уравнение имеет вид Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. После несложных преобразований его можно привести к виду: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. При больших значениях r имеем Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Решением этого уравнения является Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаоткуда следует, что поверхность равных фаз – цилиндр, а амплитуда волны убывает пропорционально Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Такая волна называется цилиндрической.

В сферических координатах Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. При точечном источнике Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаволновое уравнение можно представить в виде: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Его решение – Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. В этом случае поверхность равных фаз – сфера, и амплитуда уходящей волны убывает как Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Такая волна называется сферической.

1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979.

2. Вайнштейн волны. — М.: Радио и связь, 1988.

Видео:Колебания и волны | волны | волновое уравнение | 3Скачать

Колебания и волны | волны | волновое уравнение | 3

Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Скорость волны. Глубина проникновения. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой. Поток мощности.

В средах с потерями (s ¹ 0) имеем: [ÑH] = iweE+sE = iw (e — is /w)E = iwВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаE, гдеВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна is /w = =e (1-itgd), tgd =s /we — тангенс угла электрических потерь. e = e0eотн,; m=m0mотн ;. (eотн=10-9/36p [Ф/м],

mотн= 4p10-7[Гн/м] ). Пусть в такой среде вдоль оси z распространяется плоская гармоническая волна, удовлетворяющая уравнениям: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где волновое число Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= w Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаоказывается комплексной величиной: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна=wВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= b — ia.. Из соотношения w 2m (1–itgd) = (b – ia)2, находим: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Решение для уходящей волны: Ex=E0 e–a ze–ib z, Hy=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаe–aze–ib z

Здесь: a – коэффициент затухания, bкоэффициент фазы, Zo – волновое сопротивление средыВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, ( 0£d/2

Таким образом, в поглощающей среде амплитуда уходящей волны убывает по экспоненциальному закону,

уменьшаясь в e раз на расстоянии d=1/a, которое называется глубина проникновения (скин-слой), длина волны l=2p/b и фазовая скорость vф=w /b уменьшаются по сравнению с непоглощающей средой, в среде с электрическими потерями Ну отстает по фазе от Еx на величину d /2 (в среде с магнитными потерями, когда комплексной величиной является m , Ну опережает Еx), поверхность равных фаз совпадает с поверхностью равных амплитуд. Для сред с tg d >>1 (металлы) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, d®p/2, v =Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, ZS= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаповерхностный импеданс металла. На границе с хорошо проводящей средой используются приближенные граничные условия: [En] = ZS[n[nH]] — граничные условия Леонтовича.

В среде с потерями поток мощности через единицу поверхности П=[EH*] становится комплексным.

Мгновенное значение Пz равно

Пz=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcos(w t-b z)cos(w t-b zd/2) = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна[cos2(wt-bz)cos(d/2) + 0.5sin2(w t-b z)sin(d/2)]. Первое слагаемое определяет пульсирующий поток, т. е. мощность, переносимую волной, второе – колеблющийся с удвоенной частотой поток мощности, среднее за период значение которого равно нулю (часть периода поток мощности направлен в обратную сторону). Скорость переноса энергии определяется отношением среднего за период потока мощности к средней плотности энергии vэ = Пср/Wср. В плоской свободной волне запас электрической энергии равен запасу магнитной энергии Wэ = Wм, следовательно Wср= 0,5 Re(Wэ+ Wм) = Re(|Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна|Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаeid +Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна) = |Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна|Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна(cos d+1)=|Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна|Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcos2 (d/2). Пср=0.5Re(Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаeid/2)= =Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcos d/2 . Таким образом, vэ = 1/Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcos (d/2), т. е. при наличии потерь скорость переноса энергии становится меньше.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

На рисунке показана временная зависимость вещественной (сплошная линия) и мнимой (пунктирная линия) частей вектора Пойнтинга

1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979.

2. Вайнштейн волны. — М.: Радио и связь, 1988

3. Матвеев .- М.: Высш. школа, 1985.

Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости.

Нормальная и аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение.

Плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль z, имеет вид: E = Eoe– aze– i (bz wt), где в общем случае a = a(w), b = b(w). Для плоской волны должно быть: wdt bdz = 0, откуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнафазовая скорость (скорость перемещения фазового фронта). Если b(w), то vф(w), причем может быть vф > c. Означает ли это, что можно передать информацию со скоростью, превышающей скорость света с ?

Рассмотрим распространение колебания более сложной формы (сигнал). Пусть в точке z = 0 имеется сигнал f(t) с амплитудным спектром Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Каждой составляющей спектра соответствует плоская гармоническая волна, следовательно в точке z > 0 имеем: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Если b=b(w), можем перейти к пространственному спектру, т. е. dw®db, тогда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Выделим вблизи максимума огибающей спектра с частотой wо участок спектра 2Dw = w1 w2. Пусть Dw vф (vф

ω) – аномальная. Если Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнасовпадают по направлению – дисперсия положительная, Если Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаимеют противоположные направления – дисперсия отрицательная. Отрицательной аномальной дисперсии быть не может. Если vгр имеет физический смысл, то это скорость переноса энергии.

Дисперсионное уравнение. В произвольных линейных средах без искажений может распространяться только плоские гармонические волны, удовлетворяющие уравнению Â(p) = 0, где Â – линейный однородный оператор (для сред, подчиняющихся волновому уравнению Â =Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна). Чтобы гармоническая волна сохраняла форму при любой частоте, необходимо, чтобы в числе решений было решение вида: p = eiw t ± i (kr). Пусть Â переводит р в некоторую функцию q: Â( p) = q. Если qº0, то p – свободная волна в данной среде. Продифференцируем по t, учитывая линейность и однородность Â: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где комплексная амплитуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнане зависит от t, но может зависеть от w. Подставив p и q в уравнение Â( p) = q, получим уравнение, не зависящее от t, и содержащее w как параметр. Если продифференцировать по координатам, получим: Ñq=ÑÂ(p)=Â(±ikp)= ±ikÂ(p)= ±ikq, т. е. Ñq=±ikq, следовательно, можно представить q в виде: q=f(w,k)eiw t ± i(kr), где f(w,k) кроме w и k может зависеть только от коэффициентов оператора. При произвольных w и k p = eiw t ± i (kr) не свободная волна, т. к. не является решением уравнения Â( p) = 0. Чтобы определить, какие свободные волны могут распространяться (имеют право на существование) в данной среде, необходимо выбрать такие w и k, чтобы Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Это уравнение называют дисперсионным уравнением. Каждому значению w соответствует решение этого уравнения относительно k, и каждому k – относительно w. Для изотропной среды это уравнение содержит только |k| и его можно привести к виду Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнадисперсионное уравнение для данной среды.

а) Дисперсионное уравнение, соответствующее волновому уравнению, есть k2 – w2 ¤ c2, где с – const. В этом случае vф = с, ® дисперсии нет.

б) Для волн на поверхности воды потенциал скорости удовлетворяет уравнениям Ñ2j = 0, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Ищем волну в виде: j = еiw ti k x – k z. Получаем дисперсионное уравнение: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Отсюда vф= g /w, т. е. vф зависит от w, следовательно, существует нормальная дисперсия (vф

в) Уравнение поперечного смещения стержня при малых колебаниях имеет вид: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где G – коэффициент изгибной жесткости. Ищем решение в виде: еiw ti k x, получаем дисперсионное уравнение Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, откуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. имеется аномальная дисперсия (vф

1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979.

2. Исакович акустика. — М.: Наука, 1978.

4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные условия Леонтовича.

Пусть плоская волна из среды с параметрами e1 m1 падает на плоскую границу раздела со средой, имеющей параметры e2 m2. При этом часть мощности отражается, часть проходит во вторую среду, вследствие чего возникают отраженная и преломленная волны. Плоскость, содержащая нормаль к границе раздела и волновой вектор (или вектор Пойнтинга) падающей волны называется плоскость падения. Чтобы определить соотношения между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн, достаточно рассмотреть два частных случая для линейно поляризованных волн: нормально поляризованная волна (вектор Е нормален к плоскости падения) и параллельно поляризованная волна (вектор Е лежит в плоскости падения).

1. Нормально поляризованная волна

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаq – угол падения, q¢– угол отражения,

y – угол преломления.

Поле падающей волны:

Н1=( yosinq + zocosq)H1, H1= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаexp[-ik1(-ycosq+zsinq)],

компоненты поля отраженной волны:

Е¢1х=Еотрexp[-ik1(ycosq¢+zsinq¢)], H¢1= –Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаexp[-k1(ycosq¢+zsinq¢)].

компоненты поля преломленной волны:

Е2х=Епрexp[-ik2(ycosy+zsiny)], H2=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаexp[-ik2(ycosy+zsiny)].

На границе раздела (у = 0) должны выполняться граничные условия: Еt1 = Еt2, Нt1 = Нt2. Для нормально поляризованной волны имеем: Еt1 = Епадexp(-ik1zsinq) + Еотрexp(-ik1zsinq¢), Еt2= Епрexp(-ik2zsiny). Чтобы условие Епадexp(-ik1zsinq) + Еотрexp(-ik1zsinq¢) = Епрexp(-ik2zsiny) выполнялось при любых z, должно выполняться k1sinq = k1sinq¢= k2siny, откуда следует: sinq = sinq¢ и k1sinq = k2sinyзаконы Снелиуса.

Учитывая Нt1= (Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна)cosq и Ht2= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcosy, запишем граничные условия в виде:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаоткуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,

где R^ и T^ – коэффициенты Френеля для нормально поляризованной волны. (R^ – коэффициент отражения, T^ – коэффициент прохождения). Согласно закону сохранения энергии R2^ + T2^= 1.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,

Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:

2. Параллельно поляризованная волна

Поле падающей волны:

компоненты поля отраженной волны:

компоненты поля преломленной волны:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаН2х=Нпрexp[-ik2(ycosy+zsiny)], Е2= НпрZ02exp[-ik2(ycosy+zsiny)].

На границе раздела (у=0) для любых z должно выполняться

Нпадexp(-ik1zsinq) + Нотрexp(-ik1zsinq¢) = Нпрexp(-ik2zsiny),

Откуда следуют законы Снелиуса: sinq = sinq¢ и k1sinq = k2siny.

Учитывая Еt1= (НпадZ01+ НотрZ01)cosq и Еt2= НпрZ02cosy, запишем граничные условия для параллельно поляризованной волны в виде:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаоткуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,

где Rêê и Têê – коэффициенты Френеля для параллельно поляризованной волны. (Rêê – коэффициент отражения, Têê – коэффициент прохождения). R2êê + T2êê= 1.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,

Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:

Для диэлектриков m1= m2= m0, и коэффициенты Френеля можно записать в виде:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,

где Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнапоказатели преломления первой и второй среды, соответственно.

Анализ этих выражений показывает, что для параллельно поляризованной волны существует угол падения qБ = p/2 – y, при котором R||=0. Этот угол, определяемый из соотношения tgqБ=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, называется угол Брюстера или угол полной поляризации, т. к. при падении под углом qБ на границу раздела волны с произвольной поляризацией отраженная волна становится нормально поляризованной, т. е. имеет линейную поляризацию.

Из закона Снелиуса sin y = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаследует, что в случае n1>n2 (волна надает из более плотной среды) существует критический угол падения qкр, при котором siny =1. Если q >qкр, то siny >1 (это возможно, если y мнимая величина), и cosy = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнатакже становится мнимой величиной. В этом случае поле во второй среде имеет характер неоднородной плоской волны (боковой волны), скорость которой меньше скорости света, амплитуда в направлении нормали к границе раздела убывает по закону Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. вдали от границы раздела поле отсутствует, энергия переносится вдоль границы. Это явление называется полным внутренним отражением.

При падении волны из свободного пространства на границу раздела с хорошо проводящей средой, у которой tgd>>1, siny Þ 1, т. е. тангенциальные компоненты поля на поверхности проводника непрерывно переходят в поперечные компоненты поля уходящей вглубь проводника волны. Соотношение между ними можно записать в виде Еt=Zos[Htyo], где Zos – поверхностный импеданс проводящей среды, yo – орт нормали к границе раздела. Это импедансное граничное условие называют приближенным граничным условием Леонтовича.

1. , Зернов поля и волны. — М.: Сов. радио, 1971.

2. , Никольская и распространение радиоволн. М. Наука, 1989

Волны в анизотропных средах

Для изотропных сред, свойства которых не зависят от направления, B = mH и D = eE, где e и m — скалярные величины, следовательно: Bx= mHx, By=mHy, Bz=mHz, Dx= eEx, Dy=eEy, Dy=eEy. Существуют анизотропные среды, которые в разных направлениях имеют различные свойства, т. е. связь между проекциями векторов B и H или D и E описывается соотношениями

Bx= mxxHx+ mxyHy + mxzHz, By= myxHx+ myyHy + myzHz, Bz= mzxHx+ mzyHy + mzzHz, .

Dx= exxEx+ exyEy + exzEz, Dy= eyxEx+ eyyEy + eyzEz, Dz= ezxEx+ ezyEy + ezzEz, .

Формально эту связь принято представлять в виде Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаявляются тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости, соответственно:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

В природе неизвестны вещества, у которых одновременно e и m имеют тензорный характер, поэтому в дальнейшем будем рассматривать вещества, обладающие или диэлектрической или магнитной анизотропией.

Типичными представителями анизотропных сред являются намагниченные плазма и феррит.

Плазма — электрически нейтральный газ, в котором значительная часть атомов или молекул ионизирована

Под действием электрического поля на каждый электрон действует сила Fk= –Eeo (кулоновское взаимодействие). Если движущийся со скоростью v электрон находится в постоянном магнитном поле Н=, на него действует сила Лоренца Fл = –eomo[vH=], вследствие чего электрон получает также вращательное движение. В этом случае уравнение движения электрона имеет вид: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где r смещение электрона относительно исходного положения, mо и eо – масса и заряд электрона. При смещении электрон приобретает электрический момент p = reo. Пусть H== zoH= и E=Eeiwt. Решение ищем в виде r = reiwt. Если N – концентрация электронов, то электрический момент единицы объема (вектор электрической поляризации) Ре=Nreo. Тогда уравнение движения для единицы объема (без учета столкновения электронов): –w2moPe=NeoEiweomoH=[Pezo]. Обозначив wm= moeoH=/mo – частота гиромагнитного резонанса (частота вращения электрона) и wo = eo2N ¤ mo eo – критическая частота плазмы, имеем Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Учитывая, что D=Pe+eoE, получаем: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. При изменении направления Нz меняется знак b.

Продольное распространение плоской волны в намагниченной плазме

При продольном распространении (вдоль H=) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Решение ищем в виде плоских гармонических волн: Ez=Hz=0, Ex, y=E0x, y eikz, Hx, y=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаeikz. Подставляя в уравнения Максвелла [ÑH]=iwВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаE, [ÑE]=–iwmH, имеем систему уравнений:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаikВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= –iw(exE0x–ibE0y) , kE0y= wmВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,. из второй пары уравнений k=wm /Z01, k=wm /Z02.

ikВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= iw(ibE0x+exE0x), kE0x= wm Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаПодставляя в первую пару, получаем

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна(k2–w2exmo)E0x= –iw2bmoE0y откуда следует Е0y= iE0x и дисперсионное уравнение:

(k2–w2exmo)E0y= iw2bmoE0x, (k2–w2exmo) = ±w2bmo или k1,2 = wВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Z01,2=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна.

Таким образом, получили два решения, следовательно в намагниченной плазме одновременно распространяются две волны с волновыми числами k1=w Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи k2=wВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, имеющие разные волновые сопротивления Z01 = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи Z02 =Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаEx1=E01cos(wt–k1z) волна круговой Ex2=E02cos(wt–k2z) волна правого вращения,

Ey1=E01sin(wt–k1z) поляризации левого Ex2=E02sin(wt–k2z) при ex=b, k2 Þ 0, поэтому ее

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаHx1= – Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаsin(wt–k1z) вращения H02= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаsin(wt–k2z) называют необыкновенная волна.

Hy1= –Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcos(wt–k1z) k1=ko Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаHy2= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаcos(wt–k2z) k2=koВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Необыкновенная волна при w Þ wm исчезает вследствие резонансного поглощения (явление гиромагнитного резонанса). Полное поле можно представить в виде: Еx=Ex1+Ex2=2Eocos[0.5(k1–k2)z]cos[wt–0.5(k1–k2)z], Еy=Ey1+Ey2=2Eosin[0.5(k1–k2)z]cos[wt–0.5(k1–k2)z], в каждый момент времени Еx и Еy синфазны, угол наклона вектора Е относительно оси x: q = arctg(Ex/Ey) = 0.5(k1–k2)z, т. е. поле имеет линейную поляризацию, но плоскость поляризации медленно вращается при распространении волны. Это явление называется эффект Фарадея. Угол, на который поворачивается плоскость поляризации при прохождении волной единицы длины q! = 0.5(k1–k2), называется постоянная Фарадея. Среды, в которых наблюдается эффект Фарадея, называются гиротропными (вращающими). Этот эффект невзаимный, т. к. при изменении направления Н= меняет знак b. Поскольку Z01 ¹Z02, поле Н имеет эллиптическую поляризацию.

Поперечное распространение в намагниченной плазме

При поперечном распространении (вдоль оси х) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Тогда уравнения Максвелла имеют вид:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна0 = iw(exEx–ibEy) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= iwmoHy Ищем решение в виде Ex, y= E0x, yeikx. Подставляя в уравнения

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= iw(ibEx+exEy) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= iwmoHz Максвелла, получаем две системы уравнений, описывающих

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= iwezEz Hx = 0 поведение двух волн:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаkH0y = wezE0z дисперсионное уравнение для этой волны: k2 = w2ezmo или Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Эта

kE0z = wmoH0y волна «не чувствует» постоянного магнитного поля и называется обыкновенной. Волновое сопротивление обыкновенной волны Zоб=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, фазовая скорость – vоб = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаkE0y = wmoH0z Эта волна кроме поперечной имеет продольную составляющую вектора Е, причем

kH0z = w(ibE0x+ exE0y) E0x находится в квадратуре с E0y, т. е. вектор Ен вращается в плоскости x0y.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаexE0x = ibE0y Исключая E0x и H0z, получаем дисперсионное уравнение для этой волны: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, откуда kн = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Вследствие таких особенностей эта волна называется необыкновенной. Волновое сопротивление для необыкновенной волны Zн=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, фазовая скорость – vн = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаПри отсутствии потерь вектор Пойнтинга имеет вещественную продольную составляющую и мнимую поперечную. Учитывая Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнавидим, что при w Þwm, ex Þ – ∞, vн Þ 0, т. е. эта волна исчезает (поперечный магнитный резонанс). При поперечном распространении (для w ¹ wm) полное поле H = y0Hоб + z0Hн, E = z0Eоб + Eн. Поскольку Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи kн ¹ kоб, при поперечном распространении волны периодически меняется вид поляризации. Это явление называется эффект Коттона — — Мутона.

Аналогичные явления имеют место и при распространении волн в намагниченном феррите – веществе, обладающем магнитными свойствами ферромагнетиков (mотн=5¸10000) и электрическими свойствами диэлектриков (eотн=5¸20). В магнитном поле магнитная ось атома прецессирует вокруг направления поля Н=, вследствие чего магнитная проницаемость феррита становится тензором

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, a = mоВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Для получения выражений, описывающих поведение волн в феррите, достаточно воспользоваться принципом двойственности, т. е. в выражениях для плазмы сделать взаимную замену: H Û E, e Û m.

Литература. , Зернов поля и волны. — М.: Сов. радио, 1971.

Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.

Излучение – процесс преобразования энергии источника в энергию свободных волн. Математически задача сводится к решению неоднородного волнового уравнения. В случае электромагнитных волн удобнее использовать векторные потенциалы: Ñ2Ae+ k2Ae = –j ст e, Ñ2Am+ k2Am = –j ст m, где Ae и Am– электрический и магнитный векторные потенциалы, j ст e и j ст m– объемные плотности электрических и магнитных сторонних токов, заданных в объеме Va. Используя метод функции Грина, запишем решение в виде:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, (1)

где Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна– координаты точки наблюдения, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна– координаты точки источника, r– расстояние от точки источника до точки наблюдения. Для вычисления компонент поля используются соотношения:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаЕсли rо и r¢ радиус-векторы точки наблюдения и точки источника, то Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где a –угол между rо и r¢. При rо > r¢, разложив в ряд Тейлора, имеем: r = rо– r¢cosa + (r¢2sin2a)/2ro+( r¢3cosasin2a)/2 r2о+ … .

В зависимости от расстояния до точки наблюдения используются разные приближения:

а) при r >> r¢, дальняя зона (зона Фраунгофера) в показателе экспоненты используется первое приближение: r @ rо– r¢cosa. Минимальное значение rмин, (граница дальней зоны) начиная с которого можно пользоваться этим приближением, определяется из условия (r¢2sin2a)/2ro

выражение (1) имеет вид

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна.

При вычислении Е и Н по формулам (2) отбрасываются слагаемые, пропорциональные r–2 и r–3. Тогда Еq= – ik(ZоАqе+Аjм), Еj=–ik(ZоАjе+Аqм), Еr=0; Нj= Еq ¤ Zо, Нq= –Еj ¤ Zо, Нr=0; где Zо– волновое сопротивление среды;

Аq=Аxcosq cosj+Аycosq sinj +Аzsinq , Аj= –Аxsinj +Аycosj, Аr=Аxsinq cosj+Аysinq sinj + Аzcosq.

В общем случае поле в дальней зоне можно представить в виде: Е= ЕоВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаf(q,j)p(q,j)eiY(q,j). Таким образом, в дальней зоне а) поле поперечно; б) в окрестности точки наблюдения Еq=НjZо, Еj=НqZо, т. е. поле имеет характер плоской волны; в) в общем случае поле имеет эллиптическую поляризацию, которая определяется векторной функцией p(q,j) (поляризационной характеристикой); г) зависимость поля от расстояния Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. поле является суперпозицией сферических волн; д) угловое распределение в дальней зоне не зависит от r и определяется функцией f(q,j), которая называется амплитудная диаграмма направленности (зависимость амплитуды поля от направления в дальней зоне при фиксированном расстоянии). Форма диаграммы направленности (ДН) характеризуется направлением максимума,jо, шириной главного лепестка (на уровне половинной мощности) Dq0,5, Dj0,5 и уровнем боковых лепестков УБЛ (отношение амплитуд максимально бокового лепестка и главного); е) поток мощности Пr=(|Еq|2+|Еj|2)/2Zо, Im П=0; ж) форма поверхности равных фаз зависит от фазовой диаграммы направленности Y(q,j), и не всегда является сферой с центром в начале координат. Если поверхность равных фаз сфера, то ее центр называется фазовым центром излучателя.

При r l быстрее изменяется fc(q), поэтому рассмотрим зависимость множителя системы от скорости волны тока, определяемой значением b. Введем величину y=kcosq, имеющую смысл пространственной частоты (–¥ k, называется областью мнимых углов, т. к. при этом cosq>1. Видно, что уменьшение скорости волны тока приводит к смещению максимума ДН от нормали к оси излучателя. Если скорость волны тока меньше скорости света (b>k), большая часть энергии “излучается” в область мнимых углов, т. е. отсутствует в дальней зоне и находится вблизи излучателя.

Для синфазного излучателя Dq0,5=51оl / L, УБЛ=0.21.

Излучение волн плоским раскрывом (апертурой)

Пусть на прямоугольной площадке, расположенной в плоскости x,y задано распределение поверхностных токов Je, m(x¢, y¢). В дальней зоне Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где u = ksinqcosj, v = ksinqsinj, S = a×b – площадь раскрыва. Тогда Eq= –ik(ZoAeycosqsinj – Amxsinj) = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна,

Ej= –ik(ZoAeycosj– Amx cosqcosj)= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Если источником излучения

является поверхность с заданным на ней распределением электромагнитного поля, например раскрыв рупорной антенны, то согласно принципу эквивалентных токов Je=[Hn], Jm= – [En]. В этом случае Jmx= Eаy, Jey= – Hаx= – Eаy/Zф (здесь Zф= Eаy/Hаx – сопротивление фронта волны, возбуждающей раскрыв) и выражения для полей имеют вид:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Таким образом, излученное поле является суперпозицией сферических волн, имеет в общем случае эллиптическую поляризацию и диаграмма направленности излучателя может быть представлена в виде произведения множителя элемента на множитель системы: f(q, j) = fэ (q, j)fc(q, j), где fэ (q) = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнапри j = 0, и fэ (q) = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнапри j = 90о, т. е. при Zф @ Z0 ДН элемента излучающей поверхности имеет форму кардиоиды. Если Eаy(x¢,y¢) = Eа1y(x¢)×Eа2y(y¢), то множитель системы fc(q, j) = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, и при равномерном синфазном распределении поля в раскрыве fc(q, j) = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаЛитература

1. , , Грудинская и распространение радио­волн. — М.:Сов. радио,1979.

Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.

Плоские однородные волны – простейший тип волнового процесса. При наличии границ возникают неоднородные плоские волны, распространяющиеся вдоль этих границ, т. е. возникают плоские направляемые волны. Это делает возможным передачу энергии на большие расстояния с минимальными потерями. Варианты конструктивного исполнения направляющих систем (линий передачи) приведены на рисунке.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна

Будем считать эти системы продольно однородными (их свойства сохраняются в одном прямолинейном направлении, например, вдоль оси z). Свободные плоские гармонические волны, способные распространяться в направляющей системе, определяются из однородных уравнений Гельмгольца: Ñ2Е + k2E = 0, Ñ2H + k2H = 0. В отличие от плоской волны в неограниченном пространстве, в направляющих системах могут существовать неоднородные плоские волны, имеющие продольную составляющую поля Еz или Нz. Связь между продольными и поперечными составляющими поля определим, используя метод разделения переменных, т. е. полагая Е = Е^(x,y)×exp(±igz), H = H^(x,y)×exp(±igz). Здесь g – продольное волновое число, определяющее скорость распространения волны вдоль z. Для поперечных компонент поля имеем Ñ2Е^+ (k2– g2) E^= 0, Ñ2Н^+ (k2– g2) Н^= 0, где (k2– g2) = c2 – поперечное волновое число, k2 = w2em, e и m – параметры среды, заполняющей линию передачи. Используя координатную запись однородных уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд Е и Н, имеем:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВолновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаrot H = iweE Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна+ igHy = iweEx igEx+ Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна = iwmHy решая относительно Еx и Нy, а затем

rot E = –iwmH Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна + igEy = –iwmHx igHx + Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна= – iweEy относительно Еy и Нx, получаем систему уравнений, связывающих поперечные и продольные составляющие поля:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаполагая E = xoEx+ yoEy и H = xoHx+ yoHy ,

в векторной форме имеем:

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. о., для нахождения структуры поля достаточно решить Ñ2Еz+ c2 Ez = 0 и Ñ2Hz+ c2 Hz = 0. В зависимости от структуры поля направляемые волны делятся на

поперечныеТЕМ или Т волны (отсутствуют продольные составляющие поля),

электрические – ТМ или Е волны (имеется продольная составляющая электрического поля),

магнитные – ТЕ или Н волны (имеется продольная составляющая магнитного поля),

гибридные – ЕН волны (имеется продольные составляющие электрического и магнитного поля).

Критическая частота: для волн Е и Н типа из c2 = (k2– g2) следует, что Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаявляется вещественной величиной, если c £ k, в этом случае Е

exp(–igz), т. е. амплитуда волны, распространяющейся вдоль z остается постоянной и меняется только фаза. Если c > k, то g – мнимая величина, следовательно, постоянной остается фаза и по экспоненте убывает амплитуда. При g= 0 имеем: c = k = 2pfкр Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где fкр= c /2p Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнакритическая частота, которой соответствует критическая длина волны lкр=2p/c. Таким образом, длина волны в направляющей системе Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, фазовая скорость vф = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, и передача энергии по волноводным линиям (трубам) возможна только при f >fкр.

Для ТЕМ волн (Еz =0 и Нz = 0) c2= 0, следовательно, g = k и fкр= 0, т. е. передача энергии возможна на всех частотах, включая нулевую (постоянный ток).

Волновое сопротивление линий передачи определяется исходя из следующих соображений:

используя систему уравнений, связывающих продольные и поперечные составляющие поля, получаем

для Е(ТМ) волн (Нz=0): Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, откуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где Z0= Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна– волновое сопротивление среды, заполняющей линию передачи.

Для Н(ТЕ) волн (Еz=0): Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, откуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Для ТЕМ волн (Нz=Еz=0, g=k) имеем: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, откуда Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Поскольку ТЕМ волны могут существовать только в двухпроводных линиях, если расстояние между проводниками > 2(ÑA)( ÑL) ® koAn >>(ÑA) (т. к. |ÑL| = n), или |Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна| > Ñ2L ® 2-я производная связана с кривизной ПРФ. Для плоской кривой L=f(x) радиус кривизны

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, полагая Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, имеем Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, т. е. радиус кривизны волнового фронта должен быть>>l. С другой стороны, |Ñ2L|=|Ñ(ÑL)|=|Ñn|, т. е. Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, следовательно

изменение n на длине волны должно быть > Ñ2A – это условие связано с кривизной поверхности равных амплитуд rА и может быть записано в виде 2pnrA/l >>l/2pnA2, т. е. радиус кривизны ПРА, отнесенный к l, должен быть >> l. Чтобы пренебречь дифракционными явлениями размер фронта волны D должен быть >> l/n. Эти условия не выполняются в точках, где пересекаются лучи (фокус оптических систем); в средах с резкими неоднородностями; в мутных средах; при прохождении поверхностей с поглощающими экранами и т. д.

В неоднородной среде луч, соединяющий две точки р1 и р2, является кривой линией. Для каждой точки луча имеем: dL= (grad L×dr)=| grad L||dr|=k0n(r)dl, где dr направлен по лучу, dl – элемент длины пути. Изменение фазы вдоль луча равно Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Принцип Ферма утверждает, что интеграл вдоль луча имеет стационарное значение, т. е. первая вариация dL относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Учитывая, что dl/v = dt и n(r)=c/v(r), где dt – время прохождения пути dl со скоростью v, с – скорость света в вакууме, имеем Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна=Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где интеграл Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнадает время, затрачиваемое светом на прохождение пути от р1 до р2. Это позволяет сформулировать принцип Ферма следующим образом: лучом, соединяющим две точки является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое на его прохождение. Ферма в 1657г. сформулировал его следующим образом «Природа всегда следует наикратчайшему пути». Однако таких путей может быть много, например, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).

В однородной среде луч – прямая линия. При переходе границы раздела между двумя различными средами луч меняет направление. Соединим лучом точку р1(0,у1) в среде с показателем преломления n1 с точкой р2(а,у2) в среде с показателем преломления n2. Луч пересекает границу раздела в точке (х,0). Полное время распространения света от р1 до р2 равно t = Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Используя условие стационарности Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, получаем: Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Учитывая, что Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где q – угол между направлением луча и нормалью к границе раздела, имеем: n1sinq1 = n2sinq2 – закон преломления.

Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаВ плоскослоистой среде луч искривляется. Это явление называется рефракция. Радиус кривизны луча r для плоскослоистой среды определяется следующим образом: согласно рисунку r=ab/dq. Из закона преломления имеем: nsinq= =(n+dn)sin(q+dq) »nsinq +ncosq dq +sinq dh. Отсюда ncosq dq = = – sinqdh. Из подобия треугольников abc и Оab находим Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна. Таким образом, Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна.

Для нормального состояния атмосферы Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи радиус кривизны луча в радиодиапазоне rрад»25000км, в оптическом диапазоне – rоп»50000км. При расчете радиотрасс считается, что луч распространяется по прямой, q=90о, но радиус Земли принимается равным Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равна, где аз – радиус Земли, равный 6370 км. Для нормальной атмосферы Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаи аэкв= 8500 км, т. е. расстояние прямой видимости увеличивается приблизительно на 15%.

В зависимости от состояния атмосферы различают следующие типы рефракции:

а) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнаотрицательная (луч отклоняется от Земли), аэкв аз.

г) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнакритическая (луч параллелен поверхности Земли), аэквÞ ¥.

д) Волновое уравнение имеет вид 1 400 фазовая скорость волны равнасверхкритическая ( луч возвращается к Земле), аэкв

🔍 Видео

Длина волны. Скорость распространения волн | Физика 9 класс #29 | ИнфоурокСкачать

Длина волны. Скорость распространения волн | Физика 9 класс #29 | Инфоурок

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волныСкачать

Урок 370. Механические волны. Математическое описание бегущей волны

74. Упругие волныСкачать

74. Упругие волны

9 класс, 35 урок, Длина волны. Скорость распространения волнСкачать

9 класс, 35 урок, Длина волны. Скорость распространения волн

10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"Скачать

10й класс; Физика; "Уравнение плоской волны"

Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)Скачать

Физика 11 класс (Урок№2 - Механические волны.)

Физика 9 класс (Урок№12 - Волновые явления. Длина волны. Скорость распространения волн.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№12 - Волновые явления. Длина волны. Скорость распространения волн.)

4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волнСкачать

4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волн

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******Скачать

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******

ВОЛНОВЫЕ процессы. ВОЛНОВОЕ уравнение. | ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА ВОЛН (лекция) - ПОТЁМКИН Ф. В. ФизФак МГУСкачать

ВОЛНОВЫЕ процессы. ВОЛНОВОЕ уравнение. | ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА ВОЛН (лекция) - ПОТЁМКИН Ф. В. ФизФак МГУ

Волновое уравнение для волн в упругой среде.Скачать

Волновое уравнение для волн в упругой среде.

Получение уравнения плоской бегущей волны.Скачать

Получение уравнения плоской бегущей волны.

Урок 373. Задачи на волновое движение - 1Скачать

Урок 373. Задачи на волновое движение - 1

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.

Длина волны. Скорость волны | Физика 11 класс #17 | ИнфоурокСкачать

Длина волны. Скорость волны | Физика 11 класс #17 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: