Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Видео:Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды (Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля) и токи (j = 0):

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Величины Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля— электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Постоянные Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляхарактеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляэлектромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля.

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

где Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля— введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Получаем в итоге:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

и вводя показатель преломления среды

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где vфазовая скорость света в среде:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Полученные волновые уравнения для Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляозначают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

В отсутствие среды (при Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Далее, ни у Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, ни у Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного полянет компонент параллельных оси х:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного полябыл направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Отсюда следует, что вектор Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного полянаправлен вдоль оси z:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

а также связь амплитуд колебаний полей:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Подставим эти выражения в выражение для фазы Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, чтобы получить фазу Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляволны в движущейся системе отсчета:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Это выражение можно записать как

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

где Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля— циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Для электромагнитной волны в вакууме

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляс осью х:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Если Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E0 вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H0 и вектора магнитной индукции B0 в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляплощадка получила от волны энергию Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. Тогда переданный площадке импульс равен

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

На площадку действует со стороны волны сила

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Давление Р, оказываемое волной, равно

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляпопадет энергия из объема Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Видео:*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******Скачать

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******

Тема 5. волновые уравнения для векторов ЭМП

Однородные и неоднородные волновые уравнения для векторов ЭМП. Уравнения Даламбера. Решение однородных уравнений Даламбера. Сферическая волна. Волновой фронт. Волновые уравнения Гельмгольца.

Плоские волны как частные решения волновых уравнений. Плоская волна как предельный случай сферической волны. Решения волновых уравнений для гармонических полей в виде плоских и сферических волн.

Плоские ЭМВ в однородной изотропной среде. Отличие понятий «волна» и «колебание». Свойства плоской волны, структура и ориентация векторов ЭМП. Коэффициенты фазы и ослабления. Длина волны. Фазовая скорость, скорость распространения энергии, групповая скорость.

Характеристическое и волновое сопротивления. Ослабление ЭМВ, глубина проникновения ЭМП в вещество.

Указания к теме

Решением волновых уравнений являются функции координат и времени, которые описывают ЭМВ, распространяющиеся в свободном пространстве, направляющих системах и других устройствах. Необходимо получить четкое представление о таких понятиях, как фазовая поверхность (волновой фронт) и ее форма, однородная и неоднородная волна, затухающая волна.

Следует выучить определения длины волны, коэффициентов затухания и фазы, групповой и фазовой скоростей, волнового и характеристического сопротивлений, глубины проникновения ЭМВ в вещество.

Основные сведения

Для анализа распространяющихся ЭМВ из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме целесообразно вывести уравнения, которые зависят либо только от Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, либо только от Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. Если параметры среды (s, e, m) не зависят от координат и времени, то после преобразований получим [1–6]

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля; (5.1)

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.2)

Как показали расчеты и эксперименты, константа с ( Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля) для ЭМП удивительным образом совпадает со значением скорости света в вакууме. Из этого был сделан вывод о том, что ЭМВ и свет имеют одну и ту же природу. В пространстве без потерь ЭМВ распространяются со скоростью света.

Уравнения (5.1) и (5.2) называют волновыми уравнениями Ж. Д’Аламбера [5, 12]. Если правая часть равна нулю, то уравнение называют однородным, а если нет – неоднородным. При отсутствии электрических зарядов (r = 0) уравнения (5.1) и (5.2) практически совпадают, что подтверждает равноправие векторов Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляу распространяющегося в пространстве ЭМП.

Несмотря на кажущуюся независимость уравнений (5.1) и (5.2), следует помнить о том, что у переменного ЭМП векторы Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного полясвязаны уравнениями Максвелла и не могут существовать друг без друга.

Волновые уравнения в комплексной форме имеют вид

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля; Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, (5.3)

где Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляволновое число:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.4)

Уравнения (5.3) называют волновыми уравнениями Г. Гельмгольца. При отсутствии потерь проводимости (s = 0) исчезают вторые слагаемые в уравнениях (5.1) и (5.2), а также в (5.3)–(5.4) возможно упрощение:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля.

Рассмотренные уравнения называются волновыми потому, что их решениями являются волны и, в частности, ЭМВ.

Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами, по форме этой поверхности определяется название волны (сфера – сферическая ЭМВ, плоскость – плоская и т. д.) [1–3].

Решение однородного волнового уравнения для плоских волн

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.5)

Каждое из слагаемых выражения (5.5) описывает возмущения F1 и F2, исходящие из точки z0 в момент t = 0 и к моменту времени t приходящие в точку z = z0 – vt для F1 и в точку z = z0 + vt для F2 со скоростью v [1].

Для сферических волн решение волнового уравнения имеет вид:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.6)

Первое слагаемое выражения (5.6) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника. Второе слагаемое часто отбрасывают, поскольку волна, движущаяся внутрь источника, обычно не рассматривается [1].

В отличие от выражения (5.5) амплитуда сферической волны (5.6) уменьшается при удалении от источника как 1/r (мощность – как 1/r 2 ), что связано с тем, что мощность изотропного источника распределяется по расходящимся сферам (4.10).

Таким образом, даже при отсутствии потерь в пространстве плотность потока мощности сферической волны уменьшается с расстоянием как 1/r 2 .

На большом расстоянии от источника ЭМВ (в дальней зоне антенны) сферический волновой фронт в области приемной антенны можно аппроксимировать плоскостью, подобно тому, как земную поверхность считают плоской при малых высотах и на дистанциях, много меньших расстояния прямой видимости.

Плоская ЭМВидеализированная волна, имеющая плоский фазовый фронт (z = const), у которой существуют две взаимно перпендикулярные составляющие Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, зависящие только от координаты z и расположенные в плоскости, перпендикулярной z. ЭМВ называется однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.

В дальнейшем будем считать, что направление распространения ЭМВ совпадает с осью z. Уравнения Максвелла в комплексной форме для составляющих векторов плоской волны в ДСК имеют вид

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля; Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля; Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля; Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.7)

Из формул (5.7) следует, что Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного полявзаимно перпендикулярны. (Это можно доказать, рассмотрев скалярное произведение векторов [11].) В дальнейшем будем обозначать координаты этих векторов Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, подчеркивая их поперечную направленность и расположение в плоскости x0y.

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляЗная Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляили Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, можно легко найти другую поперечную составляющую и перейти к обычным координатам ( Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля).

Вектор Пойнтинга в данном случае имеет только продольную составляющую Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля(рис. 5.1). Решение уравнений (5.3) имеет вид

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.8)

Первое слагаемое выражения (5.8) соответствует прямой волне, второе слагаемое – обратная волна, Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля– комплексные амплитуды данных бегущих волн (для Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля– аналогично). Подставляя выражение (5.8) в (5.7), получим

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.9)

Запишем связь волнового числа ( Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля) с комплексным коэффициентом распространения (g) для среды без магнитных потерь :

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, (5.10)

Уравнение плоской волны с учетом (5.10) можно записать в виде

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.11)

Для мгновенных значений из выражения (5.11) получаем

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.12)

Направление распространения ЭМВ можно определить из анализа зависимости полной фазы (5.12) Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляот времени. Зафиксировав волновой фронт в какой-то момент времени, получаем, что если Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, то в следующий момент времени ЭМВ сместится в положительном направлении оси z, а при Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляволновой фронт будет двигаться в отрицательном направлении оси z(рис. 5.2) [1].

Из анализа формул (5.10)–(5.12) очевидно, что a– это коэффициент затухания, а bкоэффициент фазы.

Подставляя формулу (5.12) в (5.1), после решения уравнений относительно a и b получаем

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, (5.13)

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.14)

Множитель Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляв выражениях (5.10)–(5.12) показывает затухание при распространении ЭМВ вдоль оси z. Чем больше a, тем больше затухание.

Ослаблением (A) ЭМВ по полю называют величину (AP = A 2 ослабление ЭМВ по мощности)

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.15)

На практике часто используют ослабление в децибелах (дБ):

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.16)

С ослаблением непосредственно связана глубина проникновения ЭМП в вещество ( ), называемая также толщиной поверхностного слоя (скин-слоя, но это понятие логичнее использовать для металлов):

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.17)

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляПри прохождении слоя вещества z =D° амплитуда ЭМП ослабляется в е (е = 2,718…) раз, и соответственно в следующий слой (рис. 5.3) проходит лишь 1/е 2 мощности ЭМП. Получается, что в поверхностном слое концентрируется 86,5% энергии ЭМП, в слое 2D°98,2%,а в слое 3D°99,8%.

Таким образом, зная коэффициент затухания, можно определить область преимущественной концентрации энергии ЭМВ в веществе.

В случае диэлектриков толщина поверхностного слоя значительна, в то время как для проводников на ВЧ и ОВЧ она составляет доли миллиметра [1].

Параметры ЭМВ. Длиной волны l называется расстояние между двумя фронтами ЭМВ, различающимися по фазе на 2p (360°):

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.18)

Фазовой скоростью vф называется скорость перемещения фазового (волнового) фронта ЭМВ. При анализе выражения (5.12) ранее были определены направление движения и скорость фронта ЭМВ

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.19)

Фазовая скорость может изменяться в любых пределах (может быть больше с!), поскольку не является скоростью переноса энергии [1].

Групповой скоростью vгр называют скорость движения фронта (например, максимума) огибающеймодулированного сигнала.

Информационный сигнал не является монохроматическим, он занимает полосу частот. Каждая спектральная составляющая может иметь свою скорость распространения, что в диспергирующих средах приводит к искажениям сигнала.

Понятие «групповая скорость» вводится для сред с малыми потерями, поэтому при Dw vф ( Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля>0).

При Dw/w0 ® 0 период огибающей стремится в бесконечность, понятие «группа волн» распространяется на весь сигнал, и в итогеvгр ® vЭ.

Групповая скорость узкополосного сигнала – это скорость передачи энергии, она не может быть выше скорости света.

Характеристическое сопротивление (Zс) [41] ЭМВ равно отношению амплитуд поперечных составляющих электрического и магнитного полей

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.21)

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляПри комплексном Zс Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляотстает или опережает по фазе вектор Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляна некоторый угол. На рис. 5.5 вектор Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляопережает Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляна 90° (π/4), а на рис. 5.1 данные векторы синфазны.

Определим характеристическое сопротивление плоской волны. Пусть Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, а Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, тогда из формул (5.7) следует:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля, Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.22)

Получается, что характеристическое сопротивление [41]зависит только от параметров среды. Zв называют волновым сопротивлением среды. Следует отметить, что стандартом [41] рекомендуется термин «характеристическое сопротивление». Для ЭМВ, распространяющейся в некоторой среде, Zc = Zв.

Волновое сопротивление вакуума Z0 (s = 0, e = m = 1) :

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля377,0 Ом. (5.23)

Тогда выражение (5.22) можно записать в виде

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля. (5.24)

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 6–7, с. 30–38; 2, с. 50–56; 3, гл. 6–7, с. 27–34; 4, с. 26–33; 5, с. 26–30; 6, с. 116–123, 128–142, 198–205; 7, с. 67–82, 250–259; 8, с. 62–68; 9, с. 69–74; 10, с. 68–73; 11, с. 67–69, 130–139; 12, с. 182–194; 13, с. 140–149, 174–177, 187–190; 15, с. 302–307].

Контрольные вопросы и задания

1. Почему рассматриваемые в этой теме уравнения называются волновыми?

2. Чем волна отличается от колебания?

3. Чем отличаются волновые уравнения Д’Аламбера и Гельмгольца?

4. Следует ли из волновых уравнений независимость электрической и магнитной составляющих ЭМП?

5. Можно ли считать свет ЭМ волной?

6. Какие упрощения возможны в волновых уравнениях для сред без потерь?

7. Можно ли по виду электрической или магнитной составляющей плоской ЭМВ определить расположение другой составляющей ЭМП и направление распространения ЭМВ?

8. При каких условиях волновые уравнения для векторов Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляи Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поляидентичны?

9. Каково простейшее решение системы уравнений Максвелла?

10. Дайте определение волнового фронта.

11. Почему плотность потока энергии сферической волны уменьшается при удалении от источника даже в пространстве без потерь?

12. Какие упрощения в анализе ЭМП дает понятие «плоская волна»? В каких практических случаях допустимо ЭМВ считать плоской?

13. Чем отличаются однородные и неоднородные плоские волны?

14. Дайте определение коэффициентам затухания и фазы плоской ЭМВ.

15. Чем отличается волновое число k от g ?

16. Какова пространственная структура плоской ЭМВ?

17. Как определить направление распространения ЭМВ?

18. Как с помощью понятия толщины поверхностного слоя можно оценить область преимущественной концентрации ЭМП?

19. Дайте определение основным характеристикам ЭМВ.

20. Чем групповая скорость отличается от фазовой?

21. Может ли фазовая скорость иметь бесконечное значение?

22. Чем волновое сопротивление отличается от характеристического?

23. Является ли групповая скорость скоростью передачи энергии?

24. Что такое дисперсия? Приведите примеры дисперсионных сред.

25. Укажите условие неискаженной передачи сигнала.

26. Чем нормальная дисперсия отличается от аномальной?

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Видео:Вывод уравнения электромагнитной волныСкачать

Вывод уравнения электромагнитной волны

20.1. Волновое уравнение для электромагнитной волны.

Основные свойства электромагнитной волны: скорость, поперенность, связь между ? и я

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. Взаимосвязанные колебания (изменения) электрического и магнитного полей, составляющих единое электромагнитное поле, называются электромагнитными колебаниями.

Электромагнитные волны — это электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с.

Именно присутствие тока смещения db/dt наряду с величиной dB/dt и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического в свою очередь возбуждает магнитное поле. За счет непрерывного взаимопревращения электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.

Рассмотрим однородную изотропную нейтральную непроводящую среду Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

где ?0 и ц0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ? и р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Используя уравнения Максвелла, можно показать, что волновые уравнения для векторов Е п Н имеют вид

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

где V = Д = —у+—т + тт — оператор Лапласа. дх ду dz

Перечислим основные свойства электромагнитных волн, распространяющихся в изотропной нейтральной непроводящей неферромагнитной среде.

1. Скоростью распространения и электромагнитной волны в среде называется фазовая скорость (скорость распространения фазы колебаний). По закону Максвелла

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

где с = /^?0|i0 — скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Поскольку ?р > 1, то v лу — круговая (циклическая) частота этих колебаний;

к — (.o/v — волновое число; а — начальная фаза колебаний волны при / = О их = 0. Знак «минус» в скобках уравнений (20.5) и (20.5а) означает, что волна распространяется в положительном направлении оси X. Отметим, что амплитуды электрического и магнитного полей Ет и Нт связаны соотношением (20.4).

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в среде за время одного периода колебаний Т, называется длиной волны и определяется как Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой v колебаний в вакууме выражается так:

Волновое уравнение для векторов e и h переменного электромагнитного поля

Волновые уравнения плоской гармонической электромагнитной волны,

распространяющейся вдоль оси X, записываются как

🌟 Видео

Физика 11 класс (Урок№10 - Электромагнитные волны.)Скачать

Физика 11 класс (Урок№10 - Электромагнитные волны.)

Раскрытие тайн электромагнитной волныСкачать

Раскрытие тайн электромагнитной волны

Урок №45. Электромагнитные волны. Радиоволны.Скачать

Урок №45. Электромагнитные волны. Радиоволны.

Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"

Лекция 2 ВолныСкачать

Лекция 2 Волны

Электромагнитные волны. 11 класс.Скачать

Электромагнитные волны. 11 класс.

4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волнСкачать

4.2 Решение волновых уравнений Гельмгольца в виде плоских бегущих волн

Урок 383. Вихревое электрическое поле. Ток смещенияСкачать

Урок 383. Вихревое электрическое поле. Ток смещения

Урок 385. Опыты Герца. Свойства электромагнитных волнСкачать

Урок 385. Опыты Герца. Свойства электромагнитных волн

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений  Максвелла

Урок 384. Излучение электромагнитных волн.Скачать

Урок 384. Излучение электромагнитных волн.

Электромагнитные волны. Поток энергии. Вектор Умова-Пойтинга.Скачать

Электромагнитные волны. Поток энергии. Вектор Умова-Пойтинга.

78. Электромагнитные волныСкачать

78. Электромагнитные волны

Парадокс электромагнитной волныСкачать

Парадокс электромагнитной волны

3 14 Уравнения МаксвеллаСкачать

3 14  Уравнения Максвелла

4.1 Однородные волновые уравнения ГельмгольцаСкачать

4.1 Однородные волновые уравнения Гельмгольца
Поделиться или сохранить к себе: