Внутренняя и внешняя задачи дирихле для уравнения лапласа в круге

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Задача ставится так: найти функцию tx(r,у?), удовлетворяющую внутри ируга Kr0 радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа непрерывную в замжутой области KtQ и принимающую задан ные значения награнице круга, Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье где f(tp) — достаточно гладкая функция, периодическая с периодом 2т.

В силу однозначности искомого решения оно должно быть периодическим по с периодом Из непрерывности решения в Кго следует его ограниченность в КГо. Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид (3) Будем искать частные решения уравнения (3) в виде . Подставляя «(г, (р) в форме (4) в уравнение (3),умноженное на г2, получим откуда Из условия получаем находим , так что В частности, = Ао = const. Полагая в уравнении (6) (уравнении Эйлера) Л(г) = г*, при А = п2 получаем Отсюда) и, следовательно.

При п = 0 из (6) находам Так как ооприг 0+0,тодля решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда (5) (6) где коэффициенты Ап, Вп определяются из граничного условия (2) При т — tq имеем Запишем разложение /(у) в ряд Фурье где Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье Сравнивая ряды (8) и (9), получаем (9) * г0 г0.

Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга предста-вимо в виде ряда оо где коэффициенты определяются по формулам (10).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Видео:Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

При г го ряд (11) можно дифференцировать по г и любое число раз, и, значит, функция u(r, у) из (11) удовлетворяет уравнению Если предположить, что функция непрерывна и дифференцируема, то ряд (11) при г ^ г0 сходится равномерно, и, следовательно, функция и(г, непрерывна на границе круга и удовлетворяет всем условиям поставл енной задачи.

искать в виде ряда где коэффициенты Ап, В„ определяются из граничного условия Для кольцевой области образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке 0 радиусов Г] и г2 (рис.8), решение задачи ищется в виде ряда коэффициенты которого Л0, определяются из граничных условий Пример.

Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса го с центром в начале координат и такую. что Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье -4 Задача сводится к решению внутренней задачи Дирихле для уравнения при граничном условии Будем искать решение задачи в вида ряда ПО Из граничного условия (15) имеем Отсюда в силу ортогональности системы функций Искомое решение

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Решение внутренней задачи Дирихле для круга методом Фурье. Формула Пуассона

Видео:Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса r₀. С учетом характера области D перейдем к полярной системе координат (г, (р) с началом в центре круга. Тогда с учетом (7.2) формулировка задачи примет вид: найти функцию и = и(г, ф), удовлетворяющую в круге D = <(г, ф) | 0 2 ,п =0, 1, 2, . Тогда

где Л„, В_п — произвольные постоянные.

Общее решение уравнения (7.25) при X = п 2 имеет вид

Функция и(г, ф) = /?(г)Ф(ф) должна быть непрерывной в круге Z), поэтому D_n = 0. Кроме того, полагаем С_п = 1, п = 0, 1, 2, . Тогда из (7.23) и (7.26) находим:

Функции (7.27) являются частными решениями уравнения Лапласа (7.21) в круге D. В соответствии с методом Фурье решение задачи Дирихле (7.21)—(7.22) будем искать в виде линейной комбинации частных решений и_п(г, ф)

которая удовлетворяет граничному условию (7.22). Из этого условия следует:

Видео:6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать

Напомним, что функция р(ф) считается непрерывной и кусочногладкой на отрезке [0; 2л], причем р(0) = р(2л). Поэтому разложение Фурье функции р(ф) сходится к ней равномерно на [0; 2л]:

Из сравнения (7.28) и (7.29) следует, что

Таким образом, формально полученное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид

где коэффициенты а_п и Ь_п определяются равенствами (7.30).

Убедимся теперь, что функция и(г, ср) из (7.31) действительно является решением задачи Дирихле (7.21)—(7.22).

1. Покажем, что ряд (7.31) внутри круга D можно дифференцировать по р и по (р любое число к раз. Выберем произвольное положительное число г_х + составленного из модулей ее коэффициентов

Видео:Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и сектореСкачать

Фурье, см. [4]. Этот ряд является мажорирующим в области D для ряда из правой части (7.31). Следовательно, по признаку Вейер- штрасса ряд из (7.31) сходится равномерно в D, а значит, его сумма и(г, (р) является непрерывной функцией в замкнутой области D, см. там же.

5. В п. 7.1 доказана единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Доказанные утверждения можно сформулировать следующим образом.

Теорема 7.1. Пусть функция р(ф) является непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [0; 2л], причем р(0) = р(2л).

Тогда внутренняя задача Дирихле (7.21)—(7.22) для круга радиуса г₀ имеет единственное решение

Пример 7.3. Найти решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса r₀ = 1, если граничное условие имеет види|_г = и <1, ф) = р(ф) = 8С08 4 ф.

Видео:Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

2 — 4у 2 + х 4 + у 4 — 6х 2 у 2 . >

Упростим формулу (7.31) преобразовав ее правую часть с учетом равенств (7.30):

📹 Видео

Задача Дирихле и НейманаСкачать

Лекция №5 по УМФ. Задача Дирихле для ур-ия Лапласа в круге. Константинов Р. В.Скачать

6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задачСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 6.Внешняя краевая задача для ур.Лапласа 1Скачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 7.Внешняя краевая задача для ур.Лапласа 2Скачать

7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать

Решение уравнения Лапласа в шареСкачать

Белошапка В. К. - Теория функции комплексного переменного I - Задача Дирихле для уравнения ЛапласаСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики. Часть 2 - Внешние краевые задачи для ур-ия ЛапласаСкачать

2.3. Задача Гурса для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1Скачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики.Семинары - 17.Функция Грина для внешних краевых задачСкачать

7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать