Влияние уклонений отвесных линий на астрономические азимуты уравнение лапласа

Видео:7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать

7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

Геодезия

Для студентов аспирантов и преподавателей

Видео:Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатах

Разделы

  • Сила тяжести и уровенные поверхности земли
  • Геоид и квазигеоид
  • Общий земной эллипсоид
  • Нормальная земля и фигура реальной земли
  • Референц-эллипсоид Красовского
  • Координаты и азимуты
  • Уклонения отвесных линий
  • Азимуты лапласа
  • Понятие о редукционной задаче
  • Геодезические сети и их назначение
  • Основной принцип построения геодезической сети
  • Плотность пунктов государственной
  • Необходимая точность построения ггс
  • Основные методы создания ггс
  • Сведения о других методах создания ггс
  • Опорные геодезические сети в дореволюционной России
  • Схема и программа Ф.Н. Красовского построение государственной триангуляции
  • Государственная геодезическая сеть в СССР
  • Последовательность выполнения основных геодезических работ
  • Пути cовершенствования ггс
  • Общие сведения о проектировании ггс
  • Рекогносцировка геодезических пунктов
  • Расчет высоты геодезических знаков
  • Геодезические знаки
  • Центры геодезических пунктов
  • Априорная оценка точности геодезических сетей
  • Определение веса измеряемых величин
  • Вычисление обратного веса уравненных элементов
  • Априорная оценка точности ггс с моделированием результатов измерений на компьютере
  • Оценка точности триангуляции
  • Оценка точности рядов и сетей трилатерации по приблеженным формулам
  • Оценка точности звеньев полигонометрии
  • Согласование точности измерения горизонтальных направлений, азимутов и длин сторон в геодезических сетях
  • Условия эксплуатации высокоточных теодолитов
  • Общие сведения о высокоточных теодолитах
  • Геометрическая схема высокоточного теодолита
  • Осевые системы и уровни теодолита
  • Лимб высокоточного оптического теодолита
  • Зрительные трубы высокоточных теодолитов
  • Отсчетное устройство оптического теодолита
  • Принцип совмещенного отсчета
  • Поверки и исследования высокоточных теодолитов
  • Определение рена оптического микрометра
  • Погрешности шкалы оптического микрометра
  • Определение эксцентриситета алидады и лимба
  • Отдельное спасибо
  • return_links(2); ?>

Видео:Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать

Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1

Азимуты лапласа

В том случае, когда на пункте триангуляции с известными геодезическими координатами В и Lопределены из наблюдений звезд астрономические координаты j и lа также астрономический азимут а направления на земной предмет, можно вычислить по формулам (2.4) составляющие уклонений отвесных линий на пункте ξ и η. Геодезический азимут А данного направления определяют по формуле:

А = а — (l—L) sinj + (hcos А — ξsin A)ctgz, (2.6)

где z— зенитное расстояние наблюдаемой цели (предмета).

В равнинной местности при z=89°30′-i-90 o 30′, как это имеет место при длинах сторон триангуляции 10—30 км, ctgZ s return_links(); ?>

Видео:АСТРОНОМИЯ ● ОСНОВЫ АСТРОНОМИИ ● ВСЕ ЛИНИИ НЕБЕСНОЙ СФЕРЫСкачать

АСТРОНОМИЯ ● ОСНОВЫ АСТРОНОМИИ ● ВСЕ ЛИНИИ НЕБЕСНОЙ СФЕРЫ

Влияние уклонений отвесных линий на астрономические азимуты уравнение лапласа

Влияние уклонений отвесных линий на астрономические азимуты уравнение лапласа

Влияние уклонений отвесных линий на астрономические азимуты уравнение лапласа

Главная —> Промиздат —> Астрономические методы

§ 67. Влияние уклонений отвесных линий на астрономические азимуты — уравнение Лапласа

Обратимся вновь к рис. 119, из которого следует:

Из треугольника zzP, в котором угол при равен 180° — Oj, имеем

— созв1 = -со8всо8(Х -L) + sinesin(X-L)sin5. (67.2)

Полагая, что со8 (Я — L) = 1, sin (Я — L) = (Я, — L) и sin В — sin ф, т. е. пренебрегая членами порядка (Я — L), (Я, — Vf и (?t — L) , получаем

— cosOj = — cosO + (X — L) sin в sin ф

cosB -со8в1 = (? -/.)sine 81Пф; (67.3)

учитывая формулу (65.2), получаем

cos 6 — cos Oj = Г] tg ф sin в,

— 2 sin (6 + Bi) sin 1- (0 61) = Г] tg ф sin О. Полагая, что

0 0 = (А,-Z) cos (90 — ф),

аналогичное выражение для треугольника mzzj будет

Из треугольника mzz- имеем

. Складывая (67.7) и (67.4), получаем

или, принимая во внимание (67.1),

-Л = Ч tgф+ — . (67.9) Так как м cos G = и w sin в = т), то

a .-A , = ntS и cosm-sin.4.,

Первый главный член постоянен в данной точке, так как он зависит только от координат и не зависит от направления. Этот член выражает собой влияние на азимут направления несовпадения плоскостей астрономического и геодезического меридианов. Второй член уравнения выражает влияние на измеренное направление несовпадения вертикальной оси инструмента с нормалью к поверхности эллипсоида. Поэтому его можно рассматривать как поправку за уклонение вертикальной оси инструмента от нормали к поверхности принятого референц-эллипсоида, которую следует вносить в измеряемые горизонтальные направления. Иначе говоря, второй член можно рассматривать как редукцию измеренных горизонтальных направлений за переход к референц-эллипсоиду-

Докажем, что Лапласовы азимуты, полученные в различных пунктах триангуляции, можно практически считать независимыми. Представим себе fзвено триангуляции 1 класса, на обоих концах которого определены Лапласовы азимуты. Из формул (67.12) следует, что ошибка Лапласова азимута Ша зависит от ошибок определения астрономического азимута тпа, астрономической долготы тпх и геодезической долготы т. Обычно в триангуляции 1 класса та = ±0,5 ; ml = ±0,03* или т — ±0,45 . Для определения ть исходим из ошибок передачи геодезических координат по ряду, так как долготы определяют последовательным вычислением координат вдоль ряда. Вспомним, что продольный и поперечный сдвиги в звене триангуляции 1 класса характеризуются в линейной мере величиной порядка 0,7 м. Соответствуюшая ошибка в долготе, выраженная в секундах дуги, будет равна для средних широт 0,04 ; таким образом, ть г десять раз меньше ошибок т, и т, поэтому можно написать

Значения астрономического азимута а и долготы Я на разных пунктах независимы. Следовательно, и геодезические азимуты, полученные по[формуле (67.12), на разных пунктах можно считать практически независимыми.

Средняя ошибка таких азимутов с учетом ошибки астрономической долготы на пунктах 1 класса будет равна приблизительно ±0,7 .

При развитии триангуляции азимуты Лапласа имеют весьма важное аначение, а именно:

1. Обеспечивают ориентировку всех звеньев и рядов триангуляции с ошибкой одного порядка.

2. Не допускают распространения и в значительной мере исключают систематические ошибки, столь опасные в большой триангуляции; ошибки в ориентировке триангуляции, появившиеся в одном звене, перестают оказывать влияние в другом, если на стыке обоих звеньев расположен пункт г Лапласа.

Кроме того, азимуты Лапласа позволяют путем соответствуюш;ей обработки материалов триангуляции и анализа результатов исследовать величины и характер систематических ошибок и причины их возникновения. Малая величина систематических ошибок на каждом пункте, в то же время существенное влияние их на точность триангуляции в целом делают задачу исследования этих шибок весьма сложной, но актуальной.

3. Доставляют триангуляции твердые азимуты, которые позволяют вводить при уравнивании азимутальные условные уравнения, способствующие получению более точных значений всех элементов, в том числе и координат пунктов.

4. Дают возможность осуществлять надежный контроль угловых измерений ? триангуляции, в частности обнаруживать такое накопление ошибок, которое другими путями не может быть выявлено. Действительно, свободный член азимутального условного уравнения включает в себя сумму ошибок углов ходовой линии по всему ряду. В определенных случаях отдельные крупные ошибки и во всех случаях малые ошибки, но действующие систематически и однообразно, не выявляются в свободных членах других условных уравнений — фигур, боковых и базисных. Таким образом, о многих существенных недостатках в постановке угловых измерений и о действии систематических ошибок можно судить только по свободному члену азимутального условного уравнения.

Видео:Решение уравнения Лапласа в шареСкачать

Решение уравнения Лапласа в шаре

Элементы общей теории способов астрономических определений

2.2.1. Общие принципы определения географических координат
и азимутов направлений из наблюдений светил

Из геометрии небесной сферы следует, что географическая широта f, направление меридиана NS и местное звездное время s в некоторый момент наблюдения T в каком-либо пункте земной поверхности могут быть определены, если для этого момента определено положение зенита Z на небесной сфере (рис. 2.1). Первая теорема сферической астрономии гласит: высота полюса мира равна широте места наблюдения и равна склонению зенита

Z
(az,dz)
Q
S
N
PN
g
W
s
(a,d)
d
t
az = s
dz = f
Рис. 2.1. Принципы определения географических координат

Следовательно, чтобы найти широту места наблюдения, достаточно определить склонение зенита dz. По второй теореме сферической астрономии разность долгот равна разности местных времен, то есть

где местное звездное время равно прямому восхождению зенита, s = az. Направление небесного меридиана и полуденной линии, необходимое для получения азимута направления, определяет большой круг, проходящий через полюс мира и зенит.

Положение зенита на небесной сфере Z(az, dz) в заданный момент времени T может быть определено:

— как пересечение по крайней мере двух вертикалов, проходящих через эти светила, то есть азимутами светил A1 и A2.

В зависимости от измеряемых величин, все способы астрономических определений географических координат делятся на две основные группы: зенитальные и азимутальные.

В зенитальных способах широта и время определяются по измеренным зенитным расстояниям светил, или по разностям зенитных расстояний светил, или из наблюдений групп звезд на одинаковом зенитном расстоянии.

Азимутальные способы астрономических определений позволяют определять время и широту по азимутам двух звезд, или по измеренным разностям азимутов звезд, или по наблюдениям групп звезд в одном вертикале.

В геодезической астрономии горизонтальные координаты светил (A, Z) считаются измеряемыми, экваториальные координаты светил (a, d) – известными, а географические координаты пункта наблюдения и азимут направления (f, l, а) – определяемыми. Связь между определяемыми, известными и измеряемыми величинами осуществляется через решение параллактического треугольника. Выражение

есть уравнение связи зенитальных способов астрономических определений, а выражение

MN
N
S
¤
Z
0 0
M*
M
A
Q
a
Рис. 2.2. Определение азимута направления на земной предмет

есть уравнение связи азимутальных способов астрономических определений.

В выражениях (2.1), (2.2) часовой угол вычисляется по формуле

где Tн – момент наблюдения; u – поправка часов.

Принцип определения азимута направления на земной предмет следует из рис. 2.2:

где Q = М — M* — измеренный горизонтальный угол светила, равный разности отсчетов по горизонтальному кругу на земной предмет M и на светило М*;

A — азимут светила, вычисляемый по формуле (2.2). Для его вычисления надо отнаблюдать в момент Тн светило с известными координатами (a, d), причем поправка часов u в этот момент и широта места наблюдения f должны быть известны.

В рассматриваемом способе азимут светила А и горизонтальный угол Q постоянно меняются вследствие суточного движения небесной сферы. Это обстоятельство затрудняет контроль ошибок измерений и вычислений, поэтому данный подход применим только в приближенных способах астрономических определений. От недостатка такого подхода избавлен следующий принцип определения азимута:

где MN – отсчет по горизонтальному кругу северного направления меридиана, называемый местом севера. Место севера определяется из уравнивания наблюдений. Суточное движение небесной сферы не изменяет MN и отсчет по горизонтальному кругу на земной предмет М, поэтому здесь возможен контроль измерений и вычислений. Формула определения азимута (2.3) используется
в точных способах астрономических определений.

2.2.2. Зенитальные способы астрономических определений

В основе зенитальных способов астрономических определений лежит уравнение связи (2.1). В этом уравнении два неизвестных – широта f и поправка часов u, которые можно определить как совместно, так и раздельно. Для совместного определения координат необходимо измерить зенитные расстояния Z и моменты наблюдения Tн как минимум двух светил и решить систему уравнений вида (2.1). Однако в уравнение связи определяемые величины входят в виде тригонометрических функций, и решение системы уравнений сложно. Поэтому данную систему линеаризуют и решают задачу по методу наименьших квадратов. В любом случае, как при совместном определении (f, u), так и при раздельном их определении, решение задачи облегчается, если известны приближенные значения f0, u0 (например, из приближенных определений). Вся дальнейшая задача состоит в определении малых поправок Df, Du к этим приближенным величинам.

Линеаризованное уравнение связи выглядит следующим образом:

где z – инструментальная систематическая погрешность зенитного расстояния;

z0i – зенитное расстояние, вычисленное по формуле (2.1) приближенными значениями f0, u0;

ziизм – измеренное зенитное расстояние;

vzi – поправка в вероятнейшее значение зенитного расстояния;

n – число измерений.

Выражение (2.4) есть уравнение поправок зенитальных способов астрономических определений. С геометрической точки зрения уравнение поправок представляет собой зависимость между условным z0i и астрономическим zi зенитными расстояниями любой произвольной точки небесной сферы.

Если в качестве приближенных широты и долготы (поправки часов) взять геодезические широту B и долготу L, то выражения для поправок Df, Du в приближенные координаты примут вид:

Du cosf = Dl cosf = (l – L) cosf = h,

где x, h – астрономо-геодезические уклонения отвесной линии в плоскостях меридиана и первого вертикала, соответственно.

С принятыми обозначениями уравнение поправок (2.4) записывается в виде:

Из решения системы таких уравнений непосредственно получаются значения составляющих астрономо-геодезического уклонения отвесной линии в пункте наблюдения.

2.2.3. Выгоднейшие условия определения времени и широты
по измеренным зенитным расстояниям светил

Выгоднейшими условиями наблюдений называются условия, при которых для данных средств измерений достигается максимальная точность определяемых величин.

На результаты измерения зенитного расстояния Z светила влияют случайные и систематические ошибки DZ; момент Т наблюдения светила определяется с ошибкой DT, содержащей также случайную и систематическую части. Широта и долгота пункта наблюдения известны или определяются с некоторыми ошибками Df и Dl. Также содержат ошибки Da, Dd экваториальные координаты a и d наблюдаемых звезд. При соблюдении выгоднейших условий влияние этих ошибок на вычисление определяемой величины минимально.

Для определения выгоднейших условий продифференцируем уравнение связи зенитальных способов (2.1):

Из параллактического треугольника имеем:

Сокращая полученные равенства на sinZ, найдем выражение для дифференциала зенитного расстояния:

dZ = cosAdf + cosfsinA(dT + du — da) – cosqdd. (2.5)

Решая уравнение (2.5) последовательно относительно df и du, а затем, заменяя дифференциалы конечными разностями DZ, Df, DT, Du при условии, что координаты звезды безошибочны (da = 0 и dd = 0), получим дифференциальные формулы ошибки широты и поправки часов:

Анализ формулы (2.6) позволяет сделать вывод, что выгоднейшими условиями для определения широты f по измеренным зенитным расстояниям являются наблюдения их в меридиане, то есть когда азимут равен 0 о или 180 о . В меридиане ошибки момента наблюдения DT и поправки часов Du не сказываются на определении широты, и ошибка в широте равна ошибке измерения зенитного расстояния. При наблюдении звезды к югу от зенита DfS = DZS, к северу DfN = — DZN. Следовательно, при наблюдении звезд парами симметрично относительно зенита систематические ошибки измеренного зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Талькотта.

Определим выгоднейшие условия определения долготы по измеренным зенитным расстояниям светил. Из анализа формулы (2.7) следует, что влияние ошибок Df и DZ на определение долготы будет минимальным в первом вертикале (А = 90 о или А = 270 о ).

При наблюдении западной звезды DuW = -DTW + DZW/cosf, восточной – DuЕ = -DTЕ + DZЕ/cosf, то есть при наблюдении звезд в первом вертикале парами симметрично относительно зенита ошибки измерения зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Цингера.

2.2.4. Азимутальные способы астрономических определений

Решение задачи совместного определения широты f, долготы l (времени u) и азимута А (направления меридиана MN) может быть получено не менее чем из трех уравнений вида (2.2) по данным наблюдений не менее трех звезд. Для решения задачи необходимо уравнение связи (2.2) привести к линейному виду, также как и в зенитальных способах астрономических определений.

Результатом линеаризации уравнения связи азимутальных способов являются уравнения поправок двух видов, для измеренного горизонтального направления и измеренного горизонтального угла:

где vi, vi¢ — поправки измеренного горизонтального направления и горизонтального угла, соответственно,

DMN – поправка предварительного значения места севера MN0;

Da – поправка предварительного значения азимута a0 направления на земной предмет;

A0i – предварительное значение азимута направления на светило, вычисленное с приближенными значениями f0, l0 по формуле (2.2);

li = (A0i + MN0) – Niизм – разность вычисленного и измеренного горизонтальных направлений;

li¢ = (a0 – A0i) – Qiизм – разность вычисленного и измеренного горизонтального угла.

Астрономический азимут светила есть разность между астрономическим азимутом направления на земной предмет a и горизонтальным углом Q:

С учетом (2.10) уравнение (2.9) примет вид

С геометрической точки зрения уравнение поправок азимутальных способов есть уравнение связи между условным (A0i) и астрономическим (Ai) азимутом одного и того же направления.

Для направления на земной предмет уравнение запишется в виде

Если при вычислениях вместо условных координат f0 и l0 принять геодезические координаты пункта B и L, то есть

Df= f – B = x; Dl cos f = (l – L)cos f = h,

то уравнение (2.12) примет вид

где aг и a – геодезический и астрономический азимуты направления на земной предмет, соответственно.

В этом случае наблюдения будут автоматически редуцированы к геодезическому зениту, и из обработки будут получены значения геодезического азимута направления на земной предмет aг и астрономо-геодезических составляющих уклонения отвесной линии x и h. Формула (2.13) есть уравнение Лапласа. Его используют для определения геодезического азимута из наблюдений астрономических азимутов и координат. Полученный геодезический азимут aг в этом случае называют азимутом Лапласа.

2.2.5. Выгоднейшие условия определения азимута, времени и широты по измеренным горизонтальным направлениям светил

Для обоснования выгоднейших условий определения координат используется уравнение связи азимутальных способов астрономических определений:

Дифференцируя формулу (2.14) по переменным A, f и t, заменяя дифференциалы dA, df и dt ошибками DA, Df и Dt, получаем выражение для ошибки азимута:

Минимальное значение коэффициентов при (DT + Du) и Df бывает при наблюдении близполюсных звезд, у которых d » 90 о , а А » 180 о . Этим условиям удовлетворяет Полярная звезда. Если выбирать звезды по зенитным расстояниям, то влияние ошибок на определение азимута будет минимально на горизонте. Поэтому при определении азимута по Солнцу выгоднейшие условия для наблюдений будут при восходе и заходе Солнца.

Выгоднейшие условия определения времени (долготы) в азимутальных способах определяются из анализа формулы для Du, выведенной из выражения (2.15):

Из формулы (2.16) следует, что время (долготу) выгоднее всего определять из наблюдения звезд в меридиане, парами, симметрично относительно зенита, на небольших зенитных расстояниях.

Аналогично можно определить выгоднейшие условия определения широты в азимутальных способах, из анализа формулы

Из выражения (2.17) следует, что для определения широты азимутальными способами необходимо наблюдать звезды в первом вертикале, парами, симметрично относительно зенита, на малых зенитных расстояниях.

💥 Видео

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать

Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга

Оператор Лапласа в криволинейных координатахСкачать

Оператор Лапласа в криволинейных координатах

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать

Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в круге

Лекция 5. Нанесение размеров и предельных отклонений | Инженерная Графика | ОмГТУ | ЛекториумСкачать

Лекция 5. Нанесение размеров и предельных отклонений | Инженерная Графика | ОмГТУ | Лекториум

Геодезия . Введение.Скачать

Геодезия . Введение.

Vladimir Nazaikinskii | Geometry and semiclassical asymptotics. Lecture 1Скачать

Vladimir Nazaikinskii | Geometry and semiclassical asymptotics. Lecture 1

Алгебра и геометрия. Лекция 10. Преобразование координат. Линии и поверхностиСкачать

Алгебра и геометрия. Лекция 10. Преобразование координат. Линии и поверхности

Построение горизонталей на топоплане. Аналитический и графический способ. Инженерная геодезия.Скачать

Построение горизонталей на топоплане. Аналитический и графический способ. Инженерная геодезия.

Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-ЛагранжаСкачать

Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-Лагранжа

Системы координат в геодезии. Зональная система прямоугольных координат. Гаусса-КрюгераСкачать

Системы координат в геодезии. Зональная система прямоугольных координат. Гаусса-Крюгера

Лекция 1 "Поверхности относимости. Системы координат"Скачать

Лекция 1 "Поверхности относимости. Системы координат"

Замкнутый теодолитный ход Инженерная геодезия Часть 1 Теодолит Ильдар ИбрагимовСкачать

Замкнутый теодолитный ход Инженерная геодезия Часть 1 Теодолит Ильдар Ибрагимов

Информатика. Теория информации: Формула Шеннона. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Информатика. Теория информации: Формула Шеннона. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»
Поделиться или сохранить к себе: