Виды уравнений в математических моделях

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

научный руководитель канд. физ.-мат. наук, проф.

Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ «Сибирский федеральный университет»

Для изучения объектов или процессов, протекающих в окружающем нас мире, широко используются методы математического моделирования. Математические модели являются мощным средством познания окружающего мира. При этом следует заметить, что построенная математическая модель не может отразить все многообразные и сложные черты изучаемого явления. При моделировании что-то является главным, а что-то – второстепенным, чем можно пренебречь.

Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т. е. в виде функциональной зависимости.

Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Такие уравнения называются дифференциальными.

Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла довольно широки. Обыкновенные дифференциальные уравнения моделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или вектор-функцией одного переменного.

В математическое исследование любой задачи реального мира можно выделить три основных этапа:

1. построение математической модели явления;

2. изучение этой математической модели и получение решения соответствующей математической задачи;

3. приложение полученных результатов к практическому вопросу, из разрешения которого возникла данная математическая модель, и отыскание других вопросов, к которым она применима.

В таблице представлены основные области наук, в которых какое-либо явление или процесс можно записать в виде дифференциального уравнения.

Характеристика составления математической модели

Пример математической модели

1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их.

2. Выбрать независимую переменную и функцию этой искомой переменной.

3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия.

4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.

5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение.

6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

7. По начальным или краевым условиям найти частное решение.

8. Исследовать полученное решение.

А) Первый закон Ньютона:

Б) Уравнение показательного роста и показательного убывания:

где – некоторая константа.

В) Уравнение гармонического колебания:

где – положительная постоянная.

где – радиус Земли, – расстояние между центрами метеороида и Земли, – ускорение свободного падения.

1. Сделать чертёж и ввести обозначения;

2. Отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках;

3. Выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной;

4. По условию задачи составить дифференциальное уравнение;

5. Найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

Формула зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку:

При создании математической модели используют физические закономерности, выявленные при экспериментальном изучении объекта моделирования. Так, например, математическая модель кровообращения основано на законах гидродинамики.

Модель хищник – жертва:

где – положительные константы, – число хищников, – число жертв.

Сущность химических реакций сводится к разрыву связей в исходных веществах и возникновению новых связей в продуктах реакции. При этом общее число атомов каждого элемента до и после реакции остаётся постоянным.

Закон действующих масс:

где – концентрации веществ

– коэффициент пропорциональности.

Базовая математическая модель в области финансов формулируется в терминах стохастических процессов, приводящих, таким образом, к стохастическим дифференциальным уравнениям. Время и недостоверность являются главными элементами моделирования финансового поведения экономических агентов.

Модель фондового (биржевого) ценообразования:

где и – постоянные коэффициенты, связанные с характеристиками модели.

Компартментальное моделирование распространено в медицине и биологии. Согласно определению американского фармаколога и биохимика Шеппарда компартмент — это некоторое количество вещества, выделяемое в биологической системе и обладающее свойством единства, поэтому в процессах транспорта и химических преобразований его можно рассматривать как целое. Например, в качестве особых компартментов рассматривают весь кислород в легких, всю углекислоту в венозной крови, количество введенного препарата в межклеточной жидкости, запас гликогена в печени и т. п. Модели, в которых исследуемая система представляется в виде совокупности компартментов, потоков вещества между ними, а также источников и стоков всех веществ, называются компартментальными.

Модель роста опухоли:

где – концентрация опухолевых клеток, – внеклеточная матрица (например, IV тип коллагена).

В заключение отметим, что математическая модель является основой математически оформленной теории того или иного явления, а аппарат дифференциальных уравнений нашел большое применение в математическом моделировании.
Результативность математического моделирования подтверждена всей человеческой практикой, это сильное средство научного исследования, которое используют в каждой конкретной области науки.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Уравнение как математическая модель в школьном курсе математики

Разделы: Математика

Класс: 9

Практически все изучаемые математическими представлениями явления и процессы в конечном итоге сводятся к нахождению решений уравнений или систем уравнений различной степени сложности. Учащиеся школ с самого начала изучения математики решают уравнения даже в самых простых ситуациях. Любая математическая задача представляет собой проблему нахождения неизвестной величины, зависящей от набора параметров с известными значениями. Простые арифметические задачи предполагают определение какого-либо значения путём выполнения основных арифметических действий с известными величинами, что означает решение уравнений.

На современном этапе развития информационных технологий с самых азов обучения совершенно необходимо развивать у обучаемых способности создавать абстрактные представления конкретных явлений и процессов в виде математических формул (по сути уравнений) с последующим определением способов вычисления значений параметров этих формул путём решения соответствующих уравнений методами программирования. То есть для решения даже самых простых задач в современных условиях надо научить школьников разрабатывать рабочие программы. Хорошо известно, что в основе разработки любой программы лежит алгоритм, моделирующий то или иное явление или процесс. Причём это заключение распространяется не только на математические области исследований, но и на все другие научные дисциплины.

Таким образом, для решения любого уравнения в самом начале надо разработать алгоритм процесса этого решения.

При разработке алгоритма решения задач прежде всего необходимо обозначить заключения и направления рассуждений, известные значения данных и искомые значения переменных, находить в базе данных признаки индивидуальные и общие, уделить достаточное внимание противопоставлению и сопоставлению фактов.

На начальном этапе изучения математических дисциплин учащимся обычно предлагаются для решения задачи в текстовом виде, преобразование условий которых в вид аналитических формул является достаточно эффективным средством для усвоения школьниками понятий, методов и даже математических теорий как строго формализованных построений. Такой приём является наиболее действенным средством развития логического мышления учеников и открывает возможности для воспитания математического восприятия изучаемых явлений и даёт возможность учащимся развивать умения и навыки применениях математики на практике [1].

На школьном этапе математического образования для большей наглядности учащимся полезно предлагать применение математического моделирования для решения задач, условия которых описывает конкретные жизненные ситуации, так как соответствующие уравнения наиболее просто ассоциировать с алгебраической или аналитической моделью изучаемых явлений. Подобные задачи позволяют, помимо перечисленного выше, усвоить учащимся понятия таких логических операций, как обобщение, классификация, анализ через синтез, сравнение, которые способствуют его развитию логического мышления.

На более поздних этапах обучения можно начинать создание математических моделей не только обычных алгебраических уравнений, а перейти к моделированию процессов, которые описываются в аналитическом виде с использованием понятий функций одной или нескольких переменных, а в выпускных классах даже дифференциальных уравнений. Наиболее интересующимся математикой ученикам можно предлагать моделировать неравенства, а также системы уравнений и системы неравенств и т.п. Таким образом, разработка математических моделей сопровождается приобретением школьниками навыков в умении перевода условий практических задач на язык алгебры или математического анализа [2, 3].

Для углубления знаний школьников полезно изучить процессы моделирования математических объектов, представленных самыми разными математическими формами, такими, как таблицы объектные и числовые, формулы числовые и буквенные, функции, уравнения алгебраические и дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств, математические ряды, геометрические формы, различные схемы, диаграммы, графы и пр.

При разработках математических моделей используются алгоритмы явлений и процессов, изображаемые в виде отрезков, направленных отрезков, ломаных и кривых линий, геометрических фигур, числовых лучей, схем, значков и т.п. Такие представления алгоритмов называются блок-схемами алгоритмов. Существует перечень специальных знаков элементов блок-схем, унифицированный в математической литературе. Эти знаки обозначают постоянные параметры, переменные, базы данных, математические действия, логические операторы, последовательность и направления расчётов, функционалы и т.п. операции. Такая унификация позволяет наглядным образом представлять блок-схемы алгоритмов в виде, понятном специалистам.

Согласно [4], математическое моделирование представляет собой «способ, инструмент, научный прием изучения окружающего мира».

Как указывалось выше, этот процесс заключается в описании исследуемых явлений, процессов, объектов и систем самой разной природы на математическом языке с применением соответствующих понятий, обозначений и функционалов. При этом важно показать зависимость степени сложности разрабатываемых математических моделей от предполагаемой детализации исследования поставленной задачи, поставленной цели исследования, и, конечно же, степени математической подготовки и уровня знаний школьника о моделируемом объекте.

В самом простом виде процесс моделирования выглядит следующим образом: реальный объект замещается моделью. Затем строится алгоритм процесса или явления, на его основе разрабатывается компьютерная программа, и уже эта программа служит объектом проведения экспериментов и исследований, результаты которых ложатся в основу выводов о проведённых исследованиях самого оригинального объекта.

Очень важно показать и добиться твёрдого усвоения школьниками того факта, что математическое моделирование в определённых ситуациях является единственным способом изучения сложных объектов, аналитические представления которых не имеют числовых решений, или таких, с которыми невозможно проводить прямые эксперименты в силу их размеров (мегаобъекты и нано-объекты), невозможности или опасности последствий вмешательства в их функционирование (экономические процессы и экологические системы). Необходимо продемонстрировать возможность математического моделирования существенно сокращать время исследования реального объекта, принимая время как переменный параметр.

Кроме этого, в результате обучения ученики должны усвоить основные приёмы математического моделирования явлений, объектов и процессов, типы, этапы, классификации решаемых задач, научиться преобразовывать математические модели одного класса в модели другого класса и т.п.

В качестве примера разработки математической модели уравнения рассмотрим решение несложной алгебраической задачи согласно рекомендациям работы [5].

Задача. Необходимо определить скорость моторной лодки, если известно, что она двигалась равномерно параллельно направлению равномерного движения теплохода, при этом её скорость в три раза превышала скорость теплохода и, стартовав на один час позже теплохода с того же причала, моторная лодка за два часа пути проплыла расстояние на 24 км больше, чем теплоход.

Создадим математическую модель задачи:

Теперь осталось решить уравнение, составленное на основе математической модели:

х = 8, и скорость моторной лодки:

Ответ: скорость моторной лодки равна 24 км/ч.

Таким образом, показано практическое применение процесса решения задачи с помощью разработки математической модели движения моторной лодки и теплохода путём разработки блок-схемы алгоритма процесса, который может быть основой для написания компьютерной программы решения этой задачи при различных значениях параметров движения этих судов.

Видео:Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

2.5. Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

Математическая модель в виде одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко используются при изучении переходных процессов в системах автоматического регулирования (САР), при описании баллистики летательных аппаратов, а также при описании процессов движения (потоки, частицы, механические элементы).

В простейшем случае модель может иметь вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

или системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Часто встречаются смешанные задачи, а также нелинейные ОДУ.

Модель, заданная в виде дифференциальных уравнений, должна включать в себя необходимый набор начальных условий:

Видео:7 класс, 3 урок, Что такое математическая модельСкачать

Рекомендуемые файлы

Исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, осуществляется аналитическими и численными методами. Наиболее полными являются аналитические решения, обеспечивающие всесторонний анализ полученных результатов. Но такие решения получены лишь для ограниченного числа дифференциальных уравнений. Численные методы решения позволяют найти лишь конкретные значения изучаемой функции при заданной комбинации исходных данных. Для анализа модели можно использовать некоторую совокупность решений. Однако, очевидно, что результаты анализа в этом случае могут зависеть от выбора этой совокупности.

Возмущающая сила, вызывающая колебания, зависит от времени f(t). Наряду с возмущающей силой f(t) на груз действует сила инерции , сила вязкого трения , усилие пружины . Все эти силы тормозят движение груза.

Согласно принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на груз должна равняться нулю:

. (2.18)

Начальные условия характеризуют начальное положение и начальную скорость груза:

x(0) = x₀; . (2.19)

Уравнение (2.18) совместно с начальными условиями (2.19) представляет собой математическую модель рассматриваемой механической системы.

Видео:Уравнения с модулемСкачать

2.6. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных

Ряд задач, связанных с использованием физических полей, приводит к моделям в виде дифференциальных уравнений в частных производных.

Особенностью таких задач является то, что изучаемые параметры изменяются не только во времени, но и зависят от координат x, y, z рассматриваемого пространства. Такие модели называются нестационарными. Модели, в которых параметры не зависят от времени, называются стационарными.

К таким моделям сводятся описания полей температур в элементах конструкции двигателя и полей скоростей при течении жидкости (газа). Уравнениями в частных производных описываются колебания элементов конструкции и поля напряжений, возникающих при работе этих элементов.

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид

.

Математическая модель, описанная дифференциальными уравнениями в частных производных, должна включать в себя необходимые для решения задачи краевые условия:

1. Должна быть задана область D, ограниченная поверхностью (на плоскости – кривой) G , в которой определяется решение.

2. Должны быть заданы условия на границе G этой области.

В случае нестационарного поля эти граничные условия, так же как и сама область могут меняться во времени.

Граничные условия могут быть 1-го, 2-го и 3-го рода:

а) Граничные условия 1-го рода предусматривают задание на границе величины искомой функции:

– для стационарного поля;

– для нестационарного поля.

б) Граничные условия 2-го рода – предусматривают задание производной искомой функции:

– для стационарного поля;

– для нестационарного поля.

в) Граничные условия 3-го рода – предусматривают комбинации функции и ее производной:

– для стационарного поля;

– для нестационарного поля.

3. Для нестационарных полей должны быть заданы одно или два начальных условия, характеризующих состояние поля в начальный момент времени:

(i = 1, 2, 3).

Здесь x_i – координаты пространства.

Совокупность уравнений и краевых (и начальных) условий полностью определяет модель и позволяет провести ее исследование.

Решение часто задается в виде семейств изолиний F = const (Рис. 2.11).

В качестве примера рассмотрим хорошо изолированный металлический пруток, нагреваемый с одной стороны. С другой стороны помещен измеритель температуры (Рис. 2.12). Величина подогрева x(t) в момент времени t является входным сигналом, а измеряемая на другом конце температура y(t) – выходным сигналом.

Обозначим через x расстояние от измерителя до точки прутка. Температура в этой точке z будет описываться функцией вида

Уравнение теплопроводности для одномерного случая для определения функции z будет иметь вид:

,

где K – коэффициент теплопроводности.

Начальным условием в данном случае является начальное распределение температуры (при t = 0) по прутку: z(0, x) = j(x).

Граничные условия определяются двумя условиями:

а) Нагрев прутка на правом конце

.

б) На левом конце подвод тепла отсутствует

.

в) Показания на измерителе температур (x = 0) в момент времени t определяется следующим выражением

.

Таким образом, для вычисления температуры на расстоянии L от измерителя по формуле для y(t) необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение с учетом начальных и граничных условий, т.е. получить функцию z(t,x). Затем следует проградуировать измеритель температуры, т.е. определить соответствие между x(t) и y(t), задавая различные значения x(t) и вычисляя .

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Контрольные вопросы к лекции 5

1. Где используются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

2. Что должна включать в себя математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

3. Какими методами осуществляется исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

4. Запишите математическую модель движения груза массой m, закрепленного на вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью С и совершающего колебательное движение вдоль оси х в среде с вязкостью n.

5. Какой принцип используется при построении этой модели?

6. К какому типу относится эта модель?

7. Где используются математические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

8. Что является особенностью математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

9. Что должна включать в себя математическая модель в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

10. Какого типа бывают граничные условия?

11. Приведите математическую модель распределения температурного поля в металлическом прутке, нагреваемом с одной стороны.

🔍 Видео

Тихонов Н. А. - Основы математического моделирования - Типы математических моделей (Лекция 1)Скачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций (урок 1)Скачать

ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

9 класс, 14 урок, Системы уравнений как математические модели реальных ситуацийСкачать

Математическая модель. Видеоурок по алгебре 7 классСкачать

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - алгебра 8 классСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Математическое моделирование - Лекция 1 (09.02.07)Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

8 класс, 28 урок, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуацийСкачать