Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Содержание
  1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ АВТОМАТИЗАЦИИ
  2. 2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.4 — 2.8
  3. 2.4 Основные виды входных воздействий
  4. 2.4.1. Единичное ступенчатое воздействие
  5. 2.4.2. Единичное импульсное воздействие: δ — функция Дирака
  6. 2.4.3. Единичное гармоническое воздействие
  7. 2.4.4. Линейное воздействие
  8. 2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа
  9. 2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования
  10. 2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования
  11. 2.6. Основные свойства преобразований Лапласа
  12. 2.6.1. Свойство линейности
  13. 2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)
  14. 2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)
  15. 2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости
  16. 2.6.5. Первая предельная теорема
  17. 2.6.6.Вторая предельная теорема
  18. 2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа по известному изображению
  19. 2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению
  20. Электронный учебник по ТАУ (теория автоматического управления)
  21. ТАУ ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ: Модели «вход-выход»
  22. 1) Дифференциальные уравнения типовых звеньев и систем
  23. Постановка задачи математического описания линейной САУ
  24. Понятие динамического звена
  25. Дифференциальное уравнение динамического звена
  26. Дифференциальное уравнение САУ
  27. Типовые соединения динамических звеньев
  28. Структурная схема одноконтурной САУ
  29. Передаточные функции САУ
  30. F z ( s )
  31. Эквивалентные преобразования структурных схем
  32. Типовые воздействия
  33. Временн Ï е характеристики динамических звеньев и САУ
  34. Частотные характеристики
  35. Частотные характеристики динамических звеньев
  36. Понятие об идентификации
  37. 💡 Видео

Видео:2) ТАУ для чайников. Часть 2.1: Математические модели...Скачать

2) ТАУ  для чайников. Часть 2.1: Математические модели...

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ АВТОМАТИЗАЦИИ

Классификация математических моделей. Поскольку многие современные ТП очень сложные, для создания САУ необходимо располагать математическим описанием процессов, происходящих как в самой системе, так и в ее элементах.

Под математическим описанием (математической моделью) подразумевается совокупность уравнений и граничных условий, описывающих зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах. В связи с этим различают математические модели двух классов:

установившегося режима (статическая модель)] переходного режима (динамическая модель).

Динамические модели имеют вид уравнений, описывающих изменение во времени выходных величин систем (элементов) в зависимости от изменения входных. Эти уравнения, как правило, записывают в дифференциальной форме. Их частный случай — дифференциальные уравнения нулевого порядка (алгебраические уравнения) — описывают установившийся режим.

Таким образом, в общем случае математической моделью системы (элемента) с т входными <xt,x2. xm =А’> и п выходными координатами <у,у2,—,у„ =У> называют совокупность уравнений Y =F(X;a), однозначно описывающих поведение величины у при заданных векторах X и а, где а — характеристика системы (элемента).

Математическая модель может быть получена аналитическим или экспериментальным методом. В последнем случае она может быть детерминированной (выходная величина однозначно определяется входной) или статистической (входные воздействия носят случайный характер).

Дифференциальные уравнения простых объектов автоматизации можно составить, используя закономерность происходящих в них физических явлений. Такими закономерностями могут быть закон сохранения вещества (объект регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объект регулирования температурой), законы электротехники и т. д. Уравнения статических и переходных режимов составляют на базе уравнений балансов вещества или энергии.

При составлении дифференциальных уравнений сложного объекта (системы) он (она) должен быть расчленен на ряд простейших элементов, соединенных последовательно. Для каждого из этих элементов составляют математическую модель статики или динамики, а затем получают дифференциальное уравнение объекта (системы), исключая промежуточные величины. В большинстве случаев уравнения элементов нелинейны, и поэтому дифференциальное уравнение системы, как правило, тоже нелинейно и подлежит линеаризации.

С целью упрощения задачи при аналитическом методе построения математической модели допускают определенные упрощения (пренебрегают распределенностью параметров, исключают некоторые возмущающие воздействия и т.д.).

В качестве примера рассмотрим процесс вентиляции животноводческого помещения объемом Vс содержанием диоксида углерода Со (%) при производительности а (м’/мин). Входная величина объекта — производительность вентиляторов, выходная — концентрация диоксида углерода в помещении. Обозначим содержание диоксида углерода в воздухе в момент времени Г через х(%). Составим за промежуток времени dr (мин), прошедший от момента г, баланс диоксида углерода, содержащегося в помещении. За это время вентиляторы доставили в помещение количество воздуха, равное 0,01 С0 adt. Следовательно, всего за период dr количество диоксида углерода (м 3 ) в воздухе уменьшилось на dV= = (0,01x-0,01C0)ad/.

Обозначив через dx процентное уменьшение количества диоксида углерода в воздухе, это же количество можно подсчитать по другой формуле

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Приравнивая между собой оба выражения для d К, составляем дифференциальное уравнение:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Разделяя переменные, находим

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Чтобы получить такое простое уравнение, пришлось допустить, что концентрация диоксида углерода во всех частях помещения в каждый момент времени одинаковая, т. е. чистый воздух смешивается с загрязненным практически мгновенно.

Методы идентификации объекта. Известны два метода экспериментального определения (идентификации) характеристик объектов автоматизации — активный и пассивный. В первом методе испытательное воздействие стандартной формы задают искусственно, во втором — объект исследуют, сопоставляя выходные и входные величины в условиях его нормальной эксплуатации.

Выбор метода идентификации объекта автоматизации определяется характером поставленной задачи, условиями опытов, характером эксплуатационных возмущений и допустимыми по технологическим требованиям отклонениями исследуемых величин.

Метод активного эксперимента по исследованию статических характеристик проводят в следующем порядке.

  • 1. Изучают ТП, оборудование и устанавливают взаимные связи между входными х и выходными у координатами.
  • 2. Каждую входную величину изменяют ступенчато в пределах рабочего диапазона и спустя (2. 3) Ту (здесь Ту длительность переходного процесса) фиксируют значение выходной величины у. Например, для определения статических характеристик зимней теплицы с водяным обогревом следует установить ряд соотношений между расходом воды через регулирующий клапан и температурой воздуха в средней точке теплицы. При этом температуру следует измерять после стабилизации температурного режима сооружения. Опыт повторяют по каждому из каналов исследования многократно (обычно 6. 10 раз).

3. Поскольку полученные зависимости у =Дхь х2. ) могут быть искажены помехой, их следует сгладить, используя один из известных методов. Например, метод скользящего среднего или метод наименьших квадратов. При подборе аппроксимирующей функции необходимо учитывать два требования:

функция должна с максимальной точностью воспроизводить реальную зависимость;

функция должна быть простой и удобной для использования в качестве расчетной формулы.

При выборе вида аппроксимирующей функции целесообразно обратить внимание на известную информацию об изучаемом процессе. Вполне вероятно, что идентифицируемое явление ранее уже исследовалось и на сегодняшний день известны физические закономерности, определяющие взаимосвязь входных и выходных величин. В этих случаях для математического описания процесса могут быть использованы такие распространенные зависимости, как экспоненциальные, тригонометрические, а также двухпараметрические функции вида у — а + b/х; у= 1/д + bx; у = /а = b lax; у = ае ь/х и т. д.

Если физических предпосылок к выбору той или иной функции нет, то в качестве аппроксимирующего выражения можно использовать полином из ряда Тейлора:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Для таких выражений процедура нахождения значений параметров я, хорошо разработана, а соответствующие программы написаны практически на всех алгоритмических языках и введены в большинство общематематических прикладных пакетов.

Метод пассивного эксперимента по исследованию статических характеристик реализуют в такой последовательности.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Рис. 1.10. Эмпирическая линия регрессии при обработке результатов эксперимента

1. Диапазон изменения входной величины х разбивают на равные интервалы (6. 12)Дх и все л,-точки, попавшие в данный интервал, относят к середине интервала (рис. 1.10). Для каждого интервала находят среднее арифметическое значение ординат л,- точек, соединив которые, получают эмпирическую линию регрессии ЛВСДЕ.

Период квантования Т (время между отдельными замерами входных и выходных величин) принимают не менее чем время корреляции ткор. Время корреляции входной и выходной координат оказы-

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Рис. 1.11. Активный эксперимент по определению динамических характеристик:

а — ступенчатое возмущение; б— прямоугольный импульс

вается обычно неодинаковым, и период квантования выбирают по большему из них: Т> ткор тах. При выборе момента измерений ко- • ординат возможны два способа:

синхронный — х(Г) и y(t) измеряют одновременно в моменты времени t =0; 2T. JT. Недостаток этого способа — зависимость точности измерений от инерционности объекта;

асинхронный — величину х(/) измеряют на т раньше, чем y(t), в этот момент y(Jt) в наибольшей степени коррелирует с x(jt— т). Время т определяют по максимуму взаимно корреляционной функции.

Длительность эксперимента зависит от периода квантования Т и числа дискрет d. Если входная и выходная координаты подчиняются нормальному закону распределения и уравнение регрессии линейно, то (20. 30)Ai, где А: — число неизвестных коэффициентов уравнения регрессии. Тогда длительность эксперимента Тэ >Td.

  • 2. Определяют параметры уравнения регрессии, описывающего теоретическую прямую. Теоретическая прямая — это линия (FL на рис. 1.10), к которой стремится эмпирическая линия регрессии при /->»о. Как и при обработке результатов активного эксперимента, параметры уравнения регрессии лучше всего определять методом наименьших квадратов.
  • 3. Оценивают меру тесноты связи исследуемых параметров. В

случае линейной зависимости y=j <x)используют коэффициент корреляции Rxy, а в случае нелинейной — корреляционное отношение Tijj,. Оба названных показателя по модулю изменяются от 0 до 1. Если Rxy или rix,, равны нулю, то связи между у их нет. Если же эти показатели равны какому-то числу между 0 и 1, то связь есть, но на выходную величину у помимо х влияют и другие факторы. И, наконец, если R^ или равны 1, то связь между у их

есть, причем она носит не вероятностный, а функциональный характер.

Метод активного эксперимента по определению динамических характеристик объекта может быть осуществлен при использовании апериодических или периодических входных воздействий. В первом случае в результате эксперимента получают временные характеристики (кривые разгона и т. д.), во втором — частотные характеристики. Апериодические входные воздействия типа ступенчатого возмущения (рис. 1.11, а) или прямоугольного импульса (рис. 1.11, 6) реализуют, перемещая регулирующий орган на 5. 15% его полного хода. Эксперимент желательно проводить при нагрузке объекта, соответствующей середине рабочего диапазона Хр. Начало и конец эксперимента должны соответствовать установившемуся значению выходной величины, т. е. Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где Ту— время окончания переходного процесса: ориентировочно Ту = (2. 3)Г; Та — постоянная времени объекта.

По результатам эксперимента находят единичные переходные характеристики /*(/) = q(t)/A. Если они отличаются одна от другой при любом 0 -1 . Начальная частота колебаний сон = 1/7^, а конечная сок равна частоте среза, т. е.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Рис. 1.15. Прямоугольный входной импульс

той частоте, начиная с которой ^вых^к) = tg

Видео:3) ТАУ для чайников. Часть 2.2: Математические модели...Скачать

3) ТАУ для чайников. Часть 2.2: Математические модели...

2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.4 — 2.8

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В это части будут рассмотрены:
2.4 Основные виды входных воздействий
2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа
2.6. Основные свойства преобразований Лапласа
2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа
2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

Будет интересно познавательно и жестко.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
На рисунке 3D график функции косеканс куба, к теме лекции отношения не имеет, но чертовски красив.

2.4 Основные виды входных воздействий

Для того, что бы определить свойства системы нужно осуществить воздействие и посмотреть на реакцию.

В теории управления техническими системами принят ряд стандартных входных воздействий, по реакции на которые определяются динамические свойства (характеристики) системы управления (звена). К таким воздействиям относятся: единичное импульсное воздействие, единичное ступенчатое воздействие, единичное гармоническое воздействие, линейное воздействие и др. Рассмотрим их более подробно…

2.4.1. Единичное ступенчатое воздействие

Данное воздействие является одним из наиболее «жестких» (неблагоприятных) воздействий, по реакции на которое сравниваются переходные свойства (переходной процесс) идентичных или близко идентичных систем.

Реакция системы (звена) на такое воздействие называется переходной функцией.

Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t) и бывает 3-х видов: два асимметричных и одно симметричное.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Рассмотрим каждый из этих видов воздействий:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау0\ frac, если t=0\ 0, если t 0\ 0, если tleq0 end right. $» data-tex=»display»/>

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

В теории управления наибольшее распространение имеет асимметричное воздействие 1+ (t), поскольку часто в анализе удобно рассматривать процесс, когда при tВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау0 САР находится в равновесии, и анализ переходных процессов ведется только при t > 0.

Для удобства представления будем в дальнейшем записывать воздействие 1+(t), опуская индекс. 1+ (t) ≡ 1(t).

Поскольку рассматриваемое входное воздействие имеет разрыв при t = 0 (что часто нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать единичное ступенчатое воздействие, в виде неразрывной функции:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где Т – постоянная времени, а текущее время Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

На рисунке 2.4.2 представлена графическая иллюстрация аппроксимации 1(t) по формуле (2.4.2).

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.4.2. Единичное импульсное воздействие: δ — функция Дирака

В математике различают три вида данного воздействия: одно симметричное и два асимметричных

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Рассмотрим все эти воздействия:
Симметричное единичное импульсное воздействие δ (t) определено как:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау0\ infty, если t =0\ 0, если t

Графическая иллюстрация симметричного единичного импульсного воздействия представлена на рисунке 2.4.3. Фактически δ (t) – импульс (с длительностью стремящейся к нулю и амплитудой, равной бесконечности), площадь которого равна 1.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Для симметричного единичного импульсного воздействия δ(t) существует аналитическая форма представления:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Введем новую переменную Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, тогда:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Смещенные (асимметричные) единичные импульсные воздействия определяются как:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауepsilon leq 0\ infty, если t =epsilon \ 0, если t leq 0 end right. int_^ delta(t) dt = 1;$» data-tex=»display»/>

где Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины таусколь угодно малое положительное число (ε → 0)

Графическая иллюстрация смещенных единичных импульсных воздействий представлена на рисунке 2.4.4

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

В дальнейшем в нашем курсе будет использоваться только δ+ (t). ==> Индекс «+» опускается… ==> δ+ (t) ≡ δ(t).

Поскольку смещенное единичное импульсное воздействие фактически имеет разрыва при t = 0 (что иногда нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать смещенное единичное импульсное воздействие:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где Т – постоянная времени, а текущее время t>0.
На рисунке 2.4.5 представлена графическая иллюстрация аппроксимации δ(t) по формуле (2.4.3).

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Реакция САУ (звена) на воздействие δ (t) называется весовой функцией.

2.4.3. Единичное гармоническое воздействие

Данное воздействие используется для анализа частотных характеристик САУ (звена) в установившемся режиме колебаний в системе, т.е. свойства САУ (звена) исследуются при больших значениях t (времени), когда влияние начальных условий пренебрежимо мало и движение (колебания) системы определяются только входным внешним воздействием.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где ω — круговая частота, [1/с]; Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, где Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— частота в Герцах.

На рисунке 2.4.6 представлен график единичного гармонического воздействия.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Поскольку при анализе частотных характеристик САУ рассматривается режим установившихся вынужденных колебаний САУ (при больших значениях времени t, когда собственная составляющая переходного процесса пренебрежимо мала), то удобнее представить x(t) в показательной форме.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Необходимо отметить, что показательная форма – «комплексное» воздействие, и оно выглядит так (действительная и мнимая части условно показаны на рисунке 2.4.7):

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Действительная часть «комплексного» воздействия (Re) – на самом деле косинусоидальное воздействие. Но так как частотные характеристики САУ определяются в режиме установившихся гармонических колебаний (т.е. при «очень-очень» больших значениях t), то не важно, по какому закону вводилось единичное гармоническое воздействие – по «синусу» или по «косинусу».

2.4.4. Линейное воздействие

Данный вид входного воздействия используется для оценки точности систем управления, а именно, для определения скоростных ошибок.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где t ≥ 0, а при t Рисунок 2.4.8 – Линейное входное воздействие

2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа

Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) усоб(t) записывается в виде (если нет повторяющихся корней):

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

т.е. все члены уравнения имеют одну и ту же форму. Этот результат наводит на мысль: «а нельзя ли ввести какое-то преобразование, в результате которого уравнение динамики (дифференциальное) можно привести к чисто алгебраическому, решение которого не представляет проблем.» А если затем сделать соответствующее обратное преобразование, то получим усоб (t), то есть получим цепочку:

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауАлгебраическое уравнение Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауРешение Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауОбратное преобразование Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауРезультат.

Именно такими соображениями руководствовался Лаплас, предлагая такое преобразование, называемое в настоящее время преобразованием Лапласа.

Предположим, что имеется нестационарный процесс f(t). Лаплас предложил ввести интегральное преобразование, которое отображает f(t) на комплексную плоскость согласно соотношению:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где s = c+i⋅ω: ω ∈ ] -∞; +∞ [; с – абсцисса абсолютной сходимости
(обычно в курсе «УТС» с = 0); f(t) – прообраз (оригинал); F(s) – изображение (образ);

Символическое обозначение преобразования Лапласа:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Преобразование Лапласа существует, если при t Рис. 2.5.2

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

В соответствии с соотношением (2.5.1) переходной процесс f(t) отображается на комплексную плоскость, где каждому значению оператора Лапласа «s» соответствует свой вектор. Линия, соединяющая концы векторов называется годографом.

Обратное преобразование Лапласа определяется следующим соотношением:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Необходимо подчеркнуть, что если условие сходимости выполняется, то любому оригиналу соответствует изображение. Обратное преобразование Лапласа не всегда существует, т.е. если известно F(s), это не означает, что ему соответствует оригинал f(t)!

Прямое преобразование Лапласа символически обозначается:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Обратное преобразование Лапласа обозначается:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Существует двухстороннее преобразование Лапласа Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, частным случаем которого является обычное преобразование Лапласа

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Если при t ≤ 0 функция f(t) = 0, то Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Частным случаем двухстороннего преобразования Лапласа (при с = 0, т.е. s = i⋅ω) является преобразование Фурье, определяемое соотношениями:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования

Пусть известно Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауи его изображение по Лапласу: Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины таувыведем выражение для Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау.

Воспользуемся соотношением (2.5.1): Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, тогда получаем:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где: Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— начальное условия.
Если начальные условия равны нулю, то Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау;

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Аналогичным способом найдем изображение 2-ой производной:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Если при Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауравны нулю (нулевые начальные условия), то:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Обобщая на производную n-го порядка при нулевых начальных условиях, имеем:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования

Пусть известно Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауи его изображение по Лапласу: Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины таувыведем выражение для Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Если начальные условия равные нулю, то:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Таким образом, операция интегрирования в оригинале функции приводит появлению в её изображении “добавке”, равной 1/s.

2.6. Основные свойства преобразований Лапласа

2.6.1. Свойство линейности

Пусть есть процессы описываемые функциями Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауи Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, каждый из которых имеет свое изображение по Лапласу: Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау. Если Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауто:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Если Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, то:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)

Пусть Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— известно, необходимо найти Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)

Пусть Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— известно, необходимо найти Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.6.5. Первая предельная теорема

Если Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— известно, а так же существует Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, то:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Это означает, что оси «t» и «s» формально направлены в противоположные стороны, т.е. чем больше t, тем меньше s и наоборот.

2.6.6.Вторая предельная теорема

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа по известному изображению

Вычисление оригиналов по известному (данному) изображению можно выполнить:
— по соответствующим таблицам преобразований Лапласа;
— по формулам Хэвисайда;
— разложением на элементарные дроби;
— другими способами.

В математических справочниках приводятся обширные таблицы, по которым можно найти оригиналы большинства изображений. Приведем основыные преобразования:

Таблица основных преобразований Лапласа

Наименование функцииОригиналИзображение
1Единичная импульсная ф-цияδ(t)1
2Единичное ступенчатое воздействие1(t)Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
3Неединичные импульсное
и ступенчатое воздействия
a⋅ δ(t);
a⋅ 1(t)
Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
4ЭкспонентаВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
5Степенная функцияВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
6СинусоидаВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
7КосинусоидаВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
8Смещенная экспонентаВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
9Затухающая синусоидаВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау
10Затухающая косинусоидаВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауВиды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Однако, нередко бывают и случаи, когда необходимое преобразование отсутствует в таблицах. В этом случае используются различные специальные способы.

Например, если изображение F(s) можно представить в виде отношения полиномов по степеням «s», то наиболее общим и эффективным способом поиска оригинала является формула Хэвисайда.

Если Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау, где Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауи Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау– полиномы по степеням «s», то:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау– полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых полином Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауобращается в ноль;
Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау– кратность j – го полюса.

Если уравнение Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауимеет n различных корней, то это означает что полюса F(s) имеют кратность, равную единице, т.е. нет повторяющихся полюсов.

Необходимо отметить, что использование формулы (2.7.1) будет корректно только в том случае, когда степень полинома Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины таувыше степени полинома Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау. Если степени равны, то необходимо выделить целую часть (разделив «в столбик» полиномы) и чисто дробную часть, после чего для чисто дробной части корректна формула (2.7.1).

2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

В качестве иллюстрации возможностей формулы Хэвисайда рассмотрим следующий пример:

Пример 1. Предположим, что изображение F(s) некоторого неизвестного процесса f(t) равно:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Разложение на элементарные дроби.

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Если корни уравнение уравнения Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тауразличны, т.е. нет совпадающих, то:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

где Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— корни уравнения; Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— остаточный член (не разлагается на действительные дроби);

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Используя свойства линейности преобразований Лапласа, мы можем представить Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины таукак сумму преобразований:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Имеем известное изображение:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау— оригинал, при нулевых начальных условиях: Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Разложение на элементарные дроби:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Тогда изображение разложенное на элементарные дроби принимает такой вид, что его решение можно получить из таблиц:

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

Виды математических уравнений связывающих входные и выходные величины тау

В заключение несколько полезных ссылок теме описанной в этой лекции:

Видео:1) ТАУ (Теория автоматического управления) для чайников. Часть 1: основные понятия...Скачать

1) ТАУ (Теория автоматического управления) для чайников. Часть 1: основные понятия...

Электронный учебник по ТАУ (теория автоматического управления)

Видео:Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состояний

ТАУ ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ: Модели «вход-выход»

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

1) Дифференциальные уравнения типовых звеньев и систем

Постановка задачи математического описания линейной САУ

Понятие динамического звена

Дифференциальное уравнение динамического звена

В общем случае ДЗ описывают следующим ОДУ

где x(t) и y(t) – входная и выходная величины ДЗ;

a 2 – a 0 ; b 1 – b 0 – коэффициенты (постоянные) уравнения.

Более употребительны в ТАУ иные формы записи этого ДУ. Обычно уравнение (2.1) записывают в символическом виде

Для решения типовых задач ТАУ дифференциальное уравнение ДЗ (2.1) преобразуют по Лапласу (или Карсону-Хевисайду) заменой оператора дифференцирования p комплексной величиной преобразования Лапласа s = j w . Целью названного преобразования является замена операций дифференцирования и интегрирования оригиналов функций y(t) и x(t) алгебраическими действиями над их изображениями Y(s) и X(s), поскольку уравнение (2.1) преобразуется в алгебраическое

При нулевых начальных условиях p º s.

Если свободные члены a 0 = 1 и b 0 = 1, уравнение (2.3) приобретает нормированный вид .

Такую форму записи ДЗ или САУ называют первой стандартной символической (операторной) формой записи. Уравнения (2.1) — (2.4) относят к уравнениям типа «вход — выход«.

Дифференциальное уравнение САУ

В общем случае замкнутую САУ описывают неоднородным ДУ n-го порядка:

где x(t) – входная (управляющая или возмущаю­щая) величина;

y(t) – выходная (управляемая) величина;

К дифференцирующим звеньям (Д-звено) относят:

– идеальное Д-звено с ПФ

– реальное Д-звено с ПФ .

В таблице 2.1 представлены дифференциальные уравнения и переда­точные функции типовых ДЗ.

Типовые соединения динамических звеньев

Сложные элементы и САУ состоят из нескольких соединенных между собой звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися (типовыми) соединениями звеньев являются:

– встречно-параллельное (охват звена обратной связью).

При последовательном соединении ДЗ (рисунок 2.4) выходная величина каждого из звеньев y 1 и y 2 , кроме последнего звена, является входной величиной последующего звена.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соединенных l звеньев равна произведению ПФ этих звеньев: .

При параллельном соединении (рисунок 2.5) на вход всех звеньев поступает одна и та же входная величина x(t), а их выходные величины y 1 , y 2 и y 3 суммируются.

Эквивалентная передаточная функ­ция параллельно соединенных l звеньев равна сумме их ПФ:

Третье типовое соединение (рисунок 2.6), называемое встречно-параллельным, приводит к образованию замкнутой системы и состоит из двух звеньев. Звено с ПФ W п (s) образует прямую цепь (связь) передачи сигналов, а звено с ПФ W ос (s) осуществляет ОС.

Эквивалентная ПФ встречно-параллельного соединения звеньев определяется по формуле замыкания

В выражении (2.29) знак «+» соответствует отрицательной ОС, а знак «–» соответствует положительной ОС.

Структурная схема одноконтурной САУ

Алгоритмической структурной схемой САУ называют графическое представление ММ системы в соединении ДЗ, в котором каждой математической операции преобразования сигнала соответствует типовое звено, условно обозначаемое прямоугольником с указанием входных и выходных величин, а так же ПФ этого ДЗ.

Структурная схема типовой одноконтурной САУ показана на рисунке 2.7. На рисунке 2.8 изображена эквивалентная схема типовой САУ.

Очевидно, что эквивалентная схема проще, так как содержит меньше звеньев. Подобного упрощения достигают методом свертки (сущность метода см. п. 2.1.2.6). ПФ звеньев обеих схем связаны согласно (2.27) простейшим образом:

Структурная схема показывает строение САУ, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. По существу, структурная схема представляет собой графическую форму ММ САУ, что придает ей наглядность в изображении связей между ДЗ. Это позволяет легко находить по структурной схеме ПФ относительно любых входов и выходов. Для составления структурной схемы САУ необходимо иметь ее функциональную схему (см. п. 1.4) и дифференциальные уравнения или ПФ всех элементов системы.

Передаточные функции САУ

Структурная схема любой одноконтурной САР с любым количеством последовательно или параллельно соединенных звеньев, охваченных местными ОС, может быть сведена к типовой структурной схеме, показанной на рисунке 2.8. Основную ПФ, связывающую изображение выходной величины Y ( s ) с изображением задающего воздействия G ( s ), обозначают Ф( s ): ,

Для следящих систем характерно равенство W yg (s) = W(s). Структурная схема таких САУ показана на рисунке 2.9, а саму САУ называют системой с единичной ОС.

Основная ПФ названной САУ имеет вид .

Таким образом, основная ПФ Ф( s ) определяется по ПФ разомкнутой системы W(s).

Основная ПФ системы Ф(s) характе­ризует передачу САУ задающего воздействия g(t), его воспроизведение управляемой величиной y (t). Воспроизве­дение тем лучше, чем ближе Ф(s) к идеальному значению

ПФ разомкнутой САУ определяют по преобразованной структурной схеме САУ (рисунок 2.10). При этом контур регулирования полагают разомкнутым около сумматора и считают все возмущающие воздействия равными нулю (z = 0). ПФ разомкнутой типовой САУ определяется по формуле (2.27):

ПФ разомкнутой САУ W(s) характеризует соб­ственные динамические свойства САУ и позволяет определить ее устойчивость, а так же выбрать коррек­тирующее устройство для улучшения свойств САУ.

В общем случае ПФ разомкнутой САУ представляет собой дробно-рациональную функцию оператора s:

Реальные САУ всегда имеют m . Многочлен A(s) называют характеристическим полиномом разомкнутой САУ, а уравнение A(s) = 0 представляет собой характеристическое уравнение разомкнутой САУ

ПФ разомкнутой САУ обычно записывают в стандартной форме, при которой полиномы B(s) и A(s) имеют свободные члены и , т.е.

Величину v называют порядком астатизма САУ относительно задающего воздействия g(t).

Статические САУ характеризуются v = 0 и имеют ПФ вида .

Астатические САУ характеризуются астатизмом v ¹ 0. В случае v = 1 разомкнутая система имеет ПФ вида

так как свободный член полинома знаменателя A(s) равен нулю (a 0 = 0). Замкнутую САУ при этом называют астатической САУ первого порядка. Такая система содержит в прямой цепи одно И-звено. САУ с двумя И‑звеньями (v = 2) называют астатической САУ второго порядка.

Для определения влияния возмущения z(t) на управляемую величину y (t) структурную схему типовой САУ (рисунок 2.8) следует представить в виде, показанном на рисунке 2.11.

При этом звено с ПФ W 2 ( s ) образует собой прямую цепь, звенья с ПФ W 1 ( s ) и W 3 ( s ) – обратную связь. Тогда в соответствии с (2.29) ПФ замкнутой САУ по возмущению

что позволяет «свернуть» структурную схему САУ (рисунок 2.12) и изобразить САУ звеном с эквивалентной ПФ (2.40).

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

F z ( s )

ПФ F z ( s ) показывает влияние возмущения z(t) на управляемую величину y (t). Возмущение отклоняет её от заданного значения g (t) и уменьшает точность воспроизведения задающего воздействия. Это отрицательное влияние возмущения тем меньше, чем ближе F z ( s ) к идеальному значению F z ( s ) = 0.

При одновременном приложении к линейной САУ управляющего g(t) и возмущающего z(t) воздействий в соответствии с принципом наложения изображение регулируемой величины определяется следующим образом:

При исследовании САУ часто интересуются значением ошибки регулирования (1.1):

ПФ замкнутой САУ по ошибке определяется по следующей формуле:

Структурная схема системы с ПФ F e ( s ) вида (2.41) показана на рисунке 2.13. При этом считают, все внешние воздействия z(t) = 0, исключая задающее воздействие g (t).

Передаточная функция F e ( s ), как и F ( s ), характеризует воспроизведение управляемой величиной y (t) задающего воздействия g (t) (отработку задания). Воспроизведение тем лучше, чем ближе F e ( s ) к идеальному значению F e ( s ) = 0.

ПФ САУ по ошибке (2.41) позволяет рассчитать значение статической ошибки системы по следующей формуле:

Часто статическую ошибку принимают за оценку точности статической САУ.

Эквивалентные преобразования структурных схем

Структурную схему любой сложности путем последовательных преобразований можно привести к эквивалентной одноконтурной (рисунок 2.14). Условием эквивалентности является сохранение в процессе преобразований зависимости основных величин y(t), e (t) и y ос (t) от внешних воздействий z (t).

Эквивалентные преобразования структурных схем осуществляют по соответствующим правилам в следующей последовательности. Прежде всего каждое имеющееся в схеме типовое соединение звенев заменяют эквивалентным звеном. Затем целесообразно выполнить перенос точек разветвления (узлов) в соответствии с рисунком 2.15 и сумматоров в соответствии с рисунком 2.16, чтобы в преобразованной таким образом схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять должны быть заменены эквивалентными звеньями. Узел может быть перенесен назад через звено W 1 ( s ) или вперед через звено W 2 ( s ). В первом случае в ответвление включают звено с ПФ W 1 ( s ), во втором – звено с ПФ 1/ W 2 ( s ). Подобным образом поступают при переносе сумматора.

Таким образом, указанные правила позволяют преобразовать сложные структурные схемы многоконтурных САУ с перекрещивающимися связями, а также с несколькими входами и выходами. Преобразование структурных схем позволяет определить ПФ САУ любой сложности.

Типовые воздействия

Работа многих САУ сопровождается резкими изменениями внешних воздействий (например, уменьшением или увеличением нагрузки и т.п.). Важно оценить поведение САУ в таких ситуациях, т.е. выяснить, насколько значительным будет отклонение от нормального режима работы и насколько быстро и точно оно будет устранено регулятором. Для того, чтобы сравнить поведение при этом различных САУ и элементов, рассматривают строго определенное, нормированное, изменение воздействий. Таким типовым изменением воздействия считают мгновенное его изменение от нуля до единицы. Для математической записи используют единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисайда):

Другим часто встречающимся изменением внешних воздействий являются их кратковременные, но значимые всплески, импульсы. Например, ударная нагрузка на двигатель, порывы ветра, действующие на летательный аппарат и т.п. Нормированным (стандартным) импульсным воздействием счи­тают единичный импульс, т.е. импульс, произведение длитель­ности которого на его ампли­туду равно единице.

Предел, к которому стре­мится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю T ® 0, есть единичная импульсная функция ( d -функция или функция Дирака):

Приблизительно d -функцию можно представить как очень узкий прямоугольный импульс длительности T и амплитуды около начала координат (рисунок 2.18), так что его площадь (интеграл) равна единице: .

Это равенство описывает основное свойство d -функции. Кроме того, считают, что d -функция равна первой производной единичной ступенчатой функции

Рассмотренные воздействия относят к динамическим, так как с их помощью анализируют динамические свойства САУ (см. п. 2.14).

Свойства элементов и САУ оценивают также в установившихся режимах. Для этого к системе или элементу прикладывают периодическое воздействие. Наиболее часто используют гармоническое воздействие вида

Такой выбор обусловлен тем, что любое реальное периодическое воздействие может быть представлено рядом гармонических составляющих (рядом Фурье): .

Реакцию линейной САУ на реальное воздействие определяют методом наложения (суперпозиции).

Временн Ï е характеристики динамических звеньев и САУ

К временн Ï м (динамическим) характеристикам САР относят переходную и импульсную характеристики.

Переходной характеристикой (функцией) h(t) называют функцию, описывающую аналитически или графически изменение выходной величины звена или САУ y(t), вызванное единичным ступенчатым воздействием x ( t ) = 1( t ) на входе звена или САУ при нулевых начальных условиях. Другими словами h(t) есть реакция звена или САУ на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходные характеристики и функции типовых ДЗ представлены в таблице 2.2.

Импульсной характеристикой (функцией) или весовой характеристикой звена или САУ w(t) называют характеристику, описывающую реакцию ДЗ или САУ на единичное импульсное воздействие на входе звена или САУ при нулевых начальных условиях. Импульсные характеристики и функции типовых ДЗ представлены в таблице 2.3

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)

Частотные характеристики

В тех случаях, когда протекающие процессы в САУ изучены слабо, и вывод ДУ, описывающих эти САУ, затруднен, в основу математического моделирования кладут не уравнения движения, а так называемые частотные характеристики (ЧХ) систем.

Частотные характеристики динамических звеньев

Если на вход стационарного ДЗ (рисунок 2.1) действует гармонический сигнал то на выходе ДЗ установится также гармонической сигнал той же угловой частоты w , но с измененными амплитудой Y m и начальной фазой y 2 (рисунок 2.19). Эти изменения зависят как от свойств самого ДЗ, так и от угловой частоты входного воздействия.

Отношение амплитуд выходного и входного сигналов

разность их фаз

j ( w ) = y 2 — y 1

являются функциями частоты. Их называют соответственно амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазово-частотной характерис­тикой (ФЧХ) звена.

Эти характеристики показывают, что линейное ДЗ изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала: в установившемся режиме амплитуда уменьшается или увеличивается в A раз, а фазовый сдвиг уменьшается или увеличивается на j градусов (радиан) при изменении угловой частоты w . Частотные характеристики зависят от свойств ДЗ, но не зависят от амплитуды и фазы входного воздействия. АЧХ может служить для оценки фильтрующих свойств, а ФЧХ – инерционных свойств ДЗ.

Частотные характеристики всякого элемента САУ связаны с его ПФ W ( s ). Подставляя в выражение ПФ вместо оператора Лапласа s мнимую величину j w , получают комплексную функцию частоты W(j w ), которую называют частотной передаточной функцией. Эта функция при любой частоте w является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательном виде

Следовательно, модуль и аргумент частотной ПФ определяют соответственно АЧХ и ФЧХ звена.

Частотная ПФ, как комплексная функция, может быть также представлена и в алгебраическом виде

где U ( w ); V ( w ) – функции частоты, называемые соответственно вещественной (действительной) и мнимой ЧХ.

Они не имеют конкретного физического смысла, но используются в расчетах и определяются по формулам:

Частотные характеристики связаны между собой известными соотношениями (рисунок 2.20):

Если частотная ПФ задана в алгебраи­ческом виде (2.55), преобразование ее к показательному виду (2.52) осуществляют по формулам (2.58). Соотношения (2.59) позволяют осуществить при необходимости обратное преобразование.

Кроме аналитического описания ЧХ изображают графически в декартовых координатах. Построение АЧХ и ФЧХ осуществляют по формулам (2.53) и (2.54). На рисунках 2.21 и 2.22 изображены в самом общем виде соответственно АЧХ и ФЧХ обыкновенных инерционных ДЗ или САУ. В таблице 2.4 приведены АЧХ и ФЧХ типовых ДЗ.

К обычным ЧХ относят ампли­тудно-фазовую частотную характе­ристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой годограф частотной ПФ W(j w ), т.е. геометрическое место концов вектора W(j w ) при изменении частоты w от 0 до ± ¥ . Эту характеристику строят на комплексной плоскости в полярных ( A , w ) или декартовых ( U , V ) координатах конца вектора W(j w ) по формулам (2.52), (2.53) или (2.55), (2.56).

Типичный годограф W(j w ) обыкно­венного инерционного ДЗ показан на рисунке 2.20 в диапазоне частот — ¥ w + ¥ . Рабочая ветвь годографа соответствует физически реализуемым положительным частотам w ³ 0. Фазовые углы j ( w ) отсчитывают от положительной действительной полуоси (+1) против движения часовой стрелки. Инерционные звенья характеризуются отрицательными фазовыми углами j ( w ) Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазово-частотная (ЛФЧХ) характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств как на малых, так на средних и высоких частотах.

Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуды при одинаковой наглядности изменения больших и малых амплитуд.

В качестве примера на рисунках 2.23 и 2.24 показаны АЧХ одного и того же А-звена первого порядка (k = 1 и T = 10) в диапазонах частот, отличающихся только на один порядок. По второму графику практически не возможно судить о свойствах исследуемого ДЗ в области малых частот w

Для сравнения на рисунке 2.25 изображена ЛАЧХ указанного А-звена в диапазоне частот 0 w 4. Очевидно, что ЧХ, построенная в логарифмических координатах, точно передает характер исследуемой зависимости на всех частотах. Кроме того, значительные непрямолинейные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями – асимптотами. В этом случае ЛАЧХ изображают отрезками прямых (асимптот) и называют асимптотической или приближенной ЛАЧХ (рисунок 2.26).

Асимптоты имеют отрицательный и положительный наклон, кратный 20 дБ на декаду. Для построения асимптотической ЛАЧХ проводят простые вычисления, так как любую асимптоту можно построить по двум точкам. При построении ЛАЧХ (рисунок 2.25) по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т.е. наносят отметки, соответствующие lg W , где – относительная частота. Однако около этих отметок указывают частоты w . Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называют декадой ( ), а отрезок, соответствующий изменению частоты в два раза, – октавой ( ). Декада и октава – равномерные единицы на оси абсцисс. Нуль оси обсцисс лежит слева в бесконечности, так как lg0 = — ¥ . Поэтому при построении ЛАЧХ выбирают такой отрезок оси абсцисс, который охватывает требуемый диапазон частот ( w 1 , w 2 ), например, полосу пропускания (0, w п ). В качестве «базовой» частоты w 2 удобно в этом случае принять частоту среза, т.е. w 2 = w ср (рисунок 2.21). По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе в децибеллах (дБ) логарифми­ческую амплитуду

Децибелл является единицей логарифмической относительной величины. Изменение отношения двух амплитуд в 10 раз ( ) соответствует изменению усиления на 20 дБ (см. таблицу 2.5).

ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ. По оси ординат ЛФЧХ откладывают в равномерном масштабе угол фазового сдвига j . Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изменения фазы можно было сопоставлять с изменениями амплитуды.

Точные и приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых ДЗ приведены в таблице 2.6.

В англоязычной технической литературе и современных математических системах (M A TLAB, Maple и др.) ЛАЧХ и ЛФЧХ называют диаграммами Боде ( Bode diagramms ).

Понятие об идентификации

Идентификацией динамической системы называют получение или уточнение по экспериментальным данным ММ этой системы. ММ может быть выражена ДУ, ПФ и т.п. Получение ММ в таком виде составляет задачу непараметрической идентификации. Параметры модели являются результатом параметрической идентификации.

Классическими методами непараметрической идентификации линей­ных САУ или ее элементов являются:

– метод временн Ï х характеристик;

– метод частотных характеристик;

– метод корреляционных функций.

К прямым методам параметрической идентификации относят:

– метод наименьших квадратов;

– метод сумм произведений и др.

Выбор того или иного метода идентификации и оценки параметров ММ зависит от априорной информации об объекте исследования и требованиях, предъявляемых к ММ. На практике чаще используют метод временн Ï х характеристик как более простой в организации эксперимента. Если эксперимент проводят для получения переходной характеристики h(t), метод называют методом переходных характеристик (функций). Традиционно объединяют метод переходных характеристик с регрессионным анализом, основу которого составляет метод наименьших квадратов (МНК). Созданная таким образом ММ является регрессионной моделью, качество которой гарантированно статистически.

Сущность метода переходных характеристик заключается в следующем. До начала эксперимента изучают объект идентификации и разрабатывают программу его исследования, а также оценивают возможность считать объект линейным, стационарным, с сосредоточенными параметрами. Названные допущения позволяют описать динамические свойства исследуемого объекта ОДУ (2.5) или ПФ. Если объектом идентификации является элемент САУ, то по его физическим свойствам предварительно выбирают ММ из числа типовых ДЗ (см. п. 2.1.2.2). Затем проводят активный эксперимент. Для этого сначала приводят исследуемый объект в исходное установившееся состояние. После этого ступенчато изменяют входное воздействие на D x и регистрируют соответствующее изменение во времени выходной величины D y = f ( t ). Эту зависимость называют разгонной характеристикой (см. п. 3.2) и обозначают y ( t ). По достижении объектом нового установившегося состояния прекращают эксперимент. Полученную экспериментально разгонную характеристику y ( t ) аппроксимируют теоретической переходной функцией h ( t ). Эта функция является решением ОДУ, принятого в качестве ММ объекта идентификации. Аппроксимирующую переходную функцию h ( t ) выбирают первоначально из переходных функций типовых ДЗ (см. таблицу 2.2) при условии наибольшего соответствия характеристик y ( t ) и h ( t ) друг другу. Типовое ДЗ, переходная функция которого выбрана в качестве аппроксимирующей, таким образом, принимается в качестве ММ исследуемого объекта. Определяется порядок ОДУ, решением которого является аппроксимирующая характеристика h ( t ). Уравнение характеристики h ( t ) записывают в явном виде (см. таблицу 2.1). В этом уравнении неизвестными остаются только коэффициенты. Их находят решением обратной задачи: по известным значениям функции h ( t ) и соответствующим им значениям аргумента (времени t ) рассчитывают неизвестные коэффициенты. Эта задача является оптимизационной в том смысле, что искомые коэффициенты должны обеспечить минимум расхождения между характеристиками h ( t ) и y ( t ). В качестве критерия расхождения чаще всего принимают минимум суммы квадратов ошибок по всей совокупности измерений (принцип Лежандра):

Этот метод называют методом наименьших квадратов (МНК). С его помощью строят уравнение регрессии h ( t ), которым аппроксимируют разгонную характеристику y ( t ). Идентификация будет полной, если будет доказана адекватность принятой ММ. Названную модель считают адекватной, если расхождение между характеристиками h ( t ) и y ( t ) является незначительным в статистическом смысле. Оценку адекватности уравнения регрессии в целом проводят по F -критерию Фишера. При положительном результате проверки уравнения регрессии оценивают значимость его коэффициентов по t -критерию Стьюдента. Одновременно коэффициенты уравнения регрессии являются коэффициентами ММ.

💡 Видео

Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты нелинейных и линейных диф. уравненийСкачать

ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты нелинейных и линейных диф. уравнений

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.

ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты систем нелинейных диф. уравненийСкачать

ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты систем нелинейных диф. уравнений

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системыСкачать

Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системы

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

ОГЭ по математике. Решаем уравнения | Математика
Поделиться или сохранить к себе: