Виды или типы канонических уравнений

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M 1 ( x 1 , y 1 ) , а также ее направляющего вектора a → = ( a x , a y ) . Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку M ( x , y ) . Тогда вектор M 1 M → можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны x — x 1 , y — y 1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек M ( x , y ) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) только в одном случае – если векторы M 1 M → и a → = ( a x , a y ) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку:

Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

M 1 M → = λ · a → , λ ∈ R

Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y

При условии, что a x ≠ 0 и a y ≠ 0 , получим:

x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Таким образом, с помощью уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) и проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Примером уравнения подобного типа является, например, x — 2 3 = y — 3 1 . Прямая, которая задана с его помощью, проходит через M 1 ( 2 , 3 ) и имеет направляющий вектор a → = 3 , 1 . Ее можно увидеть на рисунке:

Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

1. Если прямая, имеющая направляющий вектор a → = ( a x , a y ) , проходит через две точки – M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , то уравнение для нее может быть записано как в виде x — x 1 a x = y — y 1 a y , так и x — x 2 a x = y — y 2 a y .

2. Если заданная прямая имеет направляющий вектор с координатами a → = ( a x , a y ) , то множество всех ее векторов можно обозначить как μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Таким образом, любое уравнение прямой в каноническом виде x — x 1 μ · a x = y — y 1 μ · a y будет соответствовать этой прямой.

Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

В прямоугольной системе координат на плоскости задана прямая, которая проходит через точку M 1 ( 2 , — 4 ) и имеет направляющий вектор с координатами a → = ( 1 , — 3 ) . Запишите каноническое уравнение, описывающее данную прямую.

Решение

Для начала вспомним общий вид нужного нам канонического уравнения – x — x 1 a x = y — y 1 a y . Подставим в него имеющиеся значения x 1 = 2 , y 1 = — 4 , a x = 1 , a y = — 3 и подсчитаем:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — 2 1 = y — ( — 4 ) — 3 ⇔ x — 2 1 = y + 4 — 3

Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.

Ответ: x — 2 1 = y + 4 — 3

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Канонические уравнения прямой на плоскости с a x или a y , равными нулю

Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной и понимать ее как равенство a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x — x 1 0 = y — y 1 a y при a x = 0 , а исходная прямая будет проходить через M 1 ( x 1 , y 1 ) . В таком случае она является параллельной оси ординат (если x 1 = 0 , то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

Для этой прямой вектор a → = ( 0 , a y ) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j → = ( 0 , 1 ) .

Если же нулевым является значение второго параметра, то есть a y = 0 , то мы получаем равенство вида x — x 1 a x = y — y 1 0 . Это уравнение описывает прямую, проходящую через M 1 ( x 1 , y 1 ) , которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a → = ( a x , 0 ) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i → = ( 1 , 0 ) .

Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

На плоскости задана прямая, параллельная оси O y . Известно, что она проходит через точку M 1 2 3 , — 1 7 . Запишите каноническое уравнение для нее.

Решение

Если прямая по отношению оси ординат является параллельной, то мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) в качестве направляющего для нее. В таком случае искомое уравнение выглядит следующим образом:

x — 2 3 0 = y — — 1 7 1 ⇔ x — 2 3 0 = y + 1 7 1

Ответ: x — 2 3 0 = y + 1 7 1

На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.

Решение

Мы видим, что исходная прямая проходит параллельно оси O x через точку M 1 ( 0 , 3 ) . Мы берем координатный вектор i → = ( 1 , 0 ) в качестве направляющего. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужное уравнение.

x — 0 1 = y — 3 0 ⇔ x 1 = y — 3 0

Ответ: x 1 = y — 3 0

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

Стандартной форме записи канонического уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ . Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ . После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y :

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ ⇔ x — x 1 a x = λ y — y 1 a y = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

У нас есть прямая, заданная на плоскости с помощью канонического уравнения x + 2 3 = y — 1 11 . Запишите параметрические уравнения исходной прямой.

Решение

Сначала поставим знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной λ и получим x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ .

Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:

x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ ⇔ x + 2 = 3 · λ y — 1 = 11 · λ ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ

Ответ: x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ

Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись a b = c d можно представить в виде a · d = b · c с сохранением смысла. Значит, что x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 .

Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров a y = A , — a x = B , — a y x 1 + a x y 1 = C .

Прямая на плоскости описана с помощью канонического уравнения x — 1 2 = y + 4 0 . Вычислите общее уравнение этой прямой.

Решение

Делаем указанные выше действия по порядку.

x — 1 2 = y + 4 0 ⇔ 0 · ( x — 1 ) = 2 · ( y + 4 ) ⇔ y + 4 = 0

Ответ: y + 4 = 0 .

Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

На плоскости задана прямая с помощью уравнения x + 3 3 = y — 2 2 . Запишите уравнение этой же прямой в отрезках.

Решение

Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.

x + 3 3 = y — 2 2 ⇔ 2 · ( x + 3 ) = 3 · ( y — 2 ) ⇔ 2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0

Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.

2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0 ⇔ 2 x — 3 y = — 6 + 2 3 ⇔ ⇔ 2 — ( 6 + 2 3 ) x — 3 — ( 6 + 2 3 ) y = 1 ⇔ x — 6 + 2 3 2 + y 6 + 2 3 3 = 1 ⇔ x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1

Ответ: x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1

Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – A x + B y + C = 0 . При условии A ≠ 0 мы можем перенести B y вправо с противоположным знаком. Получим A x + C = — B y . Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:

Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x + C A — B = y A .

У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

А как сделать преобразование, если B ≠ 0 ? Переносим все слагаемые, кроме A x , вправо с противоположными знаками. Получаем, что A x = — B y — C . Выносим — B за скобки:

Формируем пропорцию: x — B = y + C B A

Есть общее уравнение прямой x + 3 y — 1 = 0 . Перепишите его в каноническом виде.

Решение

Оставим с левой стороны только одну переменную x . Получим:

Теперь вынесем — 3 за скобки: x = — 3 y — 1 3 . Преобразуем равенство в пропорцию и получим необходимый ответ:

Ответ: x — 3 = y — 1 3 1

Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

Прямая на плоскости описана с помощью системы параметрических уравнений x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Запишите каноническое уравнение для этой прямой.

Решение

Для начала преобразуем исходные уравнения в систему x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Следующим шагом будет выражение параметра в каждом уравнении:

x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Ставим знак равенства между получившимися частями и получаем нужное нам каноническое уравнение: x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

Как решать задачи на составление канонических уравнений

В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

На плоскости задана прямая, каноническое уравнение которой имеет вид x — 1 2 = y + 1 2 — 3 . Выясните, лежат ли на ней точки M 1 3 , — 3 1 2 и M 2 ( 5 , — 4 ) .

Решение

Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.

3 — 1 2 = — 3 1 2 + 1 2 — 2 ⇔ 1 = 1

Результат говорит нам, что точка M 1 3 , — 3 1 2 принадлежит исходной прямой.

Точно так же поступим и с координатами второй точки:

5 — 1 2 = — 4 + 1 2 — 3 ⇔ 2 = 7 6

Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.

Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.

Есть две точки M 1 ( 2 , 4 ) и M 2 ( — 1 , 3 ) . Будет ли прямая, которая задана в той же плоскости с помощью уравнения x — 2 0 = y — 3 2 , проходить через них?

Решение

Вспомним, что запись x — 2 0 = y — 3 2 можно понимать как 2 · ( x — 2 ) = 0 · ( y — 3 ) ⇔ x — 2 = 0 . Подставим координаты заданных точек в это равенство и проверим.

Начнем с первой точки M 1 ( 2 , 4 ) : 2 — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.

Подставляем данные второй точки: — 1 — 2 = 0 ⇔ — 3 = 0 .

Равенство неверное, значит, точка M 2 ( — 1 , 3 ) не лежит на исходной прямой.

Ответ: через точку M 1 ( 2 , 4 ) прямая проходит, а через M 2 ( — 1 , 3 ) нет.

Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

Прямая на плоскости проходит через точку M 1 ( 0 , — 3 ) и через точку M 2 ( 2 , — 2 ) . Сформулируйте для этой прямой канонической уравнение.

Решение

Eсли у нас есть координаты двух точек, то мы можем вычислить по ним координаты вектора M 1 M 2 → = 2 , 1 . По отношению к прямой, чье уравнение мы составляем, он будет направляющим вектором. После этого мы можем записать следующее:

x — 0 2 = y — ( — 3 ) 1 ⇔ x 2 = y + 3 1

Также можно использовать координаты второй точки. Тогда мы получим: x — 2 2 = y — ( — 2 ) 1 ⇔ x — 2 2 = y + 2 1

Ответ: x 2 = y + 3 1

Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.

Известно, что точка M 1 ( 1 , 3 ) принадлежит некоторой прямой, которая параллельна второй прямой, заданной с помощью уравнения x 2 = y — 5 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Для первой прямой можно определить направляющий вектор a → = 2 , — 5 . Его можно рассматривать и в качестве направляющего для второй прямой, что следует из самого определения направляющих векторов. Это позволяет нам получить всю информацию, нужную для записи искомого уравнения: x — 1 2 = y — 3 — 5

Ответ: x — 1 2 = y — 3 — 5

Через точку M 1 ( — 1 , 6 ) проходит прямая, которая является перпендикулярной другой прямой, определенной на плоскости с помощью уравнения 2 x — 4 y — 7 = 0 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Из данного уравнения мы можем взять координаты нормального вектора второй прямой – 2 , 4 . Мы знаем, что этот вектор является направляющим по отношению к первой. Тогда мы можем записать искомое уравнение:

x — ( — 1 ) 2 = y — 6 4 ⇔ x + 1 1 = y — 6 2

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Вы будете перенаправлены на Автор24

Существует несколько различных типов уравнений, описывающих кривую первого порядка, называемую прямой. Каждый из них оптимален для какой-то своей цели. Давайте познакомимся с ними поближе.

Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Канонический вид уравнения прямой в пространстве выглядит как следующее равенство:

где буквы $(x_0, y_0, z_0)$ используются для обозначения координат любой точки, возлежащей на данной прямой, а $(α, β, γ)$ — координаты направляющего эту прямую вектора, как несложно догадаться, они не могут быть нулевыми.

Не во всех случаях удобно и практично пользоваться каноническим уравнением, поэтому частенько возникает надобность использовать какое-то другое, например, можно прибегнуть к параметрическому.

Для каких прямых не представляется возможным или нельзя написать каноническое уравнение?

Глядя на это уравнение, видно, что его возможно использовать только в том случае, если координаты направляющих векторов исследуемых прямых не равны нулю, для таких прямых стоит воспользоваться параметрическими уравнениями.

Параметрический вид уравнений прямой в пространстве такой:

$begin x = x_1 + α cdot λ \ y = y_1 + β cdot λ \ z = z_1 + γ cdot λ \ end$,

где $x_1, y_1, z_1$ — координаты некоторой точки, находящейся на описываемой прямой, $α, β, γ$ — координаты параллельного или лежащего на данной прямой вектора, $λ$ — произвольное число-коэффициент, иногда для его обозначения используют слово “параметр”.

Параметрическое уравнение как раз удобно применять если одна из координат направляющего вектора равна нулю.

Чтобы произвести переход от параметрического вида уравнения к каноническому виду уравнения прямой в пространстве, осуществите вывод канонического уравнения прямой из параметрического.

Готовые работы на аналогичную тему

Для этого следует в к каждом уравнении перенести $λ$ в левую часть, а затем приравнять уравнения. Никакой магии, а только самая что ни на есть пресловутая арифметика:

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Уравнение прямой, образуемой пересечением двух плоскостей

Рисунок 1. Связь канонического и общего уравнения прямой

Для того чтобы составить каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной пересечением плоскостей, необходимо познакомиться поближе с 2 исследуемыми плоскостями.

Любую плоскость, находящуюся в пространстве, можно описать с помощью равенства:

$Ax + By + Cz + D = 0$,

где $A, B, C$ и $D$ — постоянные, причём $A, B, C$ не могут быть одновременно все нулевыми.

Соответственно, не нужно быть гением, чтобы понять, что если две плоскости пересечены между собой, то на их общей части будет возлежать некая прямая. Чтобы её найти, нужно получить общее решение следующей системы уравнений:

$begin A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \ end$

С помощью же частного решения этой системы уравнений можно узнать, принадлежит ли какая-либо точка трёхмерной системы координат описанным уравнениями плоскостям и, конечно же, нашей прямой. Для этого нужно просто подставить её икс, игрек и зет в систему.

Приведённая система уравнений является своеобразной “формулой”, служащей для нахождения общего уравнения прямой в пространстве.

Иногда в каких-либо практических задачах требуется получить из уравнения прямой в пространстве в общем виде параметрические или канонические уравнения, тогда в первую очередь вам стоит узнать координаты её направляющего вектора и какую-либо точку, находящуюся на изучаемой прямой.

Ну что ж, давайте решать нашу задачу. На первом этапе вычислим $x, y, z$ для направляющего вектора.

Найдём нормальные вектора для плоскостей. Если кто забыл, нормальный вектор — это такой вектор, который является перпендикулярным (ортогональным) к данной плоскости или прямой.

Для этого из нашего очаровательного примера системы уравнений необходимо взять коэффициенты из уравнений. В итоге для 1-ой плоскости вектор-нормаль будет выглядеть как $(A_1; B_1; C_1)$, а для второй как $(A_2; B_2; C_2)$.

Теперь необходимо перемножить оба вектора и получить их произведение, здесь $(i, j, k)$ — координаты единичного вектора.

$|overline cdot overline| = overline cdot (B_1 cdot C_2 – C_1 cdot B_2) — overline cdot (A_1 cdot C_2 – A_2 cdot C_1) + overline cdot (A_1 cdot B_2 – A_2 cdot B_1)$

Следующим этапом выполняем поиск координат точки, возлежащей на искомой прямой.

Для выполнения этого наиболее «сложного» пункта необходимо выбрать одну наиболее нравящуюся вам координату $x, y$ или $z$ и вместо неё подставить в систему уравнений, описывающую плоскости, нулевое значение.

Составьте каноническое уравнение прямой, получаемой из системы уравнений, описывающей пару пересечённых плоскостей:

$begin 2x – y + 3z + 4 = 0 \ x + 5y – 3z – 7 = 0 \ end$

Найдём направляющий вектор, для этого сначала запишем вектора нормалей плоскостей:

Ну а сейчас пора вычислить сам направляющий вектор:

Найдём точку, находящуюся на нашей прямой, тут всё просто, приравняем $y$ к нулю и внедрим в нашу систему уравнений:

$begin 2x + 3z + 4 = 0 \ x – 3z – 7 = 0 \ end$

Решение вышеприведённой системы уравнений будет: $x = 1, z = -2$, то есть координаты точки, возлежащей на нашей прямой, будут $(1; 0; -2)$.

Подставим все полученные нами цифры и получим следующее уравнение:

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Составление канонического уравнения прямой по координатам двух точек

На практике это очень распространённая и любимая во многих вузах и других учебных заведениях задача — нужно найти уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки. Примем заранее, что эти две точки не обладают одинаковыми $x, y, z$.

Для того чтобы написать уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки, воспользуйтесь координатами ваших точек и внедрите их в следующее уравнение:

Это уравнение можно вывести из параметрического уравнения прямой.

Допустим, у нас есть две точки с координатами $(x_1; y_1; z_1)$, и для второй $(x_2; y_2; z_2)$.

Найти направляющий вектор для изучаемой прямой при наличии пары точек несложно, вектор с координатами $(x_2 – y_1; y_2 – y_2;z_2 – z_2)$ и будет желаемой частью результата.

Придумаем точку, находящуюся на нашей прямой, пусть она будет обладать координатами $(x_1;y_1;z_1)$.

Помещаем обнаруженные нами координаты вектора и точки в каноничное уравнение прямой в пространстве и получим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Если же необходимо выразить именно параметрические уравнения из координат двух точек, через которые проведена некая одна прямая, то тут тоже всё довольно просто и без неожиданностей:

$begin x = x_1 + (x_2 — x_1) cdot λ \ y = y_1 + (y_2 — y_1)cdot λ \ z = z_1 + (z_2 — z_1) cdot λ \ end$

🎬 Видео

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.Скачать

Поверхности второго порядкаСкачать

Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве Преход от общего уравненияСкачать

Решение матричных уравненийСкачать

§24 Каноническое уравнение параболыСкачать