Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

  • Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
  • Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
  • Реферат.Справочник
  • Решенные задачи по механике
  • Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах

Условие

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах: x=f1t, y=f2(t) Требуется — определить уравнение траектории и установить вид траектории: — найти положение точки на траектории в момент времени t1=t1.= 1с: — найти скорость точки в момент времени t1. — найти полное, касательное и нормальное ускорения. — найти радиус кривизны траектории в момент времени t1. Дано: х = 2 +2 cos πt/4 (1);у = 4 cos πt/4 (2); t1 = 1 с

Видео:Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Способы описания движения. Траектория. Путь. Перемещение

Нужно полное решение этой работы?

Решение

1. Находим уравнение траектории.
Для этого из заданных параметрических уравнений движения исключим параметр t
Из (2) cos πt/4 = у/4, подставив значение cos πt/4 в (1), получим
х = 2 +2 у/4 =2 + 0,5 у, или
у = 2х — 4(3)
Уравнение (3) является уравнением прямой линии. Таким образом траектория движения точки представляет собой прямую линию (рис.2).
. Определяем положение точки в момент времени t1 = 1
Положение точки в момент времени t1 определяем по уравнениям (1 и (2)При t = t1 = 1
Положение точки в момент времени t1 = 1 показано на рис. 2.
х(1) = 2 + 2 cos π/4 = 2 + 2*0,707 = 3,414 м;
у(1) = 4 cos π/4 = 4 * 0,707 = 2,828 м;
12039602540000
Рис. 2. Траектория движения точки
Таким образом в момент времени t1 = 1 положение точки соответствует точке M1 на рис

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

. 2.
3. Определяем скорость точки в момент времени t1 = 1Составляющая скорости по оси хVx = dx/dt = d(2 +2 cos πt/4)dt = 2(-sin πt/4) * π/4 = -π/2 * sin πt/4.
в момент времени t1 = 1с Vx = -π/2 *sin π/4) =- 1,11 м/с; Составляющая скорости по оси у
vу = dу/dt = d(4 cos πt/4)dt = -4 * sin πt/4 * π/4 = -πsin πt/4;
в момент времени t1 = 1
vу(1) = -π sin π/4 =-2,2 м/с.
Полная скорость точки
v= vx2+ vy2 = = 2,48 м/с
Вектор скорости точки в момент времени t1 направлен по прямой АМ от точки М к точке А и показан на рис. 2
3. Определяем ускорение точки в момент времени t1 = 1c
Составляющая ускорения по оси х
а x = dvx /dt = d(-π/2 *sin πt/4)dt = -π/2 cos πt/4 * π/4 = -π2/8 cos πt/4;
в момент времени t1 = 1с,
а x (1) = -π2/8 cos π/4; =-0,871 м/с2;
Составляющая ускорения по оси у
ау = dVу/dt = d(-πsin πt/4)dt = -π2/4cos πt/4;
в момент времени t1 = 1
ау(1) = -π2/4cos π*1/4 = -1,74 м/с2;
Полное ускорение точки
а= aх2+ ae2 = = 1.95 м/с2
Вектор полного ускорения точки в момент времени t1 направлен по прямой МА по направлению скорости.
Так как точка М движется по прямолинейной траектории, то нормальное ускорение равно нулю и полное ускорение точки равно касательному ускорению

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Оплатите решение задач или закажите уникальную работу на похожую тему

Видео:Траектория. ПутьСкачать

Траектория.  Путь

Ускорение точки в декартовых координатах

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Видео:Движение двух велосипедистов задано уравнениями x1=2t (м) и x2=100-8t (м) - №22625Скачать

Движение двух велосипедистов задано уравнениями x1=2t (м) и x2=100-8t (м) - №22625

Ускорение точки в декартовых координатах

  • Разлагает точечные ускорения на компоненты, параллельные осям декартовой системы координат. получить a = axi + ayj + a.k, (11). Где ах, ау, аг — проекции ускорения по координатным осям. Согласно определению ускорения и уравнениям (7) и (8), a = dv / dt = (d / dz) (t F + vyj + v.k) = (dvjdt) 7 + (diy / dz) J + + (Dvz (dt) k-xT + yj + zlc. (12).

Если совершенно свободное твердое тело, не подверженное никаким внешним силам, начинает вращаться вокруг одной из главных центральных осей инерции, то оно продолжает вращаться вокруг этой оси, причем еще более последовательно. Людмила Фирмаль

Сравнение (11) и (12) дает формулу для проекции ускорения на оси декартовой системы координат. ax = dvx / dt = x; ay = dvy / dt = y; az = dvz / dt-z (13) Проекция ускорения на оси координат равна второй производной по времени относительно соответствующих координат движущейся точки. Косинус угла между числовым значением ускорения и координатной осью вектора ускорения определяется по формуле a = | | = a2 + al = y / x2 + y2 + z2; cos (a, x) = ax / a = x / a; cos (a ^ y) = ay / a = y / a; cos (d, z) = az / a = z / a.

  • Когда точка движется вдоль плоскости, оси Ox и Oy выбираются в одной плоскости. Тогда z = const = 0. п. = z = 0 Формула ускорения и ее проекция на оси координат: a = xT + ur, ax = x; ay = y. И поэтому a = y / x2 + y2; cos (a, Ax) = x / a; cos (a, Ay) = y / a В случае линейного движения ось Ox направлена ​​вдоль точечной траектории. Тогда _y = const = 0, z = const = 0, ay = y-0, 10 az = z = 0. Формула ускорения и проекции на ось bx имеет следующий вид: а = топор = х. Поэтому для чисел ускорения a = | .x |. Пример.

Движение точки вдоль плоскости Вангфу задается уравнением A = 6sin , d и co — положительные постоянные. Определите уравнение формы траектории координат, скорость и ускорение точки в момент времени r = 1 / (2co) и уравнение годографа вектора скорости. Решения. Найти уравнение орбиты в координатной форме, исключив время из уравнения движения. Для этого разделите первое уравнение на b и второе уравнение на квадрат и сложение. Получите эллиптическое уравнение (рис. 10, а) с полуосью h w d. x2! b2 -Yy2 fd2 = I, с того времени sin2 al-I-cos2 (of = 1.

Этот результат показывает важность новой концепции, введенной Пуанкаре, поэтому этот множитель появляется как частный случай гораздо более общей концепции. Людмила Фирмаль

Если f = n / (2 (o), координаты точки занимают x = />, y = 0, то есть положение Mo. Определяет проекцию скорости и ускорения на оси. Vx = X = /> 0) COSO) f, Vx = y = — (/ (Осина) /, ax-x = -b a) 2 mt = — (!) Cos cn /, yx-vy = — (/ (osincor. Исключение времени t из этих параметрических уравнений в годографе вектора скорости дает следующее уравнение в виде координат: x2 / (/> 2co2) +> y2 / ((Z2 (o2) = 1. На рис. 10.6 отмечены три нарисованные точки годографов M’o, M ‘и L /’ i, соответствующие точкам траекторий Mo, M и L /, а также показано направление ускорения в этих точках. ,

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Упр 3.1 - Физика 9 класс ПёрышкинСкачать

Упр 3.1 - Физика 9 класс Пёрышкин

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Видео:Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(59 / )

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1) х = 5 cos 2t, y = 3+5sin 2t;
2) x=21,2 sin 2 t, у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s0.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s0 = 0):

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Ответ. Уравнения траекторий x 2 +(y-3) 2 = 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s0 и s = 30 sin 2 t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x 2 + y 2 = χ ‘2 + y ‘2 .

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r 2 , получим

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2.

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ.

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t), (58′)
y = y(t), (58″)
z = z(t). (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υp точки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(61″)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(61″‘)

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(61)

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(62)

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Чтобы определить проекцию скорости Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(63′)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(63″)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(63″‘)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2скорости Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2точки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2, с которой движется по плоскости проекция M1 (х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2точки M составляет с осью Oz угол γυ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγυ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Подводя Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2под радикал и выражая cosγυ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Направления векторов Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2и Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(63)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(62′)

где Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2, Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2и Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2— производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γυ = 90 o , cosγυ = 0 и cos αυ = sin βυ.

Задача №6

Уравнения движения суть

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x 2 — у 2 = a 2

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x 2 — у 2 = a 2 — расположена в области положительных значений х; скорость Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2.

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ0, g и Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2—величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ0 под углом α0 к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2, приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2. Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υ0 sin α0; затем, по мере увеличения t, проекция υy уменьшается, оставаясь положительной до мгновения Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2, когда υy обращается в нуль, после чего υy становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2, при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2. Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

Ответ: 1) Парабола Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

2) Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

3) υx = υ0 cos α0, υy = Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2υ0 sin α0.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υB.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υB?

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Но Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2и по условию надо, чтобы величина Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2была равна 2υB, т. е.

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ: Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υх, а в мгновение tl = t + Δt стала υx+∆υx. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Если знаки υx и ap одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Проекции υx, υy и υz сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции ax, ау и аz ускорения а точки M на оси координат Ox, Oy и Oz:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(65)

где cosαa, cosβa и cosγa—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

и затем сложим их:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2(66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2, Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 (67′)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 (67»)

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2 (67»’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γa = 90 o , cosγa = 0, cosα0 = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, . 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x 2 + y 2 = r 2

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

откуда по (64) получаем модуль скорости

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

откуда по (66) получаем величину ускорения

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2
Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ 2 .

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α0 = 55 o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек 2 .

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:
Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Разделив переменные, интегрируем:
υх= С1, υy = — gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C1 и C2 равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55 o = C1, 1600 sin 55 o = — gt + C2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C3 = O и C4 = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Велосипедист движется по траектории задаваемой в декартовых координатах уравнением y kx 2

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Касательное и нормальное ускорения точки
  • Основные законы динамики
  • Колебания материальной точки
  • Количество движения
  • Пара сил в теоретической механике
  • Приведение системы сил к данной точке
  • Система сил на плоскости
  • Естественный и векторный способы определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

#21. Курс по решению текстовых задач: задачи на движениеСкачать

#21. Курс по решению текстовых задач: задачи на движение

Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 1: "Движение материальной точки"Скачать

Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 1: "Движение материальной точки"

Кинематика. Закон движения. Урок 3Скачать

Кинематика. Закон движения. Урок 3

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.

Урок 21. Решение задач на относительность движения (одномерный случай)Скачать

Урок 21. Решение задач на относительность движения (одномерный случай)

Лекция №1 "Кинематика материальной точки" (Булыгин В.С.)Скачать

Лекция №1 "Кинематика материальной точки" (Булыгин В.С.)

ОГЭ Задание 22 задачи на движениеСкачать

ОГЭ Задание 22 задачи на движение

Урок 106. Реактивное движениеСкачать

Урок 106. Реактивное движение

Механическое движение и его характеристики. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Механическое движение и его характеристики. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на движение | Математика TutorOnline

Кривизна траекторииСкачать

Кривизна траектории

Как решать задачи по кинематике.Скачать

Как решать задачи по кинематике.

Физика 9 класс. Перышкин, упражнение 18 задача 4Скачать

Физика 9 класс. Перышкин, упражнение 18 задача 4
Поделиться или сохранить к себе: