В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Видео:Метод наименьших квадратов, урок 1/2. Линейная функцияСкачать

Метод наименьших квадратов, урок 1/2. Линейная функция

Метод наименьших квадратов регрессия

Метод наименьших квадратов (МНК) заключается в том, что сумма квадратов отклонений значений y от полученного уравнения регрессии — минимальное. Уравнение линейной регрессии имеет вид

y=ax+b

a, b – коэффициенты линейного уравнения регрессии;

x – независимая переменная;

y – зависимая переменная.

Нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии через метод наименьших квадратов:

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

частные производные функции приравниваем к нулю

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

отсюда получаем систему линейных уравнений

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Формулы определения коэффициентов уравнения линейной регрессии:

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Также запишем уравнение регрессии для квадратной нелинейной функции:

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Система линейных уравнений регрессии полинома n-ого порядка:

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Формула коэффициента детерминации R 2 :

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Формула средней ошибки аппроксимации для уравнения линейной регрессии (оценка качества модели):

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Чем меньше ε, тем лучше. Рекомендованный показатель ε
Формула среднеквадратической погрешности:
В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Для примера, проведём расчет для получения линейного уравнения регрессии аппроксимации функции, заданной в табличном виде:

xy
34
47
611
716
918
1122
1324
1527
1630
1933

Решение

Расчеты значений суммы, произведения x и у приведены в таблицы.

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Расчет коэффициентов линейной регрессии:

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

при этом средняя ошибка аппроксимации равна:

ε=11,168%

Получаем уравнение линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов:

y=1,7871x+0,79

График функции линейной зависимости y=1,7871x+0,79 и табличные значения, в виде точек

В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y ax b

Коэффициент корреляции равен 0,988
Коэффициента детерминации равен 0,976

Видео:Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимацияСкачать

Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимация

Решения задач: метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется для решения различных математических задач и основан на минимизации суммы квадратов отклонений функций от исходных переменных. Мы рассмотриваем его приложение к математической статистике в простейшем случае, когда нужно найти зависимость (парную линейную регрессию) между двумя переменными, заданными выборочными данным. В этом случае речь идет об отклонениях теоретических значений от экспериментальных.

Краткая инструкция по методу наименьших квадратов для чайников: определяем вид предполагаемой зависимости (чаще всего берется линейная регрессия вида $y(x)=ax+b$), выписываем систему уравнений для нахождения параметров $a, b$. По экспериментальным данным проводим вычисления и подставляем значения в систему, решаем систему любым удобным методом (для размерности 2-3 можно и вручную). Получается искомое уравнение.

Иногда дополнительно к нахождению уравнения регрессии требуется: найти остаточную дисперсию, сделать прогноз значений, найти значение коэффициента корреляции, проверить качество аппроксимации и значимость модели. Примеры решений вы найдете ниже. Удачи в изучении!

Видео:Построение уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.Скачать

Построение уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.

Примеры решений МНК

Пример 1. Методом наименьших квадратов для данных, представленных в таблице, найти линейную зависимость

Пример 2. Прибыль фирмы за некоторый период деятельности по годам приведена ниже:
Год 1 2 3 4 5
Прибыль 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9
1) Составьте линейную зависимость прибыли по годам деятельности фирмы.
2) Определите ожидаемую прибыль для 6-го года деятельности. Сделайте чертеж.

Пример 3. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:
1 2 4 6 8
3 2 1 0,5 0
В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Пример 4. Данные наблюдений над случайной двумерной величиной (Х, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Пример 5. Считая, что зависимость между переменными x и y имеет вид $y=ax^2+bx+c$, найти оценки параметров a, b и c методом наименьших квадратов по выборке:
x 7 31 61 99 129 178 209
y 13 10 9 10 12 20 26

Пример 6. Проводится анализ взаимосвязи количества населения (X) и количества практикующих врачей (Y) в регионе.
Годы 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
X, млн. чел. 10 10,3 10,4 10,55 10,6 10,7 10,75 10,9 10,9 11
Y, тыс. чел. 12,1 12,6 13 13,8 14,9 16 18 20 21 22
Оцените по МНК коэффициенты линейного уравнения регрессии $y=b_0+b_1x$.
Существенно ли отличаются от нуля найденные коэффициенты?
Проверьте значимость полученного уравнения при $alpha = 0,01$.
Если количество населения в 1995 году составит 11,5 млн. чел., каково ожидаемое количество врачей? Рассчитайте 99%-й доверительный интервал для данного прогноза.
Рассчитайте коэффициент детерминации

Видео:Метод наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимацияСкачать

Метод наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация

МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики

Данный онлайн-сервис позволяет найти с помощью метода наименьших квадратов уравнения линейной, квадратичной, гиперболической, степенной, логарифмической, показательной, экспоненциальной регрессии и др., коэффициенты и индексы корреляции и детерминации. Показываются диаграмма рассеяние и график уравнения регрессии. Также калькулятор делает оценку значимости параметров уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера, t-критерия Стьюдента и критерия Дарбина-Уотсона.

Можно задать уровень значимости и указать, до какого знака после запятой округлять расчётные величины.

Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.

Линейная регрессия
Степенная регрессия
Квадратичная регрессия
Кубическая регрессия

Гиперболическая регрессия
Показательная регрессия
Логарифмическая регрессия
Экспоненциальная регрессия

Очистить

Округлять до
-го
знака после запятой.

📽️ Видео

Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Парная регрессия: линейная зависимость

Как работает метод наименьших квадратов? Душкин объяснитСкачать

Как работает метод наименьших квадратов? Душкин объяснит

Метод наименьших квадратов. Случай линейной регрессииСкачать

Метод наименьших квадратов. Случай линейной регрессии

Метод наименьших квадратовСкачать

Метод наименьших квадратов

11 1 Метод наименьших квадратов ВведениеСкачать

11 1  Метод наименьших квадратов  Введение

Метод наименьших квадратов. Парная регрессия расчет без Excel @economc #МНК #регрессия #корреляцияСкачать

Метод наименьших квадратов. Парная регрессия расчет без Excel @economc #МНК #регрессия #корреляция

Метод наименьших квадратов. Регрессионный анализ.Скачать

Метод наименьших квадратов. Регрессионный анализ.

Суть метода наименьших квадратов с примерами. Основы эконометрики в RСкачать

Суть метода наименьших квадратов с примерами. Основы эконометрики в R

Метод наименьших квадратов (МНК)Скачать

Метод наименьших квадратов (МНК)

Линейная регрессияСкачать

Линейная регрессия

ЦОС Python #1: Метод наименьших квадратовСкачать

ЦОС Python #1: Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратовСкачать

Метод наименьших квадратов

Метод Наименьших Квадратов (МНК)Скачать

Метод Наименьших Квадратов (МНК)

Алгоритмы. Аппроксимация линейной функцией по методу наименьших квадратовСкачать

Алгоритмы. Аппроксимация линейной функцией по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов. ТемаСкачать

Метод наименьших квадратов. Тема

Численные методы: Метод наименьших квадратовСкачать

Численные методы: Метод наименьших квадратов
Поделиться или сохранить к себе: