В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа описывается уравнением (7 видео)

2.12 Использование дифференциальных уравнений для решения экономических задач

Дифференциальные уравнения находят достаточно широкое применение в моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.

Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть обозначает начальную денежную сумму, а — денежную сумму по истечении лет.

Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы бы имели

Вообще, если проценты начисляются раз в год и принимает последовательно значения

Если обозначить , то предыдущее равенство перепишется так

Неограниченно увеличивая (при ) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов

то есть при непрерывном изменении закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка. Отметим для четкости, что — неизвестная функция, — независимая переменная, — постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда , или , где через обозначено .

Учитывая начальное условие , найдем : , следовательно, .

Решение имеет вид: .

Найти функцию спроса, если и . Эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой

— первоначальное значение цены,

— первоначальное значение объема спроса.

Из определения эластичности следует, что , т.е. искомая функция задается уравнением с разделяющимися переменными. Решая это уравнение, получаем .

Учитывая начальное условие , имеем . Окончательно .

1) В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных санитарно-профилактических мер) описываемых уравнением , где — число заболевших в момент времени ; — число недель. Сколько больных будет в поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных?

2) Функция спроса и предложения имеют вид:

Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент .

В простейших ситуациях спрос на товар (предложение товара) предполагается зависящим от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.

3)Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задается функцией ; коэффициент капиталоемкости пророста дохода , .

Коэффициент капиталоемкости — отношение применяемого в производственном процессе, фирме или отрасли капитала к объему выпуска в течение определенного периода времени, как правило, одного года.

Видео:В Европе началась эпидемия гриппаСкачать

В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных санитарно-профилактических мер) описывается следующим уравнением

В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных санитарно-профилактических мер) описывается следующим уравнением:
dydt=0,001∙y∙3000-y,
где y – число заболевших в момент времени t; t – число недель. Сколько больных будет в поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных?

Видео:В область пришла эпидемия ОРВИ и гриппа: как борются с распространением вирусовСкачать

Методическая разработка практического занятия «Моделирование эпидемии гриппа в Excel»

Методическая разработка практического занятия «Моделирование эпидемии гриппа в Excel».

Смоделировать развитие эпидемии гриппа и проанализировать полученные расчётные данные можно, используя технологию обработки числовой информации электронные таблицы Excel. После выполнения практической работы в Excel, на которой изучались вопросы работы с формулами в Excel, относительные и абсолютные ссылки, построение графиков, предлагается продемонстрировать применение полученных знаний и навыков, а также возможностей Excel для рассмотрения конкретной задачи. Закрепление навыков работы на компьютере, применяя методику выполнения конкретных задач с использованием медицинской направленности, позволяет развить у студентов интеллектуальные умения и самостоятельную мыслительную деятельность при работе с информацией.

Моделирование задачи состоит из нескольких этапов: чёткая формулировка задачи, выявления исходных данных для её решения, разработка математической модели решаемой задачи, выбор метода решения, выполнение задачи и анализ полученных результатов.

В городе, населённостью 1 млн. человек, начинается эпидемия гриппа. Требуется отследить «развитие» эпидемии, для этого сформировать таблицу, в которой отражены данные на каждый день эпидемии о:

— количестве заболевших на каждый день,

— количестве нетрудоспособных в связи с болезнью, если допустить, что заболевание длится 10 дней,

— количестве обращений к врачу, если считать, что больной обращается дважды к врачу: в начале заболевания и в конце,

— количестве обращений к врачу,

— количестве врачей для обслуживания больных, если на одного врача допускается двадцать посещений больных.

Построить графики, иллюстрирующие развитие эпидемии гриппа: рост числа заболевших, количество нетрудоспособных в связи с болезнью, число обращений к врачу, зависимость количества врачей, необходимых для обслуживания больных.

— население города 1 млн. человек,

— допустим, в город приехали 20 человек, которые являются переносчиками гриппа.

Для вычисления количества заболевших в определенный день эпидемии используется уравнение:

а =0,000002- коэффициент, характеризующий степень заразности для гриппа,

К1- не перенесшие заболевание (без иммунитета),

К2- заболевшие вчера (они активно продуцируют возбудитель)

III. Практическая часть. Выполнение расчетов. Построение

Для решения поставленной задачи в Excel формируется следующая таблица:

Ещё не перенесли грипп

число обращений к врачу

Количество дней эпидемии целесообразно взять не более 36.

Для расчёта количества «заболевших сегодня» в ячейку С3 вводится формула на основании уравнения (1):

=ОКРУГЛ(0,000002*B2*C2;0); в этой формуле используется округление расчётных данных до целого значения.

Для расчёта «не перенесших гриппа» необходимо вычесть из количества не перенесших грипп в предыдущий день эпидемии количество заболевших сегодня, для этого в ячейку В3 вводится формула =B2-C3

Выделив ячейки В3 и С3, можно эти формулы скопировать эти формулы на все дни эпидемии. При таком копировании координаты ячеек в формуле будут относительными, т. е. меняться в зависимости от адреса ячеек, например, в ячейке С4: =ОКРУГЛ(0,000002*B3*C3;0) , а в ячейке В4: =B3-C4 и т. д. После расчёта таблица выглядит так:

Ещё не перенесли грипп

Число обращений к врачу

Таким образом, в каждый последующий день эпидемии расчёт числа заболевших производится относительно данных предыдущего дня эпидемии.

По таблице видно, что пик заболеваемости приходится на 16-ый день эпидемии, и уже к 28-му дню нет вновь заболевших гриппом.

Для расчёта на каждый день заболевших всего необходимо сложить заболевших сегодня и заболевших всего в предыдущий день, для этого в ячейку D3 вводится формула =C3+D2 и затем эта формула копируется в ячейки столбца D на все дни эпидемии. При этом координаты ячеек в формуле будут относительными.

Для вычисления количества нетрудоспособного населения на каждый день эпидемии в связи с болезнью надо учитывать, что заболевание длится 10 дней, поэтому в первые десять дней количество нетрудоспособных в каждый день эпидемии равно числу заболевших сегодня плюс число получивших больничный лист вчера; формула вводится в ячейку E3: =C3+E2 и затем копируется на первые десять дней эпидемии. На 11-ый день эпидемии для расчёта количества нетрудоспособных на каждый день эпидемии надо сложить число заболевших сегодня и число получивших больничный лист вчера, и из полученной суммы вычесть число заболевших в первый день эпидемии, т. к. они уже здоровы. В ячейке E12 вводится формула =C12+E11-C2 и затем копируется на остальные дни эпидемии.

Для расчёта числа обращений к врачу необходимо учесть, что больной обращается дважды к врачу: в начале заболевания и в конце заболевания — на десятый день болезни. Число обращений к врачу первые девять дней эпидемии очевидно равно количеству заболевших сегодня, а на десятый день эпидемии для расчёта числа обращений к врачу к количеству заболевших сегодня прибавляется число заболевших в первый день эпидемии. В ячейку F2 вводится формула =C2, и эта формула копируется на девять дней эпидемии, в ячейку F11 вводится формула =С11+С2 и затем эта формула копируется на все остальные дни эпидемии.

Последний расчёт — количество врачей для обслуживания больных вычисляется в столбике G и равен числу обращений к врачу делить на 20 (по условию задачи на одного врача допускается 20-ть посещений больных за один приём), для этого в ячейку G2 вводится формула =ОКРУГЛ(F2/20;0).