В поле z7 решить систему уравнений (5 видео)

Вычисления в полях вычетов

Рассмотрим некоторые особенности вычислений в полях вычетов. Найдем, например, определитель , элементы которого суть вычеты из поля
(Z₃, +₃, ×₃). Если действовать «по науке», надо писать

Можно, однако, поступить проще. Будем считать элементы определителя обычными целыми числами из кольца Z, тогда d=1×1–2×2= –3.

Как найти для целого числа из Z соответствующий вычет из Z_n? Для этого надо к числу прибавить (или отнять от него) величину, кратную n, чтобы результат принадлежал множеству вычетов Z_n=<0,1,¼,n–1>. В данном случае прибавим 3 и получим –3+3=0 – тот же результат.

В дальнейшем станем действовать аналогично, к тому же не будем педантично ставить индекс +_n, ×_n около символов операций, обозначая их просто + и
× , если значение индекса n ясно из контекста.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений над полем вычетов.

Пример. Решим над тремя полями: Q, Z₃, Z₅ систему уравнений A×X=B, где . т.е.

Заметим, что коэффициенты системы (0, 1 и 2), включая свободные члены, можно рассматривать не только как числа (т.е. элементы поля Q), но и как элементы интересующих нас конечных полей Z₃ и Z₅. В противном случае постановку задачи пришлось бы как-то изменять.

Решать систему будем по правилу Крамера. Вычислим над полем Q четыре определителя:

Значения неизвестных найдем по формулам Крамера: .

Приведем значения определителей в поле вычетов Z₃=, получим: D=0, D_x=2, D_y=2, D_z=2. Видим, что над этим полем система несовместна.

Приведем значения определителей в поле вычетов Z₅=: D=2, D_x=4, D_y=1, D_z=4. Значения неизвестных снова найдем по формулам Крамера: . Как понимать найденное значение неизвестной ? Дробь не является элементом поля Z₅, поэтому ее надо рассматривать как выражение, которое необходимо вычислить согласно правилам действий в этом поле: (поскольку произведение 2×3=6, а 6 в поле Z₅ переходит в 1). Итак, решение системы уравнений над полем Z₅ таково: x=2, y=3, z=2.

Сделаем проверку (символом Þ обозначен переход от целых чисел к вычетам по модулю 5). Первое уравнение: 1×2+2×2=6 Þ 1, второе уравнение: 1×3+2×2=7 Þ 2, третье уравнение: 2×2+1×2=6 Þ 1. Видим, что найденные значения вычетов удовлетворяют системе уравнений над полем Z₅.

Решим ту же систему над полем Z₃ методом Гаусса. Составим расширенную матрицу: . Если бы мы решали систему над полем рациональных чисел Q, то первым шагом выполнили бы операцию (3)–2×(1). В поле Z₃ коэффициенту –2 соответствует вычет 1, поэтому выполним операцию (3)+1×(1). В 1-ом столбце имеем 2+1×1=3Þ0, во 2-ом столбце сохранится 0, в третьем столбце 1+1×2=3Þ0, в столбце свободных членов 1+1×1=2, так что . В алгебраической форме 3-е уравнение этой системы имеет вид 0×x+0×y+0×z=2. Очевидно, что оно не имеет решения, поэтому система над полем Z₃ несовместна.

Найдем решение той же системы над полем Z₅ методом Гаусса. Вместо операции (3)–2×(1), с которой начинается решение этой системы над полем рациональных чисел Q, выполним операцию (3)+3×(1), поскольку в поле Z₅ коэффициенту –2 соответствует вычет 3. В 1-ом столбце получим 2+3×1=5Þ0, во 2-ом столбце сохранится 0, в третьем, в 3-ем столбце имеем 1+3×2=7Þ2, в столбце свободных членов 1+3×1=4. Таким образом, получим . 3-ю строку этой матрицы можно сократить (разделить) на 2: .

Теперь выполним операции (1)+3×(3) и (2)+3×(3) – в 1-й и во 2-й строках 3-го столбца получится 2+3×1=5Þ0, остальные элементы этих строк сохраняться: .

Видим, что получилось решение, ранее найденное по правилу Крамера: x=2, y=3, z=2.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Помогите с алгеброй. Поле вычетов по модулю

Здесь на сайте как-то кто-то писал решение к вот такой задачке

Решить систему уравнений в поле вычетов по модулю 7.

x + y + z = 1
4x + 2y + 3z = 1
x + 4y + 4z = 2

Вот собственно решение:

Значит, так. Поле вычетов по модулю 7 состоит всего из семи элементов:

При этом противоположные элементы будут выглядеть так:
-1 = 6
-2 = 5
-3 = 4
-4 = 3
-5 = 2
-6 = 1

Обратные элементы, соответственно, будут выглядеть так:
1/2 = 4
1/3 = 5
1/4 = 2
1/5 = 3
1/6 = 6

Разнообразные арифметические аксиомы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности сохраняются в неизменном виде.

Теперь можно решать исходную систему.

Из первого уравнения получаем:
x = 1-y-z = 1+6y+6z
Подставляем это в третье уравнение:
(1+6y+6z) + 4y + 4z = 2
1 + (6+4)y + (6+4)z = 2
1 + 3y + 3z = 2
1 + 3y + 3z + 6 = 2 + 6
3y + 3z = 1
y + z = 5
Подставляем это в первое уравнение:
x + 5 = 1
x + 5 + 2 = 1 + 2
x = 3
Подставляем это во второе уравнение:
4*3 + 2y + 3z = 1
5 + 2(y+z) + z = 1
5 + 2*5 + z = 1
5 + 3 + z = 1
1 + z = 1
z = 0
Тогда y = 5

Получаем ответ: x = 3, y = 5, z = 0

Подскажите пожалуйста, откуда взялось вот это :

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).