В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Содержание
  1. Поверхность
  2. Лекция 7. Поверхности
  3. 7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже
  4. 7.2. Поверхности вращения
  5. 7.3. Цилиндрическая поверхность
  6. 7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра
  7. Упражнение
  8. 7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра
  9. Упражнение
  10. 7.6. Сферическая поверхность
  11. Упражнение
  12. 7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы
  13. Упражнение
  14. 7.8. Коническая поверхность
  15. 7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса
  16. 7.10. Пересечение цилиндра плоскостью
  17. 7.11. Пересечение сферы плоскостью
  18. 7.12. Пересечение конуса плоскостью
  19. 7.13. Задачи для самостоятельной работы
  20. Поверхности в начертательной геометрии с примерами
  21. Что такое поверхность
  22. Способы задания поверхности
  23. Классификация поверхностей
  24. Поверхность
  25. Виды способов задания поверхности
  26. Аналитический
  27. Кинематический
  28. Каркасный
  29. Классификация поверхностей
  30. Поверхности вращения
  31. Поверхности сдвига
  32. Винтовые поверхности
  33. Изображение поверхностей на комплексном чертеже
  34. Построение очерков конических поверхностей
  35. Построение очерков цилиндрических поверхностей
  36. Определение поверхности
  37. Задание поверхности на чертеже
  38. Точка и линия на поверхности
  39. Конструирование поверхностей
  40. Конструирование поверхностей вращения
  41. Конструирование поверхностей плоскопараллельного переноса
  42. Конструирование линейчатых поверхностей
  43. Многогранники
  44. Циклические и непрерывно-топографические поверхности
  45. Пересечение поверхности плоскостью
  46. Развёртка поверхностей
  47. Пересечение линии с поверхностью
  48. Взаимное пересечение поверхностей
  49. Геометрические тела – призма и пирамида
  50. Построение проекций прямой правильной призмы
  51. Построение горизонтальных и профильных проекций точек, лежащих на поверхности призмы
  52. Построение проекций правильной пирамиды
  53. Построение проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды
  54. Построение проекций призмы и пирамиды со срезами плоскостями частного положения
  55. Построение проекций призмы со срезами плоскостями частного положения
  56. Построение проекций пирамиды со срезами плоскостями частного положения
  57. Поверхности вращения
  58. Построение проекций точек на поверхности вращения
  59. Видимость точек на проекциях поверхности вращения
  60. Геометрические тела – цилиндр конус
  61. Цилиндрическая поверхность вращения – прямой круговой цилиндр
  62. Построение проекций прямого кругового цилиндра
  63. Построение проекций точек, лежащих на поверхности цилиндра
  64. Коническая поверхность вращения – прямой круговой конус
  65. Построение проекций прямого кругового конуса
  66. Построение проекций точек, лежащих на поверхности конуса
  67. Конические сечения
  68. Построение проекций прямого конуса со срезами плоскостями частного положения
  69. Сферическая поверхность – шар
  70. Проекции шара и проекции его очерковых окружностей
  71. Построение проекций точек на поверхности шара
  72. Построение проекций шара со срезами плоскостями частного положения
  73. Торовая поверхность – тор
  74. Построение проекций открытого тора
  75. Построение проекций точек, лежащих на поверхности тора
  76. Сечения тора плоскостями частного положения
  77. Построение проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения
  78. Поверхности и способы их образования
  79. Поверхности вращения
  80. Точки и прямые линии, принадлежащие поверхности
  81. Пересечение плоскости и линии с поверхностью
  82. Способ вспомогательных секущих плоскостей
  83. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка
  84. Способ сфер
  85. Построение развертки поверхности простейших геометрических тел
  86. Построение развертки наклонных призматических, цилиндрических и конических поверхностей
  87. Построение развертки поверхности сферы
  88. Поверхности и позиционные задачи
  89. Сечение поверхности плоскостью
  90. Способ секущих плоскостей
  91. Способ секущих сфер
  92. Пересечение многогранников
  93. Пересечение линии и поверхности

Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНУСА. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНУСА. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Поверхность

Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической строгостью плоскости, до сложнейших, причудливых форм криволинейных поверхностей, не поддающихся точному математическому описанию.

Без преувеличения можно сказать, что по разнообразию форм и свойств, по своему значению при формировании различных геометрических фигур, по той роли, которую они играют в науке, технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не имеют себе равных среди других геометрических фигур.

Естественно, что начертательная геометрия как наука, передающая результаты своих теоретических исследований в распоряжение инженера для их практического использования, не может обойти вниманием такие важные геометрические фигуры, какими являются поверхности.

ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F (х, у, z) = 0, где F (х, у, г) — многочлен n-й степени, или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором — трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается n-го порядка. Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких, как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движу-щейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени t, и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное дву параметрическое множество точек.

Видео:ЗАДАЧИ ПО ОСНОВАМ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ И ЭПЮРЫ ТОЧЕК. №1Скачать

ЗАДАЧИ ПО ОСНОВАМ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ И ЭПЮРЫ ТОЧЕК. №1

Лекция 7. Поверхности

Видео:Лекция 5. Поверхности вращения. часть 1.Скачать

Лекция 5. Поверхности вращения. часть 1.

7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных систем автоматизированного проектирования.

Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)— многочлен n-ой степени и трансцендентные (F(x,y,z)— трансцендентная функция.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l1,l2 линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону (Рисунок 7.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму — изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в виде одной линии или целого семейства линий (m, n, p…).

Подвижную линию принято называть образующей (li), неподвижные – направляющими (m). Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим .

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий конгруэнтных профилю резца.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.1 — Кинематическая поверхность

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые , образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на развертывающиеся , которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся .

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Такие поверхности носят название циклические (Рисунок 7.2).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.2 — Циклическая поверхность

Если группировать поверхности по закону движения образующей линии, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

  • поверхности вращения;
  • винтовые поверхности;
  • поверхности с плоскостью параллелизма;
  • поверхности параллельного переноса.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас.

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности .

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом .

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

Например, циклическая поверхность, каркас которой состоит из восьмиугольников (Рисунок 7.3), может быть задан следующим образом:

  • Геометрическая часть определителя: три направляющих l, m, n.
  • Алгоритмическая часть: выбираем плоскость α; находим точки А, В, С, в которых α пересекает соответственно направляющие l, m, n. Строим восьмиугольник, определяемый тремя найденными точками. Переходим к следующей плоскости и повторяем построение

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.3 –Образование циклической поверхности

Видео:Построение точек встречи прямой с поверхностью конусаСкачать

Построение точек встречи прямой с поверхностью конуса

7.2. Поверхности вращения

Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).

Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.

Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).

Наименьшая параллель называется горлом , наибольшая – экватором .

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом .

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом .

Видео:Начертательная геометрия (задача 4-10). Пересечение поверхностей.Скачать

Начертательная геометрия (задача 4-10). Пересечение поверхностей.

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра .

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой .

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным .

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π1 сплошной зелёной линией – на плоскости проекции π2 видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π3.

Пусть точка А на π2 видима (Рисунок 7.7). Тогда на π1 она будет видима, а на π3 невидима.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

Видео:Образование поверхностей перемещением кривых. Учебный фильм по начертательной геометрииСкачать

Образование поверхностей перемещением кривых. Учебный фильм по начертательной геометрии

7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового цилиндра не требуется дополнительных построений. На горизонтальной плоскости проекций точки пересечения (1 и 2) находятся сразу. Фронтальные проекции строим по линиям связи.

Но в общем случае, алгоритм решения рассмотрим на следующем упражнении.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.8 – Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Видео:Сдача зачета по начертательной геометрии МГСУ-МИСИСкачать

Сдача зачета по начертательной геометрии МГСУ-МИСИ

Упражнение

Заданы: прямой круговой цилиндр с осью вращения, перпендикулярной плоскости проекций π1 и прямая а общего положения (Рисунок 7.8).

Построить точки пересечения прямой а с поверхностью цилиндра.

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

  1. Заключить прямую во вспомогательную секущую плоскость частного положения σ (горизонтально-проецирующую).
  2. Построить фигуру пересечения поверхности цилиндра горизонтально-проецирующей плоскостью: результат пересечения — четырехугольник (на π2 условно заштрихован).
  3. Найти точки «входа» и «выхода» прямой: на пересечении её фронтальной проекции с фронтальными проекциями сторон четырёхугольника (они же — проекции образующей цилиндра);

Прямая а пересекается со сторонами сечения в двух точках – 1 и 2.

Определим видимость участков прямой: очевидно, что между точками 1-2 прямая невидима, а на плоскости проекций π2 будет ещё невидим участок прямой от точки 1 до левой крайней образующей.

Видео:Метод эксцентрических сферСкачать

Метод эксцентрических сфер

7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра

Видео:Начертательная геометрия. Лекция 16. Часть 1.Скачать

Начертательная геометрия. Лекция 16. Часть 1.

Упражнение

Заданы : наклонный круговой цилиндр с осью вращения, наклонной к плоскости проекций π1 и прямая mобщего положения (Рисунок 7.9).

Построить точки пересечения прямой mс поверхностью цилиндра.
Решение :

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.9 – Пересечение прямой с наклонным цилиндром

  1. Заключить прямую m во вспомогательную плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру – четырехугольник (σ параллельна оси цилиндра или образующим). Эту плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми m∩(1M);
  2. Построить горизонтальный след плоскости σ (прямую пересечения σ с плоскостью проекций π1) как проходящую через горизонтальные следы прямых m и (1M) (точки пересечения прямых с плоскостью проекций π1 (основания)) – (MN);
  3. Найти точки пересечения MN с окружностью основания цилиндра. Через эти точки провести образующие r, по которым плоскость σ пересекает боковую поверхность цилиндра:

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с наклонным цилиндром.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

7.6. Сферическая поверхность

Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.

Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.

Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).

Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.

Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности

Прямоугольная проекция шара (сферы) на любую плоскость – есть окружность, которую часто называют очерковой .

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности второго порядка

Упражнение

Заданы: сферическая поверхность тремя проекциями (Рисунок 7.11) и фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4.

Необходимо построить горизонтальные и профильные проекции заданных точек.

  • Проанализируем их расположение на поверхности сферы. Точки 1, 2, 3 лежат на очерковых образующих сферы.
  • Точка 1 принадлежит главному меридиану (очерковой окружности на π2), проекция которого на π1 совпадает с проекцией горизонтальной оси, на π3 – с проекцией вертикальной оси.
  • Недостающие проекции точки 1 находим посредством линий проекционной связи. Все проекции точки 1 видимы.
  • Рассмотрим положение точки 2. Точка 2 принадлежит экватору (очерковой окружности на π1), проекции которого на π2 и π3 совпадают с проекцией горизонтальной оси. Горизонтальная проекция точки 2 строится посредством линии проекционной связи, для построения профильной проекции необходимо измерить расстояние, отмеченное дугой, и отложить его по линии связи от точки О3 вправо. Профильная проекция точки 2 невидима.
  • Точка 3 принадлежит очерковой окружности на π3, которая также является меридианом, проекции которого на π2 и π1 совпадают с проекцией вертикальной оси. Профильная проекция точки строится посредством линии проекционной связи. Для построения горизонтальной проекции точки 3 необходимо расстояние, отмеченное на π3 двумя засечками, отложить на π1 вверх от точки О1. Горизонтальная и профильная проекции точки 3 видимы.
  • Для построения проекций точки 4 необходимо ввести вспомогательную секущую плоскость (зададим плоскость σ//π1 и σ⊥π2). Плоскость σ пересекает поверхность сферы по окружности радиусом r. На π1 строим данное сечение и по линии проекционной связи находим 41. Для построения профильной проекции необходимо расстояние, отмеченное засечкой, отложить по линии проекционной связи на π3 вправо от оси. Все проекции точки 4 видимы.

Видео:Лекция 2. Основная задача начертательной геометрии. Точка пересечения прямой с плоскостью.Скачать

Лекция 2. Основная задача начертательной геометрии. Точка пересечения прямой с плоскостью.

7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)

Упражнение

Заданы: сфера и прямая общего положения АВ.

Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).

Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:

  1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность сферы так, чтобы получались простые фигуры (например, круг, ограниченный окружностью);
  2. Построить фигуру пересечения сферы вспомогательной плоскостью;
  3. Найти общие точки прямой и контура фигуры (окружность): так как прямая и окружность лежат в одной плоскости, то они, пересекаясь, образуют точки, общие для прямой и сферы, которые и будут являться искомыми точками (Рисунок 7.12).

  • Через прямую проводим плоскость σ. Пусть σ⊥π1 и пересекает сферу по окружности радиусом r. С – центр окружности сечения ОС⊥σ:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы

  • Введём π3⊥π1 и π3//σ1. Построим проекцию окружности сечения на π3 и проекцию А3В3.
  • Находим точки их пересечения 12 и 23.
  • Определим видимость участков прямой.
  • На π1 точки 1 и 2 находятся на переднем полушарии, следовательно, на π2 они видимы.

Видео:Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУ

7.8. Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).

Тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью вершиной и плоскостью, называется конусом .

Плоская фигура, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса .

Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса .

Если основание конуса является кругом, то конус называется круговым .

Если вершина конуса расположена на перпендикуляре к основанию, восстановленному из его центра, то конус называется прямым круговым .

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности

Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.
Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).

1 способ . Для построения ортогональных проекций точки, расположенной на поверхности конуса, построим проекции образующей, проходящей через данную точку. При таком положении точки А все её проекции – видимы.

2 способ . Точка А лежит на параллели конуса радиусом r. На π1 строим проекцию окружности (параллели) и по линии проекционной связи находим А1. По двум проекциям точки строим третью.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

  1. Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
  2. Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое, (σ=SM∩m).

  1. Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
  2. Построим горизонтальные проекции этих объектов.
  3. Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

  1. Построим её горизонтальную проекцию.
  2. Соединим точки M1N1, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
  3. Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
  4. На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
  5. Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

  1. Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
  2. Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
  3. Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

  1. Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
  2. Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π1 произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
  3. Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π3. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ1 и откладываем его по соответствующей линии связи на π3. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

7.11. Пересечение сферы плоскостью

Плоскость пересекает поверхность сферы всегда по окружности. Задачу пересечения плоскости со сферой мы рассматривали при решении задачи построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы (см. выше).

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π2 (Рисунок 7.16).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

  1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
  2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
  3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
  4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
  5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π2 (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

  1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
  2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π2 и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π1. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π1 и π3 совпадают с линиями проекционной связи.
  3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π1 строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
  4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
  5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

7.13. Задачи для самостоятельной работы

1. Достроить проекции сферы с заданным вырезом (Рисунок 7.20).
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.20
2-3. Построить три проекции конуса с призматическим отверстием (Рисунки 7.21, 7.22).
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.21
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.22
4. Построить точки «входа» и «выхода» прямой при пересечении её с поверхностью полусферы (Рисунок 7.23).
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 7.23

Поверхности в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Поверхностью называется совокупность последовательных положений некоторой линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Закон перемещения линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На Рис.8.1 закон перемещения линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийзадан кривой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. При этом имеется в виду, что образующая В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийскользит по направляющей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, оставаясь параллельной самой себе, в точке А, принадлежащая образующей , перемещается по кривой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Если образующая В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— прямая, то поверхность называется линейчатой. Если В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— кривая, то поверхность будет криволинейной (нелинейчатой).

В дальнейшем будем рассматривать только линейчатые поверхности с одной направляющей. К ним относятся конические, цилиндрические и многогранные поверхности.

Коническая поверхность (Рис.8.2, а) однозначно определяется прямолинейной образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, кривой направляющей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи точкой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПри этом образующая пересекает направляющую и все образующие пересекаются в одной точке.

Цилиндрическая поверхность (см. Рис.8.2, б) получается в случае, когда все прямолинейные образующие пересекаются в несобственной точке В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Плоскость (см. Рис.8.2, в) является частным случаем цилиндрической или конической поверхности, когда и образующая и направляющая являются прямыми и все образующие пересекаются в несобственной точке В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Что такое поверхность

Поверхность – абстрактная фигура, не имеющая толщины. Она ограничивает какое-либо тело, состоящее из металла, пластмассы и т.д. Тело – конечно, а поверхность может быть бесконечна. Например, шар ограничен сферой; боковой поверхностью конуса является коническая поверхность.

Способы задания поверхности

Существует несколько способов задания поверхности, в том числе: кинематический, аналитический и графический.

Внедрение в инженерную практику компьютерных технологий обусловило совместное использование графических и аналитических методов задания поверхностей.

С точки зрения аналитической геометрии:

Поверхность – непрерывное множество точек, координаты которых связаны в декартовой системе координат уравнением вида В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии поверхность задается графически, а к ее образованию подходят с точки зрения кинематики:

Поверхность — совокупность непрерывных последовательных положений линий, движущихся в пространстве по определенному закону.

Эта движущаяся линия называется образующей, а линия, по которой она движется – направляющей.

Поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей ей, можно построить вторую проекцию. Совокупность независимых условий, необходимых и достаточных для однозначного определения поверхности, называется определителем поверхности: В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийгде В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— поверхность,

  • (Г) – геометрическая часть определителя поверхности – совокупность геометрических фигур, образующих поверхность;
  • [A] – алгоритмическая часть определителя поверхности – закон перемещения образующей.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Например, определитель конической поверхности имеет следующий вид:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

где В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений– образующая;

  • а – направляющая;
  • S – точка пересечения образующих.

Алгоритмическая часть определителя читается следующим образом:

Любая образующая В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает направляющую а и проходит через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На чертеже поверхность может быть задана:

  1. Набором элементов, определяющих эту поверхность.
  2. Очерком поверхности.
  3. Каркасом поверхности.

Очерком поверхности называется проекции контура поверхности на плоскости проекций.

Каркасный способ задания поверхности предполагает, что поверхность можно определить как двупараметрическое множество точек с одной стороны, а, с другой, поверхность – однопараметрическое множество линий.

Каркасом (точечным или линейным) называется множество точек или линий, определяющих поверхность.

Каркасным способом задаются такие сложные поверхности с образующими переменного вида, которые нельзя описать математически.

Классификация поверхностей

Существует множество различных подходов к классификации поверхностей. Однако главными из них являются следующие критерии:

1. Закон образования поверхности:

  • поверхности закономерные – если закон их образования известен и может быть выражен математически;
  • незакономерные.

2. Вид образующей:

  • поверхности линейные –образующая прямая линия;
  • поверхности нелинейные (криволинейные) –образующая кривая линия.

3. Закон движения образующей:

  • поверхности переноса – с поступательным движением образующей;
  • поверхности вращения – с вращательным движением образующей;
  • винтовые поверхности – с винтовым движением образующей.

4. Постоянность (вариабильность) формы образующей:

  • — поверхности с образующей постоянной формы;
  • — поверхности с образующей переменной формы.

5. Возможность развертывания поверхности:

  • Развертываемые – поверхности, совмещаемые с плоскостью без складок и разрывов:
  • неразвертываемые.

Очевидно, что любую поверхность можно классифицировать одновременно по нескольким признакам.

Например, цилиндрическая поверхность вращения:

  1. линейчатая закономерная развертываемая поверхность вращения;
  2. циклическая поверхность переноса окружности постоянного радиуса;
  3. алгебраическая поверхность второго порядка.

Из всего множества поверхностей в кратком курсе начертательной геометрии мы будем рассматривать только гранные поверхности и поверхности вращения.

Поверхность

Поверхность — это наружная сторона предмета, или граница, отделяющая геометрическое тело от внутреннего пространства или другого тела (толковый словарь русского языка под редакцией Д.Н. Ушакова).

Поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве по определенному закону. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (а иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, — направляющими.

Виды способов задания поверхности

Аналитический

Поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F (x, y, z ) = 0 (рис. 6.1). Порядок уравнения соответствует порядку поверхности. Порядок поверхности можно определить и геометрически, как порядок кривой, по которой плоскость пересекает поверхность, или как число точек пересечения прямой с поверхностью.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.1. Аналитические поверхности:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать свойства поверхности.

Кинематический

Кинематическую поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по некоторым неподвижным линиям. Таким образом, на любой кинематической поверхности можно выделить два семейства линий: семейство образующих и семейство направляющих. Направляющие и образующие обладают следующим свойством: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой, но каждая линия одного семейства пересекает все линии другого.

Рассмотрим формирование конической поверхности (рис. 6.2). Такая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку S и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую кривую m. Если направляющая m — окружность, каждая точка которой равноудалена от вершины S, образуется прямой круговой конус.

Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности. Например, определителем конуса вращения могут быть ось и образующая или вершина и направляющая линия. Определителем цилиндра вращения может быть ось и образующая (прямая или кривая) или ось и направляющая (окружность). Окружность может быть и направляющей линией цилиндра и его образующей. В начертательной геометрии все поверхности рассматриваются как кинематические, то есть образованные непрерывным перемещением в пространстве какой — либо линии или поверхности.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.2. Образование конической поверхности:
S — вершина конической поверхности;
m — направляющая;
l1, l2. In — последовательные положения образующей

Каркасный

Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности или поверхности с произвольными образующими называются скульптурными или поверхностями произвольных форм (рис. 6.3). Такие поверхности обычно задают достаточно плотной сетью линий и точек, принадлежащих этим поверхностям. Совокупность таких линий называется каркасом поверхности. При этом точки, лежащие между линиями каркаса, определяются приближенно.

Одним из наиболее распространенных в промышленности методов конструирования поверхностей является метод конструирования с помощью непрерывного каркаса. Метод каркасного конструирования используется при изготовлении кузовов автомобилей, самолетов и в судостроении, для выполнения штампов при изготовлении поверхностей из листового материала, в топографии, горном и дорожном деле.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.3. Скульптурная поверхность

Классификация поверхностей

1. По способу задания:

  • • аналитические;
  • • кинематические;
  • • скульптурные (поверхности произвольных форм).

2. По закону движения образующей:

  • • с поступательным движением образующей;
  • • с вращательным движением образующей;
  • • с винтовым движением образующей.

3. По виду образующей:

  • • поверхности с прямолинейной образующей или линейчатые поверхности;
  • • поверхности с криволинейной образующей.

4. По закону изменения формы образующей:

  • • поверхности с образующей постоянного вида;
  • • поверхности с образующей переменного вида.

5. По признаку развертывания:

  • • развертывающиеся поверхности — можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Сюда относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические, торсовые.
  • • неразвертывающиеся — нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Сюда относятся все остальные поверхности.

Наибольшее распространение в технике получили поверхности вращения, сдвига и винтовые.

Поверхности вращения

Поверхности вращения — поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 6.4,а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное — перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.4. Поверхность вращения:
а — основные линии на поверхности вращения;
б — представление поверхности вращения в виде сети

Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую — горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность -меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 6.4,б).

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n — го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

В зависимости от вида образующей различают:

Торовые поверхности — поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.5. Торовые поверхности:
а — сфера; б — открытый тор (кольцо); в — закрытый тор; г — глобоид

  • Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 6.5,а).
  • Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 6.5, б) и закрытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 6.5,в).
  • Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 6.5,г).
  • Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 6.6. а),если малая — сжатым или сфероидом (рис. 6.6,б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 6.7, а). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.7. Поверхности вращения:
а — параболоид;
б — однополостной гиперболоид;
в — двуполостной гиперболоид;

Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 6.7,б), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 6.7,в), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

Конус вращения (прямой круговой конус) образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадающейся на две пересекающиеся прямые (рис. 6, а).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.8. Поверхности вращения:
а — конус; б — цилиндр

Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр) образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадающейся на две параллельные прямые (рис. 6.8,б).

Поверхности сдвига

Поверхности сдвига или так называемые поверхности экструдий -поверхности, образованные смещением произвольной образующей вдоль произвольной направляющей (рис. 6.9, 6.10). Образующие и направляющие поверхности сдвига могут быть как постоянного, так и переменного вида.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.9. Поверхности сдвига:
а — наклонный цилиндр; б — наклонный конус

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.10. Поверхности сдвига, применяемые в технике:
а — коническое зубчатое колесо; б — швеллер; в — змеевик

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности — поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси с одновременным смещением в осевом (поверхность цилиндрической резьбы, рис. 6.11,а) или осевом и радиальном направлении (коническая пружина, рис. 6.11,б). Направляющей винтовой поверхности является винтовая линия.
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.11. Винтовые поверхности:
а — поверхность трапециидальной резьбы;
б — поверхность конической пружины

Изображение поверхностей на комплексном чертеже

На комплексном чертеже изображается очерк поверхности, а также наиболее важные линии и точки на поверхности.
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.12. Образование очерка поверхности

Очерк поверхности — линия, которая ограничивает проекцию поверхности. Для получения очерка поверхности проводят множество проецирующих лучей в направлении проецирования s, касательных к данной поверхности. Точки касания поверхности и проецирующих лучей образуют линию l, называемую контурной линией. Совокупность проецирующих лучей образует проецирующую цилиндрическую поверхность, проекция которой и представляет собой очерк l’ данной поверхности на соответствующей плоскости проекций П (рис. 6.12). Очерк поверхности можно определить и как проекцию контурной линии на заданную плоскость проекций. Очерк поверхности является границей видимости поверхности.

Построение очерков конических поверхностей

Фронтальный очерк поверхности наклонного конуса представляет собой равнобедренный треугольник A2B2S2. Горизонтальный очерк поверхности наклонного конуса с круговым основанием состоит из дуги окружности основания и касательных, проведенных из проекции вершины конуса (рис. 6.13).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.13. Построение очерка поверхности наклонного конуса с круговым основанием

Для построения касательных на П1 вершину конуса S нужно соединить с центром окружности основания O1. Затем отрезок делится пополам и строится вспомогательная окружность радиусом O’1S1. Точки C1 и D1 пересечения вспомогательной окружности и окружности основания и являются точками касания. Угол O 1 D 1 S 1 — прямой.

Фронтальный очерк поверхности прямого кругового конуса, ось которого является фронталью, представляет собой равнобедренный треугольник A2B2S2 (см. рис. 6.14).Горизонтальный очерк состоит из части эллипса и двух касательных к нему прямых. Эллипс можно построить по двум осям малой А 1 B 1 и большой C1C1‘, равной диаметру окружности основания конуса (см. пп. 12.4.1,рис. 12.11).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.14. Построение очерка поверхности прямого кругового конуса

Для определения прямых (SD) и (SD’), касательных к эллипсу, используется произвольная вспомогательная сфера с центром О(О1О2) на оси конуса, касательная к его поверхности. Из произвольной точки О(О1О2) на оси конуса восстанавливаются перпендикуляры (О2M2)и (О2N2) на образующие (S2A2)и (S2B2). Линия (M2N2)-проекция линии касания конуса и вспомогательной сферы. Затем определяются фронтальные проекции случайных точек искомых касательных K2 и K’2 как точки пересечения полученной линии (MN) и экватора вспомогательной сферы. Далее определяются горизонтальные проекции K1 и K’1 на горизонтальной проекции экватора вспомогательной сферы. Прямые (S 1 K1)и (S 1 K’ 1)касаются эллипса в точках D 1 и D’ 1.

Построение очерков цилиндрических поверхностей

Для построения фронтального очерка поверхности наклонного цилиндра с круговым основанием (рис. 6.15) строятся проекции верхнего и нижнего оснований — (A2B2) и (A’2B’2)u очерковые образующие (A2A2) и (B2B’2).

Для построения горизонтального очерка строят окружности верхнего и нижнего оснований, затем через центры окружностей проводятся перпендикуляры (C 1 D 1)и (C’ 1 D’ 1) к оси цилиндра.
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рис. 6.15. Построение очерка наклонного цилиндра с круговым основанием

Определение поверхности

Поверхности в геометрии рассматриваются либо как двумерные множества точек, либо как одномерные множества линий. Второе определение наиболее соответствует конструированию поверхностей с использованием кинематического метода.

Этот подход (в соответствии с рисунком 8.1) предполагает формирование поверхности в результате перемещения одной кривой U (образующей) по другой кривой V (направляющей).

В общем случае понятия направляющей и образующей чисто условные.

Перемещение кривой V по кривой U сформирует ту же самую поверхность.

Наложение условий на форму кривых и условия перемещения позволяет формировать практически любые поверхности.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.1 — Образование поверхности
Традиционно рассматривают поверхности простые, описываемые единым уравнением, и составные, состоящие из отсеков простых.

Изучение многообразия поверхностей, образуемых кинематическим способом, требует их систематизации. Это особенно важно в автоматизированном проектировании при создании информационных систем или так называемых банков данных.

Очевидно, что невозможно разработать единую, приемлемую для всех, систематизацию (классификацию) поверхностей. Сложность состоит в том, что трудно выделить единый признак классификации. Например, вполне естественно в основу систематизации положить вид образующей и закон ее перемещения.

По виду образующей различают линейчатые (образующая — прямая), циклические (образующая — окружность) и другие поверхности.

Возможна классификация и по закону перемещения образующей — поверхности вращения, параллельного переноса, винтовые и т.д. Очевидно, что при этом некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным классам. Например, цилиндрическая поверхность вращения является линейчатой и поверхностью вращения.

Все это и определило отказ от традиционного рассмотрения в пособии различного рода классификаций поверхностей.

Задание поверхности на чертеже

Для изображения поверхности на чертеже необходимо выяснить проекции каких элементов поверхности необходимо задать для того, чтобы получить обратимый чертеж.

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки (на чертеже), можно дать однозначный ответ на вопрос: «Принадлежит ли эта точка рассматриваемой поверхности?». Другими словами, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить ее вторую проекцию.

Поверхности на чертеже моделируются соответствиями, также как и плоскость, которая моделируется взаимнооднозначным соответствием — родством (раздел 3).

Возможны два способа задания таких соответствий: аналитический и графический.

При аналитическом задании, в общем случае, поверхность может быть определена уравнением в неявном виде F(x,y,z) = 0, в явном виде z =f(x,y), или параметрической форме х = X(u,v), у= Y(u,v), z = Z(u,v). Параметры u и v получили название криволинейных координат (рисунок 8.1).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.2-Линейчатый каркас

Графическое задание также предусматривает несколько вариантов. Один из них непосредственно вытекает из аналитического способа.

Табулирование уравнений, задающих поверхность, позволяет получить либо двухпараметрическое множество точек, либо два однопараметрических семейства линий. Эти семейства определяют, так называемый каркас поверхности (точечный или линейчатый). Изображение этих каркасов на чертеже позволяет говорить о каркасном задании поверхности (рисунок 8.2).
Еще один, самый распространенный, графический способ — задание поверхности (отсека) очерками.

При проецировании произвольной поверхности на плоскость проекций некоторые из проецирующих прямых будут касаться этой поверхности и образовывать некоторую проецирующую (цилиндрическую для параллельного проецирования поверхность В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Линия касания этих поверхностей называется контурной линией, а ее проекция на соответствующую плоскость — очерком.

В соответствии с рисунком 8.3 поверхность прямого кругового конуса на комплексном чертеже задана своими очерками (горизонтальным очерком В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи, соответственно, фронтальным В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОчерки дают более наглядное представление об изображаемом объекте.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.3 — Прямой круговой конус

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.4 — Сфера

Пользуются при задании кинематических поверхностей и понятием определителя. Под определителем кинематической поверхности понимают совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту поверхность. Условиями могут быть: задание образующей поверхности, закон ее изменения (в случае переменной образующей), закон движения образующей и др. Некоторые из них могут быть выражены графически. Например, сфера Ф может быть представлена как поверхность вращения: Ф[i,I] (рисунок 8.4).

Условиями, включенными в определитель поверхности и определяющими ее форму, могут быть также параметры формы.

Одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами. Поэтому она может иметь разные определители.

Все рассмотренные способы задания поверхности связаны между собой и при решении многих задач приходится переходить от одного способа задания к другому.

Точка и линия на поверхности

Обобщение определений на принадлежность точки и линии плоскости позволяет утверждать следующее:

  • точка лежит на поверхности, если она лежит на линии, лежащей на поверхности;
  • линия лежит на поверхности в том случае, если все ее точки лежат на поверхности.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.5 — Точка на конусе

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.6 — Винтовая коническая линия
В соответствии с рисунком 8.5 и данным выше определением точка А лежит на поверхности конуса, заданного очерками В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТочка А лежит на окружности l, полученной пересечением конической поверхности с горизонтальной плоскостью уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийЗдесь одной фронтальной проекции точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсоответствуют две горизонтальные В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.6 иллюстрирует винтовую линию l на поверхности конуса Ф, построенную по точкам.

При построении точек, лежащих на поверхностях, выбираются такие линии, лежащие на них, которые легко могут быть построены (прямые, окружности).

Конструирование поверхностей

Как уже отмечалось выше, поверхности должны отвечать определенной совокупности независимых условий (виду образующей, закону ее изменения и движения и т.д.). Все это и определяет подход к выполнению чертежей поверхностей.

Конструирование поверхностей вращения

Поверхности вращения — одни из самых распространенных, что обусловлено простотой изображения на чертеже и воспроизведения в материале.

Поверхность вращения — это поверхность, образованная вращением линии (образующей) l вокруг прямой, называемой осью поверхности i (в соответствии с рисунком 8.7).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.7 — Поверхность вращения
Обычно при изображении поверхности на чертеже ось вращения выбирается перпендикулярной одной из плоскостей проекции. Окружности, по которым перемещаются все точки образующей l, называют параллелями поверхности.

Кривые, полученные в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Меридиан лежащий в плоскости параллельной плоскости проекции называется главным меридианом.

Параллели и меридианы поверхности вращения образуют ее непрерывный каркас, так что через любую точку поверхности проходят единственные параллель и меридиан.

Параллель с минимальным радиусом называется горловиной или горлом, а с максимальным радиусом — эквитором.

Некоторые поверхности вращения традиционно носят свои собственные названия.

Поверхности, образованные вращением прямой линии, параллельной оси вращения, называют прямыми круговыми цилиндрами (рисунок 8.8).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.8 — Прямой круговой цилиндр, конус вращения, параболоид вращения

Поверхности, образованные вращением прямой линии пересекающей ось вращения в точке S (вершине конуса), называют конусами вращения (рисунок 8.8).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.9 — Сфера и тор

Другие поверхности вращения, если образующая имеет собственное название, называют по ее имени при условии, что ось вращения совпадает с осью симметрии кривой. Например, параболоид вращения (рисунок 8.8).

Особняком здесь стоит окружность. Если ось вращения совпадает с осью симметрии окружности, то такую поверхность называют сферой, если же нет, то — тором (рисунок 8.9).

Конструирование поверхностей плоскопараллельного переноса

Еще один тип поверхностей, часто используемых в практике, — это поверхности плоскопараллельного переноса. В некоторых векторных графических пакетах (AutoCAD, CorelDraw и др.) эти поверхности называют поверхностями сдвига, что не совсем верно.

Поверхность «заметается» плоской образующей l, которая перемещается в пространстве по плоской направляющей m, оставаясь параллельной самой себе (рисунок 8.10).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.10-Поверхность плоскопараллельного переноса

По этой схеме могут быть получены такие поверхности, как цилиндр общего вида (рисунок 8.10), плоскость (образующая и направляющая прямые линии), параболический параболоид (рисунок 8.11) и другие.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Конструирование линейчатых поверхностей

Линейчатые поверхности образуются при движении прямой линии (образующей) по заданному закону. Закон движения обычно задается направляющими. В качестве направляющих обычно рассматривают линии. Хотя направляющими могут быть и поверхности (образующая перемещается, касаясь этой поверхности), и другие геометрические элементы.

Например, коническая поверхность образуется при движении прямолинейной образующей, проходящей через фиксированную точку (вершину) и пересекающей направляющую кривую. Коническая поверхность с несобственной вершиной называют цилиндрической поверхностью.

Из определения линейчатой поверхности следует, что ее образующая в каждый момент времени должна занимать строго определенное положение. Такое возможно только при наличии трех направляющих. Поэтому линейчатые поверхности называются еще поверхностями с тремя направляющими. Действительно, взяв на направляющей а произвольную точку A, мы можем провести через нее, по крайней мере, одну образующую l, пересекающую другие две направляющие b, с. Точка А и направляющая b определяют коническую поверхность В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(рисунок 8.12), которую направляющая с пересекает в нескольких точках В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОчевидно, что прямые В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекают направляющую b. Таким образом, при перемещении точки А по кривой а прямые В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопишут линейчатую поверхность.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Эти направляющие — а, b, с — и входят в определитель линейчатой поверхности с тремя направляющими, что символически записывается так: Ф(а, b,с).

Среди линейчатых поверхностей выделяют поверхности с плоскостью параллелизма. Их также называют поверхностями Каталана. Образующие l этих поверхностей пересекают направляющие кривые а, b и параллельны плоскости параллелизма Г— собственному представителю несобственной направляющей прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В зависимости от вида направляющих а, b поверхность с плоскостью параллелизма называется цилиндроидом, коноидом или косой плоскостью.

Цилиндроидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, у которой направляющие — кривые линии.

Каркас образующих цилиндроида на комплексном чертеже строится весьма просто, если в качестве плоскости параллелизма принята одна из плоскостей проекций или проецирующая плоскость. На рисунке 8.13 построен каркас образующих цилиндроида с направляющими а, b и параллельными плоскости параллелизма В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Образующие являются горизонталями.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.13 — Цилиндроид

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.14 — Коноид

Коноидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, имеющая одну криволинейную и вторую прямолинейную направляющие.

На чертеже коноид задается аналогично цилиндроиду. Построение каркаса образующих не отличается от цилиндроида.

На рисунке 8.14 приведен чертеж коноида, получившего в инженерной практике название «прямой клин». Направляющими коноида являются эллипс а и прямая /?, плоскость параллелизма zOy. Эта поверхность несет на себе каркас эллипсов в плоскостях параллельных В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма и прямолинейными направляющими (рисунок 8.15).

Она больше известна под названием гиперболического параболоида, так как несет на себе каркас не только прямых, но и гипербол и парабол. Из аналитической геометрии известно, что гиперболический параболоид содержит два семейства прямолинейных образующих, параллельных двум плоскостям параллелизма.

Линейчатая поверхность, образованная множеством касательных к пространственной кривой, получила называние торсовой или поверхностью с ребром возврата (рисунок 8.15). Направляющая кривая t поверхности называется ребром возврата. Примером торсовой поверхности может служить хорошо известная коническая поверхность, у которой ребро возврата выродилось в точку (вершину конуса).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.15 — Косая плоскость и поверхность с ребром возврата

Многогранники

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Поверхность, ограничивающая многогранник, — составная. Элементами этой поверхности являются вершины, ребра и грани; совокупность всех ребер многогранника называют его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его — тоже выпуклые многоугольники.

Построение ограничивающей поверхности многогранника сводится к построению проекций ее сетки.

Среди всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, а также правильные выпуклые многогранники.

Чертеж призмы приведен на рисунке 8.16. Гранями призмы служат четырехугольные отсеки плоскостей. Все ребра призмы параллельны между собой. Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности сводится к определению принадлежности этих элементов плоским граням.

Пирамида (рисунок 8.17) ограничена составной поверхностью, у которой грани представлены треугольниками.

Все ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, которую называют вершиной пирамиды.

Поверхность призмы можно рассматривать, как поверхность пирамиды, у которой вершина — несобственная точка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.16 — Призма
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.17 — Пирамида

Циклические и непрерывно-топографические поверхности

Циклической поверхностью называется поверхность, образованная непрерывным каркасом круговых сечений (рисунок 8.18). Циклическая поверхность несет на себе, по крайней мере, одно семейство круговых образующих. Циклическая поверхность является частным видом поверхностей подобных сечений.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.18 — Поверхность подобных сечений
Для однозначного определения поверхности подобных сечений должны быть заданы три линии a,t,b где, а — линия определяющая параметрическое семейство плоскостей, перпендикулярных этой линии; t — линия центров окружностей; b — линия, определяющая величины радиусов окружностей.

Примером таких поверхностей, имеющих круговые сечения, т. е. представляющим собой разновидность циклических поверхностей, могут служить эллиптический цилиндр, конус вращения, эллипсоид, однополостной и двуполостной гиперболоиды и др.

Кинематические поверхности сложной формы традиционно называют поверхностями зависимых линий. Типичным представителем поверхностей зависимых линий являются топографические поверхности.

Топографическими называют поверхности, заданные дискретным множеством линий уровня (рисунок 8.19). Такое представление поверхностей широко распространено в топографии, строительстве, военном деле и др. На ранних этапах развития авиации, автомобилестроения и судостроения сложные поверхности самолетов, автомобилей и судов задавались также в виде дискретного множества линий уровня. Получали сетчатый каркас поверхности, состоящий из трех семейств линий уровня: батоксов (вертикальных линий), горизонталей и поперечных сечений (шпангоутов).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений
Рисунок 8.19 — Топографическая поверхность
Вопросы о принадлежности точки пространства для таких поверхностей решаются однозначно только на линиях каркаса поверхности.

В геометрии выделяют непрерывно топографические поверхности, образованные непрерывным множеством линий уровня. Эти поверхности широко применяют в авиации, судостроении, автомобилестроении, архитектуре и др.

Определитель, такой поверхности, состоит из проекций однопараметрического семейства линий уровня в какой-либо одной плоскости проекций и закона распределения линий семейства в пространстве (рисунок 8.20).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рисунок 8.20 — Непрерывно топографическая поверхность

Порядок конструирования такой поверхности следующий: в одной из плоскостей проекций задается однопараметрическое семейство линий q.

Затем в пространстве выбирается распределяющая линия m.

И последнее: устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками «распределяющей» линии т и каждой линией семейства В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пересечение поверхности плоскостью

При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Построение сечения поверхности плоскостью целесообразно начать с пересечения многогранников плоскостью.

Многогранником называют пространственную фигуру, ограниченную рядом плоскостей, имеющих форму многоугольников. Стороны многоугольников образуют рёбра, а плоскости — грани.

Проекциями сечения многогранников в общем случае являются многоугольники, вершины которых принадлежат рёбрам, а стороны — граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника плоскостью можно решать способом рёбер или способом граней. Способ рёбер заключается в нахождении точек встречи прямой (ребро многогранника) с плоскостью. Способ граней сводится к построению линии пересечения двух плоскостей (грань многогранника и секущая плоскость). Какому способу отдать предпочтение, нужно решать в каждом конкретном случае отдельно. Рассмотрим примеры построения многогранников плоскостью.

Пример 1 Построить проекции сечения прямой призмы плоскостью общего положения (см. Рис.8.3).

В случае рёбра призмы ABCDEF перпендикулярны плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийследовательно, основания призмы проецируются на неё в истинную величину. Кроме того, нижнее основание лежит в горизонтальной плоскости проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийИз Рис.8.3 следует, что плоскость а пересекает основание DEF и ребро CF. Так как В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдостаточно отметить горизонтальные проекции точек пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсторон нижнего основания с плоскостью а и найти их фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийВследствие того, что В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийгоризонтальная проекция точки пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийэтого ребра с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсовпадает с горизонтальной проекцией ребра, т. е. В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточками и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Фронтальная проекция точки 3 определяется из условия принадлежности её плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДля этого через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроводят горизонтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямой, принадлежащей плоскости а, находят её фронтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи на ней отмечают точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТак как плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийзадана следами, то в качестве вспомогательной прямой целесообразно использовать фронталь HG (см. Рис.8.3) или горинталь.

Необходимо отметить, что если бы плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийне пересекала основание призмы, то точки 1 и 2 на рёбрах находились бы также с помощью вспомогательных прямых.

Пример 2 Построить сечение трёхгранной пирамиды горизонтально — проецирующей плоскостью (см. Рис.8.4).

При таком расположении секущей плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнет необходимости в дополнительных построениях, так как горизонтальная проекция сечения должна принадлежать следу В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийплоскости. Поэтому достаточно отметить точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв которых горизонтальный след В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрёбер пирамиды. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределяются в проекционной связи на соответствующих фронтальных проекциях рёбер пирамиды.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 3 Построить проекции сечения наклонной пирамиды плоскостью общего положения (см. Рис.8.5). Определить истинную величину фигуры сечения.

В данном случае целесообразно методом перемены плоскостей проекций преобразовать плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобщего положения в проецирующую и далее действовать так же, как ив предыдущем примере. Таким образом осуществляем переход от системы плоскостей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийк новой системе В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв которой плоскость а станет фронтально — проецирующей. Для этого новую ось В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроводим перпендикулярно к горизонтальному следу В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийНовый фронтальный след В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийплоскости проходит через точку схода следов В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДля нахождения второй точки при проведении следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, можно взять произвольную точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи построить рассмотренным ранее способом её фронтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийна новой плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Далее строим проекцию пирамиды на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДля построения проекции вершины В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнеобходимо от новой оси В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпо линии связи, перпендикулярной к ней, отложить отрезок, равный z точки S. Точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийоснования будут лежать на оси В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, так как В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Фронтальная проекция сечения пирамиды плоскостью Р принадлежит следу В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, поэтому отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв которых след В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, пересекает фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрёбер. Далее методом обратного проецирования находим горизонтальную и фронтальную проекции сечения:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Чтобы определить истинную величину фигуры сечения, необходимо произвести замену плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийновой плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпараллельной секущей плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДля этого проводим новую ось В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпараллельно проецирующему следу В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДалее находим проекции точек 1, 2 и 3 на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийследующим образом. Из точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвосстанавливаем перпендикуляры к оси В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи откладываем на них от новой оси В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, отрезки, равные соответственно расстояниям от В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдо оси В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийСоединив полученные точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучим истинную величину фигуры сечения пирамиды плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

При нахождении точек сечения поверхности вращения плоскостью целесообразно применять способ вспомогательных секущих плоскостей, которые пересекают поверхность по окружностям или по образующим. Построение проекций сечения начинают с отыскания проекций характерных (опорных) точек. К ним относятся точки, проекции которых расположены на проекциях контурных (очерковых) образующих поверхности, так как в этих точках изменяется видимость проекций линии пересечения. Характерными будут также точки перехода линии пересечения с боковой поверхности тела на его основание ( если плоскость пересекает основание) и точки, проекции которых являются наивысшими наинизшими. Рассмотрим некоторые приме-

Пример 4 Построить проекции сечения прямого и кругового цилиндра плоскостью общего положения (см. Рис.8.6).

Построение начнём с отыскания характерных точек. Проекции точек линии пересечения, расположенных на контурных образующих, найдём с помощью вспомогательной фронтальной плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроходящей через ось цилиндра.

Плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— по общей для них фронтали В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Точка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечения фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийфронтали с образующей будет искомой фронтальной проекцией точки пересечения образующей с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальная проекция точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсовпадает с точкой, в которую проецируется на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобразующая (точка на горизонтальной проекции фронтали).

Вторая контурная образующая в пределах заданной поверхности с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийне пересекается. Следовательно, плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает нижнее основание цилиндра. Точки перехода линии пересечения с боковой поверхности цилиндра на его основание отмечаем без дополнительных построений. Горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийэтих точек будут в точках пересечения следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс горизонтальной проекцией основания цилиндра. Их фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим на оси ох, так как основание принадлежит плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Наивысшая и наинизшая точки проекции сечения на плоскости а определяются с помощью вспомогательной горизонтально — проецирующей плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийперпендикулярной к плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи проходящей через ось цилиндра. Эта плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, горизонтальные проекции которых совпадают с точками пересечения следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, с горизонтальной проекцией основания цилиндра (точка 4 ). Фронтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположена на фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлинии пересечения плоскостей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Промежуточные точки 5 и 6 линии сечения строим с помощью вспомогательной плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийперпендикулярной к оси цилиндра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОна пересекает поверхность цилиндра по окружности, а плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— по общей для них горизонтали В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек сечения получаем в пересечении с окружностью основания. Фронтальные их проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположены на следе В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Соединяя фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек плавной кривой, получаем фронтальную проекцию линии пересечения. Пример 5 Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса плоскостью, параллельной двум образующим (Рис.8.7).

В нашем случае (см. Рис.8.7) плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийявляется горизонтально — проецирующей плоскостью. Поэтому горизонтальная проекция сечения (гиперболы) совпадает с горизонтальным следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек перехода линии сечения с боковой поверхности конуса на основание находятся в пересечении В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс горизонтальной проекцией основания. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположены на оси ох. Для нахождения наивысшей точки 3 сечения воспользуемся вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроходящей через ось конуса перпендикулярно плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийискомой точки лежит в пересечении горизонтальных следов В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа фронтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— на фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, образующей SB, по которой плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает поверхность конуса. Горизонтальная проекция точки 4, разделяющей фронтальную проекцию сечения на видимую и невидимую части, лен-жит в пересечении горизонтальной проекции образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийФронтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположена на В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДополнительные точки 5 и 6 сечения находим с помощью произвольной вспомогательной горизонтальной плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекающей поверхность конуса по окружности.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 6 Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобщего положения (см. Рис.8.8).

Построение начинаем с нахождения точек 1 и 2, расположенных на очерковых образующих. Для этого проводим вспомогательную плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпараллельную фронтальной плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи проходящую через ось конуса.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Она пересекает плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпо фронтали В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа поверхность конуса — по очерковой образующей. На пересечении фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийфронтали и очерковых образующих находим точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек расположены на В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДалее проводим плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийгоризонтально — проецирующую и перпендикулярную к плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, проходящую через ось конуса. Эта плоскость пересекает коническую поверхность по образующим SA и SB, а плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— по линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийHa пересечении фронтальных проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобразующих и прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим точки 3 и 4 . Горизонтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлежат в проекционной связи с В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийна следе В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийНеобходимо отметить, что прямая 3-4 является большой осью эллипса, получающегося в сечении. Для нахождения малой оси эллипса через середину F отрезка 3-4 проводим вспомогательную плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийперпендикулярную к оси конуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи проходит через В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОна пересекает поверхность конуса по окружности радиуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— по горизонтали В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На пересечении В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс окружностью радиуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек, ограничивающих малую ось эллипса. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийэтих точек лежат на фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийгоризонтали. Соединяя плавной кривой точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучим горизонтальную проекцию сечения, представляющего собой эллипс. Фронтальную проекцию сечения получим в результате соединения плавной кривой точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 7 Построить проекции сечения поверхности конуса плоскостью, проходящей через его вершину (Рис.8.9).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Факт принадлежности точки S (вершина конуса) плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийустанавливается при помощи горизонтали В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведённой через эту точку. Поскольку в нашем примере основание конуса лежит в плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийто точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходятся в пересечении горизонтального следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс окружностью основания. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек лежат на оси ох. Таким образом, плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает поверхность конуса по образующим SA и SB.

Пример 8 Построить проекции сечения поверхности сферы горизонтально-проецирующей плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальная проекция сечения ( эллипса) совпадает с горизонтальным следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(см. Рис.8.10).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Горизонтальные проекции точек 1 и 2 В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— малой оси эллипса находятся на пересечении горизонтальной проекции сферы со следом aФронтальные проекции этих точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим на фронтальной проекции диаметра сферы В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДве характерные точки 3 и 4, в которых на фронтальной проекции видимая часть эллипса переходит в невидимую, на горизонтальнои проекции получаем в пересечении диаметра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсо следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийВертикальные проекции этих точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим на фронтальной проекции сферы. Промежуточные точки 5 и 6 находим, проводя произвольную вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОна пересекает сферу по окружности радиуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим на пересечении фронтального следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсо следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийФронтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим в проекционной связи на фронтальной проекции окружности радиуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийАналогично находим другие промежуточные точки (7, 8) и т. д.

Пример 9 Построить проекции сечения поверхности сферы плоскостью общего положения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(см. Рис.8.11). Применив метод перемены плоскостей проекций ( пункт 6,2, Рис.6.19) преобразуем задачу в вариант аналогичный примеру 10.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Развёртка поверхностей

Рассмотрим развёртки поверхностей вращения и многогранников. Под развёрткой многогранной поверхности понимают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещённых с одной плоскостью. Существуют три способа построения развёртки многогранных поверхностей:

  1. способ нормального сечения
  2. способ раскатки
  3. способ треугольников Рассмотрим все три способа на примерах.

Пример 10 Построить развёртку поверхности прямой трёхгранной призмы ABCDEF (Рис.8.12).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Построение начинаем с пересечения призмы ABCDEF плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийперпендикулярной к боковым рёбрам В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Так как плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийгоризонтальная, то фронтальная проекция сечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсовпадает со следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсечение 1, 2, 3 проецируется в истинную величину и совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

Для построения развёртки необходимо определить истинную величину рёбер и сторон треугольника, получившегося в сечении призмы плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. В нашем случае дополнительных построений не требуется, так как призма прямая. Рёбра AD, BE и CF параллельны плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи потому проецируются на эту плоскость без искажения.

Далее в свободном месте чертежа проводим прямую и от произвольной точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвзятой на этой прямой, откладываем отрезки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийравные сторонам треугольника 1, 2, 3. Через точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроводим прямые, перпендикулярные к прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи откладываем на них отрезки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийравные длинам боковых рёбер, соответственно, В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПлоская фигура В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпредставляет собой развёртку боковой поверхности призмы. Для получения полной развёртки поверхности призмы необходимо к любой из сторон В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдостроить методом засечек основания В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпредварительно определив их истинные размеры.

На развёртку нанесена точка К из условия: В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 11 Построить развёртку поверхности наклонной призмы с основанием в плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи рёбрами, параллельными плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(Рис.8.13).

Развёртку боковой поверхности заданной призмы будем строить последовательным вращением всех её граней, которое представляет перекатывание призмы по фронтальной плоскости, проходящей через одно из рёбер призмы. Во избежание наложения развёртки на изображение призмы начинаем вращать её вокруг ребра FC. При вращении грани FCBE вокруг ребра FC точки В и Е перемещаются по окружности в плоскостях, перпендикулярных к ребру FC. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийэтих точек перемещаются по перпендикулярам, опущенным из В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийна фронтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийребра FC. Когда грань FCBE совместится с фронтальной плоскостью, проходящей через ребро FC, она спроецируется на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв истинную величину, и отрезки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийизобразятся без искажения. Изображения точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучаем, засекая перпендикуляры, опущенные из точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийотрезками В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсоответственно равными их истинным длинам В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПостроенный таким образом параллелограмм В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпредставляет истинную величину грани FCBE. При дальнейшем перекатывании призмы она будет вращаться вокруг ребра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(в новом его положении) до совмещения грани BEDA с плоскостью, параллельной плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТочки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучаем с помощью засечек перпендикуляров, опущенных из точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийотрезками В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийравными их истинным длинам В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийСоединяя прямыми точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучаем развёртку грани BADE. Аналогичным построением находим развёртку грани ADFC. Полную развёртку поверхности призмы получаем, достраивая методом засечек оба её основания (пристраиваются к любой грани).

Изображение точки К на боковой поверхности построено из условия: В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Если рёбра призмы не параллельны ни одной из плоскостей проекций, то этот общий случай методом перемены плоскостей проекций приводят к рассмотренному ранее частному случаю.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 12 Построить развёртку поверхности трёхгранной пирамиды с основанием в плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(Рис.8.14).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В данном случае в истинную величину проецируется на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийоснование ABC пирамиды, а на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийеё ребро SB. Рёбра SA и SC — прямые общего положения. Их истинные длины определены вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи проходящей через точку S В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПостроение развёртки начинаем с построения любой грани, например грани SAB.

Для этого на произвольной прямой откладываем отрезок В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийравный истинной длине сторон АВ основания В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи строим точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв пересечении засечек, сделанных из точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдугами окружностей радиусов В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийСоединяя прямыми точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс точками В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, получаем изображение грани SAB. Изображения граней В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпирамиды, а также её основания В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдостраиваем к изображению грани В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийтакже методом засечек. Для построения на развёртке точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнеобходимо предварительно определить истинное расстояние её до вершины В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпирамиды, например методом вращения прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийВ начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Затем на стороне основания В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийразвёртки отложить отрезок В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи на прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнайти точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Развёртка поверхности вращения является чаще всего приближённой. Это объясняется тем, что при развёртке поверхности последнюю, как правило, аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников. Поэтому при графическом выполнении развёртки приходится спрямлять кривые, принадлежащие поверхности, что ведёт к потере точности.

Пример 13 Построить развёртку поверхности прямого кругового конуса

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В данном случае развёртка боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа центральный угол В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, где r— радиус основания. Для получения полной развёртки конуса необходимо достроить основание.

Пример 14 Построить развёртку боковой поверхности наклонного конуса с круговым основанием (Рис.8.16).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Окружность основания заменяем многоугольником со сторонами В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи т.д., а коническую поверхность В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийповерхностью пирамиды с треугольными гранями и т. д. В развёрнутом положении поверхность представляет собой совокупность этих треугольников.

Определив способом вращения длину отрезка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— отрезок В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи длину отрезка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— отрезок В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийстроим треугольник по трём его сторонам В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(хорда), затем строим второй треугольник В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдля чего определяем способом вращения длину отрезка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийотрезок В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи берём хорду В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи т. д.

Соединив построенные точки и т. д. плавной кривой, получаем развёртку боковой поверхности наклонного конуса. Для получения полной развёртки поверхности конуса необходимо достроить его основание.

Пересечение линии с поверхностью

В общем случае для решения задачи по определению положения точек пересечения (встречи) линии с поверхностью необходимо выполнить ряд построений:

  • заключить данную линию во вспомогательную поверхность ( плоскость);
  • определить линии пересечения вспомогательной поверхности (плоскости) с заданной;
  • отметить точки, в которых пересекаются полученные линии с заданной.

С целью упрощения записи целесообразно использовать символику, приведённую в таблице:

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 15 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I прямой призмы (Рис.8.17).

В соответствии с записанным ранее алгоритмом заключаем прямую MN в горизонтально проецирующую плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальная проекция линии пересечения совпадает со следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи горизонтальной проекцией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямой. Далее отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— горизонтальная проекция пересечения граней призмы с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Фронтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположены на соответствующих сторонах основания. Соединив фронтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямыми, получаем фронтальную проекцию, линии пересечения граней с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, т.е. В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийЗатем отмечаем точки К и L пересечения заданной прямой MN с полученными линиями В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции точек пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположены на горизонтальной проекции прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 16 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I наклонной призмы (Рис.8.18).

Решение начинаем с заключения прямой MN во фронтально — проецирующую плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийФронтальная проекция линии пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсовпадает со следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпоэтому сразу отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечения фронтальных проекций рёбер призмы со следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийI наклонной призмы (Рис.8.18).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек определяем на соответствующих горизонтальных проекциях рёбер В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийСоединяя точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямыми , получаем горизонтальную проекцию линии пересечения граней призмы с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОтмечаем горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек пересечения прямых В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПо горизонтальным проекциям этих точек находим их фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 17 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I пирамиды (Рис.8.19).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Заключаем прямую MN во фронтально -проецирующую плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОпределим линию пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийплоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс гранями пирамиды. При этом её фронтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсовпадает со следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПо фронтальным проекциям точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим их горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийСоединив точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямыми, получаем горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс гранями пирамиды. Далее отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв которых В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПо горизонтальным проекциям точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределяем их фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлежащие на В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 18 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямого кругового конуса (Рис.8.20).

Заключаем прямую MN в плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, проходящую через вершину S конической поверхности. Для этого через вершину S и произвольную точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроводим вспомогательную прямую SF. Таким образом, плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийзадана пересекающимися прямыми MN и SF. Определяем горизонтальный след плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпредварительно найдя горизонтальные следы В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямых MN и SF. Отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечения горизонтального следа В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс основанием конуса. Проводим горизонтальные проекции образующих В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпо которым боковая поверхность I конуса пересекается плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим как точки пересечения горизонтальных проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположены на фронтальной проекции прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 19 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I наклонного цилиндра (Рис.8.21).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Заключаем прямую MN в плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, заданную двумя пересекающимися прямыми MN и FE. При этом прямую FE проводим параллельно оси цилиндра. Тогда плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечёт поверхность цилиндра по образующим. Построим горизонтальный след плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпредварительно определив горизонтальные следы В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямых MN и FE. Отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв которых плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает нижнее основание цилиндра. Проводим горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобразующих, по которым цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Горизонтальные проекции искомых точек пересечения К и L находим из условия В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийИх фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположены на фронтальной проекции прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Взаимное пересечение поверхностей

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат одновременно обеим поверхностям. Способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в следующем:

  • заданные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью (плоскостью), удобной для решения задачи;
  • находят линии пересечения вспомогательной поверхности (плоскости) с каждой из данных;
  • отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения.

Повторив названные операции k раз, получим множество точек, образующих искомую линию пересечения двух поверхностей.

Рассмотрим примеры построения линии пересечения двух поверхностей.

Пример 20 Построить линию пересечения двух I и II, оси которых пересекаются под прямым углом (Рис.8.22).круговых цилиндров

Решение задачи начинаем с нахождения высших 1 и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнизших 2 и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпередних 3 и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, задних 4 и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек пересечения очерковых образующих цилиндров I и II. Проекции этих точек определяются как проекции пересечения соответствующих образующих. Для построения промежуточных точек введём две вспомогательные секущие плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, параллельные фронтальной плоскости проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает поверхность цилиндра I по образующим 5 — 6 и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа поверхность цилиндра II — по образующим В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПлоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает поверхность I по образующим В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа поверхность II — по образующим В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПересечение полученных проекций образующих определяет фронтальные проекции видимых точек 7 и 8 и невидимых точек 5 и 6. Соединяя точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсплошной плавной линией, получаем фронтальную проекцию видимой части линии пересечения цилиндров I и II. Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей сливается с горизонтальной проекцией цилиндра I, а профильная проекция — с профильной проекцией цилиндра II.

Построение линии пересечения поверхностей многогранников может быть осуществлено двумя способами. По первому способу определяют точки, в которых рёбра одной поверхности пересекают грани другой и наоборот: рёбра второй поверхности пересекают грани первой. Затем через найденные точки в определённой последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных поверхностей. Второй способ состоит в определении отрезков прямых, по которым греши одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении заданных поверхностей между собой.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 21 Построить линию пересечения прямой трёхгранной призмы I с трёхгранной пирамидой II (Рис.8.23).

При решении данной задачи применим первый способ нахождения линии пересечения. В нашем случае трёхгранная пирамида как бы «входит» в одну грань и «выходит» из другой грани. Для нахождения точек пересечения ребра SC пирамиды с гранями призмы заключаем его во вспомогательную горизонтально — проецирующую плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи находим линию пересечения этой плоскости с гранями призмы. Линии пересечения граней KFDL и DEML с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийспроецируются на горизонтальную плоскость проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв точке В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлежащие на следе В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийФронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек расположены на фронтальной проекции прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийАналогично находим точки 5, 6 и 3, 4 пересечения рёбер SA и SB с гранями призмы. Для получения искомой линии пересечения соединяем проекции точек прямыми, учитывая видимость отдельных отрезков. Таким образом, пирамида «входит» в грань призмы по треугольнику 2 — 4 — 6, а «выходит» из соответствующей грани по треугольнику 1 — 3 — 5.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Пример 22 Построить линию пересечения наклонной призмы I и пирамиды II (Рис.8.24).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для определения точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы заключаем рёбра во фронтально — проецирующие плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийНаходим точки 1 и 2 пересечения ребра SF с гранями В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпризмы. Для этого определяем линию пересечения плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс поверхностью I. Так как фронтальная проекция этой линии пересечения совпадает со следом В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, то достаточно отметить точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции этих точек находим в проекционной связи на соответствующих рёбрах призмы.

Отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечения полученной проекции линии пересечения с проекцией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийребра пирамиды. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек находим в проекционной связи на ребре В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпирамиды.

В такой же последовательности построены точки встречи рёбер SE и SD пирамиды с гранями призмы (точки 3, 4, 5 и 6).

С целью получения точек пересечения рёбер призмы с гранями пирамиды ребра призмы заключаем во фронтально — проецирующие плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПостроим проекции точек 7 и 8, в которых ребро В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает грани пирамиды. Для этого:

— находим фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек пересечения рёбер пирамиды с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции этих точек расположены на горизонтальных проекциях соответствующих рёбер пирамиды;

— отмечаем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, в которых горизонтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлинии пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи II пересекается с горизонтальной проекцией ребра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийФронтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим на фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийребра.

Проведя аналогичные построения для рёбер В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпризмы убеждаемся в том, что они не пересекаются с гранями пирамиды.

Соединяем полученные точки пересечения. При этом необходимо учитывать следующее обстоятельство. Так как каждое звено искомой пространственной ломаной является линией пересечения граней двух различных многогранников, то соединять прямыми можно лишь точки, которые одновременно принадлежат одним и тем же граням пересекающимся многогранников. Таким образом на Рис 8.22 построены замкнутые ломаные 2-8-4-6-7-2 и 1-3-5-1. При этом точки 2 и 8 первой ломаной соединены потому, что они лежат в общих для них гранях SEF пирамиды В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпризмы. Точки 8 и 4, лежащие в общих для них гранях SEF и В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределяют следующее звено этой ломаной и т. д.

Отметим видимость звеньев построенной ломаной. При этом видимым будет звено, по которому пересекаются две видимые грани. Если хотя бы одна из граней невидима, то и звено искомой линии, расположенное на этой грани, будет невидимым. Поэтому звено 2-8 показано видимым, а звено 8-4 невидимым.

Пример 23 Построить линию пересечения поверхности I правильной призмы с поверхностью II кругового цилиндра (Рис.8.25).

Построения начинаем с нахождения точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечения проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрёбер призмы с крайней верхней образующей цилиндра. В проекционной связи находим горизонтальные В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи фронтальные В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроекции этих точек.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Затем определяем точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи пересечения проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийребер призмы с поверхностью II цилиндра. В проекционный связи находим горизонтальные В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи фронтальные В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроекции этих точек. Для построения дополнительных точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей I и II, вводим вспомогательные секущие плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийЭти плоскости пересекают поверхность II цилиндра по образующим 5 — 6 и 7 — 8, а поверхность I призмы — по прямым, параллельным рёбрам призмы. Горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек совпадают с горизонтальными проекциями боковых граней призмы, а профильные В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроекции — с профильной проекцией цилиндра. Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек находим в проекционной связи с горизонтальными и профильными проекциями.

Найденные фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсоединяем плавными кривыми, которые являются фронтальными проекциями видимой части линии пересечения поверхностей призмы и цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, а профильная — с профильной проекцией цилиндра.

Геометрические тела – призма и пирамида

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т. д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность. На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро – линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду – геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четырехугольной и т. д. Такое название более соответствует изображению этих многогранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боковые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называют прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию.

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, объединяющую все ее ребра. Пирамиду называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (то есть пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

Построение проекций прямой правильной призмы

На рис. 7.1 показан пример построения проекций (очерков) прямой правильной призмы высотой Н с треугольником в основании, вписанном в окружность заданного диаметра; основания призмы параллельны горизонтальной плоскости проекций Н.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций призмы требуется выполнить графоаналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию призмы по заданному основанию, которая представляет собой треугольник с обозначенными вершинами А’, В’ и С’, вписанный в окружность заданного диаметра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений.

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции призмы:

2.1. Плоскость треугольника A’B’C’ – это горизонтальные натуральные проекции совпадающих параллельных оснований призмы, которые являются горизонтальными плоскостями уровня (//H).

2.2. Боковые стороны A’B’, B’C’ и C’A’ треугольника A’B’C’ – это горизонтальные проекции боковых граней призмы, которые спроецировались (выродились) в отрезки прямых линий, так как:

  • – задняя грань АВ – фронтальная плоскость (//V);
  • – передние грани ВС и СА – горизонтально-проецирующие плоскости (В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийH).

2.3. Вершины А’, В’ и С’ треугольника А’В’С’ – это горизонтальные проекции ребер, которые спроецировались (выродились) в точки, так как являются горизонтально-проецирующими прямыми ( В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийH).

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) призмы, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

  • – по заданной высоте h горизонтальными отрезками A»B»C»– проекциями оснований (//H);
  • – слева – проекцией A» ребра А, построенного по вертикальной линии связи;
  • – справа – проекцией B» ребра B;
  • – фронтальная проекция C» ребра C – вертикальный отрезок, совпадающий с осью симметрии фронтальной проекции призмы.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной фронтальной проекции призмы:

4.1. Прямоугольники A»C»C»A» и C»B»B»C» – искаженные проекции передних видимых боковых граней призмы.

4.2. Прямоугольник A»B»B»A» – натуральная величина невидимой задней грани призмы.

5-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) призмы:

5.1. Задать на горизонтальной проекции призмы положение базовой линии, проходящей через заднюю грань АВ(А’В’), относительно которой, как от базы отсчета (б.о.), можно определить координату y для любой точки на поверхности призмы.

5.2. На поле чертежа справа от фронтальной проекции выбрать положение базовой оси z, относительно которой, как от базы отсчета (б.о.), можно построить по координатам y профильные проекции любой точки на поверхности призмы.

5.3. Профильная проекция призмы представляет собой прямоугольник, ограниченный:

  • – по высоте H горизонтальными отрезками – проекциями оснований;
  • – слева – вертикальным отрезком совпадающих проекций A»‘ и B»‘ ребер A и B, расположенным на выбранной базовой оси z;
  • – справа – вертикальной линией С»‘ ребра C, построенного по координате yc.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы.

6.1. Совпадающие прямоугольники A'»C'»C'»B'» и B'»C'»C'»B'» – искаженные проекции передних боковых граней призмы AC и BC.

6.2. Отрезок A'»-A'» (B'»-B'») слева – вырожденная проекция задней грани призмы AB.

Построение горизонтальных и профильных проекций точек, лежащих на поверхности призмы

Принадлежность точек поверхности призмы определяется их принадлежностью ребрам и граням этой призмы.

На рис. 7.1 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек D, E, G и K, лежащих на боковой поверхности призмы и заданных фронтальными проекциями:

– горизонтальные проекции D’ и F’ точек D и F, лежащих на ребрах A и C совпадают с горизонтальными проекциями этих ребер – точками А(А’) и С(С’);

  • – горизонтальные проекции G’ и K’ точек G и K, лежащих на гранях АС и ВС, определяются соответственно на сторонах A’ C’ и B’C’ треугольника A’B’C’, которые являются вырожденными проекциями этих граней;
  • – профильные проекции точек D и E построены по их принадлежности ребрам призмы A и С: D»‘ лежит на A»‘; E»‘ лежит на C»‘;
  • – профильные проекции точек G и K построены по координатам «y»: G»‘ – определяется координатой yG; K»‘ – определяется координатой yK и на профильной проекции невидима, поскольку лежит на невидимой грани BC (взята в скобки).

. Запомните характерные признаки очерков призмы на чертеже – два прямоугольника и многоугольник основания.

Построение проекций правильной пирамиды

На рис. 7.2 показан пример построения проекций правильной пирамиды высотой Н с треугольником в основании, вписанном в окружность заданного диаметра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений; основание пирамиды параллельно горизонтальной плоскости проекций Н.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций пирамиды требуется выполнить графоаналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию пирамиды по заданному основанию, которая представляет собой треугольник, вписанный в окружность заданного диаметра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений, с обозначенными вершинами А’, В’ и С’; горизонтальная проекция S’ вершины пирамиды совпадает с центром этой окружности; ребра пирамиды – видимые отрезки S’A’, S’B’ и S’C’, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды.

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды:

2.1. Плоскость треугольника А’В’С’ – горизонтальная невидимая натуральная проекция основания пирамиды, которая является горизонтальной плоскостью уровня (//H).

2.2. Треугольники A’S’C’, A’S’B’ и B’S’C’ – горизонтальные искаженные проекции боковых граней пирамиды.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию пирамиды, которая представляет собой треугольник, ограниченный:

  • – снизу – горизонтальным отрезком A»B» – проекцией основания пирамиды (//H);
  • – по заданной высоте пирамиды Н – вершиной S(S»);
  • – слева – проекцией ребра SA(S»A») (прямая общего положения);
  • – справа – проекцией ребра SB(S»B») (прямая общего положения).

Фронтальная проекция ребра SC(S»C») (профильная прямая) совпадает с осью симметрии фронтальной проекции пирамиды.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной фронтальной проекции пирамиды:

4.1. Треугольники S»A»C» и S»C»B» – искаженные видимые проекции боковых передних граней пирамиды.

4.2. Треугольник S»A»B» – искаженная невидимая проекция задней невидимой грани пирамиды.

5-е действие. Построить профильную проекцию пирамиды:

5.1. Задать на горизонтальной проекции пирамиды базовую линию на стороне А’В’ основания, относительно которой, как базы отсчета (б.о.), можно определить координату y для любой точки на поверхности пирамиды.

5.2. На поле чертежа справа от фронтальной проекции выбрать положение базовой оси Z, относительно которой, как базы отсчета (б.о.), можно построить по координатам y профильные проекции любой точки на поверхности пирамиды.

5.3. Профильная проекция пирамиды представляет собой треугольник с вершинами A»‘(≡B»‘), S»‘ и C»‘:

  • – точки А и В основания лежат на базовой линии, поэтому их профильные A»‘ и B»‘ проекции совпадают с выбранной базовой осью Z;
  • – вершину пирамиды S»‘ построить по координате Ys на горизонтальной линии связи;
  • – точку основания С»‘ построить по координате Yc.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды:

6.1. Совпадающие треугольники S'»A'»C'» (видимый) и S'»B'»C'» (невидимый) – искаженные проекции передних боковых граней пирамиды (плоскости общего положения).

6.2. Отрезок S'»A'»(≡S'»B»‘) – вырожденная проекция задней грани пирамиды (профильно-проецирующая плоскость).

Построение проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды

На рис. 7.2 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек M, N, P и K, лежащих на поверхности пирамиды и заданных фронтальными проекциями M», N», P» и K».

1. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды:

  • – горизонтальная проекция M’ точки М, лежащей на ребре пирамиды SA, определяется на горизонтальной проекции S’A’ этого ребра;
  • – горизонтальные проекции точек N, P и K построены на вспомогательных прямых, проведенных через их заданные фронтальные проекции N», P» и K» параллельно основанию пирамиды.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на гранях пирамиды (на примере заданной точки P(P»)), действия которого определяются теоремами о принадлежности точки и прямой плоскости.

1-е действие. Провести через точку P(P») на поверхности пирамиды вспомогательную линию d(d»), параллельную основанию пирамиды, которая пересекает ребро SA(S»A») по вспомогательной точке 1(1″).

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию точки 1(1′) по ее принадлежности ребру SA(S’A’).

3-е действие. Через построенную точку 1(1′) провести горизонтальную проекцию d(d’) вспомогательной линии параллельно стороне A’C’ основания пирамиды.

4-е действие. Построить по линии связи горизонтальную проекцию P’ точки Р по ее принадлежности вспомогательной линии d(d’).

Повторить действия графического алгоритма и построить аналогично горизонтальные проекции N’ и K’ точек N и K.

Проекции точек на поверхности пирамиды можно строить также с помощью вспомогательных прямых, проходящих через ее вершину. Смотри построение проекции точки K(K’) с помощью вспомогательной прямой m(m»,m’) (рис. 7.2).

2. Построение профильных проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды:

  • – профильные проекции заданных точек M и N построены по их принадлежности ребрам пирамиды:
  • – M»‘ – по принадлежности ребру SA(S»‘A»‘);
  • – N»‘ – по принадлежности ребру SC(S»‘C»‘);
  • – профильные проекции точек Р и К построены по координатам y: P»‘ – определяется координатой yP; К»‘ – определяется координатой yK (на профильной проекции K»» невидима, так как лежит на невидимой грани SBC (взята в скобки).

. Запомните характерные признаки очерков пирамиды на чертеже – два треугольника и многоугольник основания. Для усеченной пирамиды – две трапеции и многоугольник основания!

Построение проекций призмы и пирамиды со срезами плоскостями частного положения

Любая плоскость пересекает поверхность призмы и пирамиды по замкнутым ломаным линиям, вершины которых лежат в точках пересечения ребер, граней и оснований многогранника с плоскостями срезов.

Следовательно, построение срезов на проекциях гранных поверхностей сводится к построению проекций точек, лежащих на поверхности призмы или пирамиды.

Построение проекций призмы со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.3 показан пример построения проекций прямой правильной треугольной призмы высотой H со срезами, выполненными плоскостями частного положения – фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β. Для упрощения графических описаний взята призма без срезов из предыдущего примера (см. рис. 7.1), горизонтальная, фронтальная и профильная проекции которой уже построены.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций призмы со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить тонкими линиями на поле чертежа горизонтальную, фронтальную и профильную проекции заданной прямой правильной треугольной призмы без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции срезы плоскостями частного положения по заданному условию: фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции призмы характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями и основанием призмы:

  • – точки 1(1″) и 2(2″) – лежат на ребрах призмы А(A») и С(C»);
  • – совпадающие точки 3(3″) и 4(4″) – лежат на гранях призмы и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей срезов α и β;
  • – совпадающие точки 5(5″) и 6(6″) – лежат на верхнем основании призмы и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости β с верхним основанием призмы.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза α определяет четырехугольник 1′-2′-3′-4′:

  • – точка 1(1′) лежит на ребре А(A’);
  • – точка 2(2′) лежит на ребре С(C’);
  • – совпадающие точки 3(3′) и 5(5′) лежат на передней грани СВ(C’B’);
  • – совпадающие точки 4(4′) и 6(6′) лежат на задней грани АВ(А’В’).

Четырехугольник 1′-2′-3′-4′ – искаженная по величине видимая горизонтальная проекция фронтально-проецирующей плоскости среза α.

3.2. Плоскость среза β определяет совпадающие проекции отрезков 5′-6′ и 3′-4′:

  • – отрезок 5′-6′(3′-4′) – горизонтальная, вырожденная в линию, видимая проекция профильной плоскости среза β (проекция прямоугольника).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

4.1. Горизонтальный очерк определяет треугольник АВС(А’В’С’).

4.2. Внутренний контур определяет видимый отрезок 5′-6′(3′-4′).

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Плоскость среза α определяет видимый и искаженный по величине четырехугольник 1″‘-2″‘-3″‘-4″‘ :

  • – точка 1(1″‘) – лежит на ребре А(A»‘);
  • – точка 2(2″‘) – лежит на ребре С(C»‘);
  • – точка 3(3″‘) – построена по координате y3;
  • – точка 4(4″‘) – лежит на задней грани АВ(А'»В'»), которая спроецировалась в прямую.

5.2. Плоскость среза β определяет видимая натуральная проекция прямоугольника 3″‘-4″‘-6″‘-5″‘:

  • – точки 3(3″‘) и 4(4″‘) – уже построены, так как линия пересечения плоскостей среза 3-4 принадлежит плоскости α и плоскости β;
  • – точка 6(6″‘) – лежит на задней грани АВ;
  • – точка 5(5″‘) – построена по координате y5(≡y3).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

  • – слева – профильная проекция ребра В(B»‘), совпадающая с проекцией грани АВ(А»‘B»‘);
  • – справа – участок C»‘2″‘ ребра С и ломаная линия 2″‘-3″‘-5″;
  • – снизу – отрезок А»‘(B»‘) – C»‘ нижнего основания призмы;
  • – сверху – отрезок 5″‘-6″‘ – линия пересечения плоскости β с верхним основанием призмы (участок основания).

6.2. Внутренний контур определяют видимые отрезки 1″‘-2″‘ и 3″‘-4″‘.

7-е действие. Оформить чертеж призмы, обведя сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить на чертеже тонкими сплошными линиями очерки проекции призмы без срезов и линии построения).

Построение проекций пирамиды со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.4 показан пример построения проекций правильной треугольной пирамиды со срезами, выполненными плоскостями частного положения: фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β. Для упрощения графических описаний взята пирамида без срезов из предыдущего примера (см. рис. 7.2), фронтальная, горизонтальная и профильная проекции которой уже построены.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций пирамиды со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Построить тонкими линиями на поле чертежа горизонтальную, фронтальную и профильную проекции заданной правильной треугольной пирамиды без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями пирамиды:

  • – точка 1(1″) – на ребре SА(S»A»);
  • – точка 2(2″) – на ребре SС(S»C»);
  • – совпадающие точки 3(3″) и 4(4″) – на гранях SАВ(S»A»B») и SВC(S»B»C») определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей срезов α и β;
  • – точка 5(5″) – на ребре SВ(S»B»).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Плоскость среза α определяет четырехугольник 1-2′ -3′-4′:

  • – точка 1(1′) – на ребре SА(S’A’);
  • – точка 2(2′) – на ребре SC(S’C’) (построена на вспомогательной линии m//AC), см. рис. 7.4);
  • – точки 3(3′) и 4(4′) лежат на гранях пирамиды и построены с помощью вспомогательной линии n //BC;
  • – четырехугольник 1′-2′-3′-4′ – горизонтальная, искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости α.

3.2. Плоскость среза β определяет отрезок 3′-5′-4′ – вырожденная в видимую линию горизонтальная проекция профильной плоскости β:

  • – точка 5(5′) – на ребре SВ(S’B’);
  • – точки 3(3′) и 4(4′) – построены.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяет треугольник A’B’C’ основания пирамиды.

4.2. Внутренний контур определяют:

  • – видимый отрезок A’1′ – участок ребра SA;
  • – видимый отрезок B’5′ – участок ребра SB;
  • – видимый отрезок C’2′ – участок ребра SC;
  • – видимый четырехугольник 1′-2′-3′-4′.

5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет видимый четырехугольник 1′»-2″‘-3″‘-4″‘:

  • – точка 1(1″‘) – лежит на ребре SA(S»‘A'»);
  • – точка 2(2″‘) – лежит на ребре SC(S»‘C»‘);
  • – точка 3(3″‘) – построена по координате Y3;
  • – точка 4(4″‘) – лежит на задней грани SAB(S'»A»‘B»‘), вырожденной в линию;
  • – четырехугольник 1″‘-2″‘-3″‘-4″‘ – искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскостью α.

5.2. Плоскость среза β определяет видимая натуральная проекция треугольника 3″‘-4″‘-5″‘:

  • – точки 3(3″‘) и 4(4′») – уже построены (отрезок 3-4 – линия пересечения плоскостей среза α и β);
  • – точка 5(5″‘) – лежит на ребре SB(S»‘B»‘);
  • – отрезок 3″‘-5″‘//S»‘C»‘.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

  • – слева – отрезок B»‘5″‘ – участок ребра S»‘B»‘;
  • – справа – отрезок C»‘2″‘ – участок ребра S»‘C»‘ и ломаная линия 2′»-3″‘-5″;
  • – снизу – горизонтальная линия проекции основания ABC(A»‘B»‘C»‘).

6.2. Внутренний контур определяют:

  • – видимый отрезок 1″‘-2′»;
  • – видимый отрезок 3″‘-4′» (линия пересечения плоскостей α и β).

7-е действие. Оформить чертеж пирамиды, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (тонкими линиями оставить на чертеже очерки проекции пирамиды без срезов и вспомогательные линии построения).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (образующей поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом образующая, вращаясь вокруг оси вращения, может пересекать окружность, называемую направляющей поверхности. Образующей поверхности вращения может быть кривая или прямая линия. Поверхность вращения называют линейчатой, если ее образующей является прямая линия, и криволинейной, если образующая – кривая линия.

На рис. 7.5 показана поверхность вращения общего вида, образующая которой (кривая линия) вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси i. Все точки образующей вращаются вокруг оси i по окружностям соответствующего радиуса, которые называют параллелями поверхности. На фронтальную и профильную проекции поверхности эти параллели проецируются в прямые линии, перпендикулярные оси вращения. На горизонтальную проекцию параллели проецируются в виде окружностей. Некоторые параллели имеют определенные общепринятые наименования:

  • горло поверхности – параллель наименьшего (минимального) радиуса;
  • экватор – параллель наибольшего (максимального) радиуса.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Проекции поверхности вращения:

  • – горизонтальная проекция, то есть ее горизонтальный очерк, определяется окружностью экватора k(k’);
  • – фронтальная проекция, то есть ее фронтальный очерк, образуется замкнутой линией главного фронтального меридиана m(m»), полученного при пересечении этой поверхности фронтальной плоскостью уровня α(αH), проходящей через ось вращения i;
  • – профильная проекция, то есть ее профильный очерк, образуется замкнутой линией главного профильного меридиана n(n»‘), полученного при пересечении этой поверхности профильной плоскостью уровня β(βH), проходящей через ось вращения i.

Построение проекций точек на поверхности вращения

Принадлежность точки поверхности вращения определяется ее принадлежностью параллели, по которой точка вращается вокруг оси вращения.

Проекции точек, лежащих на экваторе или на главных фронтальном и профильном меридианах поверхности, строятся по их принадлежности этим характерным линиям.

На рис. 7.5 показан пример построения невидимой фронтальной проекции характерной точки B (B’;B»-?), лежащей на экваторе k, по ее заданной горизонтальной проекции B (B’) и построение профильной проекции характерной точки C(C»;C»‘-?), лежащей на главном профильном меридиане «n», по ее заданной фронтальной проекции.

Для построения проекций точки A(A»; A»-?; A»‘-?), заданной своей фронтальной проекцией и не лежащей на характерных линиях поверхности, требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести через заданную фронтальную проекцию точки A(A») параллель, которая имеет радиус RA.

2-е действие. Провести на горизонтальной проекции поверхности окружность-параллель радиусом RA.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную видимую проекцию точки A(A’) по ее принадлежности построенной параллели радиусом RA.

4-е действие. Построить профильную проекцию точки A(A»‘) на горизонтальной линии связи по координате YA (лежит на невидимой части поверхности, проекция взята в скобки).

Видимость точек на проекциях поверхности вращения

На рис. 7.5 показаны границы видимости поверхности для каждой проекции по направлению взгляда на плоскости проекций H, V и W.

Видимость точек на проекциях поверхности определяется этими границами, то есть видимостью части поверхности на каждой проекции: если часть поверхности является по направлению взгляда на соответствующую плоскость проекций видимой, то точка на этой проекции будет также видимой.

На рис. 7.5 видно, что горизонтальная проекция B’ заданной точки B, лежащей на экваторе, расположена на невидимой части поверхности при взгляде на фронтальную плоскость проекций V. Следовательно, ее фронтальная проекция B» лежит на экваторе, но будет невидимой (проекция взята в скобки). Профильная проекция B»‘ точки будет видимой, так как точка лежит на видимой для профильной проекции части поверхности (см. взгляд по стрелке на плоскость W). Поскольку заданная фронтальная проекция точки C, лежащей на фронтальной проекции n(n») главного профильного меридиана, не взята в скобки, значит, она лежит на видимой для фронтальной проекции части поверхности и профильная проекция точки C(C»‘) должна лежать на профильной проекции главного меридиана n(n»‘) справа от оси вращения. Горизонтальная же проекция точки С (на рисунке не построена) по направлению взгляда на горизонтальную плоскость проекций H будет невидима, так как расположена под экватором. Соответственно профильная проекция точки A(A»‘) будет невидимой, так как лежит на невидимой для профильной проекции части поверхности.

. К поверхностям вращения относятся две линейчатые поверхности с прямолинейными образующими – цилиндр и конус, а также поверхности с криволинейными образующими – сфера (образующая – окружность), эллипсоид (образующая – эллипс), одно- и двуполостные гиперболоиды (гипербола), параболоид (парабола), торовые (окружность). Все перечисленные виды поверхностей вращения, кроме торовых, являются поверхностями второго порядка (по порядку образующей или направляющей).

Торовые поверхности вращения относятся к поверхностям четвертого порядка (по произведению порядков двух окружностей – образующей и направляющей).

Геометрические тела – цилиндр конус

Цилиндрическая поверхность вращения – прямой круговой цилиндр

Цилиндрическая поверхность вращения – это линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямолинейной образующей вокруг оси вращения, которая пересекает криволинейную направляющую окружность. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения (боковой поверхностью) и двумя параллельными секущими плоскостями (основаниями), перпендикулярными оси вращения, называют цилиндром.

Цилиндр называют круговым, поскольку направляющей является окружность, перпендикулярная оси цилиндра.

Цилиндр называют прямым, если ось вращения цилиндра перпендикулярна его основаниям.

Прямой круговой цилиндр по положению относительно плоскостей проекций называют проецирующим, если его боковая поверхность (или ось вращения) перпендикулярна какой-либо плоскости проекций:

  • – горизонтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций ( В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийH);
  • – фронтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна фронтальной плоскости проекций ( В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийV);
  • – профильно-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна профильной плоскости проекций ( В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийW).

Построение проекций прямого кругового цилиндра

На рис. 7.6 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра заданной высоты Н с горизонтальными основаниями заданного радиуса R.

Для построения проекций цилиндра требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию (очерк) цилиндра по заданному условию, которая представляет собой окружность заданного радиуса R.

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции цилиндра.

2.1. Окружность является горизонтальной проекцией боковой поверхности, так как образующие этого цилиндра – горизонтально-проецирующие прямые.

2.2. Круг заданного радиуса R – совпадающие горизонтальные проекции оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня.

2.3. Обозначить вырожденные в точки проекции характерных образующих цилиндра A(A’), B(B’), C(C’) и D(D’), которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций цилиндра.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

  • – слева и справа вертикальными отрезками – характерными очерковыми образующими A(A») и B(B»);
  • – по заданной высоте H – горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня;
  • – фронтальные проекции характерных образующих C(C») и D(D») совпадают с осью вращения цилиндра i(i»).

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) цилиндра.

4.1. Задать на окружности горизонтальной проекции цилиндра положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности, то есть проходящей через ось вращения i(i’).

4.2. Выбрать положение базовой оси z (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью i(i»‘) вращения на профильной проекции цилиндра.

4.3. Профильная проекция цилиндра представляет собой прямоугольник, ограниченный:

  • – слева и справа вертикальными отрезками – характерными очерковыми образующими C(C»‘) и D(D»‘), построенными по координате yD = yc = R;
  • – по заданной высоте H – горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований;
  • – профильные проекции характерных образующих A(A»‘) и B(B»‘) совпадают с осью вращения цилиндра i(i»‘).

. Запомните характерные признаки очерков прямого кругового цилиндра на чертеже – окружность и два прямоугольника.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности цилиндра

Принадлежность точки поверхности цилиндра определяется ее принадлежностью образующей этого цилиндра.

На рис. 7.6 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E, F, G и K, лежащих на образующих боковой поверхности цилиндра, по их заданным фронтальным проекциям:

Горизонтальные проекции E’, F’, G’ и K’ заданных точек лежат на окружности радиуса R, которая является проекцией его боковой поверхности.

Профильные проекции точек строятся по их принадлежности образующим цилиндра:

  • – точка E(E'») – лежит на характерной образующей A(A»‘) – видимая;
  • – две точки F(F»‘) – лежат на характерных образующих D(D»‘) и C(C»‘);
  • – точка G(G»‘) – построена по координате yG, так как лежит не на характерной образующей (видимая);
  • – точка K(K»‘) – построена по координате yK (невидимая).
  1. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, если она расположена параллельно оси вращения цилиндра (см. плоскость α на рис. 7.7).
  2. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, если она расположена к оси вращения цилиндра под углом φ, отличным от прямого (см. плоскость β(βV) на рис. 7.7).
  3. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по окружности, если она перпендикулярна оси вращения цилиндра (окружности оснований).

Построение проекций цилиндра со срезами плоскостями частного положения.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На рис. 7.7 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра со срезами профильной плоскостью α и фронтально-проецирующей плоскостью β.

Для построения проекций цилиндра со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному диаметру и заданной высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные по условию срезы профильной плоскостью α(αV) и фронтально-проецирующей плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основаниями цилиндра и выполнить графический анализ сечений.

2.1. Профильная плоскость α(αV), проекцией которой является вертикальный отрезок, расположена параллельно оси цилиндра и пересекает его поверхность по прямоугольнику 1-2-2-1(1″-2″-2″-1″):

  • – точки 1(1″) – лежат на нижнем основании цилиндра и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза α с основанием цилиндра;
  • – точки 2(2″) – определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза α и β.

2.2. Фронтально-проецирующая плоскость β(βV), проекцией которой является наклонный отрезок, расположена к оси цилиндра под углом, отличным от прямого, и пересекает его поверхность по неполному эллипсу 2-3-4(2″-3″-4″):

  • – точки 3(3″) – лежат на характерных образующих D(D») и C(C»);
  • – точки 4(4″) – лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза β с верхним основанием цилиндра.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Плоскость среза α определяет видимый отрезок 2′-2′ вырожденной в линию проекции профильной плоскости β, обозначенные точки которой лежат на окружности боковой поверхности цилиндра.

3.2. Плоскость среза β определяет искаженный по величине неполный видимый эллипс 2-3-4(2′-3′-4′), обозначенные точки которого совпадают с окружностью боковой поверхности цилиндра.

. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию относительно базовой оси (б.о.), точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контур.

4.1. Горизонтальный очерк определяет часть окружности основания и отрезок 2′-2′. 4.2. Внутренний контур определяется видимым отрезком 4′-4′.

5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет:

  • – видимая натуральная проекция прямоугольника 1″‘-2″‘-2″‘-1″‘:
  • – образующие 1-2(1″‘-2″‘) – построены по координате y1= y2;
  • – отрезок 1-1(1″‘-2″‘) – совпадает с проекцией нижнего основания цилиндра;
  • – отрезок 2-2(2″‘-2″‘) – профильная проекция линии пересечения плоскостей срезов α и β.

5.2. Плоскость среза β определяет искаженная по величине видимая проекция неполного эллипса 2″‘-3″‘-4′», ограниченная видимыми линиями пересечения плоскостей среза 2″‘-2″‘ (построена) и линией 4″‘-4″‘ пересечения плоскости среза β с верхним основанием цилиндра:

  • – точки 2(2″‘) – построены;
  • – точки 3(3″‘) – лежат на характерных образующих C(C»‘) и D(D»‘);
  • – точки 4(4″‘) – построены по координате y4;
  • – необозначенные промежуточные точки построены по координате y.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции цилиндра для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

  • – слева и справа – участки C»‘-3″‘ и D»‘-3″‘ очерковых образующих С и D и участки 3″‘-4″‘ эллипса; – снизу – проекция нижнего основания цилиндра;
  • – сверху – отрезок 4″‘-4″‘ – профильная проекция линии пересечения верхнего основания с плоскостью среза β.

6.2. Внутренний контур определяют:

  • – видимые участки эллипса 2″‘-3″‘;
  • – отрезок 2″‘-2″‘ – видимая линия пересечения плоскостей среза α и β;
  • – видимые участки 1″‘-2″‘ образующих, по которым плоскость среза α пересекает поверхность цилиндра.

7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура всех проекций цилиндра (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 7.8 показан частный случай сечения цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью δ(δV), расположенной к его оси под углом φ = 45°. В этом случае на профильную проекцию цилиндра эллипс, полученный в сечении, проецируется в виде окружности!

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Коническая поверхность вращения – прямой круговой конус

Коническая поверхность вращения – это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криволинейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.

Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.

Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность. Конус с двумя параллельными основаниями, то есть конус со срезанной вершиной, называют усеченным.

Построение проекций прямого кругового конуса

На рис. 7.9 показан пример построения проекций прямого кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения i, заданной высотой H и основанием радиусом R.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса по заданному условию, которая представляет собой окружность заданного радиуса R с вершиной S(S’), совпадающей с осью вращения i(i’).

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса.

2.1. Круг радиуса R является невидимой проекцией основания конуса.

2.2. Круг радиуса R с вершиной конуса S(S’) является видимой проекцией боковой поверхности конуса.

2.3. Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса SA(S’A’), SB(S’B’), SC(S’C’) и SD(S’D’), которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник SAB(S»A»B») заданной высоты H, ограниченный:

  • – слева и справа проекциями боковых очерковых образующих S»A» и S»B»;
  • – горизонтальным отрезком AB(A»B»), который является проекцией основания конуса;

Фронтальные проекции характерных образующих SC(S»C») и SD(S»D») совпадают с осью конуса i(i»).

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:

4.1. Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.

4.2. Выбрать положение базовой оси Z (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью i(i»‘) вращения на профильной проекции конуса.

4.3. Профильная проекция конуса представляет собой треугольник SCD(S»‘C»‘D»‘), ограниченный:

  • – слева и справа очерковыми образующими S»‘C»‘ и S»‘D»‘, построенными по координате YC=YD=R;
  • – вершиной S»‘, лежащей на базовой оси Z;
  • – горизонтальным отрезком – проекцией основания;
  • – профильные проекции характерных образующих SA(S»‘A'») и SB(S'»B'») совпадают с осью вращения конуса i(i»‘).

. Запомните характерные признаки очерков прямого кругового конуса на чертеже – окружность основания и два треугольника.

. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса – окружность основания и две равнобокие трапеции.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности конуса

Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.

На рис. 7.9 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E, F, G и K, заданных фронтальными проекциям E», F», G» и K» по их принадлежности круговым параллелям.

1. Построение горизонтальных проекций заданных точек:

  • – горизонтальная проекция E’ характерной точки E, лежащей на характерной образующей конуса SA, определяется на горизонтальной проекции S’A’ этой образующей;
  • – горизонтальные проекции точек F, G и K построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки F (F»)), по их принадлежности круговым параллелям.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели m(m») через заданную фронтальную проекцию точки F(F»): проекция параллели – это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.

2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели m(m’) полученным радиусом RF.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки F(F’) на горизонтальной проекции параллели m(m’).

Повторить действия графического алгоритма I и построить аналогично горизонтальные проекции G’ и K’ точек G и K.

Построение профильных проекций заданных точек. Точки E(E»‘) и F(F»‘) построены по принадлежности характерным образующим:

  • – точка E(E»‘) – лежит на видимой характерной образующей SA(S»‘A»‘), совпадающей с осью конуса;
  • – точка F(F»‘) – лежит на характерной образующей SD(S»‘D»‘);
  • – точки G(G»‘) и K(K»‘) – построены по координатам y:
  • – точка G(G»‘) – по координате yG (видимая);
  • – точка K(K»‘) – по координате yK (невидимая).

На рис. 7.10 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки Р(Р’-?, Р'»-?) по ее принадлежности образующей a(a»,a’).

Построение горизонтальной проекции точки P(P’) по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:

1-е действие. Провести через вершину конуса S(S») и заданную невидимую фронтальную проекцию точки P(P») вспомогательную образующую a(a»).

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей a(a’), проходящей через вершину конуса S(S’) и вспомогательную точку 1(1′), лежащую на основании конуса.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки P(P’) по ее принадлежности образующей a(a’).

Построение профильной проекции невидимой точки P(P»‘) выполняется по принадлежности образующей a(a'»), построенной по координате ya.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На этом же рисунке 7.10 показано построение фронтальной и профильной проекции точки T(T’, T»-?, T'»-?) по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом RT окружность вспомогательной параллели n(n’) или вспомогательную образующую b(b’), на которых лежит горизонтальная проекция точки T(T’).

2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели n(n») или вспомогательной образующей b(b»):

  • – параллель n(n») провести через вспомогательную точку 2(2″) на образующей SA(S»A») параллельно основанию конуса;
  • – образующую b(b») провести через вспомогательную точку 3(3″) на основании конуса и вершину конуса S(S»).

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки T(T») по ее принадлежности либо параллели n(n»), либо образующей b(b»).

Конические сечения

Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся).

1-й случай. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим S3 (фронтально-проецирующая плоскость α(αV), рис. 7.11).

2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по окружности (горизонтальная плоскость β(βV), рис. 7.11).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость γ(γV) параллельна одной образующей SA, рис. 7.12).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

4-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость δ(δV) параллельна двум образующим SA и SB, рис. 7.13).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ε(εV), рис. 7.14).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Рассмотрим построение на проекциях конуса линий пересечения для всех пяти случаев сечений.

1-й и 2-й случаи. На рис. 7.11 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью α(αV), проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью β(βV), расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость α пересекает поверхность конуса по образующим SE, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки E, лежащей на основании конуса.

Плоскость β пересекает поверхность конуса по окружности радиуса Rβ, ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 7.12 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью γ(γV), расположенной параллельно одной образующей конуса SA.

Плоскость γ пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена).

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:

  • – точка 1(1′,1″) – лежит на проекциях характерной образующей SB(S’B’, S»‘B»‘);
  • – точки 2(2′,2″) – лежат на проекциях характерных образующих SD и SC, горизонтальные проекции которых построены с помощью параллели радиусом R2 (алгоритм I);
  • – точки 3(3′,3″) – лежат на окружности основания конуса: горизонтальные проекции этих точек определяются по линии связи на горизонтальной проекции окружности основания, а их профильные проекции построены по координате Y3;
  • – проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции – по координате Y).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 7.13 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью δ(δH), расположенной параллельно двум образующим конуса SA и SB.

Плоскость δ пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1, 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза δ(δW).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

На рис. 7.13 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости δ1(δ1W) под углом φ1 к оси конуса. При В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийплоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

5-й случай. На рис. 7.14 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью ε(εV), пересекающей все образующие конуса под углом φ к оси, отличным от прямого.

Плоскость ε пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и промежуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Точки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции по координате Y3 (алгоритм I).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

. Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

Построение проекций прямого конуса со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.15 показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания R и высоте H фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выполнить графический анализ сечений.

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(αV) параллельна одной образующей конуса SA(S»A») и пересекает его поверхность по участку параболы 1-2-3(1″-2″-3″), которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3(3″-3″) плоскостей срезов α и β.

2.2. Профильная плоскость β(βV) параллельна двум образующим конуса SC(S»C») и SD(S»D») и пересекает его поверхность по участку гиперболы 3-4(3″-4″), которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов α и β(3-3) и плоскости β с основанием конуса (4-4).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза α определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы 1-2-3(1′-2′-3′), построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

  • – точка 1(1′) лежит на образующей SB (S’B’);
  • – точки 2(2′) и 3(3′) построены по принадлежности соответствующим параллелям (алгоритм I).

3.2. Плоскость среза β определяет вертикальный видимый отрезок 4′-4′ вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки 4(4′) которой лежат на очерковой окружности основания конуса.

. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок 4′-4′. 4.2. Внутренний контур определяет видимый участок параболы 3′-2′-1′.

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет видимый участок параболы 1-2-3(1′»2″‘-3″‘), построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

  • – точка 1(1′») – лежит на характерной образующей SB(S'»B»‘);
  • – точки 2(2′») – лежат соответственно на характерных образующих SC(S'»C»‘) и SD(S'»D»‘);
  • – точки 3(3′») – построены по координате y3.

5.2. Плоскость среза β определяют видимые участки гиперболы 3-4(3″‘-4″‘), ограниченные видимым отрезком 3″‘-3″‘ (построен) и видимым отрезком 4-4(4″‘-4″‘), точки которого построены по координате y4.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

  • – слева – участок C»‘-2″‘ образующей SC;
  • – справа – участок D»‘-2″‘ образующей SD;
  • – сверху – участок параболы 1″‘-3″‘;
  • – снизу – проекция основания конуса.

6.2. Внутренний контур определяют:

  • – видимые участки параболы 2″‘-3″‘;
  • – видимый отрезок 3″‘-3″‘ пересечения плоскостей срезов α и β;
  • – видимые участки гиперболы 3″‘-4″‘.

7-е действие. Оформить чертеж конуса выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Сферическая поверхность – шар

При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность – геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера – единственная геометрическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геометрическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

Проекции шара и проекции его очерковых окружностей

Все три очерка шара – фронтальный, горизонтальный и профильный – представляют собой окружности одного диаметра с центром в точке О(О’,О»,О»‘) – это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 7.16). Каждая точка на поверхности шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые параллелями.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Фронтальный очерк шара – окружность n(n») – называется главным фронтальным меридианом, который лежит во фронтальной плоскости уровня β(βH), и его горизонтальная проекция n’ – это горизонтальная прямая, а профильная проекция n»‘ – вертикальная прямая, проходящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара – это окружность k(k’), то есть экватор шара, лежащий в горизонтальной плоскости уровня α(αV), и его фронтальная k» и профильная k»‘ проекции – горизонтальные прямые, проходящие через центр шара.

Профильный очерк шара – это окружность m(m»‘) главного профильного меридиана, лежащего в профильной плоскости δ(δH), и его фронтальная m» и горизонтальная m’ проекции – вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

. Запомните характерные признаки шара на чертеже – три очерковые окружности одного диаметра.

Построение проекций точек на поверхности шара

На рис. 7.16 показаны примеры построения проекций точек, лежащих на характерных очерковых окружностях шара.

Точка A(A»), заданная своей фронтальной проекцией, лежит на главном фронтальном меридиане n(n»); ее горизонтальная проекция A’ и профильная проекция A»‘ определяются на соответствующих проекциях этого меридиана по линиям связи.

Точки B1(B1‘) и B2(B2‘), заданные своими горизонтальными проекциями, лежат на экваторе шара k(k’); фронтальные проекции точек совпадают и определяются на фронтальной проекции экватора k(k») по линии связи (B2» – невидимая), а профильные проекции B1«‘ и B2«‘ построены по координатам yB1 = yB2 и лежат на профильной проекции k (k»‘) экватора.

Точка C(C»‘), заданная своей профильной проекцией, лежит на главном профильном меридиане m(m'»); ее фронтальная проекция C(C») определяется по линии связи на фронтальной проекции m(m») профильного меридиана, а горизонтальная невидимая проекция C(C’) построена по координате yC и лежит на горизонтальной проекции профильного меридиана m(m’).

. Видимость проекций точки на проекциях шара определяется видимостью той части поверхности шара, на которой лежит точка, и определяется указанными границами видимости при взгляде на каждую плоскость проекций.

На рис. 7.17 показаны примеры построения проекций точек D и E, лежащих на поверхности шара, недостающие проекции которых построены с использованием различных осей вращения (без координат y).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Точка D задана видимой фронтальной проекцией D».

Для построения ее горизонтальной проекции D(D’) нужно использовать горизонтально-проецирующую ось вращения i1 и выполнить следующие графические действия (алгоритм I):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки D(D») прямую, перпендикулярную оси i(i») – это проекция круговой параллели радиусом RD, по которой точка D вращается вокруг оси i1.

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом RD с центром в точке O(O’).

3-е действие. Построить по линии связи горизонтальную (видимую) проекцию точки D(D’) на этой параллели.

Точка E задана невидимой горизонтальной проекцией E’.

Для построения ее фронтальной проекции E(E») нужно использовать фронтально-проецирующую ось i2 и выполнить следующие графические действия (алгоритм II):

1-е действие. Провести через горизонтальную проекцию точки E(E’) прямую, перпендикулярную оси i2(i2‘) – это проекция круговой параллели радиусом RE, по которой точка E вращается вокруг оси i2.

2-е действие. Провести фронтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом RE с центром в точке O(O»).

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную видимую проекцию точки E(E») на этой параллели.

Для построения профильных проекций заданных точек D и E нужно использовать профильно-проецирующую ось i3 и выполнить следующие графические действия (алгоритм III):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки D(D») и горизонтальную проекцию точки E(E’) прямые, перпендикулярные оси i3(i3«,i3‘), – это проекции круговых параллелей с радиусами RD1 и RE1 (расположены вертикально), по которым точки D и E вращаются вокруг оси i3.

2-е действие. Провести профильные проекции этих параллелей: окружности радиусами RD1 и RE1 с центром в точке O(O»‘).

3-е действие. Построить по горизонтальным линиям связи профильные проекции точек D(D'») и E(E»‘) на соответствующих параллелях (профильная проекция точки D(D'») невидимая).

Построение проекций шара со срезами плоскостями частного положения

Всякая плоскость пересекает поверхность шара по окружностям (круговым параллелям). В зависимости от расположения секущих плоскостей относительно плоскостей проекций H, V и W окружности сечений могут проецироваться либо в окружности, либо в эллипсы.

На рис. 7.18 показан пример построения проекций шара со срезами горизонтальной плоскостью α(αV) и профильной плоскостью β(βV).

Окружность сечения шара горизонтальной плоскостью α(αV) проецируется в окружность (круговую параллель) радиусом Rα на горизонтальную проекцию шара, а профильная проекции этой окружности – горизонтальная прямая. В качестве оси вращения для построения горизонтальной проекции окружности сечения взята горизонтально-проецирующая ось i1.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Окружность сечения шара профильной плоскостью β проецируется в окружность (круговую параллель) радиусом Rβ на профильную проекцию шара (невидимая окружность), а горизонтальная проекция этой окружности – вертикальная прямая. В качестве оси вращения для построения параллели Rβ взята профильно-проецирующая ось i3.

На этом же рисунке показано расположение проекции характерных точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6, лежащих в плоскостях сечений на характерных очерковых окружностях шара:

  • – точки 1, 3, 4 и 6 лежат на главном фронтальном меридиане шара n и их проекции определяются на проекциях этого меридиана;
  • – точки 5 лежат на экваторе шара k и их проекции определяются на проекциях экватора;
  • – точки 2 лежат на профильном меридиане m и их проекции определяются на проекциях этого меридиана.

Оформление очерков проекций ясно из чертежа.

На рис. 7.19 показан пример построения проекций шара со срезом фронтально-проецирующей плоскостью γ(γV). Фронтальная проекция окружности сечения шара плоскостью γ совпадает с вырожденной в линию фронтальной проекцией плоскости γ, а на горизонтальную и профильную проекции шара эта окружность сечения проецируется в эллипсы.

Проекции шара со срезом построены по проекциям точек, обозначенных на фронтальной проекции сечения.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Горизонтальная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

  • – точки 1(1′) и 5(5′) – лежат на проекции n(n’) главного фронтального меридиана;
  • – точки 2(2′) – лежат на проекции m(m’) профильного меридиана и построены на параллели радиусом R2 (ось вращения i1, алгоритм I);
  • – точка 4(4′) – лежит на проекции k(k’) экватора;
  • – точки 3 – отмечены на перпендикуляре к плоскости сечения γ и определяют положение большой оси эллипса 3-3; точки 3(3′) построены по принадлежности своей параллели (алгоритм I); малая ось эллипса – линия 5′-1′.

Построенные видимые горизонтальные проекции точек соединить плавной кривой эллипса с помощью лекала.

Очерк горизонтальной проекции определяет его экватор вправо от точек 4(4′).

Профильная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по профильным проекциям обозначенных точек:

  • – точки 1(1″‘) и 5(5″‘) – лежат на n(n'») главного меридиана;
  • – точки 2(2″‘) – лежат на проекции m(m»‘) профильного меридиана;
  • – точки 3 (3″‘) и 4(4″‘) – построены или по принадлежности соответствующим относительно оси вращения i3 параллелям (алгоритм III, отмечена параллель R4).

Построенные видимые проекции точек соединить плавной кривой эллипса.

Очерк профильной проекции определяет профильный меридиан m(m»‘) от точек 2(2″‘) вниз.

Торовая поверхность – тор

Поверхность, получаемая при вращении образующей окружности m (или ее дуги) вокруг оси i, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется торовой. Образующая окружность m вращается вокруг оси тора i по направляющей окружности радиусом R (рис. 7.20, а, б, в, г).

Геометрическое тело, ограниченное торовой поверхностью, называют тором.

Тор называют открытым (круговое кольцо), если образующие окружности m в осевом сечении не пересекаются и не касаются друг друга, то есть В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Проекции открытого тора с горизонтально-проецирующей осью вращения i показаны на рис. 7.20, а.

Тор называют замкнутым, если образующие окружности m касаются, то есть R = r. Проекции замкнутого тора показаны на рис. 7.20, б.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Тор называют самопересекающимся, если образующие окружности пересекаются, то есть В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений. Проекции самопересекающегося тора показаны на рис. 7.20, в. Выделенную часть самопересекающегося тора называют тороидом и часто используют в графических условиях различных задач.

На рис. 7.20, г показаны проекции глобоида – это геометрическое тело, образованное как открытый тор, но материализующее полость (отверстие) в открытом торе.

Построение проекций открытого тора

На рис. 7.21 показан пример построения фронтальной, горизонтальной и профильной проекций половины открытого тора с фронтально-проецирующей осью i.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Фронтальную проекцию (очерк) тора определяют:

  • – максимальная и минимальная круговые окружности-параллели n1(n1«) и n2(n2«), по которым диаметральные точки N1 и N2 образующей окружности m вращаются вокруг оси тора i;
  • – окружности-параллели t1(t1«) и t2(t2«) диаметральных точек T1 и T2, которые совпадают между собой и совпадают с проекцией направляющей окружности радиусом R тора (выполняются на чертеже тонкой штрихпунктирной линией);
  • – две горизонтальные прямые m(m») – проекции образующих окружностей m, полученных в сечениях тора горизонтальной плоскостью α(αV), проходящей через ось вращения тора.

Горизонтальную проекцию (очерк) тора определяют:

  • – совпадающие проекции n1(n1‘) и n2(n2‘) окружностей-параллелей фронтального очерка проецируются в прямую линию, перпендикулярную оси i(i’) тора, и совпадают с горизонтальной осью симметрии проекции;
  • – две образующие окружности m(m’), лежащие в плоскости среза α(αV), которые проецируются в натуральную величину и видимыми являются только их половины;
  • – две горизонтальные линии, в которые проецируются окружности параллели t1(t1‘) и t2(t’), полученные при вращении диаметральных точек T1 и T2 (перпендикулярны оси вращения i(i’).

Профильную проекцию(очерк) тора определяют:

  • – совпадающие проекции n1(n1«‘) и n2(n2«‘) окружностей-параллелей фронтального очерка проецируются в прямую вертикальную линию и совпадают с осью симметрии проекции;
  • – окружность mβ, лежащая в профильной плоскости β (половина ее – невидимая);
  • – прямая горизонтальная линия совпадающих проекций образующих окружностей m(m»‘), лежащих в плоскости среза α(αV);
  • – две вертикальные прямые – проекции окружностей-параллелей t1(t1«‘) и t2(t2«‘).

. Запомните характерные признаки проекций открытого тора на чертеже.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности тора

Точки на поверхности тора лежат на круговых параллелях, по которым они вращаются вокруг его оси i.

1. Точки, лежащие на характерных очерковых окружностях тора n1 и n2, t1 и t2 и m строятся по их принадлежности этим окружностям.

На рис. 7.21 показаны примеры построения проекций точек по одной заданной проекции.

Например, горизонтальные и профильные проекции точек A и B, заданных своими фронтальными проекциями A» и B», лежат на очерковых окружностях n1 и n2 и определяются на проекциях этих окружностей (горизонтальные проекции точек совпадают); профильная проекция B(B»‘) – невидимая.

Горизонтальные и профильные проекции точек C1 и C2, заданных своими фронтальными совпадающими проекциями, лежат на окружностях t1 и t2 и определяются на проекциях этих окружностей.

2. Проекции точек D1 и D2 (невидимая), заданных своими совпадающими фронтальными проекциями D1» и D2» и не лежащие на характерных окружностях тора, строятся по следующему графическому алгоритму (алгоритм I):

1-е действие. Провести вспомогательную круговую параллель радиусом RD через заданные фронтальные проекции точек D1(D1«)≡D2(D2«) .

2-е действие. Провести горизонтальные прямые – проекции этих параллелей – перпендикулярно оси вращения i(i’), используя вспомогательные точки 1(1″,1′), лежащие на проекциях образующей окружности m(m1«,m2‘).

3-е действие. Построить по линии связи видимые горизонтальные проекции точек D(D1‘) и D(D2‘) на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные видимые проекции точек D1(D1‘») и D2(D2‘») построить по координатам yD.

Проекции точек E1 и E2 (невидимая), заданных своими совпадающими горизонтальными проекциями E1(E1′) ≡E2(E2′) и не лежащие на характерных окружностях тора, строятся по «обратному» алгоритму II:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции тора прямую, перпендикулярную оси вращения тора i(i’) – это горизонтальные совпадающие проекции вспомогательных круговых параллелей радиусами RE1 и RE2 для точек E1 и E2.

2-е действие. Построить радиусами RE1 и RE2 фронтальные проекции этих параллелей: RE2 – параллель на внутренней поверхности тора, а RE1 – параллель на наружной поверхности тора.

3-е действие. Построить по линии связи фронтальные проекции точек E1(E»1) и E2(E»2) на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные невидимые проекции точек E1(E»1) и E2(E»2) построить по координатам yE.

Сечения тора плоскостями частного положения

Тор является поверхностью вращения 4-го порядка (образующая и направляющая окружности 2-го порядка – порядки умножаются) и кривые его сечений также являются кривыми 4-го порядка (кроме круговых сечений).

Тор имеет две системы круговых сечений:

  • – первая система парных круговых сечений получается во всех плоскостях, проходящих через ось i, тора на той его проекции, на которую ось i проецируется в точку – смотри сечение во фронтально-проецирующей плоскости α(αV) на фронтальной проекции тора (сечение по образующим окружностям m);
  • – вторая система круговых сечений получается в плоскостях β(βH), перпендикулярных оси тора – смотри сечение во фронтальной плоскости уровня βH на горизонтальной проекции тора (сечение по круговым параллелям тора).

Тор имеет также третью систему сечений плоскостями уровня, параллельными оси его вращения i.

На рис. 7.22 показаны формы кривых в различных сечениях открытого тора плоскостями уровня (ось тора i В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийV).

На рис. 7.22, а сечения проведены параллельно оси тора i(i») на его фронтальной проекции и являются горизонтальными плоскостями уровня.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В зависимости от расстояния t секущей плоскости до оси тора на его поверхности получается 4 вида кривых, объединенных общим названием – кривые Персея (геометр древней Греции).

1-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t1 от оси тора образует на его поверхности кривую линию – овал с двумя осями симметрии (для плоскостей между точками A и B, то есть В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений).

2-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t2 от оси тора образует на его поверхности волнообразную кривую (для плоскостей между точками B и C, то есть В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений).

3-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t3 от оси тора образует на его поверхности двухлепестковую кривую (для плоскости, проходящей через точку C, то есть t3 = R1).

4-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t4 от оси тора образует на его поверхности два овала с одной осью симметрии (для плоскостей ниже точки C и не проходящих через ось вращения тора i(i»), то есть когда В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений).

На рис. 7.22, б изображена фронтальная и горизонтальная проекции открытого тора, у которого R = 2r (частный случай). Кривые сечений этого тора называют овалами Кассини, а двухлепестковая кривая в сечении 3 называется лемнискатой Бернулли.

Построение проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.23 показан пример построения проекций отрытого тора с комбинированным срезом фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и горизонтальной плоскостью β(βV).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Для построения проекций тора со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданным размерам фронтальную, горизонтальную и профильную проекции тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции (или любой другой) заданные по условию срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(αV) и горизонтальной плоскостью β(βV).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графоаналитический анализ сечений:

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(αV) пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой 1-2-3 (сечение 2), часть которой ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3 плоскостей среза α и β.

2.2. Горизонтальная плоскость β(βV) пересекает поверхность тора по участку двухлепестковой кривой 3-4-5 (сечение 3).

. Поскольку горизонтальная проекция тора имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной его половине (нижней).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Горизонтальная проекция видимого участка волнообразной кривой в плоскости α построена по проекциям обозначенных точек 1(1′), E(E’), 2(2′) и 3(3′) по их принадлежности характерным n1, t1 и t2 (точки 1 и 2) и вспомогательным (точки Е и 3) параллелям.

3.2. Горизонтальная проекция видимого участка двухлепестковой кривой в плоскости β построена по проекциям обозначенных точек 3(3′), 4(4′), D(D’) и 5(5′) по их принадлежности характерным t1, t2 и n1 (точки 4 и 5) и вспомогательным (точки D) параллелям (точки 3(3′) уже построены).

3.3. Видимый отрезок 3-3(3′-3′) – горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей срезов α и β, ограничивающая участки кривых в плоскостях срезов.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют:

  • – видимые половины окружностей m(m’);
  • – участки очерковых параллелей t1(t1‘) и t2(t2‘), не существующие между точками 4(4′) и 2(2’);
  • – участки кривых 4′-3′ и 3′-2′.

4.2. Внутренний контур определяют:

  • – невидимые половины окружностей m(m’);
  • – видимые участки кривых 4’D’-5′ и 2’E’-1′;
  • – видимый отрезок 3′-3′ пересечения плоскостей срезов α и β.

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Профильная проекция видимого участка волнообразной кривой построена по проекциям обозначенных точек 1(1′»), E(E»‘), 2(2′») и 3(3′») по их принадлежности характерным параллелям n1, t1 и t2 (точки 1(1′») и 2(2′»)) и по координатам y (точки E(E»‘) – yE, 3(3′») – y3).

5.2. Профильная проекция горизонтальной плоскости среза β проецируется в видимый горизонтальный отрезок 4″‘-4″‘ (точки 4(4″‘) – на очерковых линиях t1 и t2).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура:

6.1. Профильный очерк определяют:

  • – слева и справа – проекции очерковых параллелей t1(t1‘) и t2(t2‘) до точек 2(2′»);
  • – сверху – видимый участок 2′»-E»‘-1′» волнообразной кривой;
  • – снизу – видимые совпадающие проекции образующих окружностей m(m'»).

6.2. Внутренний контур определяют:

  • – видимый горизонтальный отрезок 4″‘-4′» (проекция плоскости среза β);
  • – видимые участки 2″‘-4′» волнообразной кривой;
  • – невидимая часть окружности mW(mW«‘) между точками 2″‘.

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой проекций (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построений).

Структуризация материала седьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 7.24 (лист 1). На последующих листах 2–6 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 7.25–7.29).

Поверхности и частные случаи гранных и кривых поверхностей

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Геометрические тела

Прямая правильная призма

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Прямой круговой цилиндр

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Прямой круговой конус. Конические сечения.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Самопересекающийся тор (тороид).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Сечения открытого тора. Кривые Персея.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Построение сечений поверхности открытого тора плоскостями частного положения

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Прочие поверхности вращения

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

а

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Поверхности и способы их образования

Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности, обычно задают достаточно плотной сетью линий, принадлежащих этим поверхностям. Совокупность таких линий называют дискретной (состоящих из отдельных элементов) сетью, или дискретным каркасом поверхности.

При кинематическом способе задания поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии. Линию, производящую поверхность, в каждом ее положении называют образующей. Образующая линия может быть прямой или кривой Кинематическая поверхность представляет собой геометрическое место линий, движущихся в пространстве по некоторому закону. Следовательно, для задания поверхности могут быть использованы три основных способа: аналитический, каркасный и кинематический.

Поверхность, которая может быть образована прямой линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий. Поверхность, для которой только кривая линия может быть образующей, называется нелинейчатой поверхностью.

Пример линейчатой поверхности дан на рис. 9.1. Поверхность образована прямой линией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийкоторая, оставаясь постоянно параллельной прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийскользит по некоторой неподвижной линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийназываемой направляющей.

Примером нелинейчатой поверхности может быть сфера (шаровая поверхность).
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Поверхности вращения

В числе кривых поверхностей — линейчатых и нелинейчатых — имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, полученную от вращения какой-либо образующей линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвокруг неподвижной прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— оси поверхности (рис.9.2)

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

При вращении вокруг оси каждая точка образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийописывает окружность, которую называют параллелью поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны оси поверхности. Наибольшую из параллелей поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую — горлом (шейкой).

Линии, получаемые при пересечении поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось, называют меридианами поверхности. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийназывается главным меридианом.

Различают поверхности вращения с прямолинейной и криволинейной образующей.

К поверхностям вращения с прямолинейной образующей относятся цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

Наиболее распространенными поверхностями вращения с криволинейной образующей являются поверхности вращения второго порядка, т.е. получаемые при вращении алгебраических кривых, описываемых уравнениями второй степени, вокруг их осей. Это сфера, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения.

Цилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, образованная прямой линией (образующей), которая перемещается, оставаясь параллельной оси вращения. Боковая поверхность прямого кругового цилиндра (рис. 9.3) образована движением отрезка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвокруг вертикальной оси В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Коническая поверхность вращения представляет собой поверхность, образующая прямая которой пересекает ось вращения в точке, называемой вершиной конуса. Боковая поверхность прямого кругового конуса (рис. 9.4) образована вращением образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвокруг оси конуса по направляющей — окружности.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Сферой называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг одного из ее диаметров. На все плоскости проекций сфера проецируется в круг с радиусом, равным радиусу сферы (рис. 9.5).
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Эллипсоидом вращения называется поверхность, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей.

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси

Однополостной гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси, а двухполостной — при вращении вокруг действительной оси.

Тором называется поверхность, образованная вращением вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр. Тор относится к поверхностям вращения четвертого порядка.

Точки и прямые линии, принадлежащие поверхности

Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения

Это не исключает возможности применения прямолинейных образующих в случае линейчатых поверхностей вращения.

Если на одной из проекций поверхность проецируется в линию, построение проекций точек, принадлежащих этой поверхности, производится с помощью линий связи.

Примеры построения проекций точек, принадлежащих поверхностям прямого кругового цилиндра, конуса н сферы показаны на рис. 9.6,9.7, 9.8.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Определение недостающих проекций точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположенных на поверхности цилиндра, по одной заданной, например, фронтальной, производится в следующей последовательности. Учитывая, что горизонтальная проекция цилиндра является линией, горизонтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийможно найти, проведя из заданных точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлинии связи до их пересечения с окружностью в искомых точках В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПрофильные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийстроят также с помощью линий связи.

Если на поверхности конуса задана одна проекция точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(например, фронтальная проекция на рис. 9.7, а), то горизонтальную проекцию этой точки определяют с помощью вспомогательных линий, расположенных на поверхности конуса и проведенных через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— образующей или окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса.

В первом случае (рис. 9.7, а) проводят фронтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвспомогательной образующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположенной на фронтальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийэтой образующей, на которой с помощью линии связи, проходящей через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходят искомую точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийВо втором случае (рис. 9.7, б) вспомогательной линией, проходящей через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийбудет окружность В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположенная на конической поверхности и параллельная плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийФронтальная проекция этой окружности изображается в виде отрезка горизонтальной прямой. Искомая горизонтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходится на пересечении линии связи, проведенной из точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс горизонтальной проекцией вспомогательной окружности В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Если заданная фронтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийрасположена на контурной (очерковой) образующей, то горизонтальную проекцию точки находят без вспомогательных построений при помощи линии связи.

Если точка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпринадлежащая сферической поверхности, задана ее фронтальной проекцией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(рис. 9.8), то вспомогательная линия В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведенная через эту точку для построения горизонтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдолжна быть окружностью, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийНа горизонтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвспомогательной окружности, которая соответствует натуральной величине этой окружности, с помощью линии связи находят искомую горизонтальную проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТочка В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходится на экваторе сферы, поэтому ее вторую проекцию В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийможно определить по линии связи.

Линию на поверхности можно рассматривать как множество точек. Поэтому построение проекций линии, принадлежащей поверхности, сводится к построению проекций ряда точек, принадлежащих этой линии.

Пересечение плоскости и линии с поверхностью

В пересечении поверхностей вращения плоскостью получаются различные плоские кривые линии, проекции которых строятся по проекциям ряда точек, определяемых соответствующими способами. При этом следует стремиться определить, прежде всего, так называемые характерные (опорные) точки фигуры сечения — верхние и нижние, т.е. точки, наиболее и наименее удаленные от плоскостей проекций, и левые н правые, т.е. точки, лежащие на крайних образующих поверхностей. После этого определяется ряд промежуточных точек, которые затем соединяются с характерными плавной кривой линией.

В пересечении кругового цилиндра плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получаться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения цилиндра (рис. 9.9); эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра под углом, отличным от прямого (рис. 9.10); прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра (рис. 9.11).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Проекции фигуры сечения цилиндра плоскостью могут быть построены аналогично проекциям фигуры сечения призмы плоскостью. Для этого в цилиндр вписывается многогранная призма, находятся точки встречи ребер этой призмы с секущей плоскостью, которые соединяются плавной кривой линией. В случае, когда цилиндр прямой, построение проекций фигуры сечения может быть выполнено по-другому.
На рис. 9.12 показано построение проекций фигуры сечения прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийзаданной треугольником В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Так как цилиндр прямой, горизонтальные проекции фигуры сечения и самого цилиндра будут совпадать. Как отмечалось выше, в сечении будет получаться эллипс. Для нахождения точек, ограничивающих большую ось эллипса (нижшей и высшей), необходимо в плоскости треугольника В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпостроить горизонталь В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийт.к. большая ось совпадает с линией ската плоскости.

Затем через ось цилиндра перпендикулярно В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроводим линию ската плоскости и заключаем ее в горизонтально-проецирующую плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПлоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечет плоскость треугольника В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпо линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа цилиндр — по прямоугольнику. Точки, общие для линии пересечения плоскостей и сечения цилиндра плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— и будут искомыми. Точки, ограничивающие малую ось эллипса — В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— определим, проведя через ось цилиндра линию перпендикулярно горизонтальной проекции большой оси — В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— и заключая ее в плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДальнейшие построения аналогичны приведенным выше. Точки, лежащие на крайних образующих и определяющие границы видимости — В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— определим при помощи фронтальной плоскости уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа ближнюю и дальнюю точки линии сечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— с помощью плоскостей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведя их касательно к цилиндру через ближнюю и дальнюю образующие. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределены с помощью горизонтальной плоскости уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В пересечении кругового конуса плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получиться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (рис. 9.13); эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса под углом, отличным от прямого и пересекает все образующие конуса (рис. 9.14); гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (рис. 9.15); парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса (рис. 9.16); треугольник, если секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 9.17).

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Проекции фигуры сечения конуса плоскостью можно построить ана логично проекциям фигуры сечения пирамиды плоскостью (в конус в пи сывается многогранная пирамида, рис. 9.18).
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью выполняется в следующем порядке. Основание конуса делится на равномерное число частей, в нашем примере 12, проводятся горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобразующих и строятся их фронтальные и профильные проекции. На фронтальной проекции отмечаются фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа также крайних точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции строятся в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих. На профильную проекцию точки переносятся также по линиям связи. Горизонтальная проекция точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийстроится после того, как она построена на профильной проекции.

На фронтальной проекции большая ось эллипса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с конусом — проецируется в натуральную величину. Малая ось В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийэллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв середине фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийбольшой оси.

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью горизонтальной плоскости уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведенной через малую ось эллипса. Плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекла конус по окружности радиуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпо линиям связи перенесены на горизонтальную проекцию окружности.

На рис. 9.19 показано построение сечения конуса плоскостью общего положения, заданной следами.

Построение проекций сечения начато с нахождения точек, ограничивающих большую ось эллипса (высшая и низшая точки сечения). Для этого проведена вспомогательная секущая плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийгоризонтально-проецирующая, перпендикулярная следу В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи проходящая через ось конуса. Плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает конус по образующим В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— по линии В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТочки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучающиеся в пересечении образующих В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс прямой В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийбудут искомыми точками. Отрезок В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийявляется большой осью эллипса, получающегося при пересечении данного конуса плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПроекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийявляется большой осью эллипса — горизонтальной проекции фигуры сечения. Разделив В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпополам, получим положение малой оси эллипса — точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТочки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийограничивающие малую ось эллипса, определим, воспользовавшись горизонтальной плоскостью уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведенной через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОна пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— по горизонтали. Точки на пересечении этих линий и будут искомыми.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Точки, лежащие на очерке фронтальной проекции конуса и определяющие границы видимости линии пересечения, получены при помощи вспомогательной секущей плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведенной через ось конуса параллельно В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПлоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпо фронтали, а конус -по двум образующим. Точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучающиеся при пересечении фронтали с образующими, принадлежат искомой линии пересечения конуса с плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Промежуточные точки линии пересечения удобно построить, использовав горизонтальные секущие плоскости, аналогично построению точек, ограничивающих малую ось эллипса.

Задачу можно решить, использовав метод замены плоскостей проекций, с помощью которого можно привести условие к виду, приведенному на рис. 9.1S.

Для построения точек пересечения прямой с какой-либо поверхностью необходимо провести через данную прямую вспомогательную секущую плоскость; затем найти линию пересечения вспомогательной плоскости с данной поверхностью и, наконец, определить точки пересечения линии с данной прямой. Эти точки и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью.

Вспомогательную плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы получались простейшие сечения.

В некоторых случаях показ вспомогательной плоскости излишен. Например, точки встречи прямой 1 с поверхностью прямого кругового цилиндра, имеющего вертикальную ось (рис. 9.20), определяют следующим образом

Горизонтальная проекция цилиндрической поверхности представляет собой окружность, поэтому горизонтальные проекции всех точек, расположенных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек встречи, будут расположены на этой же окружности

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийискомых точек встречи определяют проведением через точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийвертикальных линий связи до пересечения с фронтальной проекцией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямой 1.

На рис. 9.21 построена точка пересечения горизонтально-проецирующей прямой с поверхностью кругового конуса. В этом случае также нет необходимости применять вспомогательную плоскость. Горизонтальная проекция В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийискомой точки совпадает с горизонтальной проекцией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийданной прямой. Фронтальная проекция точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределяется с помощью образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийконуса.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На рнс. 9.22 показано построение точек встречи прямой общего положения 1 с конической поверхностью.

В данном случае целесообразно через прямую 1 провести вспомогательную плоскость общего положения, проходящую через вершину конуса, которая пересечет поверхность по образующим. Такую плоскость зададим следующим образом. Через произвольно взятую на прямой 1 точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи вершину конуса В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведем прямую В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийДве пересекающиеся прямые В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределяют плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийНаходим горизонтальные следы В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямых В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийчерез которые пройдет горизонтальный след вспомогательной секущей плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОтметим точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв которых след В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает основание конуса, построим их фронтальные проекции и при их помощи найдем две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийНа пересечении этих образующих с фронтальной проекцией В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпрямой 1 отметим фронтальные проекции точек пересечения В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийГоризонтальные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпостроим при помощи линий связи.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

На рис. 9.23 показано построение точек пересечения поверхности наклонного цилиндра с круговым основанием с прямой линией 1. Для этого через прямую 1 проведем вспомогательную плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпараллельно образующим цилиндра. Такая плоскость может быть задана двумя пересекающимися прямыми В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроведенными через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений(прямую В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроводим параллельно образующим цилиндра).

Возьмем небольшую часть поверхности и точку на ней. Если через эту точку на поверхности проведем кривые и касательные к ним прямые, то последние оказываются в одной плоскости Эту плоскость называют касательной к плоскости в данной ее точке.

Рассмотрим несколько примеров построения касательной плоскости к поверхностям

На рис. 9.24 показано построение плоскости, касательной к сфере в точке В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Поэтому, проведя радиус В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийстроим плоскость, задавая ее горизонталью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи фронталью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийЭти прямые определяют плоскость, касательную к сфере в ее точке В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В рассмотренном примере касательная плоскость имеет с поверхностью одну общую точку.

На рис. 9.25 показано построение плоскости, касательной к цилиндру в точке В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийЗдесь плоскость касается поверхности не в одной точке, а во всех точках на образующей.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Данная поверхность линейчатая. Поэтому через точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийможно провести образующую В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийкоторая является одной из двух пересекающихся, определяющих касательную плоскость. В качестве второй прямой можно взять касательную 1 к окружности — горизонтальному следу цилиндрической поверхности. Прямые В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределяют искомую касательную плоскость. Прямая 1 является горизонтальным следом этой плоскости.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух поверхностей есть линия, принадлежащая обеим поверхностям. Следовательно, для построения линии пересечения поверхностей необходимо найти общие точки для данных поверхностей.

Линию пересечения поверхностей можно построить, применяя вспомогательные секущие плоскости (посредники), пересекающие данные поверхности по каким-либо линиям Взяв достаточное количество вспомогательных поверхностей, можно найти достаточное количество точек искомой линии.

Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей:

  • — выбираем вид вспомогательных поверхностей;
  • — строим линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;
  • — находим точки пересечения построенных линий и соединяем их между собой.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются в графически простые линии — прямые, окружности, т.к. при этих условиях задача решается проще и точнее. В качестве вспомогательных поверхностей можно использовать плоскости или сферы

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 10.1). При построении точек линии пересечения поверхности вначале находят те точки, которые называют характерными или опорными. Основания заданных поверхностей, представленных окружностями, принадлежат горизонтальной плоскости проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийВ пересечении окружностей основания получаем опорные точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПо линии связи переносим эти точки на фронтальную проекцию.

Проведенная фронтальная плоскость уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроходящая через ось конической поверхности и центр сферы, пересекает коническую поверхность по контурным образующим В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа сферу — по окружности, совпадающей с проекцией главного меридиана. В пересечении контурной образующей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи главного меридиана получим опорную точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— наивысшую точку линии пересечения.

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Промежуточные точки найдем при помощи горизонтальных плоскостей уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийкоторые пересекают заданные поверхности по окружностям. При взаимном пересечении этих окружностей получают промежуточные точки искомой линии. Вначале находим горизонтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийточек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийна пересечении окружностей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийполучающихся от пересечения плоскостью В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийконуса и сферы Затем, используя линии связи и принадлежность этих точек плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходим их фронтальные проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Число вспомогательных секущих плоскостей, а, следовательно, и промежуточных точек линии пересечения зависит от требуемой точности решения

Относительно горизонтальной плоскости проекций видимой является заданная половинка сферы и коническая боковая поверхность. Следовательно, видима и вся горизонтальная проекция линии пересечения этих поверхностей.

Относительно фронтальной плоскости проекций видимой является часть 1, 4, 3, 2, фронтальная проекция линии пересечения, расположенная на видимых (передних) участках заданных поверхностей, а часть В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийневидима.

Заданные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроходящей через оси их вращения, следовательно, симметрична и линия их пересечения относительно этой же плоскости. Значит, на фронтальной плоскости проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроекции видимой и невидимой частей линии пересечения совпадут и будут кривой второго порядка.

На чертеже одноименные проекции точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийсоединяем плавной сплошной основной линией и получаем искомые проекции линии пересечения.

Как отмечалось выше, для нахождения промежуточных точек, принадлежащих линии пересечения, были использованы горизонтальные плоскости уровня.

Фронтальные плоскости уровня, кроме проходящей через ось конической поверхности плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекают эту плоскость по сложным кривым (гиперболам). Значит, их не следует применять в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Проецирующие плоскости будут давать в пересечении сложные для построения на чертеже линии, поэтому их также нецелесообразно применять в качестве вспомогательных секущих плоскостей. Например, горизонтально-проецирующие плоскости, проходящие через ось заданной конической поверхности, будут пересекать ее по образующим, а сферу — по окружностям. Но эти окружности будут проецироваться на плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийв эллипсы.

После сравнения всех возможных вариантов в качестве вспомогательных секущих плоскостей были выбраны горизонтальные плоскости уровня, т.к. их применение дает наиболее простые графические построения на чертеже.

На рис. 10.2 приведено построение линии пересечения кругового конуса с вертикальной осью с фронтально-проецирующим цилиндром.
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Характерные точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределены непосредственно на эпюре. Характерные точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийнаходящиеся на контурной образующей цилиндра и определяющие границу видимости линии пересечения, а также точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопределены с помощью вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийкоторые пересекают конус вращения по окружности, а цилиндр — по прямолинейным образующим. На пересечении горизонтальных проекций полученных окружностей и образующих получают общие точки, принадлежащие искомой линии пересечения. На плоскость проекций В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлиния пересечения проецируется на основание цилиндра.

На рис. 10.3 приведено построение линии пересечения кругового цилиндра с вертикальной осью и сферы

В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Ход решения задачи аналогичен описанному выше. В качестве вспомогательных секущих плоскостей использованы фронтальные плоскости уровня, которые пересекают сферу по окружностям, а цилиндр — по прямолинейным образующим. Опорные точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийлежащие на главном меридиане сферы, на фронтальной проекции построены при помощи линий связи

Способом вспомогательных секущих плоскостей можно воспользоваться для построения линии взаимного пересечения многогранной поверхности с поверхностью вращения.

На рис. 10.4 приведено построение линии пересечения трехгранной призмы и конуса.
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

В качестве вспомогательных секущих плоскостей приняты горизонтальные плоскости уровня Каждая секущая плоскость пересекает конус по окружности, радиус которой равен расстоянию от оси до образующей. Строим горизонтальные проекции окружностей и на их пересечении с проекциями ребер призмы находим проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийопорных точек. Промежуточные точки находим с помощью плоскостей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийи В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПлоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекают грани призмы по прямым линиям Их горизонтальные проекции при пересечении с соответствующей окружностью (проекцией линии пересечения плоскостей В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс конусом) дают проекции промежуточных точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийКак видим на рис. 10.4, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией основания призмы

Линией пересечения грани В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпризмы с поверхностью конуса являются ветви окружности, т.к. эта грань параллельна основанию конуса.

На рис. 10.5 приведено построение линии пересечения конуса и трехгранной призмы, грани которой являются горизонтально-проецирующими плоскостями.
В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

Боковые грани призмы пересекаются с поверхностью конуса по гиперболам Построим точки, принадлежащие линиям пересечения, на каждой грани. Ребра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпроецируются на окружность — проекцию основания конуса. Отметим точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— эти точки будут принадлежать линии пересечения. Чтобы определить точку пересечения ребра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений

которое пересекает боковую поверхность конуса, проведем через ребро В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийобразующую В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийТочка пересечения фронтальной проекции В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс ребром В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийдает искомую точку В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересечения ребра В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийс поверхностью конуса. Чтобы определить высшие точки линии пересечения, построим на боковой поверхности конуса образующие В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийперпендикулярно граням призмы Горизонтальные проекции точек пересечения образующих с гранями — В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— будут искомыми. По линиям связи находим их фронтальные проекции — В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийОтметим точки В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— точки, лежащие на крайних образующих конуса. Фронтальные проекции этих точек В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийбудут определять границы видимости линий пересечения в гранях В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийПромежуточные точки определим при помощи вспомогательной секущей плоскости В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений— горизонтальной плоскости уровня. Плоскость В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийпересекает конус по окружности В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравнений В начертательной геометрии принято рассматривать задание поверхности с помощью уравненийа призму — по треугольнику, совпадающему с горизонтальной проекцией призмы Горизонтальные проекции точки, общие для линий