В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Содержание
  1. Как привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду (метод Гаусса)?
  2. Содержание:
  3. Введение
  4. Описание алгоритма
  5. Пример приведения матрицы к треугольному виду
  6. Заключение
  7. Приведение матрицы к треугольному виду
  8. Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)
  9. Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)
  10. Метод Гаусса – теорема, примеры решений
  11. Определения и обозначения
  12. Простейшие преобразования элементов матрицы
  13. Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
  14. Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
  15. Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
  16. Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
  17. Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
  18. Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
  19. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
  20. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
  21. Примеры решения методом Гаусса
  22. Заключение
  23. 📸 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Как привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду (метод Гаусса)?

Данная статья является первой частью серии статей под названием «Решение матриц». Каждая часть сопровождается теорией, примерами и подробным описанием.

Если Вам нужно привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором.

Видео:Приведение определителя к треугольному видуСкачать

Приведение определителя к треугольному виду

Содержание:

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Введение

Эту задачу приходится решать очень часто, так как она используется во многих операциях над матрицами (решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисление определителя матрицы).

Что бы привести матрицу к треугольному виду, нужно воспользоваться методом Гаусса, который является простым в использовании и позволяет быстро прийти к конечному результату. Метод заключается в том чтобы исходную матрицу, путём элементарных преобразований привести к треугольному (ступенчатому) виду.

Видео:Как привести матрицу к ступенчатому виду - bezbotvyСкачать

Как привести матрицу к ступенчатому виду - bezbotvy

Описание алгоритма

Для приведения матрицы к треугольному виду, необходимо обнулить все элементы стоящие ниже главной диагонали.

Пусть дана матрица

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Первым действием обнуляем первые элементы 2,3. n строки, для этого вычтем из этих строк первую строку умноженную на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этосоответственно,

получим В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

где В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Теперь вычтем из 3,4. n строки вторую строку умноженную на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, этим действием обнуляем вторые элементы этих строк, соответственно, получаем

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

где bij элементы получившиеся в результате этих преобразований. И так далее, пока не получим вид В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

где bij это элементы получившиеся в результате элементарных преобразований, это и есть матрица треугольного вида.

Видео:§16 Приведение определителей к треугольному видуСкачать

§16 Приведение определителей к треугольному виду

Пример приведения матрицы к треугольному виду

Видео:Приведение матрицы к ступенчатому виду. Алгоритм ГауссаСкачать

Приведение матрицы к ступенчатому виду. Алгоритм Гаусса

Заключение

Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по приведению матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, вы всегда можете оставить свой комментарий ниже или решить её воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

Свои вопросы по данной статье, Вы всегда можете задать в комментариях.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Приведение матрицы к треугольному виду

Приведение матрицы к треугольному виду методом Гаусса и методом Барейса.

Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)

Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:

  1. Все нулевые строки матрицы стоят последними
  2. Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
  3. Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)

Пример ступенчатой матрицы:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4

Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.

Пример треугольной (верхнетреугольной) матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением ее диагональных элементов.

Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

  1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
  2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
  3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Приведя матрицу системы линейных уравнений AX=B к треугольной форме A’X = B’, то есть, с соответствующими преобразованиями столбца B, можно найти решение этой системы так называемым «обратным ходом».

Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):

Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:

Зануляем во втором уравнении:

Во втором уравнении больше не содержится

Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:

где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце

И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.

Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .

Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.

Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .

Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.

Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:

Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУ

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

  1. Одно решение;
  2. много решений;
  3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

  • перемена мест уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоназываются решением СЛАУ, если при подстановке В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этов СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

– это основная матрица СЛАУ.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

– матрица столбец неизвестных переменных.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этодобавить в качестве В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это– ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это– матрица невырожденная.

Если с системой уравнений: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Произвести такие действия:

  • умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это;
  • менять местами уравнения;
  • к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоВ методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоВ методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В итоге получилось такое преобразование:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои вот что получается:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В матрице верхняя строка преобразовалась:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Первую строку делим на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои преобразовалась нижняя строка:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

И верхнюю строку поделили на то же самое число В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоВ методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Видео:Определитель 5 порядка приводим к треугольному видуСкачать

Определитель 5 порядка приводим к треугольному виду

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои вторую строку прибавили к первой , умноженной на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Верхнюю строку делим на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои приводим матрицу к ступенчатому виду:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

После В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этонаходим В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Из второго уравнения находим В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. И последнее, находим первое уравнение В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду эточерез В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этов первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

  • берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,
  • берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этосо второго и третьего уравнения системы:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В этой системе в первом уравнении нет переменной В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Видео:5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?Скачать

5 способов вычисления определителя ★ Какой способ лучше?

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

У нас получается такая ситуация

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Как видим, второе уравнение В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоВ методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, где В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это– число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этовид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоиз всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В третьем уравнении получилось равенство В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Если же В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоуже исключались, тогда переходим к В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоисключились В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоиз всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоиз последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В нашем примере это В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, где В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это– произвольные числа.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, а из первого уравнения получаем:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это=В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Так как В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этомы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этопревратился в В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это(разрешающий элемент данного шага).

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Для этого первую строку нужно умножить на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этовторую строку. Вот что получилось:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Теперь прибавляем со второй строки В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этопервую строку В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. У нас получился В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Записываем новую систему уравнений:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Так как В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этонайден, находим В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, и В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Аналогично, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. И умножаем свободный член В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Сначала находим В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Обратный ход:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Решение

В уравнении В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, то есть В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это– ведущий член и пусть В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это. Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоиз каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этотеперь стоит 0.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Получилось так, что В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоb и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этоиз третьей и четвёртой строк:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Получилась такая матрица:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Также, учитывая, что В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это, умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду этои получаем новую систему уравнений:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

из третьего: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

второе уравнение находим: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= 2,

из первого уравнения: В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это= В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Сначала смотрим на левое верхнее число:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

Получился ступенчатый вид уравнения:

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Ответ

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это,

В методе гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду это.

Видео:Алгоритм приведения матрицы к треугольному видуСкачать

Алгоритм приведения матрицы к треугольному виду

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

📸 Видео

5. Вычисление определителя методом приведения матрицы определителя к треугольному видуСкачать

5. Вычисление определителя методом приведения матрицы определителя к треугольному виду

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минут

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математика

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод Гаусса
Поделиться или сохранить к себе: