В линейном уравнении парной регрессии y a bx e параметр b показывает

Видео:Уравнение линейной регрессии. Интерпретация стандартной табличкиСкачать

Основы линейной регрессии

Видео:Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Что такое регрессия?

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение, если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x, причём изменения в y вызываются именно изменениями в x, мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова «регрессия» исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей «регрессировал» и «двигался вспять» к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Видео:Эконометрика. Линейная парная регрессияСкачать

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y»

• a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когда x=0 (Рис.1).
• b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Видео:Эконометрика Линейная регрессия и корреляцияСкачать

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b – выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y, Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Видео:Парная регрессия: гиперболическая зависимостьСкачать

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Между и существует линейное соотношение: для любых пар данные должны аппроксимировать прямую линию. Если нанести на двумерный график остатки, то мы должны наблюдать случайное рассеяние точек, а не какую-либо систематическую картину.

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

• Остатки имеют одну и ту же вариабельность (постоянную дисперсию) для всех предсказанных величин Если нанести остатки против предсказанных величин от мы должны наблюдать случайное рассеяние точек. Если график рассеяния остатков увеличивается или уменьшается с увеличением то это допущение не выполняется;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Видео:Уравнение парной линейной регрессии с помощью Анализа ДанныхСкачать

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

«Влиятельное» наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть «влиятельным» наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для «влиятельных» наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Видео:Метод наименьших квадратов. Парная регрессия расчет без Excel @economc #МНК #регрессия #корреляцияСкачать

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

— оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

Можно рассчитать 95% доверительный интервал для генерального углового коэффициента :

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Видео:Линейная регрессияСкачать

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации, обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Видео:Как вычислить линейный коэффициент корреляции в MS Excel и построить уравнение регрессии?Скачать

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Подобным образом можно рассчитать более широкую область, внутри которой, как мы ожидаем, лежит наибольшее число (обычно 95%) наблюдений.

Видео:Метод наименьших квадратов Построение уравнения парной регрессии #мнк #регрессия #корреляцияСкачать

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b 0 + b 1 P 2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Видео:Парная и множественная линейная регрессияСкачать

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 ( Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 ( Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на .40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на .65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся «внутри диапазона.»

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию ( -.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p .

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

Видео:Парная регрессия: степенная зависимостьСкачать

Тест: Ответы на тест по эконометрике

Тема: Ответы на тест по эконометрике

Тип: Тест | Размер: 16.37K | Скачано: 455 | Добавлен 26.01.10 в 15:48 | Рейтинг: +30 | Еще Тесты

А

Аддитивная модель содержит компоненты в виде …

комбинации слагаемых и сомножителей

слагаемых

В

В линейной регрессии Y=b0+b1X+e параметрами уравнения регрессии являются: (неск)

b0

b1

В правой части приведенной формы системы одновременных уравнений, построенной по перекрестным данным (cross-section data) без учета временных факторов, могут стоять _______ переменные.

экзогенные

В стационарном временном ряде трендовая компонента …

имеет линейную зависимость от времени

отсутствует

имеет нелинейную зависимость от времени

Величина коэффициента детерминации … (неск)

характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную уравнением, в ее общей дисперсии

рассчитывается для оценки качества подбора уравнения регрессии

характеризует долю дисперсии остаточной величины в общей дисперсии зависимой переменной у

оценивает значимость каждого из факторов, включенных в уравнение регрессии

Величина коэффициента регрессии показывает …

среднее изменение фактора при изменении результата на одну единицу измерения

на сколько процентов изменится результат при изменении фактора на 1 %

значение тесноты связи между фактором и результатом

среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу измерения

Величина коэффициента эластичности показывает …

на сколько процентов изменится в среднем результат при изменении фактора на 1%

во сколько раз изменится в среднем результат при изменении фактора в два раза

предельно допустимое изменение варьируемого признака

предельно возможное значение результата

Временным рядом является совокупность значений …

экономического показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени

последовательных моментов (периодов) времени и соответствующих им значений экономического показателя

экономических однотипных объектов по состоянию на определенный момент времени

экономического показателя для однотипных объектов на определенный момент времени

Выберите верные утверждения по поводу структурной формы системы эконометрических уравнений:

каждое уравнение системы может рассматриваться в качестве отдельного уравнения регрессии зависимости одной переменной от группы факторов

система регрессионных уравнений, матрица коэффициентов которых симметрична

эндогенные переменные в одних уравнениях могут выступать в роли независимых переменных в других уравнениях системы

система одновременных уравнений описывает реальное экономическое явление или процесс

Г

Гомоскедастичность остатков подразумевает …

рост дисперсии остатков с увеличением значения фактора

максимальную дисперсию остатков при средних значениях фактора

уменьшение дисперсии остаток с уменьшением значения фактора

одинаковую дисперсию остатков при каждом значении фактора

Д

Диаграмма рассеяния указывает на нелинейную зависимость. В этом случае следует осуществить … (неск)

расчет линейного коэффициента корреляции и использование линейной модели

включение в модель дополнительных факторных признаков

визуальный подбор функциональной зависимости нелинейного характера, соответствующего структуре точечного графика

подбор преобразования переменных, дающего наибольшее по абсолютной величине значение коэффициента парной корреляции

Для линейного уравнения регрессии у = а + bx + e метод наименьших квадратов используется при оценивании параметров…(неск)

a

b

Для расчета критического значения распределения Стьюдента служат следующие параметры:

количество зависимых переменных

объем выборки и количество объясняющих переменных

уровень значимости

К

К классам эконометрических моделей относятся: (неск)

системы нормальных уравнений

корреляционно – регрессионные модели

модели временных рядов

Компонентами временного ряда являются: (неск)

циклическая (сезонная) компонента

тренд

Корреляция подразумевает наличие связи между …

результатом и случайными факторами

переменными

Косвенный метод наименьших квадратов применим для …

неидентифицируемой системы уравнений

неидентифицируемой системы рекурсивных уравнений

любой системы одновременных уравнений

идентифицируемой системы одновременных уравнений

Коэффициент детерминации рассчитывается для оценки качества…

подбора уравнения регрессии

параметров уравнения регрессии

факторов, не включенных в уравнение регрессии

Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту ____ связи между _____ переменными.

линейной … двумя

Критические значения критерия Стьюдента определяются по…

двум степеням свободы

трем и более степеням свободы

уровню значимости и одной степени свободы

М

Метод наименьших квадратов используется для оценивания …

величины коэффициента детерминации

параметров линейной регрессии

величины коэффициента корреляции

средней ошибки аппроксимации

Н

Нелинейным является уравнение регрессии нелинейное относительно входящих в него …

факторов

Несмещенность оценки характеризует …

равенство нулю математического ожидания остатков

наименьшую дисперсию остатков

ее зависимость от объема выборки

увеличение точности ее вычисления с увеличением объема выборки

О

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае…

автокорреляции остатков

П

Под автокорреляцией уровней временного ряда подразумевается _____ зависимость между последовательными уровнями ряда.

корреляционная

При выполнении предпосылок МНК оценки параметров регрессии обладают свойствами: (неск)

несмещенность

эффективность

Предпосылками МНК являются … (неск)

случайные отклонения коррелируют друг с другом

гетероскедастичность случайных отклонений

случайные отклонения являются независимыми друг от друга

дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений

Примерами фиктивных переменных могут служить: (неск)

пол

образование

Примером нелинейной зависимости экономических показателей является …

зависимость объема продаж от недели реализации, выраженная линейным трендом

линейная зависимость затрат на производство от объема выпуска продукции

линейная зависимость выручки от величины оборотных средств

классическая гиперболическая зависимость спроса от цены

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками…

однородности выборочной совокупности

спецификации модели

определения случайных воздействий

С

Система эконометрических уравнений включает в себя следующие переменные:

эндогенные

экзогенные

Способами определения структуры временного ряда являются: (неск)

анализ автокорреляционной функции

расчет коэффициентов корреляции между объясняющими переменными

построение коррелограммы

агрегирование данных за определенный промежуток времени

Среди нелинейных эконометрических моделей рассматривают следующие классы нелинейных уравнений: …

внутренне нелинейные

внутреннее линейные

Структурной формой модели называется система ____ уравнений.

взаимосвязанных

Т

Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, …

оказывающих сезонное воздействие

оказывающих единовременное влияние

оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя

не оказывающих влияние на уровень ряда

У

Укажите верные характеристики коэффициента эластичности:

коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится значение результирующего фактора при изменении на один процент объясняющего фактора

коэффициент эластичности является постоянной величиной для всех видов моделей

коэффициент эластичности показывает на сколько изменится значение результирующего фактора при изменении объясняющего фактора на одну единицу

по значению коэффициента эластичности можно судить о силе связи объясняющего фактора с результирующим

Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии Y = a + b*X + c*X².

3 оцениваются параметры регрессии b0, b1, b2

1 выполняется замена переменной X2 на Z

2 задается спецификация модели в виде Y = b₀ + b₁*X +b₂*Z, где b₀ = a; b₁ = b; b₂ =c

4 определяются исходные параметры из тождеств: a = b₀; b = b₁; c = b₂

Укажите последовательность этапов проведения теста Голдфелда-Квандта для парной линейной регрессии.

4 вычисление статистики Фишера

1 упорядочение наблюдений по возрастанию значений объясняющей переменной

3 оценка сумм квадратов отклонений для регрессий по k-первым и k-последним наблюдений

2 оценка регрессий для k-первых и k-последних наблюдений

Укажите справедливые утверждения по поводу критерия Дарбина-Уотсона: (неск)

позволяет проверить гипотезу о наличии автокорреляции первого порядка

изменяется в пределах от 0 до 4

равен 0 в случае отсутствия автокорреляции

применяется для проверки гипотезы о наличии гетероскедастичности остатков

Укажите существующие классы эконометрических систем: (неск)

система нормальных уравнений

система стандартных уравнений

система одновременных уравнений

система независимых уравнений

Укажите требования к факторам, включаемым в модель множественной линейной регрессии: (неск)

между факторами не должна существовать высокая корреляция

факторы должны быть количественно измеримы

факторы должны иметь одинаковую размерность

факторы должны представлять временные ряды

Установите соответствие между названием модели и видом ее уравнения:

3 y = ab x *e;

Установите соответствие между наименованиями элементов уравнения Y=b0+b1X+e и их буквенными обозначениями:

1. параметры регрессии

2. объясняющая переменная

3. объясняемая переменная

4. случайные отклонения

3 Y

4 e

1 b0, b1

2 X

Установите соответствие между эконометрическими терминами и их определениями.

1. автокорреляция уровней временного ряда

2. коэффициент автокорреляции уровней временного ряда

3. автокорреляционная функция

3 последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и т.д. порядков

4 график зависимости значений автокорреляционной функции от величины лага

1 корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда

2 коэффициент линейной корреляции между последовательными уровнями

Ф

Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …

качественные переменные, преобразованные в количественные

комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели

переменные, представляющие простейшие функции от уже включенных в модель переменных

дополнительные количественные переменные, улучшающие решение

Ч

Число степеней свободы общей, факторной и остаточной дисперсий связано …

только с числом единиц совокупности

с числом единиц совокупности и видом уравнения регрессии

характером исследуемых переменных

только с видом уравнения регрессии

Число степеней свободы связано с числом … (неск)

единиц совокупности (количеством наблюдений)

видом уравнения регрессии

Э

раздел экономической теории, связанный с анализом статистической информации

специальный раздел математики, посвященный анализу экономической информации

наука, которая осуществляет качественный анализ взаимосвязей экономических явлений и процессов

наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).

Чтобы скачать бесплатно Тесты на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.

Важно! Все представленные Тесты для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.

Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.

Если Тест, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.

Видео:Эконометрика. Оценка значимости параметров уравнения регрессии. Критерий Стьюдента.Скачать

Добавление отзыва к работе

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.

Видео:Эконометрика. Множественная регрессия и корреляция.Скачать

Корреляция и регрессия

Линейное уравнение регрессии имеет вид y=bx+a+ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии:
y = 68.16 x — 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у ) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у , но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596, т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t_крит:
t_крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 94.6484 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S_y = 9.7287 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx_p ± ε) где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bx _i ± ε)
где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(68.1618 — 1.895 • 5.2894; 68.1618 + 1.895 • 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a — t_a)
(-11.1744 — 1.895 • 5.3429; -11.1744 + 1.895 • 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e_i от e_i-1.

💡 Видео

Что такое линейная регрессия? Душкин объяснитСкачать

РегрессияСкачать

Парная нелинейная регрессияСкачать

Регрессия - как строить и интерпретировать. Примеры линейной и множественной регрессии.Скачать

Коэффициент линейной регрессии, 2 способаСкачать

Регрессия в ExcelСкачать