В каком случае система уравнений имеет множество решений

Видео:Система уравнений имеет бесконечное множество решений | Системы уравнений | Алгебра 1Скачать

Система уравнений имеет бесконечное множество решений | Системы уравнений | Алгебра 1

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

В каком случае система уравнений имеет множество решений

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы В каком случае система уравнений имеет множество решений, которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, В каком случае система уравнений имеет множество решений. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, В каком случае система уравнений имеет множество решений, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Рассмотрим матрицу системы В каком случае система уравнений имеет множество решенийи матрицы столбцы неизвестных и свободных членов В каком случае система уравнений имеет множество решений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

В каком случае система уравнений имеет множество решенийили короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: В каком случае система уравнений имеет множество решений. Поскольку A -1 A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

    В каком случае система уравнений имеет множество решений

Найдем матрицу обратную матрице A.

В каком случае система уравнений имеет множество решений, В каком случае система уравнений имеет множество решений

Таким образом, x = 3, y = – 1.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где В каком случае система уравнений имеет множество решений

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Найдем матрицу А -1 .

В каком случае система уравнений имеет множество решений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Решите матричное уравнение AX+B=C, где В каком случае система уравнений имеет множество решений

Из уравнения получаем В каком случае система уравнений имеет множество решений.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Следовательно,В каком случае система уравнений имеет множество решений

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

В каком случае система уравнений имеет множество решений

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Сложим эти уравнения:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

В каком случае система уравнений имеет множество решений.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Аналогично можно показать, что и В каком случае система уравнений имеет множество решений.

Наконец несложно заметить, что В каком случае система уравнений имеет множество решений

Таким образом, получаем равенство: В каком случае система уравнений имеет множество решений.

Следовательно, В каком случае система уравнений имеет множество решений.

Аналогично выводятся равенства В каком случае система уравнений имеет множество решенийи В каком случае система уравнений имеет множество решений, откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

    В каком случае система уравнений имеет множество решений

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: В каком случае система уравнений имеет множество решений

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

В каком случае система уравнений имеет множество решений. Поэтому В каком случае система уравнений имеет множество решений.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. При В каком случае система уравнений имеет множество решений
  2. При p = 30 получаем систему уравнений В каком случае система уравнений имеет множество решенийкоторая не имеет решений.
  3. При p = –30 система принимает вид В каком случае система уравнений имеет множество решенийи, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

В каком случае система уравнений имеет множество решений.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на В каком случае система уравнений имеет множество решений, умножим на В каком случае система уравнений имеет множество решенийи сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

В каком случае система уравнений имеет множество решений

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

    В каком случае система уравнений имеет множество решений

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

В каком случае система уравнений имеет множество решений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Вернемся к системе уравнений. В каком случае система уравнений имеет множество решений

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Видео:Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

  • единственное решение;
  • бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
  • ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

  • Совместна ли система?
  • Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
  • Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

  • если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
  • если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
  • если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Видео:Когда система уравнений имеет бесконечное множество решений .Скачать

Когда система уравнений имеет бесконечное множество решений .

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

  • при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
  • при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
  • при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

  1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
  2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
  3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
  4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
  5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
  6. при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
  7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
  8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

  • систематизация знаний учащихся;
  • выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
  • формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
  • осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
  • развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

  1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

  1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) В каком случае система уравнений имеет множество решенийб) В каком случае система уравнений имеет множество решенийв) В каком случае система уравнений имеет множество решений

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Ответы: В каком случае система уравнений имеет множество решений

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: В каком случае система уравнений имеет множество решений.

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  1. если В каком случае система уравнений имеет множество решений(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как В каком случае система уравнений имеет множество решений), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. если В каком случае система уравнений имеет множество решенийто прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. если В каком случае система уравнений имеет множество решенийто прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. Система имеет единственное решение, если

В каком случае система уравнений имеет множество решений

В этом случае имеем

В каком случае система уравнений имеет множество решений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. Если а = 0, то система принимает вид

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

  1. Если то система запишется в виде

В каком случае система уравнений имеет множество решений

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; В каком случае система уравнений имеет множество решенийгде t-любое действительное число.

  • при В каком случае система уравнений имеет множество решенийсистема имеет единственное решение В каком случае система уравнений имеет множество решений
  • при а = 0 — нет решений;
  • при а = 3 — бесконечно много решений вида В каком случае система уравнений имеет множество решенийгде t В каком случае система уравнений имеет множество решенийR

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  • имеет единственное решение;
  • имеет множество решений;
  • не имеет решений?

  • система имеет единственное решение, если В каком случае система уравнений имеет множество решений
  • подставим в пропорцию В каком случае система уравнений имеет множество решенийзначение а = 1, получим В каком случае система уравнений имеет множество решений, т.е. система имеет бесконечно много решений;
  • при а = -1 пропорция примет вид: В каком случае система уравнений имеет множество решений. В этом случае система не имеет решений.

  • при В каком случае система уравнений имеет множество решенийсистема имеет единственное решение;
  • при В каком случае система уравнений имеет множество решенийсистема имеет бесконечно много решений;
  • при В каком случае система уравнений имеет множество решенийсистема не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

В каком случае система уравнений имеет множество решений

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если В каком случае система уравнений имеет множество решений

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

  1. Закрепление изученного в ходе решения задач
  1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

  1. При каких значениях параметра a система уравнений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

  1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

В каком случае система уравнений имеет множество решений

при всех значениях параметра а.

Ответ: при В каком случае система уравнений имеет множество решенийсистема имеет единственное решение В каком случае система уравнений имеет множество решений; при В каком случае система уравнений имеет множество решенийнет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t В каком случае система уравнений имеет множество решенийR

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

  1. При каком значении k система В каком случае система уравнений имеет множество решенийимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система В каком случае система уравнений имеет множество решенийне имеет решений?

  1. При каком значении k система В каком случае система уравнений имеет множество решенийимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система В каком случае система уравнений имеет множество решенийне имеет решений?
  1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

  1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
  2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
  3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

При каких значениях параметра b система уравнений В каком случае система уравнений имеет множество решений

  • имеет бесконечно много решений;
  • не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

  • Найдите b и k,
  • найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений В каком случае система уравнений имеет множество решенийпри всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

  • В каком случае система уравнений имеет множество решений
  • В каком случае система уравнений имеет множество решений
  • В каком случае система уравнений имеет множество решений
  1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
  2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
  3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
  4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
  5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

🌟 Видео

Когда система имеет бесконечное количество решенийСкачать

Когда система имеет бесконечное количество решений

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?Скачать

При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?

Теорема о количестве решений системы линейных уравненийСкачать

Теорема о количестве решений системы линейных уравнений

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3Скачать

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3

Системы с бесконечным множеством решенийСкачать

Системы с бесконечным множеством решений

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений |  Алгебра I

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Однородная система слау. Тривиальное решение. Ненулевое решениеСкачать

Однородная система слау. Тривиальное решение. Ненулевое решение

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: