В каком классе проходят решение квадратных уравнений через дискриминант

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Теорема Виета и дискриминант
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект для учеников.

Видео:КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать

Скачать:

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Предварительный просмотр:

Теорема Виета и дискриминант

Квадратные уравнения – не простая вещь. Мы знаем как минимум 2 решения квадратных уравнений: теорема Франсуа Виета и дискриминант.

Дискримина́нт. Формула дискриминанта:

, при квадратном уравнении вида

И мы знаем, 3 варианта решения квадратного уравнения в зависимости от значения дискриминанта. (Не забываем, перед тем как решать, обозначить первый и второй коэффициенты, а также свободный член квадратного уравнения)

D = b 2 -4ac = (-5) 2 + 4 · 4 · 6 = 25 – 48 = -23, корней нет

Ответ: нет корней

D = b 2 -4ac = (-4) 2 – 4 · 2 · 2 = 16 – 16 = 0

D = b 2 -5ac = (5) 2 – 4 · 2 · 2 = 25 – 16 = 9

Дискриминант удобно использовать для решения квадратных уравнений. Но, действия очень трудны. Поэтому, Франсуа Вие́т (рисунок ниже) — французский математик и основоположник современной алгебры, решил как-то упростить решение квадратных уравнений и придумал свою теорему, которую назвали «Теорема Вие́та».

Вие́т, немного изменил привычный нам вид квадратного уравнения. Вместо

он, предложил вид

где заменил b на p, c на q. И привёл свою теорему:

Теорема Франсуа, действительна в том случае, если D ≥ 0 [1] .

Если сформулировать теорему Виета на математическом языке слов, звучать она будет так: «Сумма корней приведённого квадратного уравнения [2] равна его второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.». Теорема Виета более легка в решении, но для того, чтобы найти корни через её, требуется немного логики. Почему? Потому что при использование теоремы Виета, нужно будет в системе, найти два числа, при подстановке которых у нас будет верное значение второго коэффициента ( p ) и свободного члена ( q ).

Разберём, пример. Дано, приведённое квадратное уравнение вида . Запишем систему. Попытаемся подобрать числа, которые при подстановке на их место при сложении дадут -7, а при умножении 6. Это будут числа -1, и -6.

Попробуйте сами решить уравнение с помощью теоремы Виета.

Итак, разберём это уравнение.

Запишем систему. Решением этого уравнения будут числа -8; 3.

[1] Логично, что в случае дискриминанта меньшего нуля, уравнение решения не имеет.

[2] Приведённое квадратное уравнение – уравнение, где a = 1. Если противоположное, то смотрите пункт 2 данных сносок.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Урок алгебры в 8-м классе «Квадратные уравнения»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Образовательные: обеспечить закрепление теоремы Виета; обратить внимание учащихся на решения квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0, в которых a + b + c = 0; привить навыки устного решения таких уравнений.
• Развивающие: развить познавательную активность, творческую способность.
• Воспитательные: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, развивать самостоятельность и творчество.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений.

I. Организационный момент

Учащимся сообщаются задачи урока:

1. Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило).
2. Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
3. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

II. Повторение пройденного материала

1. Решить уравнение: 7х 2 – 9х + 2 = 0
2. Тест «Квадратные уравнения». Тест проводится в двух вариантах.

1) … уравнением называется уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, а =/=0, х – переменная.
2) Уравнение х 2 = а, где а > 0, имеет корни х₁ = … х₂ = …
3) Уравнение ах 2 = 0, где а =/= 0, называют … квадратным уравнением.
4) Если ax 2 + bx + c = 0 квадратное уравнение (а =/= 0), то b называют … коэффициентом.
5) Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 вычисляют по формуле х₁,₂ = …
6) Приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 совпадают с уравнением общего вида, в котором а = …, в = …, с = …
7) Если х₁ и х₂ – корни уравнения x 2 + px + q = 0, то справедливы формулы х₁ + х₂ = … х₁ x х₂ …

1) Если ax 2 + bx + c = 0 квадратное уравнение, то b называют … коэффициентом, с – … членом.
2) Уравнение х 2 = а, где а 2 + с = 0, где а =/= 0, c =/= 0, называют … квадратным уравнением.
4) Корни квадратного уравнения аx 2 + bx + c = 0 вычисляют по формулам х₁ = …, х₂ = …
5) Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня, если b 2 – 4ac … 0.
6) Квадратное уравнение вида x 2 + px + q = 0 называют …
7) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна … коэффициенту, взятому с … знаком, а произведение корней равно … члену.

Задание (устно) на определение вида уравнения.

Вопрос. Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений группы является лишним?

а) 1) 2х 2 – х = 0 б) 1) х 2 – 5х + 1 = 0
2) х 2 – 16 = 0 2) 9х 2 – 6х + 10 = 0
3) 4х 2 + х – 3 = 0 3) х 2 + 2х – 2 = 0
4) 2х 2 = 0 4) х 2 – 3х – 1 = 0

– Как можно решить приведенное квадратное уравнение?
– Сформулировать теорему Виета.
– Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0.

А сейчас, ребята, послушайте стихотворение о теореме Виета:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

III. Решение задач с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

1-е задание.

Дано уравнение х 2 – 6х + 5 = 0.

Не решая уравнение найти:

• сумму корней;
• произведение корней;
• квадрат суммы корней;
• удвоенное произведение корней.

2-е задание (устно).

Найти сумму и произведение корней следующих уравнений:

• х 2 – 3х – 4 = 0
• х 2 – 9х + 14 = 0
• 2х 2 – 5х + 18 = 0
• 3х 2 + 15х + 1 = 0

3-е задание

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни.

а) учитель решает:

х₁ = – 3, х₂ = 1, х₁ + х₂ = – 3 + 1 = – 2, – р = – 2, р = 2
х₁ x х₂ = – 3 x 1 = – 3, q = – 3, x 2 + px + q = 0, х 2 + 2х + (– 3) = 0, х 2 + 2х – 3 = 0
получили приведенное квадратное уравнение.

б) А теперь самостоятельно по вариантам составить приведенное квадратное уравнение.

Во время самостоятельной работы два ученика работают у доски по карточкам.

Карточка №1 Карточка №2

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни:

После самостоятельной работы сделать вывод о знаке перед свободным членом квадратного уравнения.

IV. Изучение нового свойства квадратных уравнений

1. Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

2. Задание (устно).

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите их сумму:

1. х 2 – 5х + 1 = 0
2. 9х 2 – 6х + 10 = 0
3. х 2 + 2х – 2 = 0
4. х 2 – 3х – 1 = 0

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решили дома.

V. Проверка домашнего задания

Применение решения к изучению нового свойства.
На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома.

1. х 2 + х – 2 = 0 х₁ = 1, х₂ = – 2
2. х 2 + 2х – 3 = 0 х₁ = 1, х₂ = – 3
3. х 2 – 3х + 2 = 0 х₁ = 1, х₂ = 2
4. 5х 2 – 8х + 3 = 0 х₁ = 1, х₂ = 3

Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую-то закономерность.

• в корнях этих уравнений;
• в соответствии между отдельными коэффициентами;
• в сумме коэффициентов.

Учитель делает выводы вместе с учениками.

VI. Решение задач на закрепление свойства

1. По учебнику № 534 (а, б, д),
2. Обратить внимание на уравнение, которое было решено в начале урока

Сделать вывод о значимости данного свойства.

VII. Самостоятельная работа

Вариант 1 Вариант 2

1. х 2 + 23х – 24 = 0 1. х 2 + 15х – 16 = 0
2. – 5х 2 + 4,4х + 0,6 = 0 2. 5х 2 + х – 6 = 0
3. 2х 2 + х – 3 = 0 3. – 2х 2 + 1,7х + 0,3 = 0

Учитель выставляет оценки за урок.

VIII. Задание на дом

1. Придумать три уравнения, в которых a+b+c=0
2. №550

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Конспект урока по алгебре на тему «Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тема: Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта.

1 . Организационный момент.

Цель этапа: приветствие, проверка готовности к уроку, включение учащихся в учебную деятельность.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Урок я хочу начать притчей. Однажды молодой человек пришёл к

мудрецу и пожаловался ему: «Каждый день по 5 раз я произношу фразу «Япринимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет».

Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови,что ты выбираешь из них».

«Ложку» , — ответил юноша.

«Произнеси это слово 5 раз», — сказал мудрец.

«Я выбираю ложку», — послушно произнёс юноша 5 раз.

«Вот видишь, сказал мудрец, — повторяй хоть миллион раз в день, ложка нестанет твоей. Надо протянуть руку и взять ложку».

— Вот и сегодня на уроке я хочу , чтобы вы протянули руку и взяли с урока новые знания.

2. Проверка домашнего задания

Цель этапа: формирование умения организации самостоятельной работы, контроль усвоения ранее изученного.

— Открываем тетради, проверка домашнего задания. Обменяйтесь тетрадями, возьмите ручку с пастой другого цвета. Обратите внимание на слайд, проверьте работу товарища, выставите оценку в соответствии с критериями.

— Обменяйтесь вновь тетрадями. Запишите в тетради число, классная работа.

3. Актуализация знаний учащихся.

Цель этапа: Повторение пройденного материала, контроль ранее изученного.

Теоретический опрос по теме «Неполные квадратные уравнения».

Прием «Математическое табло»

— Частично эффективность усвоения нового материала, зависит от того, насколько вы умеете определять коэффициенты квадратного уравнения. Теоретически вы сейчас показали свои знания, посмотрим их усвоение на практике. Прием «Математическое табло». Возьмите на столе карточки, заполните пустые ячейки таблицы, выписав коэффициенты.

— Обменяйтесь работами, возьмите ручку с пастой другого цвета. Обратите внимание на слайд, проверьте работу товарища, выставите оценку в соответствии с критериями.

— обменяйтесь тетрадями, вынесите оценку на поля.

выписаны верно все три коэффициента – 1 балл

допущена 1 и более ошибок – 0 баллов

4. Формулирование темы урока

Подводка к теме урока: прием «Составь слово»

— Работа в группах. Повторим тему «Квадратные корни». Задание «Собери слово». Работа осложнена будет тем, что на карточке есть лишние буквы.

— Во время работы, не забываем о правилах поведения в группе.

— Работа закончена. Обменяйтесь карточками между группами, проверьте работу товарищей, подсчитайте количество правильных ответов.

— Оцените работу группы в соответствии с критериями. Вынесите оценку на поля.

🔥 Видео

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Алгебра 9 класс. 8 сентября. квадратные уравненияСкачать

Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Как решать квадратные уравнения через дискриминант. Простое объяснениеСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать