В каких случаях появляются посторонние корни иррационального уравнения (6 видео)

Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней

Решение уравнений через переход к уравнениям-следствиям может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни. Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.

Содержание

Посторонние корни уравнения, определение, примеры
Причины возможного появления посторонних корней
Что такое отсеивание посторонних корней?
Способы отсеивания посторонних корней
Проверка подстановкой
По ОДЗ
По условиям ОДЗ
Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень
Посторонние и потерянные корни. статья по алгебре (9, 10, 11 класс)
Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
В каких случаях появляются посторонние корни иррационального уравнения
📽️ Видео

Видео:Посторонние корни иррационального уравненияСкачать

Посторонние корни уравнения, определение, примеры

В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения [1, с. 174-175; 2, с. 202; 3, с. 187-188].

Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:

Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение и следствие этого уравнения x·(x−1)=0 , полученное в результате замены выражения тождественно равным ему выражением x·(x−1) . Исходное уравнение имеет единственный корень 1 . Уравнение, полученное в результате проведения преобразования, имеет два корня 0 и 1 . Значит 0 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Причины возможного появления посторонних корней

Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений, то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:

из-за расширения ОДЗ и
из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит

При сокращении дробей;
При замене нулем произведения с одним или несколькими нулевыми множителями;
При замене нулем дроби с нулевым числителем;
При использовании некоторых свойств степеней, корней, логарифмов;
При использовании некоторых тригонометрических формул;
При умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для этого уравнения;
При освобождении в процессе решения от знаков логарифмов.

Пример из предыдущего пункта статьи иллюстрирует появление постороннего корня из-за расширения ОДЗ, которое имеет место при переходе от уравнения к уравнению-следствию x·(x−1)=0 . ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел, за исключением нуля, ОДЗ для полученного уравнения есть множество R, то есть, ОДЗ расширяется числом нуль. Это число в итоге и оказывается посторонним корнем.

Также приведем пример появления постороннего корня из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Иррациональное уравнение имеет единственный корень 4 , а следствие этого уравнения, полученное из него путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, то есть, уравнение , имеет два корня 1 и 4 . Из этого видно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат привело к появлению постороннего корня для исходного уравнения.

Заметим, что расширение ОДЗ и возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, не всегда приводит к появлению посторонних корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению-следствию x=2 ОДЗ расширяется с множества всех неотрицательных чисел до множества всех действительных чисел, но посторонние корни не появляются. 2 – это единственный корень как первого, так и второго уравнения. Также не происходит появления посторонних корней при переходе от уравнения к уравнению-следствию . Единственным корнем и первого, и второго уравнения является x=16 . Именно поэтому мы говорим не о причинах появления посторонних корней, а о причинах возможного появления посторонних корней.

Видео:Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Что такое отсеивание посторонних корней?

Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» [1, с.176].

Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.

Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

Способы отсеивания посторонних корней

Проверка подстановкой

Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.

Решите уравнение

В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.

По ОДЗ

В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.

Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:

легко находится ОДЗ для исходного уравнения,
посторонние корни могли возникнуть только по причине расширения ОДЗ,
проверка подстановкой связана со значительными вычислительными сложностями.

Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.

Решите логарифмическое уравнение

По условиям ОДЗ

Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.

Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.

Решить иррациональное уравнение

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.

Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида , где n – некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0 . Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n есть неотрицательное число, n -ая степень которого равна подкоренному числу, откуда . Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n –четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0 , взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.

Покажем, как на практике отсеиваются посторонние корни указанным способом.

Решите уравнение

В заключение скажем, что рассмотренный подход является частным случаем более общего подхода к отсеиванию посторонних корней, возникающих при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Отсеять посторонние корни, которые могут возникнуть при возведении обеих частей уравнения f(x)=g(x) в одну и ту же четную степень, можно по условию . Несомненно, озвученное утверждение нуждается в доказательстве. Оставим это Вам.

Приведем пример отсеивания посторонних корней предложенным способом. Возьмем уравнение , «сделанное» из только что решенного уравнения. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат и некоторые дальнейшие преобразования позволяют найти корни и . Проведем отсеивание посторонних корней по условию , которое в нашем случае таково

Подстановка в неравенство корня дает

Полученное неравенство верное, так как в числителе положительное число, а в знаменателе – отрицательное, поэтому, отношение этих чисел есть отрицательное число. Значит, — корень исходного уравнения.

Подстановка в неравенство корня дает неравенство , которое является неверным, так как отношение двух положительных чисел есть число положительное. Значит, — посторонний корень для решаемого уравнения.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

Посторонние и потерянные корни.
статья по алгебре (9, 10, 11 класс)

Комплекс уравнений, при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
postoronnie_i_poteryannye_korni.doc	194.5 КБ

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Посторонние и потерянные корни.

при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.

Рассмотрим несколько конкретных примеров, где некоторые преобразования уравнений приводят к новым уравнениям, неравносильным данному, что ведёт к появлению посторонних корней или их потере.

Дано уравнение 3х(х – 1) = 5(х – 1).

1 способ решения:

Раскроем скобки в данном уравнении, перенесём все члены в левую часть и решим квадратное уравнение.

Корни уравнения х = 1, х = .

2 способ решения:

Сократить обе части уравнения на общий множитель (х – 1), то получится уравнение

3х = 5, которое имеет всего лишь один корень х = .

Таким образом, деление обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

Дано уравнение 2х -3 = 5 .

Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат, получим (2х – 3)² = 25.

Решая это уравнение, найдём корни: х = -1, х = 4.

Новое уравнение(2х – 3)² = 25 неравносильно исходному уравнению 2х – 3= 5.

Корень х = -1 не является корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем.

Посторонний корень может появиться при возведении обеих частей уравнения в квадрат, вообще в чётную степень .

Сократим дробь, стоящую в левой части уравнения на х и получим уравнение

Решим данное уравнение: х = 0 или х – 1= 0

т.е. корни данного уравнения 0 и 1.

Корнем исходного уравнения 0 не является, так как в исходном уравнении придётся делить на ноль, а так как на 0 делить нельзя, то х = 0 — посторонний корень.

Посторонний корень может появиться при сокращении дроби на выражение, содержащее неизвестное.

Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень)

х = 5 – посторонний корень

Так как уравнение f²(х) = g²(х) является уравнением — следствием не только для уравнения

f(х) = g(х), но и для уравнения f(х) = — g(х). Поэтому при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. Уравнения не равносильны, но они равносильны на области определения: х 2.

Уравнение исходное можно заменить на равносильную систему

При решении иррациональных уравнений надо делать проверку подстановкой корней в исходное уравнение или использовать ОDЗ в зависимости от того, где вычисления выполняются легче.

Возведём обе части уравнения в квадрат.

2х – 1 — х² + 4х – 4 = 0

1 = — 1 – неверное 3 = 3 – верное

х = 1 – посторонний корень х = 5 – корень

Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень).

х = х =

Проверка подстановкой в данном случае будет сопровождаться значительными трудностями при вычислении, поэтому прибегнем к использованию ОDЗ:

Из уравнения = — х — х 0

Подставим в данное неравенство полученные корни.

1) х = Имеем: — · 0 – неверное, т.к. произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Значит, х = — посторонний корень.

2) х = . Имеем: — · 0 – верное, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, х = — корень уравнения.

Ответ: .

Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.

+ = |• (х-1).(х-2) 0

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, не равный нулю.

1 + 3х – 6 = — х ² + 4х -3

Проверку в дробно – рациональных уравнениях делаем по условию неравенства нулю знаменателя, проверяем условие (х-1).(х-2) 0

(-1 – 1)(-1 – 2) 0 (2 -1 )(2 – 2) 0

6 0- верное 0 0 – неверное

х — корень уравнения х — посторонний корень

Причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Вот некоторые из них:

• log (х·у) = log х + log у

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней.

log (х – 2) + log (х+3) = 2

По свойству логарифмов имеем:

log (х – 2)(х + 3) = 2

х =6 и х =-7 х = -7 – посторонний корень

Исходное и последнее уравнения неравносильны в ОDЗ

Чтобы исключить посторонний корень надо использовать ОDЗ или уравнение заменить равносильной системой

3sinx + 4 cos x = 5

х = 2arctg + 2 , n

При переходе от уравнения (1) к уравнению(2) могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения cos =0 корнями данного уравнения.

Если х = , n ,тогда 3sin( ) + 4cos ( ) = 5, х

0 + 4(-1) = 5 – не верно, значит х = , n , не является корнями исходного уравнения.

Ответ: х = 2arctg + 2 , n

Итак, в процессе решения каждое уравнение заменялось на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть свои корни. Проследить за изменением корней, не допустить их потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.

Видео:ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА неравенства с корнемСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Выход из одиночества…Урок внеклассного чтения в 10 классе. (Экзистенциальное восприятие мира в повести А. Камю «Посторонний»)

«Посторонний» – яркий пример экзистенциализма, основным критерием которого является п.

Типичные ошибки в решении задания С1(потеря корней, появление «посторонних» корней)

В презентации для подготовки к ЕГЭ по математике представлены решения двух заданий (тригонометрических уравнений), где подробно рассмотрены возможности появления посторонних корней и потери корн.

Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Вашему вниманию предлагаю самостоятельную работу на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их.

ПРАВИЛА пребывания на территории школы посторонних лиц

Летний оздоровительный лагерь «Зеленая планета», июнь 2017г.

Конспект мероприятия «Конкурс рисунков на асфальте «Добро пожаловать. Или посторонним вход воспрещён», посвящённого Дню солидарности в борьбе с терроризмом.

Занятие рекомендуется проводить с детьми младшего школьного возраста.Занятие проводится в форме доверительной беседы взрослого и детей. При этом взрослый должен не напугать детей, не научить их видеть.

Самостоятельная работа «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Работа в помощь слушателям курсов преподавания алгебры.

Статья «Координаты счастья героев А.Камю (по повести «Посторонний»)»

Что есть счастье? «Чувство и состояние полного, высшего удовлетворения», как диктуется в толковом словаре. Чаще всего оно заметно по сверкающим глазам и искренней улыбке. Но возможно ли сч.

Видео:Иррациональные уравнения #1Скачать

В каких случаях появляются посторонние корни иррационального уравнения

УРОК — ЛЕКЦИЯ
Тема: Решение иррациональных уравнений и неравенств.
(учитель Шаова А.М. ., гимназия 22, г. Майкоп)

Уравнение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х) иррационально, называется иррациональным.

Примерами таких уравнений могут служить:

Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют так же, как и для рациональных.

Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.

Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых действительных значениях подкоренного выражения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Задача 1. Докажите, что уравнение не имеет решения. за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения).

б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.

3) Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием ( с последующей проверкой корней) можно поизводить следующим образом:

Найти ОДЗ исходного уравнения.

Перейти от уравнения к его следствию.

Найти корни полученного уравнения.

Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

4) Чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Рассмотрим два вида уравнений:

Ответ: 3

Ответ: 2

Для каждой из формул 1-5(без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнений с формальным использованием формул1-5 “слева–направо”, приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного.

В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразование уравнений с формальным использованием уравнений 1-5 “справа – налево” недопустимо, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно и потеря корней.

Ответ: 3; 1,4 .

Ответ: 6,5 ; -3,5.

6) Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.