В геометрической алгебре древних греков решение уравнений сводилось к построению

Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования. Ранним пифагорейцам такая абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами, расположенными на плоскости (поверхности Земли). Рассматривая треугольные, квадратные и т.д. числа, называемые фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других фигур (рис.1, 2).

Во всех явлениях природы пифагорейцы искали числовые соотношения и взаимосвязи. Их поражал тот факт, что совершенно различные явления, будь то музыкальные созвучия или движения планет, подчиняются числовым соотношениям.

После того как пифагорейцы связали астрономию и музыку с арифметикой и геометрией, все четыре дисциплины стали считаться математическими. Эта точка зрения оставалась господствующей вплоть до средневековья.

Рисунок 1. Треугольные числа: 1, 3, 6.

Рисунок 2. Квадратные числа: 1, 4, 9.

Пифагорейцы считали, что все вещи в природе, как и музыкальные ноты, соразмерны, то есть их числовые характеристики соотносятся друг к другу как целые числа. Отношения целых чисел представляют собой рациональные числа. Считалось, что длины любых двух отрезков относятся как целые числа. Во времена пифагорейцев под целыми числами понимались именно натуральные числа. Когда же обнаружилось, что отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к катету не является отношением целых чисел, это удивило и весьма обеспокоило пифагорейцев. Отношения, представимые в идее целых чисел, они называли соизмеримыми, а отношения, непредставимые в идее целых чисел несоизмеримыми. Открытие несоизмеримых отношений легенда приписывает Гиппазию, жившему в V веке до нашей эры в местечке Метапонт. Гиппазий совершил своё открытие, когда он вместе с коллегами находился в открытом море. Товарищи обвинили Гиппазия, в ереси, привнесшей в мироздание элемент, противоречащий пифагорейскому учению, и выбросили его за борт. Согласно Аристотелю, Гиппазий должен был рассуждать таким образом. Действительно, пусть , где a и b — взаимно-простые целые числа (предполагается, что общие множители уже сокращены). Тогда и , то есть a 2 является чётным числом, а, следовательно, чётным числом является и a , так как квадрат нечётного числа есть число нечётное. Таким образом, a=2c . Но, так как a 2 и b 2 взаимно-простые числа, то b 2 есть нечётное число. С другой стороны, и , то есть и . Получается, что число b 2 есть чётное число. Полученное противоречие доказывает, несоизмеримость числа (длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 1). В современной терминологии несоизмеримые числа, такие как , называют иррациональными.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Геометрическая алгебра

Открытие иррациональных чисел повергло в шок пифагорейцев, и поставило задачу, ставшую центральной для греческой математики. Решение этой задачи предложил Евдокс, бывший учеником Платона. По Евдоксу понятие величины надлежит трактовать геометрически как длины отрезков, углы, площади и объёмы. Именно так Евклид формулирует легендарную теорему Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов катетов (рис. 3). Под квадратом величины Евклид понимает площадь квадрата, построенного на стороне заданной длины.

Обращение за помощью к геометрии вполне оправдано. Если числа 1 и рассматривать как длин отрезков, то принципиальная разница между ним сглаживается и даже порой исчезает. Греки классического периода решали алгебраические уравнения геометрически, представляя их корни в виде отрезков, тем самым, избегая необходимости обращаться к иррациональным числам. Это направление в развитие математики получило название геометрической алгебры. По сути, отказавшись от исследования природы иррациональности и свойств иррациональных чисел, греки начали строить математику на основе геометрии. В частности, при построении алгебры, её операции определялись непосредственно для геометрических величин, а теоремы доказывались геометрическими построениями.

Рисунок 3. Геометрическое изображение теоремы Пифагора.

Построение алгебры на основе геометрии позволило впервые обосновывать многие теоремы алгебры в общем виде. Однако геометризация алгебры имела и весьма существенный побочный эффект, связанный с трудоёмкостью доказательств. Геометризация доказательств привела к сковыванию алгебры и ограничению её вычислительных и прикладных возможностей.

Начав построение геометрической алгебры, греки стали применять геометрический язык в теории чисел. Числа теперь изображались не точками, расположенными в виде правильных фигур, а представлялись отрезками. Некий отрезок принимался за единицу, а отрезок, полученный из данного, многократным повторением, принимался за целое число.

Наиболее последовательно и полно геометрическая алгебра изложена во второй книге «Начал» Евклида, а также трудах, других греческих математиков александрийского периода, в частности, Архимеда и Аполлония.

Основные положения геометрической алгебры сводятся к следующему:
1) алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам;
2) сумма чисел или алгебраических переменных представляется в виде отрезка, составленного из слагаемых (рис. 4);
3) произведение двух чисел или алгебраических переменных представляется в виде прямоугольника со сторонами, которые представляют собой отрезки, соответствующие сомножителям (рис. 5). Произведение трёх переменных a, b и c есть прямоугольный параллелепипед со сторонами, соответствующими сомножителям a, b и c (рис. 6).

Рисунок 4. Сложение а и b.

Поскольку, греческая геометрия, как и в целом представления греков о природе и мироздании ограничивались тремя измерениями, произведение более чем трёх переменных в геометрической алгебре не рассматривались, как лишённые смысла.

Так как сложением отрезков происходит посредством приставления одного к другому, то вычитание, очевидно, осуществляется путём укорочения большего отрезка на часть, равную меньшему отрезку. Поскольку греки не рассматривали отрицательные числа, то операция вычитания возможна только тогда, когда из большего вычитается меньшее.

Рисунок 5. Произведение чисел а и b есть площадь прямоугольника со сторонами а и b.

Вычисления, производимые в геометрической алгебре, носили пошаговый характер. Не рассматривались произведения прямоугольников или сложение прямоугольников с отрезками или параллелепипедами.

Рисунок 6. Произведение трёх чисел a, b и c есть объём параллелепипеда со сторонами a, b и c .

Геометрическая наглядность позволила легко обосновать свойства основных операций над числами: сложения и умножения. Например, коммутативность сложения легко следует из того факта, что длина составного отрезка, одна и та же с какой стороны на него не посмотри, то есть
a + b = b + a.
Коммутативность умножения обосновывается так же наглядно, поворотом соответствующего прямоугольника, то есть

a · b = b · a.
Ассоциативность сложения наглядно следует из того факта, что в каком порядке не прикладывай отрезки друг к другу, длина составного отрезка будет одинаковой, то есть

( a + b ) + с = a + ( b + c ).
Ассоциативность умножения наглядно визуализируется поворотом прямоугольного параллелепипеда, то есть

( a · b ) · с = a · ( b · c ).
Во второй книге «Начал» Евклида геометрически обосновывается дистрибутивность сложения по отношению к умножению (рис. 7).

Как видно из этих примеров, наглядность является серьёзным преимуществом геометрической алгебры. Но гораздо более важным преимуществом использования геометрических методов в алгебре явилось то, что обоснования и доказательства тождеств не зависят от того, являются ли используемые величины соизмеримыми или несоизмеримыми и независимы от конкретных величин.

Рисунок 7. Геометрическое представление закона дистрибутивности
(a + b) · c = a · c + b · c.

Методы геометрической алгебры позволили доказать многие алгебраические тождества. При этом общее доказательство было сделано впервые в истории. Например, установлено известное тождество квадрата суммы как суммы квадратов и удвоенного произведения:

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 · a · b.
Геометрическое обоснование этого известнейшего алгебраического тождества представлено на рисунке 8.

Аналогично обосновываются другие известные тождества:

( a – b ) 2 = a 2 + b 2 – 2 · a · b,

( a – b ) · ( a + b ) = a 2 – b 2 .
Упомянутые тождества устанавливались для величин двух измерений. Для трёх измерений пришлось бы использовать пространственные фигуры, параллелепипеды. Визуализация кубических тождеств значительно сложнее, так как требует незаурядного пространственного воображения.

Как уже упоминалось выше, произведения четырех и более величин не использовались греческими математиками как не имеющие смысла и не позволяющие визуализации в рамках трехмерного физического пространства.

Рисунок 8. Геометрическое представление алгебраического тождества квадрата суммы.

Античная геометрия состояла как из планиметрии, так и стереометрии, которая содержала сферическую тригонометрию и теорию конических сечений, используемые в астрономии. Однако геометрическая алгебра в основном опиралась на планиметрию и обосновывала её. В значительной степени планиметрия античности это геометрия построений с помощью циркуля и линейки. В этой связи, наибольшее применение геометрическая алгебра нашла в вопросах исследования квадратичных форм и тождеств, а также при решении квадратных уравнений.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Неразрешённые задачи

В античности греческие математики решали задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, с помощью циркуля и линейки. Как было установлено позднее, решение задач, построением с помощью циркуля и линейки, сводится алгебраически к решению квадратных уравнений. В таких построениях используются следующие шаги: проведение прямой через две точки; нахождение точки пересечения двух прямых; нахождение точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей. Первые два шага, как это следует координатного метода аналитической геометрии Р. Декарта, алгебраически эквивалентны решению линейных уравнений. Третий шаг эквивалентен решению квадратного уравнения. Из координатного метода и аналитической геометрии Декарта следует, что уравнения степени, большей двух, не могут быть решены построениями с помощью циркуля и линейки.

Ограниченность возможностей геометрической алгебры античные математики ощутили уже в V веке до нашей эры, когда были поставлены три классические задачи. Эти задачи разрешились уже другими средствами лишь в XIX веке. К таковым задачам относятся следующие задачи: задача об удвоение куба, задача о трисекция угла и задача о квадратуре круга. Классическая геометрическая алгебра оказалась бессильной перед этими задачами, и для их решения понадобилось создание новых методов.

Задача об удвоении куба формулируется следующим образом. Построить куб объемом, превосходящим заданный куб, в два раза. В современных символьных выражениях эта решение задачи сводится к кубическому уравнению . Однако с помощью циркуля и линейки эта задача не разрешалась.

В задаче трисекции угла требуется разделить заданный угол на три равные части, также используя только циркуль и линейку. Античные математики не свели эту задачу к кубическому уравнению. Однако с помощью тригонометрических методов её можно привести к решению уравнения . Это удалось сделать математикам Арабского Халифата.

Задача о квадратуре круга формулируется так. Построить квадрат, площадь которого равновелика площади данного круга.

Ученые древности убедились в неразрешимости (в общем случае) задач, эквивалентных кубическим уравнениям. С помощью циркуля и линейки эти задачи не решаются. Леонардо из Пизы сделал первую попытку доказательства неразрешимости кубического уравнения с помощью квадратных иррациональностей. При этом он исследовал частный случай кубического уравнения . Великий французский мыслитель, математик и философ Рене Декарт, позднее сформулировал положение, согласно которому, корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами могут быть построены с помощью циркуля и линейки только лишь в том случае, когда это уравнение приводимо, то есть имеет не менее одного рационального корня. Аналогичный критерий был найден Декартом и для уравнений четвертой степени.

От Евклида и вплоть до Декарта геометрическая алгебра преследует своей целью сведение алгебраически утверждений к геометрическим, и таким образом обоснование алгебры свести к обоснованию геометрии, которая на протяжении многих столетий считалась образом логической строгости. Рене Декарт повернул этот процесс вспять, применив изобретённый им координатный метод к геометрии, создав, таким образом, аналитическую геометрию и заложив основы алгебраической геометрии. Однако геометрическая алгебра античной Греции может по праву считаться прообразом и первым шагом на пути к алгебраической геометрии.

Видео:Квадратные уравнения и геометрическая алгебра древнихСкачать

Литературные источники

1. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.

2. Ван дер Варден Б. Пифагорейское учение о гармонии. — М.: Физматгиз., 1979.

Видео:Арифметическая и геометрическая прогрессия | Математика TutorOnlineСкачать

вопросы по истории математики

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Тесты по истории математики.

1.Как называлась вторая степень неизвестного в «Арифметике» Диофанта?

2.В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению…

3.Автор первого научного изложения геометрии «Начала»-…

4.Кто первым пытался привести в систему накопленные сведения по геометрии?

5.Символы впервые ввел…

6.Этот символ ввел в широкое употребление Эйлер:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

7.Какой знак был введен Харриотом в 1631 году?

8.Круглые скобки были введены в …

9.Слово «алгебра» произошло от слова «аль-джабр», которое использовал в названии своей книги …

10.Сколько постулатов написал Евклид?

11.В какой стране 4000 лет назад единица изображалась колом, десяток — как бы парой рук, сотня- пальмовым листом, тысяча- цветком лотоса, символом изобилия?

А) Древний Египет;

Б) Древний Китай;

12.В III веке этим знаком пользовались для обозначения параллельности прямых.

Б) « »;

В) « »;

13.Какой из древних инструментов не использовался для измерения углов?

14.В древности на счетной доске числа изображались палочками красного и черного цвета. Что это за числа?

А) целые и дробные;

Б) положительные и отрицательные;

В) целые и смешанные;

Г) обыкновенные и десятичные дроби.

15.Единичные дроби называли

16.Наше обозначение обыкновенных дробей при помощи числителя и знаменателя, но без дробной черты было принято в этой стране еще в VIII в.. н. э.

17.Этот греческий математик изобрел способ, посредством которого можно найти все простые числа от 1 до некоторого определенного числа.

18.Термин «коэффициент» переводится с латинского как

19.С этим понятием пифагорейцы связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной.

Б) параллельные прямые;

Г) сложение чисел.

20.Какой математический термин произошел от греческого, а не от латинского языка?

21.В древности при изучении треугольников сначала рассматривались…

А) равнобедренные треугольники;

Б) равносторонние треугольники;

В) разносторонние треугольники;

Г) прямоугольные треугольники.

22.Современную запись пропорции ( a : b = c : d ) ввел математик …

В) Магницкий;
Г) Декарт.

23Слова «правильные» и «неправильные» дроби появились в …

24. В какой стране впервые появилось название науки «геометрия»?

25.Разложение числа на простые множители называют

А) алгоритмом Евклида;

Б) решетом Эратосфена;

В) кругами Эйлера;
Г) биномом Ньютона.

26.Какое слово не использовали для названия отрицательных чисел?

27.Термин «абсцисса» в переводе с латинского означает:

В) насквозь измеряющий;
Г) вершинный.

28.Этот математик вошел в историю математики как непревзойденный вычислитель и составитель математических таблиц.

В) Эратосфен;
Г) П.Катальди.

29.Число ученые Вавилона считали равным…

30.Признак делимости на это число древнегреческие математики знали еще в III в. до н.э.

31.Черта, разделяющая числитель и знаменатель дроби, стала применяться в …

32.Математическое действие, которое несколько тысячелетий назад считалось наиболее трудным.

В) вычитание;
Г) деление.

33.Это обозначение переводится с греческого слова «периферия»- круг.

А) радиус, r ;
Б) диаметр, d ;
В) периметр, P ;
Г) .

34. «Математика- царица всех наук.» Кто автор этого изречения?

А) Гаусс;
Б) Стевин;
В) Архимед;
Г) Евклид.

35.Кем были предложены знаки умножения и деления «*», «:»?

А) Ферма;
Б) Лейбниц;
В) Чебышев;
Г) Лагранж.

36.Вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности-

А) радиус;
Б) центр;
В) диаметр;
Г) хорду.

37.Персидский и таджикский ученый математик, который был еще и поэтом..

А) Абу Камил;
Б) Брахмагупта;
В) ал-Беруни;
Г) Омар Хайям.

38.Выдающаяся женщина-математик, которая начала изучение математики в своей комнате, стены которой были обклеены лекциями Остроградского.

А) С. Жермен;
Б) С. Ковалевская;
В) А. Байрон;
Г) М. Сомервиль.

39.Кто из математиков не получил премию Парижской академии наук?

А) Бернулли;
Б) Эйлер;
В) Маклорин;
Г) Золотарев.

40.Самая первая женщина-математик.

А) М. Лаланд;
Б) Г. Лепот;
В) Гипатия;
Г) Аньези.

41.Математик, который одну из своих книг назвал «Письма к принцессе».

А) Декарт;
Б) Ньютон;
В) Эйлер;
Г) Виет.

42.Француженка-математик, спасительница Гаусса.

А) София Жермен;
Б) Гортензия Лепот;
В) Мария Лаланд;
Г) Эмилия де Шатль.

43.Когда в России была введена метрическая система мер в качестве обязательной?

А) в XVIII веке;
Б) в XIX веке;
В) в XX веке;
Г) в XVII веке.

44.Кто из математиков был убит на дуэли?

А) Фурье;
Б) Галуа;
В) Вольтер;
Г) Бертран.

45.Ученый, который даже в бане продолжал размышлять над геометрическими фигурами.

А) Платон;
Б) Архимед;
В) Герон;
Г) Ферма.

46. Теорему о вписанных углах первым доказал

47.Кто из математиков не был философом?

А) ал-Бируни;
Б) Пифагор;
В) Фалес;
Г) Непер.

48.Все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках. Как называли эти палочки русские?

А) палочки Непера;
Б) бирки;
В) папирус;
Г) абак.

49.В какой нумерации использовали особый значок «титло»?

А) славянской;
Б) греческой;
В) индийской;
Г) армянской.

50.Как называли раньше славяне число ?

51.Кто написал фразу: «А математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит »?

А) Колмогоров;
Б) Декарт;
В) Галилей;
Г) Ломоносов.

52.Сколько арифметических действий содержат средневековые руководства?

53.Пифагор в VI веке ввел разделение чисел на…

А) простые и составные;
Б) целые и дробные;
В) положительные и отрицательные;
Г) целые и смешанные.

54.Этими дробями пользовались до XVII века и называли их физическими или астрономическими.

А) шестидесятиричные;
Б) двадцатиричные;
В) единичные;
Г) десятичные.

55.Это слово в испанском и португальском языках означает не только часть математики, но и «искусство вправлять вывихи».

А) арифметика;
Б) планиметрия;
В) алгебра;
Г) стереометрия.

Краткое описание документа:

Учащиеся воспринимают математику как трудный предмет и не интересуются её историей. Поэтому систематическое вкрапление сведений из истории математики способствует проявлению интереса к предмету. Учащиеся должны понимать, что математика — как наука возникла и развивалась для удовлетворения потребностей общества и создавалась творческой деятельностью человечества на протяжения тысяч лет.

На своих уроках провожу пятиминутные исторические экскурсии по изучаемому материалу. Моим учащимся нравятся внеклассные мероприятия, содержащие вопросы по истории математики.

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 861 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 51 человек из 23 регионов

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 841 805 материалов в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 26.10.2014
• 2695
• 1

• 26.10.2014
• 5640
• 15

• 26.10.2014
• 500
• 0

• 26.10.2014
• 4266
• 35

• 26.10.2014
• 867
• 0

• 26.10.2014
• 2649
• 5

• 26.10.2014
• 619
• 2

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.10.2014 9347
• DOCX 53.7 кбайт
• 49 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Середкина Ирина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 6 месяцев
• Подписчики: 5
• Всего просмотров: 16148
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Множества и операции над нимиСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения проведет Всероссийский конкурс для органов опеки и попечительства

Время чтения: 1 минута

Эвакуированные в Россию из ДНР и ЛНР дети смогут поступить в вузы по квоте

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о профессиональном имидже педагога

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Персидская олимпиадная задача по математикеСкачать

Учебно-исследовательский проект «Геометрическая алгебра древней Греции», 7 класс

Знание истории науки , её связей с различными современными задачами очень важно, так как позволяет выяснить происхождение понятий, узнать развитие их с течением времени, познакомиться с различными нестандартными методами решения современных задач.

Видео:Арифметическая прогрессия 9 класс. Формулы, о которых вы не знали | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Задача — гроб. Меньше 1 людей могут её решитьСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка

Выполнила: Александрова Анастасия Ильинична,

Черных Дарина Алексеевна

учащиеся 7а класса

Руководитель проекта: Алябьева Елена Анатольевна

1. Введение. 2
2. Историческая справка

1. Школа Пифагора.…………………. 3
2. «Начала» Евклида….……. 4
3. Основные положения геометрической алгебры…….…. 5

1. Основные задачи геометрической алгебры……………………………….7

1. Формулы сокращённого умножения…………………………………..8
2. Решение линейных и квадратных уравнений…………….. ………….9

1. Выводы……………………………………………………………………..10
2. Заключение……………………………………………. …………. …….11
3. Библиографический список. 12

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

«Не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цели будущего»

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Максим Горький.

Актуальность темы. История математических идей интересна для всех, кто изучает математику. Знание истории науки , её связей с различными современными задачами очень важно, так как позволяет выяснить происхождение понятий, узнать развитие их с течением времени, познакомиться с различными нестандартными методами решения задач.

При изучении некоторых тем на уроках алгебры («Умножение многочлена на многочлен», «Формулы сокращённого умножения») и при решении некоторых задач мы познакомились с геометрическим способом исследования и доказательства формул. Оказалось, что этот способ, очень простой и наглядный (как нам показалось), пришёл к нам из Древней Греции. Оказалось, что древние греки при решении числовых задач применяли не арифметические, а геометрические понятия для выражения отношений между величинами. Такой подход получил название «геометрическая алгебра». Нас заинтересовал такой метод доказательства формул и решения задач, потому что он наглядно и просто иллюстрировал довольно сложные понятия и теоремы алгебры. Поэтому мы выдвинули предположение о том, что этот метод древних греков можно с успехом использовать и в сегодняшней школе при изучении некоторых тем алгебры, что, как нам кажется, сделает этот предмет проще и интересней.

Гипотеза. Г еометрическая алгебра древних греков применима на уроках математики в современной школе и её можно использовать для доказательства теорем и решения задач.

Цель. И зучить возможность применения методов геометрической алгебры на уроках математики.

1. Изучить историю развития чисел и отношений между величинами в Древней Греции.
2. Познакомиться с основными положениями геометрической алгебры.
3. Рассмотреть способы решения некоторых современных задач методом геометрической алгебры.
4. Проанализировать область применения методов геометрической алгебры для современных задач математики.

Греческие математики, столь много внесшие в современную науку, занимались, в основном, геометрическими проблемами. При этом — как известно многие греческие ученые находились под влиянием философии Платона, считавшего геометрию наукой, которой достойны заниматься только представители умственной элиты греческого общества. В этих условиях, геометрия превратилась в своеобразную гимнастику ума, в искусство, а ее практическое применение считалось унизительным, являлось профанацией этого искусства.

По этой причине развитие арифметики и алгебры как дисциплин связанных с практическими нуждами, встречалось с серьезными препятствиями. Конечно, грекам приходилось заниматься вопросами этих дисциплин, но проблемам алгебры и арифметики в этом случае придавались геометрические формы. Что же побудило греков избрать геометрический путь развития математики?

“Все вещи суть числа”

Первой научной школой, предложившей свой вариант математического плана строения Вселенной, были пифагорейцы. Школа пифагорейцев существовала в Древней Греции около 585–500 годов до нашей эры и возглавлялась Пифагором Самосским. Пифагорейцы видели сущность явлений в числе и числовых отношениях.

Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования. Ранним пифагорейцам такая абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами, расположенными на плоскости (поверхности Земли). Рассматривая треугольные, квадратные и т.д. числа, называемые фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других фигур (рис.1, 2).

Рисунок 1. Треугольные числа: 1, 3, 6.

Рисунок 2. Квадратные числа: 1, 4, 9.

Однако примерно в V веке до н.э. были открыты так называемые “несоизмеримые отрезки” — такие отрезки, у которых отношение длин не выражается никаким отношением целых чисел (рациональным числом). Примером является диагональ квадрата единичной стороны (в те времена не было иррациональных чисел, и придуманы они будут гораздо позднее).

Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Получалось, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).

Пифагорейцы предприняли интенсивные попытки выхода из этого тупика, и здесь, естественно, просматривалось два пути:

• расширить понятие числа так, чтобы новыми числами стало возможным характеризовать отношение любых двух геометрических отрезков;
• строить математику не на основе арифметики целых чисел и их отношений, а на основе геометрии, определив для геометрических величин все алгебраические операции.

Первый путь на столь ранней ступени развития математики представлял огромные трудности, которые, были окончательно преодолены лишь в конце XIX в. И пифагорейцы пошли по второму пути — по пути построения алгебры на основе геометрии. Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал. Такой подход и зародил так называемую “Геометрическую алгебру”.

Итак, пифагорейцы пришли к мысли, что поскольку геометрические величины имеют более общую природу, чем числа, то в основу математики надо положить не арифметику, а геометрию. Переход к геометрической алгебре был настоящей революцией , которая на первых порах принесла богатые плоды.

«Геометрическая алгебра» очень хорошо известна из книги Евклида «Начала», так как она изложена в 1 и 2 книгах «Начал».

Евклид в своей книге «Начала» пишет о числовой величине как о геометрической протяженности. То есть греки считали, что величины можно представить в виде отрезков. Число 5 – это отрезок, длина которого 5 единиц. Величина а – это отрезок, длина которого а единиц. При таком подходе арифметические операции над числовыми величинами также приобретали геометрический смысл.

1). Сумма a + b представлялась как отрезок длины (a + b).

2). Разность a – b – отрезок длины (a – b).

3). Произведение двух величин a ∙ b – прямоугольник со сторонами a и b, площадь которого равна a ∙ b .

4). Произведение прямоугольника и отрезка – прямоугольный параллелепипед, объем которого V=abc.

Операция деления при таком подходе оказывалась возможной только, если размерность делимого была выше размерности делителя: прямоугольник можно делить на отрезок, но отрезок на отрезок – нельзя.

Деление определялось как задача «приложения площадей»: «приложить» к данному отрезку c прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику ab , т. е. найти вторую сторону x прямоугольника так, чтобы cx=ab .

Евклид, используя метод геометрической алгебры доказал распределительное свойство умножения относительно сложения, дал способ решения квадратных уравнений (задачи на «приложение площадей»), доказал формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и квадрат разности).

2.3 Основные положения геометрической алгебры

«Геометрической алгеброй» мы сегодня называем ту часть античной математики, в которой было построено прямое исчисление отрезков и площадей. Сложение отрезков осуществлялось геометрически – путём приставления одного к другому, вычитание — путём выкидывания из большего отрезка части, равной меньшему. Операция вычитания была возможна лишь тогда, когда вычитаемое не превосходило уменьшемого. Произведением двух отрезков назывался построенный на них прямоугольник. Говорить о сложении прямоугольника и отрезка не имело смысла. Таким образом исчисление , определённое в геометрической алгебре было «ступенатым» — первую ступень составляли отрезки, вторую — площади, которые задавались обычно в виде треугольников или прямоугольников, а третью — объёмы.

Основные положения геометрической алгебры сводятся к следующему:
1) алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам;
2) сумма чисел или алгебраических переменных представляется в виде отрезка, составленного из слагаемых (рис. 3);
3) произведение двух чисел или алгебраических переменных представляется в виде прямоугольника со сторонами, которые представляют собой отрезки, соответствующие сомножителям (рис. 4). Произведение трёх переменных a, b и c есть прямоугольный параллелепипед со сторонами, соответствующими сомножителям a, b и c (рис.5).

Рисунок 3. Сложение а и b.

Поскольку, греческая геометрия, как и в целом представления греков о природе и мироздании ограничивались тремя измерениями, произведение более чем трёх переменных в геометрической алгебре не рассматривались, как лишённые смысла.

Рисунок 4. Произведение чисел а и b есть площадь прямоугольника со сторонами а и b.

Рисунок 5. Произведение трёх чисел a, b и c есть объём параллелепипеда со сторонами a, b и c .

Вычисления, производимые в геометрической алгебре, носили пошаговый характер. Не рассматривались произведения прямоугольников или сложение прямоугольников с отрезками или параллелепипедами.

1. Основные задачи геометрической алгебры

Геометрическая алгебра основывалась на античной планиметрии, представляя собой геометрию циркуля и линейки. Поэтому она была максимально приспособлена для исследования тождеств, обе части которых являлись квадратичными формами, и для решения квадратных уравнений. Геометрическая наглядность позволила легко обосновать свойства основных операций над числами: сложения и умножения. Например, переместительное свойство сложения легко следует из того факта, что длина составного отрезка, одна и та же с какой стороны на него не посмотри, то есть a + b = b + a.

Переместительное свойство умножения обосновывается так же наглядно, поворотом соответствующего прямоугольника, то есть a · b = b · a.

Сочетательное свойство сложения наглядно следует из того факта, что в каком порядке не прикладывай отрезки друг к другу, длина составного отрезка будет одинаковой, то есть ( a + b ) + с = a + ( b + c ).

Сочетательное свойство умножения наглядно следует из поворота прямоугольного параллелепипеда, то есть ( a · b ) · с = a · ( b · c ).

Распределительное свойство умножения относительно сложения также легко увидеть на чертеже:

Как видно из этих примеров, наглядность является серьёзным преимуществом геометрической алгебры. Но гораздо более важным преимуществом использования геометрических методов в алгебре явилось то, что обоснования и доказательства тождеств не зависят от того, являются ли используемые величины соизмеримыми или несоизмеримыми и независимы от конкретных величин. Методы геометрической алгебры позволили доказать многие алгебраические тождества. При этом общее доказательство было сделано впервые в истории.

1. Формулы сокращённого умножения

1. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2

AE = AD = a; BE = MD = b

AB = a + b; AM = a – b

S ABNM = AB·AM= (a + b)(a –b)

S ABNM = S AEGM + S EBNG

S AEGM =S AEFD – S MGFD = a 2 –ab

S EBNG =S EBCF –S GNCF = ab –b 2

S ABNM =a 2 –ab+ab–b 2 = a 2 –b 2

2. ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 · a · b.

S=S 1 +S 2 +2S 3 => S=a 2 +2ab+b 2 =>

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 · a · b.

1. Решение квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение х 2 = а древние математики поступали так:

х 2 – квадрат со стороной, равной х. Решить уравнение х 2 = а – значит найти такой отрезок х, что площадь квадрата, построенного на этом отрезке, была бы равной а. При таком подходе к решению уравнение могло иметь только один положительный корень, а уравнение х 2 = 0 вообще не имело корней. В записи квадратных уравнений древние греки никогда в правой части уравнения не писали число 0, т. к. они считали, что 0 – ничто, а сумма величин не может быть равна «ничему». Поэтому, например, квадратное уравнение х 2 + 10х – 39 = 0 древние греки записывали в виде: х 2 + 10х =39 .

Пример1. Решить квадратное уравнение х 2 + 10х =39.

S= (x+5) 2 , S 1 = x 2 , S 2 =5x, S 3 =25

S 1 + 2S 2 = 39 (данное уравнение)

S 1 + 2S 2 = S-S 3 (по свойству площадей)

х 2 + 10х = (х+ 5) 2 – 25 = 39;

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень х = -13.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 +8x-48=0

S= (x+4) 2 , S 1 = x 2 , S 2 =4x, S 3 =16

S 1 + 2S 2 = 48 (данное уравнение)

S 1 + 2S 2 = S-S 3 (по свойству площадей)

x 2 +8x=(x+4) 2 -16=48;

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень х = -12.

Таким образом, во время написания работы мы изучили теорию «геометрической алгебры» и научились применять её для решения некоторых задач школьной алгебры – для доказательства тождеств и решения квадратных уравнений. Мы также проанализировали учебники математики начальной школы и алгебры 7 класса, чтобы ответить на вопрос – можно ли применять теорию «геометрической алгебры» на уроках математики. Чтобы ответить на этот вопрос необходимо понять все достоинства и недостатки «геометрической алгебры» с точки зрения применимости её в современной школе.

Плюсы «геометрической алгебры»

Минусы «геометрической алгебры»

– Наглядно и доступно иллюстрирует доказательство тождеств и решение уравнений

– Упрощает решение задач и делает его более простым для понимания

– Показывает связь между алгеброй и геометрией

– Все преобразования выполняются на множестве положительных чисел

– Невозможно решать уравнения 3-й и выше степени

– Отрицательные корни и ноль будут потеряны

Мы считаем, что теория «геометрической алгебры» может быть применена на уроках математики в начальной школе для иллюстрации решения задач и свойств арифметических действий, в более старших классах эти исторические сведения могут упростить изложение, сделать его более доступным для понимания, обеспечить наглядность изложения, показать преимущества выбранного метода перед другими. Например, изучая формулы сокращенного умножения, можно вспомнить, что в Древней Греции эти формулы доказывались геометрически. Но использовать методы «геометрической алгебры» для доказательства теорем алгебры и решения квадратных уравнений нельзя, так как при этом придётся рассматривать лишь положительные величины, а значит будут найдены не все корни уравнений или придётся накладывать ограничения на переменные в тождествах.

Таким образом, гипотеза о том, что геометрическая алгебра древних греков применима на уроках математики в современной школе и её можно использовать для доказательства теорем и решения задач подтвердилась частично.

В ходе написания работы мы познакомились с историей математики в Древней Греции, рассмотрели понятие «геометрическая алгебра» как геометрический способ выражения отношений между величинами, познакомились с двумя основными задачами, которые можно решить методом «геометрической алгебры» — доказательство тождеств и решение квадратных уравнений, проанализировали возможность применения данной теории на уроках математики.

Работа над данным проектом была для нас интересна и полезна, так как во время написания проекта мы расширили свой кругозор, научились собирать нужную информацию, анализировать её, делать выводы, составлять и решать квадратные уравнения таким необычным способом.

Таким образом, мы реализовала все поставленные задачи и достигли цели проекта.

🎬 Видео

Этой задачей русские дети 10 лет мучили американцев. Американцы не понимали, что делают не такСкачать

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

А ты решишь задачу 7 класса? | Математика | TutorOnlineСкачать

ПОЛНЫЙ РАЗБОР ДЕМОВЕРСИИ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2024Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

Уравнение прямой.Скачать

9 Математических Загадок, Которые Поставят в Тупик Даже Самых УмныхСкачать

Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnlineСкачать