В чем суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:7 класс, 39 урок, Метод алгебраического сложенияСкачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Решим систему уравнений методом подстановки

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Пример.

Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

Сложим уравнения, получим

Отсюда y = -3, а, значит, x = 2

Ответ: (2; -3).

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Решение системы линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

1. Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
2. Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной.
5. Найти вторую переменную.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Умножаем первое уравнение на 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

Находим y из первого уравнения:

В последовательной записи:

$$ <left< begin 3x+y = 5 | times 2 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 6x+2y = 10 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow <left< begin 5x = 5 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 5-3x = 2 end right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) <left< begin 5x-4y = 3 | times 2 \ 2x-3y = 4 | times 5 end right.> Rightarrow <left< begin 10x-8y = 6 \ 10x-15y = 20 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = -14 \ 2x-3y = 4 end right.> Rightarrow <left< begin x = frac = -1 \ y=-2 end right.> $

$ б) <left< begin 4x-3y = 7 | times 3 \ 3x-4y = 0 | times 4 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 12x-9y = 21 \ 12x-16y = 0 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = 21 \ x = frac y end right.> Rightarrow <left< begin x = 4 \ y = 3 end right.> $

$ в) <left< begin 5a-4b = 9 | times 2 \ 2a+3b = -1 | times 5 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 10a-8b = 18 \ 10a+15b = -5 end right.> Rightarrow <left< begin -23b = 23 \ a = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -1 end right.> $

$ г) <left< begin 7a+4b = 5 \ 3a+2b = 1 | times (-2) end right.> Rightarrow (+) <left< begin 7a+4b = 5 \ -6a-4b = -2 end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = -4 end right.>$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) <left< begin frac-y = 7 \ 3x+ frac = 9 | times 2end right.> Rightarrow (+) <left< begin frac -y = 7 \ 6x+y = 18 end right.> Rightarrow <left< begin 6 frac x = 25 \ y = 18-6xend right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin x = 25: frac = 25 cdot frac = 4 \ y = 18-6 cdot 4 = -6 end right.> $$

$ в) <left< begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 end right.> Rightarrow <left< begin 15x-3y+14 = 5x+5y \ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 end right.> Rightarrow $

$ г) <left< begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \ 4+3(7x+2y) = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 5-6x-21y = x+y-52 \ 4+21x+6y = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ 2x-6y = 4 |:2 end right.>$

$$ Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ x-3y = 2 | times 7 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 7x+22y = 57 \ 7x-21y = 14 end right.> Rightarrow <left< begin 43y = 43 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 5 \ y = 1 end right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Введём новые переменные: $ <left< begin a = frac \ b = frac end right.> $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <left< begin2a+3b = 1| times 3 \ 3a-5b = 11 | times 2 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 6a+9b = 3 \ 6a-10b = 22 end right.> Rightarrow <left< begin 19b = -19 \ a = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 2 \ b = -1 end right.> $$

Видео:Как ЛЕГКО РЕШАТЬ Систему Линейный Уравнений — Метод СложенияСкачать

Решение системы уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными
методом алгебраического сложения
Мытищи 2020
Подготовила : учитель математики Кошевая Инна Александровна

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
методом алгебраического сложения:

Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
Сложить почленно уравнения;
Решить полученное на втором шаге уравнение с одной переменной;
Найти значение второй переменной;
Записать ответ.

Задание: № 15.2 (б-г)
Решение аналогично примеру а), но
проще найти первой переменную 𝒚, а потом 𝒙 .
Решение аналогично примеру а).
Ищем 𝒙, потом 𝒚.

Решение аналогично примеру а), но
проще найти переменную 𝒚 первой , а потом 𝒙 .

Задание: № 15.4
Решение аналогично заданию 15.2 (а), но
одно из уравнений надо умножить на −1 .
Ищем 𝒚, потом 𝒙.

Решение аналогично заданию 15.4 (а), но
ищем 𝒙, потом 𝒚.

Задание: № 15.5 (а-б)
Решение аналогично заданию 15.4 (а), но
первое уравнение надо умножить на −3 .
Ищем 𝒚, потом 𝒙.

Решение аналогично заданию 15.5 (а), но
ищем 𝒙, потом 𝒚.

Задание: № 13.5 (в-г)
Решение аналогично предыдущему.
Ищем наиболее удачный множитель.
Это −𝟐 для второго уравнения.
1) умножаем

|· -2
2) складываем
3) решаем
4) находим
5) отвечаем
Решение аналогично предыдущему.
Ищем наиболее удачный множитель.
Это −𝟒 для первого уравнения.
1) умножаем

|· -4
2) складываем
3) решаем
4) находим
5) отвечаем

Задание: № 13.10 (а-б)
Коэффициенты отличны от ±1.
Придётся искать НОК коэффициентов, чтобы
привести их к противоположным значениям.
Далее аналогично предыдущему: 2) складываем; 3) решаем; 4) находим;

Задание: № 13.10 (в-г)
Решение аналогично предыдущему.
Ищем оптимальные множители.

Это 𝟐 — для первого и 𝟑 – для второго уравнения.
1) умножаем

|· 2
2) складываем
3) решаем
4) находим
5) отвечаем
|·3
Решение аналогично предыдущему.
Ищем оптимальные множители.

Это 𝟐 — для первого и 𝟓 – для второго уравнения.
1) умножаем

|· 2
2) складываем
3) решаем
4) находим
5) отвечаем
|·5
Не беда, если множители не самые оптимальные:
сложнее вычислять, но решение будет верным!

Главное, чтобы результатом сложения уравнений системы явилось уравнение с одной переменной!

Задание: № 13.11 (б-г)
1) умножаем;
2) складываем;
3) решаем;
4) находим;
5) отвечаем.
|· -5
|· 9
|· -25
|· 45

Не нравится
9 5 𝑦 ? Тогда …

Неудобство
− 16 3 𝑦 ? Тогда …

Сложность
10 4 𝑦 ? Тогда …

Задание: № 13.17
Поскольку значения переменных нам заданы, а их коэффициенты неизвестны, то можно считать, что они поменялись ролями. Подставим данное решение в систему:
1) Умножаем или оставляем как есть – кому как нравится.
2) складываем
𝟐𝒂−𝒃 −𝟏· 𝟐𝒂+𝒃 =𝟑𝟔−𝟖.
3) решаем
−𝟐𝒃=𝟐𝟖;
𝒃 =−𝟏𝟒.
4) находим
𝟐𝒂−𝟏𝟒=𝟖;
5) отвечаем
Ответ: (𝟏𝟏;−𝟏𝟒).
|· -1
+ 𝒃
&2𝑎−𝑏=36, &2𝑎+𝑏=8,
𝒂=𝟏𝟏;
&11𝑥−14𝑦=36, &11𝑥+14𝑦=8.
Дополнение:
Исходная система уравнений будет выглядеть так :

Задание: № 12.20
Первым делом мы можем упростить уравнения, привести их к виду без дробей. Для этого нужно левую и правую части уравнения умножить на такое число, чтобы сократились знаменатели и эти числа. Например:
a) & 𝑥 2 + 𝑦 3 =3, & 𝑥 3 + 𝑦 2 = 1 3 .
|· 6
⇔
|· 6
&3𝑥+2𝑦=18, &2𝑥+3𝑦=2.
Далее действуем по алгоритму решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
методом алгебраического сложения:
Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
Сложить почленно уравнения;
Решить полученное на втором шаге уравнение с одной переменной;
Найти значение второй переменной;
Записать ответ.

Спасибо за внимание!

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 861 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 51 человек из 23 регионов

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения. 6 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 841 813 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

§ 39. Метод алгебраического сложения

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 06.02.2022
• 65
• 1

• 06.02.2022
• 89
• 4

• 06.02.2022
• 34
• 0

• 06.02.2022
• 71
• 1

• 06.02.2022
• 62
• 0

• 06.02.2022
• 87
• 2

• 06.02.2022
• 53
• 0

• 06.02.2022
• 47
• 0

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.02.2022 98
• PPTX 1.1 мбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кошевая Инна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 11319
• Всего материалов: 25

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Метод алгебраического сложения. Видеоурок по алгебре 9 классСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Около 20% детей до 15 лет не воспринимают прочитанную информацию

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения проведет Всероссийский конкурс для органов опеки и попечительства

Время чтения: 1 минута

Эвакуированные в Россию из ДНР и ЛНР дети смогут поступить в вузы по квоте

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

💡 Видео

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Урок по теме СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 7 классСкачать

Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Видеоурок СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ 7 КЛАСС.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Алгебра 7 класс. 28 октября. Решаем систему уравнений методом сложения #2Скачать

Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. Способ алгебраического сложения. Алгебра 9 классСкачать