Ключевые слова: уравнение, квадратное уравнение, квадратичный трехчлен, дискриминант, корни уравнения, разложение на линейные множители, неполное квадратное уравнение, теорема Виета, приведенное и неприведенное квадратное уравнение,
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем $$a ne 0$$,
называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным;
если $$a ne 1$$, — то неприведенным.
Числа a, b, c носят следующие названия
a — первый коэффициент,
b — второй коэффициент,
c — свободный член.
Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1: Решить уравнение 2x 2 — 5x = 0. Имеем x(2x — 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x — 5 = 0, то есть x = 2,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
Пример 2: Решить уравнение 3x 2 — 27 = 0. Имеем 3x 2 = 27. Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3.
Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1 + x2 = -p , x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).
Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где $$a ne 0$$.
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x 2 = y,
придем к квадратному уравнению ay 2 + by + c = 0.
Пример 3: Решить уравнение x 4 + 4x 2 — 21 = 0.
Пусть x 2 = y, получим квадратное уравнение y 2 + 4y — 21 = 0, откуда находим y1 = —7, y2 = 3.
Теперь задача сводится к решению уравнений x 2 = —7, x 2 = 3.
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим $$x_=-sqrt$$ и $$x_=sqrt$$ которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.
Итак, коротко о квадратном уравнении:
См. также:
Равносильные уравнения, Теорема Виета, Линейное уравнение, Квадратная функция
Ответы к UzTest
На нашем сайте вы сможете бесплатно скачать расширение, которое позволит Вам получить ответы к заданием в тестах, а также и в тренингах на сайте UzTest прямо из вашего браузера. Расширение поддерживает самые популярные браузеры, такие как Google Chrome, Mozilla Firefox и Opera. Мы уверены, что оно позволит Вам получать отличные оценки по математике и геометрии. Также хотим заметить, что нам удалось собрать базу, в которой есть 100% ответов и 75% ответов с подробным решением, что позволит Вам не только решить задание на ПЯТЬ, но и узнать подробно как решалось данное задания!
Раширение временно не работает.
За место расширения создан полуавтоматический способ поиска ответов!
UzTest
Наше расширение для браузера решит за вас все задания на сайте UzTest.ru Кроме того, вы всегда сможете подробно увидеть, как был получен ответ.
Точность
ответов
Лёгкость в
использовании
Детальное
решение
Смотрите сами
Быстрый поиск ответов на задания UzTest в нашей базе заданий. Наше расширение легко покажет вам верный ответ на задание, а так же поможет понять, как был получен финальный ответ. Просто нажмите на кнопку, чтобы наше расширение нашло ответ на любой вопрос в UzTest и наслаждайтесь временем, которое вы сэкономили на выполнении.
Полную инструкцию для расширения UzTest+ можно посмотреть здесь