Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Видео:Устойчивость 1 ОпределениеСкачать

Устойчивость 1  Определение

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Устойчивость решений ДУ по первому приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

и пусть , есть точка покоя системы (1), т.е. . Будем предполагать, что функции дифференцируемы в начале координат достаточное число раз.

Разложим функции по формуле Тейлора по в окрестности начала координат:

здесь , а — члены второго порядка малости относительно .

Тогда исходная система (1) запишется так:

Вместо системы (2) рассмотрим систему

называемую системой уравнений первого приближения для системы (1).

Справедливы следующие предложения.

1. Если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные вещественные части , то нулевое решение , системы (3) и системы (2) асимптотически устойчивы .

2. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (3) и системы (2) неустойчиво .

Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

В критических случаях, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения (4) неположительны, причем вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно (начинают влиять нелинейные члены ).

Пример 1. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы

Решение. Системы первого приближения

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок больше или равен двум. Составим характеристическое уравнение для системы (6):

Корни характеристического уравнения (7) вещественные и 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAATBAMAAADYAbjmAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwB1kQYWh8DHg0VFNsKFOAAAA2ElEQVQoz2NgwA+YhbGLszSAqRwDrJJlkWBpHQFssuoGzEUgmvEQXIgjCc6MYWA4Crb4MEKHYwaMNZGBQRJEM51CMtBNBMo4yMAgA2bINCBJq0mDKSaQrAKIZRMA5CGkJ4OdDJJ1ADll+gQG1YUI3aqrkWUt204zKAWiyTJATWY+zXKMgQEhq7oYTBUyMIiDbDVgmK6AkFWDSDLkMDAANTED/RxjAJdVg/nIx4HlCAMDTwIw1ARgso4i8MgpNgeGPwfIcw5QWaSQZFA2QrAD8UVy43RhBpIBABPuJMc3pUukAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />. Следовательно, нулевое решение системы (5) неустойчиво.

Пример 2. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя систем

Решение. Точка покоя системы (8) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

В то же время точка покоя системы (9) неустойчива в силу теоремы Четаева: взяв , будем иметь .

Системы (8) и (9) имеют одну и ту же систему первого приближения

Характеристическое уравнение для системы (10)

имеет чисто мнимые корни, так что действительные части корней характеристического уравнения равны нулю.

Для системы первого приближения (10) начало координат является центром. Системы (8) и (9) получаются малым возмущением правых частей системы (10) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что замкнутые траектории превращаются в спирали, в случае (8) приближающиеся к началу координат и образующие в точке устойчивый фокус, а в случае (9) — удаляющиеся от начала координат и образующие в точке неустойчивый фокус. Таким образом, в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Пример 3. Рассмотрим замкнутый контур с линейными элементами (рис. 44); уравнение контура

Здесь — заряд конденсатора и, следовательно, — ток в цепи; — сопротивление; — индуктивность; — емкость; — нелинейные члены, имеющие степень не ниже второй, .

Решение. Уравнение (11) эквивалентно системе

для которой начало координат , есть точка покоя.

Рассмотрим систему первого приближения

Характеристическое уравнение для системы (13) имеет вид

Если , т.е. , то уравнение (14) имеет комплексные корни с отрицательной действительной частью и, значит, начало координат для системы (13) и (12) асимптотически устойчиво.

Если frac» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, то начало координат также асимптотически устойчиво (все параметры положительны).

Асимптотическая устойчивость точки покоя видна из физических соображений: при положительном омическом сопротивлении с возрастанием ток неизбежно исчезает.

Видео:Филиппов №881(г) — Исследование решения на устойчивостьСкачать

Филиппов №881(г) — Исследование решения на устойчивость

Устойчивость решений ДУ по отношению к изменению правых частей уравнений

Рассмотрим дифференциальные уравнения

где функции и непрерывны в замкнутой области плоскости и функция имеет в этой области непрерывную частную производную .

Пусть в области выполняется неравенство . Если и есть решения уравнений (1) и (2) соответственно, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию , то

Из оценки (3) видно, что если возмущение правой части (1) достаточно мало в области , то на конечном интервале изменения разность решений уравнений (1) и (2) будет малой по абсолютной величине. Это позволяет приближенно решать сложные дифференциальные уравнения путем замены их разумно выбранными уравнениями, решаемыми проще. Последнее обстоятельство может быть использовано при решении дифференциальных уравнений, связанных с задачами физики или техники.

Пример 4. В квадрате найти приближенное решение уравнения

Видео:ДУ Практика по устойчивостиСкачать

ДУ Практика по устойчивости

Теория устойчивости дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв некоторой области Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнизменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Теорема:

Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв некоторой области G изменения t , х, то решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

удовлетворяющее начальному условию Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннепрерывно зависит от начальных данных.

Иными словами, пусть через точку Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнпроходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТогда для любого Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннайдется такое Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнрешение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (1), проходящее через точку Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсуществует на отрезке Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни отличается там от x(t) меньше чем на Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнПереход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.

Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где t — независимая переменная (время); Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнискомые функции; Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнфункции, определенные для Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайниз некоторой области Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнЕсли функции

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто для системы (3) справедлива локальная теорема существования:

для каждой системы значений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

существует единственное решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (3), определенное в некотором интервале Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнизменения t и удовлетворяющее начальным условиям

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Введем следующее понятие. Пусть

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

называется продолжением решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнесли оно определено на большем интервале Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни совпадает с Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнпри Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнРешение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн(на полуось Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнили Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсоответственно).

Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн(глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— непрерывные функции на Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнДля нее каждое решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсуществует на Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн(неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.

Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

является решением задачи

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Однако это решение существует только в интервале Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнзависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

Задача:

Показать, что решения уравнения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где функция f(t,x) определена и непрерывна для Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн. Пусть функция

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пусть, далее, функция

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Предполагается, что решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнопределены для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннеограниченно продолжаемы вправо.

Определение:

Решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнесли для любого Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн(всегда можно считать, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайностаются близкими и при всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнГеометрически это означает следующее. Решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, все достаточно близкие к ней в начальный момент Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнинтегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн(рис. 1).

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Если при сколь угодно малом Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнэтого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Определение:

Решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1) решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнустойчиво;

2) существует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, не только остаются близкими к нему при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, но и неограниченно сближаются с ним при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, очевидно, удовлетворяет начальному условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн-полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, например, Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что любая интегральная кривая Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайндля которой Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнцеликом содержится в указанной Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнполоске для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнСледовательно, решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнустойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнпри Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнне стремится к прямой х = 0.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Возьмем любое Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн> 0 и рассмотрим разность решений Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Поскольку Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайндля всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, из выражения (***) следует, что существует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннапример, Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Согласно определению (1) это означает, что решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

поэтому решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнасимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

В самом деле, при сколь угодно малом Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнрешение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

этого уравнения не удовлетворяет условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

при достаточно больших t > to. Более того, при любых Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где функции fi определены для Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайниз некоторой области D изменения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Определение:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнесли для любого Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн> 0 существует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что для всякого решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтой же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнт. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Если при сколь угодно малом Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхотя бы для одного решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнне все неравенства (5) выполняются, то решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнназывается неустойчивым.

Определение:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво;

2) существует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что всякое решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы, для которого

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

удовлетворяющее начальным условиям

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Возьмем произвольное Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн> 0 и покажем, что существует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнвыполняются неравенства

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнЭто и будет означать, согласно определению, что нулевое решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

то при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнбудут иметь место неравенства

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнт.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение, удовлетворяющее начальному условию Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеет вид Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсуществует Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннапример Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнудовлетворяет условию Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнПоследнее означает, что решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнустойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Оно имеет очевидные решения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Интегрируя уравнение (6), находим

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Все решения (7) и (8) ограничены на Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнОднако решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннеустойчиво при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтак как при любом Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

другой системы заменой

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнэтого уравнения. Положим, что

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

(величину Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнназывают возмущением). Тогда

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и подстановка в (*) приводит к равенству

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Но Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— решение уравнения (*), поэтому

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Это уравнение имеет решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтак как при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнего левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Таким образом, вопрос об устойчивости решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Видео:Дополнительные главы ИДУ: Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений | Занятие 1Скачать

Дополнительные главы ИДУ: Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений | Занятие 1

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Тогда система функций

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

будет решением системы (1). Точку Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнфазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (1) устойчива, если для любого Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнУстойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсуществует такое Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнчто любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнвсе время затем остается в шаре Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТочка покоя асимптотически устойчива, если:

1) она устойчива;

2) существует такое Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнчто каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнстремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Поясним это определение примерами.

Пример:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Траектории здесь — концентрические окружности

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто любая траектория, начинающаяся в круге Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, остается все время внутри Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, а следовательно, и внутри Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнЛюбая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, остается все время в круге Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнСледовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пример:

Возьмем, наконец, систему

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение будем искать в виде

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Для определения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнполучаем характеристическое уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Величины Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнс точностью до постоянного множителя определяются из системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Возможны следующие случаи.

А. Корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхарактеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

  1. Пусть Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТочка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнвсе точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв произвольной Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнокрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнокрестности начала координат, а при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнстремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пусть теперь Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни (для определенности) Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТогда в силу (4)

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

т. е. все траектории (исключая лучи Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

2. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пример:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

имеет корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтак что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Оно имеет решения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

3. Пусть теперь Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

в направлении от начала Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннеограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

в направлении к началу координат Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтак и при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтраектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Характеристическое уравнение системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

имеет корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнПерейдем к одному уравнению

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

интегрируя которое получаем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Уравнение (6) имеет также решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Б. Корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхарактеристического уравнения — комплексные: Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнОбщее решение системы (2) можно представить в виде

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— некоторые линейные комбинации этих постоянных

  1. Пусть Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв этом случае множитель Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнстремится к нулю при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайна вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТочка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
  2. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
  3. Если же Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

не стремится к нулю при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Характеристическое уравнение системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

имеет комплексные корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Перейдем от системы к одному уравнению

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и введем полярные координаты Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТогда

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Используя уравнение (9), находим, что

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв зависимости от того, будет ли а 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхарактеристического уравнения кратные: Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнСлучай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

( Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— некоторые линейные комбинации С1, С2).

  1. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто из-за наличия множителя Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнрешения х(t), y(t) стремятся к нулю при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТочка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
  2. При Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнзамена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

имеет кратные корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнДеля второе уравнение системы на первое, найдем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнисключен условием

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Характеристическое уравнение для системы (**)

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Если 0 Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0 Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Справедливы следующие предложения:

1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнстремящиеся к нулю при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

2) если хотя бы один корень Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхарактеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;

3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Преобразуем произвольное частное решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (11) в тривиальное с помощью замены

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).

В самом деле, пусть тривиальное решение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что для всякого другого решения системы Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайниз условия Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнследует, что

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Замечая, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнполучаем, что из условия

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для всякого решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнисходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнэтой системы.

Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример:

Рассмотрим нелинейное уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Оно имеет очевидные решения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнвсе решения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.

Замечание:

Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Видео:Устойчивость 5 Устойчивость по первому приближению Теорема ПримерыСкачать

Устойчивость 5  Устойчивость по первому приближению  Теорема  Примеры

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайндо начала координат

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Определение:

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Так, в случае n = 3 функции

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнназывается знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайна именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Определение:

Величина Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнопределяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Определение:

Функций Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнобладающую свойствами:

1) Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайндифференцируема в некоторой окрестности Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнначала координат;

2) Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнопределенно-положительна в Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

3) полная производная Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнфункции Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, составленная в силу системы (1),

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

всюду в Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

существует дифференцируемая знакоопределенная функция Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн, полная производная Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнкоторой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнесть знакоположительная функция, для которой Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнТак как

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

причем v = 0 лишь при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто начало координат есть точка строгого минимума функции Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнВ окрестности начала координат поверхности уровня

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтолько для Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто поверхность

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Линии уровня Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнпредставляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто линия уровня Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнцеликом лежит внутри области, ограниченной линией Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнЗададим Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнПри достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

существует дифференцируемая знакоопределенная функция Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнполная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Таким образом, Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнесть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнтакая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсоставленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнпринимает положительные значения, то точка покоя Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Для нее функция

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнвдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Видео:Дифференциальные уравнения 7. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивостьСкачать

Дифференциальные уравнения 7. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и пусть Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнесть точка покоя системы, т. е.

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Будем предполагать, что функции Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайндифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнСистема дифференциальных уравнений (1) примет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнуравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнимеет вид Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайни перестает существовать при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн(решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнхарактеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнбудет диагональной:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— матрица из коэффициентов системы (4). Положим

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

и система (4) преобразуется к виду

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

или, в силу выбора матрицы Т,

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

причем в Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнопять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Рассмотрим следующие возможности:

1. Все корни Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— отрицательные. Положим

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

тогда производная Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв силу системы (8) будет иметь вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнмалая более высокого порядка, чем квадратичная форма Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Таким образом, в достаточно малой окрестности Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнточки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнзнакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

2. Некоторые из корней Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнположительные, а остальные — отрицательные. Положим

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнЧто касается производной Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнто, поскольку Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнотрицательны, производная Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Система первого приближения имеет вид

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Корни характеристического уравнения Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайннулевое решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнсистемы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

В самом деле, для функции Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайнв силу системы (**) имеем

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

т.е. Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн— функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн Устойчивость систем дифференциальных уравнений онлайн

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📸 Видео

Устойчивость линейных систем дифференциальных уравненийСкачать

Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXY

ДУ Линейные системыСкачать

ДУ Линейные системы

Козлов В.В. - Формальная устойчивость и неустойчивость по Ляпунову в аналитических системахСкачать

Козлов В.В. - Формальная устойчивость и неустойчивость по Ляпунову в аналитических системах
Поделиться или сохранить к себе: