Установите взаимное расположение прямых заданных уравнениями 2x y 1 и 4x 2y 2 (5 видео)

Содержание

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
Предупреждение
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §10. Взаимное расположение графиков линейных функций. Номер №10.1.
ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §10. Взаимное расположение графиков линейных функций. Номер №10.1.
Решение а
Решение б
Решение в
Решение г
Взаимное расположение плоскостей
Взаимное расположение прямых
Просмотр содержимого документа «Взаимное расположение прямых»
🌟 Видео

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

Содержание
1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

Установите взаимное расположение прямых заданных уравнениями 2x y 1 и 4x 2y 2

(1)

(2)

Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂ (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

(3)

(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

p₁(x−x₁)=m₁(y−y₁)

l₁(y−y₁)=p₁(z−z₁)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p₁x−m₁y=p₁x₁−m₁y₁,

(5)

l₁y−p₁z=l₁y₁−p₁z₁.

(6)

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

(7)

(8)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

p₂(x−x₂)=m₂(y−y₂)

l₂(y−y₂)=p₂(z−z₂)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p₂x−m₂y=p₂x₂−m₂y₂,

(9)

l₂y−p₂z=l₂y₂−p₂z₂.

(10)

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

(11)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L₁ и L₂ не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L₁ и L₂ совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L₁ и L₂ .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ в параметрическом виде:

(12)

(13)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и L₂ можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L₁ и L₂ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

(14)

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

(15)

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L₂ к каноническому виду:

(16)

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L₁ и L₂ решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

(17)

(18)

(19)

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂:

(20)

(21)

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

(22)

(23)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

(26)

(27)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

(30)

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямых L₁ и L₂ имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂:

(31)

(32)

Приведем параметрическое уравнение прямой L₁ к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

(33)

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

(34)

(35)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

(36)

(37)

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

(38)

(39)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

(42)

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa₃₃. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

(43)

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L₁ и L₂ не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L₁ имеет направляющий вектор q₁=, а прямая L₂ имеет направляющий вектор q₂=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ скрещиваются .

Видео:15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §10. Взаимное расположение графиков линейных функций. Номер №10.1.

Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:
а ) y = 2 x и y = 2 x − 4 ;
б ) y = x + 3 и y = 2 x − 1 ;
в ) y = 4 x + 6 и y = 4 x + 6 ;
г ) y = 12 x − 4 и y = −x + 1 .

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §10. Взаимное расположение графиков линейных функций. Номер №10.1.

Решение а

y = 2 x и y = 2 x − 4
Прямые параллельны. Прямая y = 2 x − 4 ниже прямой y = 2 x на 4 единицы по оси Oy.

Решение б

y = x + 3 и y = 2 x − 1
x + 3 = 2 x − 1
2 x − x = 3 + 1
x = 4

y = x + 3
y = 4 + 3
y = 7

Прямые пересекаются в точке ( 4 ; 7 ).

Решение в

y = 4 x + 6 и y = 4 x + 6
Это одна и та же прямая.

Решение г

y = 12 x − 4 и y = −x + 1
12 x − 4 = −x + 1
12 x + x = 1 + 4
13 x = 5

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Взаимное расположение плоскостей

Данный калькулятор предназначен для определения взаимного расположения двух плоскостей в пространстве онлайн.

Две плоскости могут иметь три варианта взаимного расположения относительно друг друга. Во-первых, плоскости могут быть параллельны. Во-вторых, они могут быть перпендикулярны. В таком случае угол между плоскостями равен 90 градусам. В-третьих, плоскости могут пересекаться, образовывая при этом два острых и два тупых угла.

Таким образом, с помощью данного калькулятора определяется следующее: пересекаются или нет плоскости, и, если они пересекаются, то перпендикулярны ли они.

Чтобы ответить на вопрос о взаимном расположении плоскостей, необходимо ввести уравнения заданных плоскостей в калькулятор и нажать кнопку «Вычислить».

Видео:№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

Взаимное расположение прямых

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.

Просмотр содержимого документа
«Взаимное расположение прямых»

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

Под углом между прямыми в плоскости понимают меньший (острый) из двух смежных углов образованными этими прямыми.

Если прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=к₁х+b₁ и у=к₂х+b_2, то угол φ между ними вычисляется по формуле

tg φ=

Условие параллельности прямых l₁ и l₂ имеет вид

а условие их перпендикулярности

k₁ = — (или k₁k₂= — 1)

то величина φ угла между ними вычисляется по формуле

tg φ=

угловые их параллельности

( или А₁В₂-А₂В₁=0)

Условие их перпендикулярности

Для нахождения общих точек прямых l₁ и l₂ необходимо решить систему

уравнений

А₁х+В₁у+С₁=0, у=k₁x+b₁

или

Если , то имеется единственная точка пересечения прямых ;

Если — прямые l₁ и l₂ не имеет общей точки, т. е параллельны;

Если -прямые имеют бесконечное множество точек т.е совпадают

Расстоянием d от точки М₀ (х₀;у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую .

Расстояние d определяется по формуле

Расстояние от точки М₀ (х₀;у₀) до прямой х cos + y sin— p=0 вычисляется по формуле

ПРИМЕР: найти угол между прямыми :

1) y=2x-3 и y=;

2) 2x-3y+10=0 и 5x – y+4=0;

3) y= и 8x+6y+5=0;

Воспользуемся формулой. Подставляя в неё значения k₁=2 и k₂= , находим tg===

=arctg);

Подставим значения А₁ = 2, В₁=-3,А₂=5,В₂=-1 в формулу : tg==1,

Здесь k₁=найдём k₂. Для этого перейдём от 6y =-8x-5 к эквивалентному равенству y=- Здесь k₂=-Так как k₁*k₂=-1, то данные прямые перпендикулярны. (По формуле получаем:tg==)

k₁=5,k₂=5, tg=0,=0.

Задания для практических занятий:

1. Найти угол между прямыми:

2) 2х-3у-7=0 и 2х-у+5=0;

3) у=х+6 и 3х-2у-8=0;

4) у= 7х -1 и у=7х+1;

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1) 3х+5у-9=0 и 10х-6у+4=0

2) 2х+5у-2=0 и х+у+4=0;

3) 2у=х-1 и 4у-2х+2=0;

5) =1 и у=х+2;

8) у=3-6х и 12х+2у-5=0;

10) х —у-1=0 и х +у+2=0

3. При каких значениях следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны.

1) 2х-3у+4=0 и х-6у+7=0;

2) х-4у+1=0 и -2х+у+2=0;

3) 4х+у-6=0 и 3х+у-2=0;

4) х- у+5=0 и 2х+3у+3=0;

4.Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0; х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

5. Найти уравнение прямой, проходящий через точку А (-1;2):

а) параллельно прямой у=2х-7;

б) перпендикулярно прямой х+3у-2=0.

6. Найти длину высоты ВД в треугольнике с вершинами А (4;-3); В (-2;6) и С (5;4).

7. Даны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х-11у-29=0 и 3х-у+11=0.

Найти вершины этого треугольника.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти острый угол между прямыми:

2) 2х-3у+6=0 и 3х-у-3=0

4) 3х+4у-12=0 и 15х-8у-45=0

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1) 2х-3у+4=0 и 10х+3у-6=0

2) 3х-4у+12=0 и 4х+3у-6=0

3) 25х+20у-8=0 и 5х+4у+4=0

4) 4х+5у-8=0 и 3х-2у+4=0

3. Найти уравнение прямой, проходящий через точку В (2;-3)

а) параллельно прямой, соединяющей точки М₁ (-4;0) и М₂ (2;2);

б) перпендикулярно прямой х-у=0.

4. Составить уравнение прямой, содержащий высоту ВД в треугольнике с вершинами

А (-3;2), В (5;-2), С (0; 4)

5. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2х+у+4=0, х+7у-11=0 и 3х-5у-7=0.

6.Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

7. Дан четырехугольник АВСД с вершинами А (3;5); В (6;6); С (5;3); Д (1;1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

8.Даны вершины треугольника А(2;-2), В (3;5), С (6;1). Найти:

1) длины сторон АС и ВС;

2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС;

3) уравнение прямой , на которой лежит высота, проведенная из В;

4) длину этой высоты;

5) уравнение прямой, на которой лежит медиана проведенная из точки А;

6) длину этой медианы;

7) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;

8) центр тяжести треугольника;