Установите соответствие между дифференциальными уравнениями движения точки и видами колебаний

Какое из приведённых ниже утверждений есть определение гармонического колебательного движения?

Выберите какой из графиков приведённых на рисунках, описывает зависимость от времени смещения точки от положения равновесия для гармонического колебательного движения?

Точка `М` одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат `OХ` и `OY` с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз `pi/2` траектория точки М имеет вид .

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: `x = Asin(omegat + alpha)`. Какой из приведённых графиков представляет зависимость скорости от времени, при условии, что `alpha = 0`?

Установите соответствие между видом колебательного движения и уравнением, описывающем данный колебательный процесс.

На рисунке представлен график смещения `x` точки из положения равновесия в зависимости от времени `t`.Коэффициент затухания равен.

Колебательное движение описывается уравнением `x = Acos(omega_0t + alpha)`. Установите соответствие между энергией колебания и её математическим выражением.

Материальная точка массой `m` совершает гармонические колебания под действием упругой силы `F= -kx`. Выберите все верные выражения для полной энергии осциллятора.

Если материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 5 см, циклической частотой `2pi с^-1` и начальной фазой `pi//4` то точка колеблется в соответствии с уравнением .

Что называется амплитудой гармонических колебаний?

Какие из приведённых зависимостей координаты `х` от времени `t` не описывают гармоническое колебательное движение?

Какова начальная фаза гармонического колебания `x= Asin(omegaf + alpha)`, зависимость смещения которого от положения равновесия изображена на графике?

Для рассматриваемых случаев установите соответствие между периодом колебаний и его математическим выражением.

Из трёх гармонических одинаково направленных колебаний с равными амплитудами и частотами, но различными начальными фазами:

Из трёх гармонических одинаково направленных колебаний с равными амплитудами и частотами, но различными начальными фазами:

При какой разности фаз в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами получается линейное колебание?

Гармонический осциллятор совершает колебания. Какие из перечисленных величин достигают максимального значения в крайнем положении осциллятора.

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону `x = 0, 3 cos((2pi)/3 t+pi/4)` Максимальное значение скорости точки равно .

Какова траектория движения точки, одновременно участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях вида: `x = A sinomegat` и `y = A cos omegat?`

Задано уравнение гармонических колебаний: `x = A cos((2pi/t t + а_0)`-Какое из выражений представляет фазу этих колебаний?

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: `x = 2e^(-0,1t)sin(5pit + pi/6)`. Логарифмический декремент затухания равен .

Какое из приведённых ниже выражений даёт значение логарифмического декремента затухания?

Приведите в соответствие колебательным процессам дифференциальные уравнения.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси х, и вдоль оси у, т.е. участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примем со, = со₂ = со.

Разность фаз между обоими колебаниями равна Аср = ср₂ — ср,.

Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t. Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы ср, = 0, т.е.

В результате решения этих уравнений получим уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительнохиу произвольно:

Фигуры Лиссажу

Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.2.9).

1. Начальные фазы колебаний одинаковы.

Тогда уравнение (2.2.9) примет вид

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.2.5, а). Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат. Такие колебания называются линейно поляризованными.

2. Начальная разность фаз равна п. Так как cos7t = -l, следовательно, уравнение колебания в этом случае

т.е. точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис. 2.2.5, б).

Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях

3. Начальная разность фаз равна п/2. Так как sin (к/ 2) = 1, a cos (к/ 2) = = 0, то уравнение (2.2.9) примет вид

Это уравнение эллипса с полуосями А_х и А₂ (рис. 2.2.5, в табл. 2.2.1). В этом случае имеем эллиптически поляризованные колебания.

При А₁ = А₂ получим уравнение окружности (циркулярно-поляризованные колебания).

Рис. 2.2.5. Линейно (а, б) и эллиптически (в) поляризованные колебания

Угол сдвига фаз Дф, град

_ со. Фигуры Лиссажу при — со₂

4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.

Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лис- сажу (1822—1880) — французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур.

В приведенных примерах рассматривались простейшие случаи, когда со, = (0₂ = со. Если со, Ф со₂, то в результате будут получаться уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу (см. табл. 2.2.1).

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей

Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

Рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки

Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем

Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:

где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что

где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид

Второе уравнение из (12) можно преобразовать:

где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.

Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде

Рис. 4

Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения

Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):

(153)

имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.

(154)

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

(155 / )

или в проекциях на оси координат:

(155)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.

Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

Пример решения задачи №1

Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.

Рис. 171

Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:

x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.

где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.

Ответ.

Пример решения задачи №2

Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.

Рис. 172

Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила

Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φ_e—переносной и Φ_c-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .

Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:

mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.

Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом

Ответ. и не зависит от положения хорды.

Пример решения задачи №3

Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.

Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.

Поворотная сила ползуна Φ_с=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид

mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),

причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.

• Две основные задачи динамики точки
• Прямолинейное движение точки
• Криволинейное движение материальной точки
• Движение несвободной материальной точки
• Сложное движение точки
• Сложение движение твердого тела
• Кинематика сплошной среды
• Аксиомы классической механики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.