Условия возникновения колебаний и апериодического затухания решений однородного уравнения

В реальных условиях свободные колебания механической системы происходят при наличии сил сопротивления, вызывающих рассеивание

( диссипацию) механической энергии системы.

Предположим, что силы сопротивления, действующие на тела системы пропорциональны скорости

(1.10)

где μ- коэффициент сопротивления среды.

В этом случае дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид [1,2,3]

(1.11)

где (1.12)

b-называется обобщенным коэффициентом сопротивления или коэф-фициентом диссипации. Коэффициент n называется коэффициентом затухания и характеризует сопротивление среды.

Интегрирование этого уравнения производим по общему правилу интегрирования однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

(1.13)

В зависимости от соотношения величин n и k возможны три различных случая:

1.В случае малого сопротивления, когда n k, корни характеристического уравнения действительные и разные, поэтому движение системы будет апериодическим.

3.В случае достаточно большого сопротивления при n=k корни характеристического уравнения действительные и кратные, поэтому будет иметь место предельное апериодическое движение системы.

Затухающие колебания. При n — nt указывает на то, что амплитуда затухающих колебаний с течением времени уменьшается. Циклической частотой затухающих колебаний называется величина . (1.16)

Тогда период затухающих колебаний

(1.17)

где — период свободных колебаний системы при отсутствии сопротивления (n=0).

Так как промежуток времени, отделяющий моменты двух наибольших последовательных отклонений системы от ее положения равновесия, соответствует полупериоду колебаний Т * /2, то значения этих отклонений будут следующими:

(1.18)

Отношение двух последовательных амплитуд называется декрементом колебаний η , эта величина остается постоянной во все время колебательного движения:

(1.19)

Логарифмическим декрементом колебаний называется величина:

(1.20)

Апериодическое движение. В случае большого сопротивления при n > k движение системы теряет колебательный характер и является апериодическим. Общее решение дифференциального уравнения (1.11) ищем в виде:

(1.21)

Используя необходимые преобразования, общее решение можно записать в виде:

(1.22)

Новые постоянные интегрирования В₁ и В₂ можно заменить другими постоянными А₁ и γ по условию:

(1.23)

Тогда, уравнение движения системы примет вид

(1.24)

Уравнение движения системы (1.24) показывает, что движение системы не является колебательным, так как гиперболический синус не является периодической функцией.

График этого апериодического движения системы представлен на рисунке 3.

Предельное апериодическое движение. При достаточно большом сопротивлении n=k общее решение дифференциального уравнения (1.11) имеет вид:

(1.25)

Определив С₁ и С₂ по начальным условиям движения, уравнение (1.25) принимает вид:

(1.26)

В этом случае движение системы является также апериодическим.

Рассмотрев влияние сопротивления, пропорционального скорости, на движение системы с одной степенью свободы, можно сделать следующие выводы:

1.Силы сопротивления, совершая отрицательную работу, вызывают непрерывное уменьшение амплитуды затухающих колебаний системы.

2.Влияние малого сопротивления на частоту и период колебаний системы незначительно, однако даже очень малое сопротивление вызывает затухание этих колебаний.

3.При большом сопротивлении происходит апериодическое движение системы, т.е. колебательный процесс отсутствует.

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Условия возникновения колебаний и апериодического затухания решений однородного уравнения

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания:

Время релаксации τ — время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз:

Коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Пусть N — число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз. Если х = 0,01, то N = 100.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому (r = r_кр, а β = ω_о), то круговая частота обращается в нуль (ω = 0, а период Т → ∞), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим (рис. 2.3.2).

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Затухающие колебания

4.2 Затухающие колебания

4.2.1 Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Если кроме возвращающей силы на систему действует ещё и сила сопротивления (например, сила трения в механической системе или сопротивление проводника в контуре), то энергия колебательной системы будет расходоваться на преодоление этого сопротивления. Вследствие этого амплитуда колебаний будет уменьшаться и колебания будут затухать. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Рассмотрим затухание на примере пружинного маятника с коэффициентом упругости k, массой m, колеблющегося в среде, например, в жидкости, с коэффициентом сопротивления r. Предположим, что колебания малы и что маятник испытывает вязкое трение. В этом случае можно считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости:

Знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости. Закон движения маятника при данных условиях будет иметь вид:

Преобразуем это выражение:

(51)

Обозначим: w02 = = d, где w0 — циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника при отсутствии сил сопротивления, d — коэффициент затухания. Дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника примет вид:

(52)

Получили однородное дифференциальное уравнение, второго порядка, описывающее малые затухающие колебания в системе с вязким трением. Его решение имеет вид:

где ω — частота затухающих колебаний:

w = . (54)

Уравнение (52) справедливо для любой системы, как механической, так и немеханической, например, для электромагнитного контура. Действительно, для колебательного контура с сопротивлением R второе правило Кирхгофа имеет вид уравнения (29), которое после преобразований принимает вид:

.

Из сравнения с уравнением (52) следует:

Таким образом, дифференциальное уравнение затухающих колебаний

любой линейной системы в общем виде задается уравнением:

+ 2d+w02S = 0. (55)

где S — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d = const – коэффициент затухания, w0 — собственная циклическая частота колебательной системы, т. е. частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы (при отсутствии потерь энергии) Решение уравнения (55) имеет вид:

амплитуда затухающих колебаний; A0 — начальная амплитуда.

Таким образом, затухающие колебания описываются функцией с экспоненциально убывающей амплитудой, т. е. затухающие колебания не являются гармоническими.

Зависимость (56) показана на рисунке 10 сплошной линией, а зависимость (57) — штриховыми линиями. Если пропорциональность силы трения и скорости не выполняются, то и закон убывания амплитуды будет другим. Например при сухом трении Fтр ≠ ƒ(t), Fтр = const и амплитуда убывает согласно геометрической прогрессии. Во многих измерительных приборах наряду с вязким трением (наличие смазки) присутствует и сухое трение (напр. в подшипниках). Пока амплитуды колебаний велики, в затухании доминирует вязкое трение. При малых амплитудах преобладает влияние сухого трения.

4.2.2 Параметры затухающих колебаний

1) Период затухающих колебаний:

Т = (58)

При δ β2 , согласно формуле (58) Т → 2π/ ωo. Такой режим затухания называют периодическим или колебательным (рисунок 10). В этом случае для характеристики процессов в системе можно использовать параметры гармонических колебаний.

2) При ωo2 ≈ β2 наступает критический режим колебаний. В формуле (58) ω → 0, Т → ∞. Наличие большого затухания в системе приводит к большим потерям энергии, поэтому, перейдя положение равновесия, система не в состоянии отойти от него на сколь-нибудь заметное расстояние и возвращается к равновесию (рисунок 11). Условие наблюдения критического режима можно получить из соотношений:

а) для механической системы

rk = 2 (67)

в) по аналоги для электрической системы

. (68)

3) При ωo2 wо2) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает. Изображенная на рисунке 13 совокупность графиков функции (79), соответствующих различным значениям параметра d, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении wо к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному fо/wо2, т. е. Fo/k. Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины Fo. При w → ∞ все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше d, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» по­лучается максимум. Из формулы (79) вытекает, что при малом зату­хании (т. е. при d > w 0, tgj = -2δ/ω и сдвиг фаз становится равным p. Зависимость j от w при разных значениях d показана графически на рисунке 14.

При слабом затухании wрез» w0, и значение j при резонансе можно считать равным p/2.Сдвиг фаз на p/2 при резонансе означает, что вынуждающая сила опережает смещение на Т/4. При этом условии работа вынуждающей силы всегда положительна и приток энергии к колебательной системе максимален.

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий. В противном случае возникают вибра­ции, которые могут вызвать катастрофу. Известны слу­чаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная частота колебаний моста оказывалась близкой к частоте, с которой шагала колонна.

Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т. д.

4.4 Автоколебания

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струёй.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.

4.5 Переменный ток

4.5.1 Вынужденные электромагнитные колебания. Закон Ома для переменного тока.

Переменный ток можно рассматривать как установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор. Мы будем рассматривать квазистационарные токи, для которых мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, содержащей последовательно включённые резистор, катушку индуктивности, конденсатор и источник переменной Э. Д.С., изменяющейся по гармоническому закону:

где εo — амплитуда электродвижущей силы.

В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL, UC . Будем считать, что внутреннее сопротивление источника э. д.с. пренебрежимо мало по сравнению с R. По закону Ома для участка цепи 1- L— R-2 имеем:

где φ2 — φ1 = q/C — мгновенное значение разности потенциалов обкладок

конденсатора, q — его заряд в этот же момент времени, — L(dI/dt) — э. д.с. самоиндукции в контуре. Возьмём производную по времени от обеих частей равенства (145). Учитывая, что dq/dt = I — ток в контуре, получим:

Учитывая, что R/L = 2δ, 1/ (ωC) = ωo2 и введя обозначение — εoω/L = еo уравнение (84) запишем в виде:

Решение уравнения (85) аналогично решению ранее рассмотренного уравнения (71). Ищем решение уравнения (84) для установившегося режима в виде:

где Iо — амплитуда переменного тока в контуре, j — сдвиг фаз между э. д.с. источника тока и силой тока. По аналогии с определением формул (74) и (75) найдём выражения для Iо и j :

(86)

(87)

Соотношение (86) называется законом Ома для переменного тока. Величина

(88)

называется полным сопротивлением цепи.

RL = ωL — индуктивное сопротивление;

RC = 1/ (ωC) — ёмкостное сопротивление;

— реактивное сопротивление. Реактивное сопротивление не вызывает тепловых потерь в цепи переменного тока. Оно создаёт сдвиг фаз между током и вынуждающей э. д.с.

R — активное сопротивление; за счёт него возникают тепловые потери в контуре.

Падение напряжения на отдельных участках цепи, представленной на рис. 15, можно получить, используя выражение (85):

UC = q/ С = U0C cos(ωt — φ — π/2);

По второму правилу Кирхгофа:

На рисунке 16 представлена векторная диаграмма амплитуд колебаний на всех элементах рассматриваемой цепи (см. рис. 15).

Из выражения (86) следует, что амплитуда тока зависит от частоты вынуждающей э. д.с. (рисунок 18). Максимального значения I0 достигает при частоте ωрез, равной:

(89)

Явление достижения током максимального значения I0рез при ω = ωрез называется резонансом напряжений. Это вызвано тем, что при ω = ωрез падения напряжений на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях достигают максимальных значений равных по модулю и противоположных по фазе, поэтому суммарное падение напряжение на реактивном сопротивлении равно нулю. Падение напряжения на активном сопротивлении максимально, его амплитудное значение

Векторная диаграмма для резонанса напряжений при­ведена на рис.17.

Подставив в формулу (91) значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим:

( UL )рез= ( UС )рез= I0 = U0 = Q U0, (92)

где Q — добротность контура.

Так как доброт­ность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонан­са на конденсаторе, можно получить напряжение с амплитудой QUm ( в данном случае Q — добротность контура, которая может быть значительно больше Um. Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс­ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции элект­рических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

4.5.2 Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Полное мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений э. д.с. и силы тока. P(t) = ε(t) I(t), где

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что =1/2, sinw t.cosw t = 0, получим

= I0 ε0 cosj (93)

Из векторной диаграммы (см. рис. 16) следует, что ε0 cosj = RI0. Поэтому

.

Такую же мощность развивает постоянный ток . Величины Iэф = I0 /, Uэф = U0 / называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и на­пряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения. Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности можно записать в виде:

(94)

где множитель cosj называется коэффициентом мощности,

Формула (94) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj =1 и P = Iэф εэф. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cosj = 0 и средняя мощ­ность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cosj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных уста­новок составляет примерно 0,85.

💥 Видео

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Общая физика | Лекция 20: Затухающие колебания. Добротность. Вынужденные колебания. РезонансСкачать

5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Урок 335. Анализ графика гармонических колебанийСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Якута А. А. - Механика - Вынужденные колебания. АЧХ. ФЧХСкачать

КОЛЕБАНИЯ физика 9 класс решение задачСкачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Лекция 9. Вынужденные и затухающие колебанияСкачать

71. Вынужденные колебанияСкачать

ЧК_МИФ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯСкачать

Превращение энергии при колебаниях. Уравнение колебательного движения. 1 часть. 9 класс.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать