Условия совместности системы линейных однородных уравнений (8 видео)

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) — это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) — это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

Если ранг матрицы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n — r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

Содержание

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Условия совместности системы линейных однородных уравнений
💥 Видео

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ left <begin& -3x_1+9x_2-7x_3=17;\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. endright.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $widetilde$, запишем их:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:

$$ Delta A=left| begin -3 & 9 & -7 \ -1 & 2 & -4 \ 4 & -2 & 19 end right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

$$ left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ -1 & 2 & -3 & 3 \ 2 & -3 & 5 & -4 \ 3 & -2 & 5 & 1 \ 2 & -1 & 3 & 2 end right) begin phantom\r_2+r_1\r_3-2r_1\ r_4-3r_1\r_5-2r_1endrightarrow left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & -1 & 1 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 4 end right) begin phantom\phantom\r_3-r_2\ r_4-r_2\r_5+r_2endrightarrow\ $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right) begin phantom\phantom\phantom\ r_4-r_3\phantomendrightarrow left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $rangwidetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $rang=2$.

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ left( begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end right) overset<r_1leftrightarrow> $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end right) begin phantom\ r_2-2r_1 \r_3+3r_1 \ r_4+5r_1 \ r_5-7r_1 end rightarrow left( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 end right) begin phantom\ phantom\4r_3+3r_2 \ 4r_4-7r_2 \ 4r_5+3r_2 end rightarrow $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 end right) begin phantom\ phantom\phantom \ r_4-r_3 \ r_5+r_2 end rightarrow left( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $rangwidetilde=ranglt$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Условия совместности системы линейных однородных уравнений

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Условие совместности линейной системы Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Из элементарного курса и из курса аналитической геометрии читатель знаком с системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и с системами двух и трех линейных уравнений с тремя неизвестными (cм. выпуск «Аналитическая геометрия», дополнение к гл. 1). Целью настоящей главы является изучение системы произвольного числа m линейных уравнений с произвольным числом n неизвестных.
Мы сначала установим необходимое и достаточное условие существования хотя бы одного решения (или, как говорят, совместности) такой системы, а затем займемся отысканием всей совокупности ее решений.
В §4 гл.4 будет рассмотрен важный для приложений случай приближенного задания всех коэффициентов системы и ее свободных членов. Для этого случая будет изложен метод регуляризации А.Н. Тихонова, позволяющий найти так называемое нормальное (т. е. наиболее б лизкое к началу координат) решение указанной системы с точностью, соответствующей точности задания коэффициентов и свободных членов.
В гл. 6 будет дано представление о численных (итерационных) методах решения систем линейных уравнений.

§ 1. Условие совместности линейной системы

1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (или, кратко, линейная система) имеет следующий вид:

При этом через х₁, x₂. х_n обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их n не предполагается обязательно равным числу уравнений m); величины a₁₁, a₁₂. a_mn, называемые коэффициентами системы, и величины b₁, b₂. b_m, называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы a_ij имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Система (3.1) называется однородной, если все ее свободные члены b₁, b₂. b_m равны нулю.
Если хотя бы один из свободных членовb₁, b₂. b_m отличен от нуля, то система (3.1) называется неоднородной.
Система (3.1) называется квадратной, если число m составляющих ее уравнений равно числу неизвестных n.
Решением системы (3.1) называется такая совокупность n чисел c₁, c₂. c_n, которая при подстановке в систему (3.1) на место неизвестных х₁, x₂. х_n обращает все уравнения этой системы в тождества.
Не всякая система вида (3.1) имеет решения. Так, система линейных уравнений.

заведомо не имеет ни одного решения (ибо если бы существовало решение этой системы, то при подстановке этого решения в левых частях обоих уравнений стояли бы одинаковые числа и мы получили бы, что 1=2).
Система уравнений вида (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.
Совместная система вида (3.1) может иметь или одно решение, или несколько решений.
Два решения совместной системы вида (3.1) c (1) ₁, c (1) ₂. c (1) _n и c (2) ₁, c (2) ₂. c (2) _n называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств

Совместная система вида (3.1) называется определенной, если она имеет единственное решение.
Совместная система вида (3.1) называется неопределенной, если у нее существуют по крайней мере два различных решения.
Весьма удобно записывать линейную систему (3.1) в матричной форме. Для этого используем введенное в п. 2 § 1 гл. 1 понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой из этих матриц равно числу строк второй из матриц). В качестве перемножаемых матриц возьмем две матрицы: матрицу

содержащую m строк и n столбцов и составленную из коэффициентов при неизвестных (такую матрицу мы в дальнейшем будем называть основной матрицей системы (3.1)), и матрицу X, содержащую n строк и 1 столбец, т. е. один столбец вида

Согласно правилу перемножения двух матриц (cм. п. 2 § 1 гл. 1, формулу A.4) произведение АХ матрицы (3.2) на матрицу (3.3) представляет собой матрицу, содержащую m строк и 1 столбец, т. е. один столбец следующего вида:

Система равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом

Таким образом, в матричной записи систему (3.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением

в котором матрицы А, X и В определяются соотношениями (3.2), (3.3) и (3.5). Решение матричного уравнения (3.6) заключается в отыскании такого столбца (3.3), который при заданной матрице (3.2) и заданном столбце правых частей (3.5) обращает уравнение (3.6) в тождество.
В этом и в следующем параграфах мы выясним в отношении линейной системы (3.1) следующие три вопроса:
1) способ установления того, является система (3.1) совместной или нет,
2) способ установления того, является система (3.1) (в случае ее совместности) определенной или нет,
3) способ отыскания единственного решения совместной системы (3.1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений(в случае ее неопределенности).
2. Нетривиальная совместность однородной системы. Начнем с рассмотрения однородной линейной системы вида (3.1), т.е. системы

Сразу же отметим, что эта система всегда совместна, ибо она всегда обладает так называемым тривиальным (или нулевым) решением х₁ = x₂ = . = х_n = 0 ( д ействительно, подставив в систему (3.7) нули на место всех неизвестных х₁, x₂. х_n, мы обратим в тождества все уравнения этой системы).
Возникает вопрос о том, при каких условиях однородная система (3.7) имеет, кроме указанного тривиального решения, еще и другие
решения (т.е. является «нетривиально совместной»).
Этот вопрос решается довольно просто. Заметим, что существование нетривиального решения системы (3.7) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы (3.2) (ибо линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) означает, что существуют числа х₁, x₂. х_n, не все равные нулю и такие, что справедливы равенства (3.7)).
Но в силу теоремы 1.6 о базисном миноре линейная зависимость столбцов матрицы (3.2) будет иметь место тогда и только тогда, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, т.е. тогда и только тогда, когда порядок r базисного минора матрицы (3.2) меньше числа n ее столбцов.
Мы приходим к следующей теореме.
Теорема 3.1. Однородная система (3.7) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг r матрицы (3.2) меньше числа n ее столбцов.
Следствие. Квадратная однородная система2) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.
В самом деле, в случае квадратной однородной системы (3.7), т.е. при m = n ранг r матрицы C ( т о есть система (3.7), у которой число уравнений m равно числу неизвестных n) будет меньше числа m = n тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.
3. Условие совместности общей линейной системы. Установим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.1). С этой системой связаны две матрицы: матрица А, определяемая соотношением (3.2), которую принято называть основной матрицей системы (3.1) (она составлена из коэффициентов при неизвестных), и матрица

которую принято называть расширенной матрицей системы (3.1) (она получается из основной матрицы путем добавления к этой матрице столбца (3.5) свободных членов).
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 3.2 (теорема Кронекера-Капелли). Для того чтобы линейная система 3.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть система (3.1) совместна, т.е. существуют такие числа c₁, c₂. c_n, что справедливы равенства

Обозначим через r ранг основной матрицы системы (3.1) и рассмотрим линейную оболочку L r базисных столбцов этой матрицы. В силу теоремы 1.6 о базисном миноре любой столбец основной матрицы принадлежит указанной линейной оболочке L. Иными словами, любой столбец расширенной матрицы (3.8), кроме последнего ее столбца, принадлежит указанной линейной оболочке L.
Из равенств (3.9) следует, что и последний столбец расширенной матрицы (3.8) принадлежит линейной оболочке L (ибо этот последний столбец в силу равенств (3.9) линейно выражается через все столбцы основной матрицы и поэтому линейно выражается через ее базисные столбцы). Таким образом, все столбцы расширенной матрицы (3.8) принадлежат указанной линейной оболочке L. В п. 2 § 3 гл. 2 мы уже установили, что размерность указанной линейной оболочки L равна r.
Это означает, что любые г + 1 столбцов расширенной матрицы (3.8) линейно зависимы, т. е. ранг расширенной матрицы (равный максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы) также равен числу r. Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть ранги основной и расширенной матриц совпадают. Тогда г базисных столбцов основной матрицы будут являться базисными столбцами и расширенной матрицы (3.8) ( и бо указанные г базисных столбцов линейно независимы, а большего чем r числа линейно независимых столбцов расширенная матрица не имеет).
По теореме 1.6 о базисном миноре, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию указанных r базисных столбцов. Стало быть, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию и всех столбцов основной матрицы (3.2) ( н е изменяя линейной комбинации r базисных столбцов, мы можем добавить к ней все небазисные столбцы с множителями, равными нулю), т. е. существуют числа c₁, c₂. c_n такие, что справедливы равенства (3.9). Последние равенства означают, что числа c₁, c₂. c_n представляют собой решение системы (3.1), т.е. эта система является совместной. Теорема полностью доказана.