Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Видео:Иррациональное уравнение 634. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.Скачать

Иррациональное уравнение 634. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Продолжаем изучать методы решения уравнений. Сейчас мы в деталях разберем метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Начнем с теории: рассмотрим, для решения каких уравнений применяется метод, опишем, в чем он состоит, приведем теоретическое обоснование метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, запишем соответствующие алгоритмы решения уравнений. После этого сосредоточимся на практике и рассмотрим разнообразные примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Для решения каких уравнений применяется

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в первую очередь применяется для решения иррациональных уравнений. Это объясняется тем, что возведение в натуральную и большую единицы степень позволяет избавляться от корней. Например, возведение в степень позволяет избавляться от корней при решении следующих уравнений:

  • Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, C≥0 , в частности, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи т.п. Возведение в квадрат обеих частей первого уравнения позволяет перейти к уравнению Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, и дальше – к сравнительно простому уравнению без знаков корней x 2 −5=4 . Аналогично, возведение обеих частей второго уравнения в шестую степень приводит к уравнению Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи дальше — к элементарному уравнению 4−5·x=0 .
  • Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, например, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи др. В первом случае избавиться от корня позволяет возведение обеих частей уравнения в квадрат, а во втором случае – в куб.
  • Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, таких как Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи подобные им. Для первого уравнения напрашивается возведение его обеих частей в квадрат, для второго – в шестую степень.
  • уравнений с двумя, тремя корнями в записи, например, Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. В таких случаях для избавления от знаков радикалов к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится обращаться дважды: первый раз в самом начале, второй раз – после преобразований и уединения радикала.
  • уравнений, в которых под знаком корня находятся другие корни, к примеру, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Здесь также к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится прибегать два раза.
  • и это не весь список.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется и для решения некоторых уравнений, в которых переменная находится в основаниях степеней с дробными показателями. Например, уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияможно решить методом возведения его обеих частей в дробную степень 6/11 .

Также метод возведения частей уравнения в степень применяется при решении некоторых степенных уравнений, в которых фигурируют иррациональные показатели. В пример приведем два уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Возведение их обеих частей в одну и ту же степень (в первом случае в степень Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, во втором – в степень Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения) позволяет избавиться от степеней с иррациональными показателями и перейти к сравнительно простым уравнениям.

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

8 класс, 38 урок, Иррациональные уравнения

В чем состоит метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Метод состоит в переходе к уравнению, которое получается из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же степень, и нахождении решения исходного уравнения по решению полученного уравнения.

На практике наиболее часто прибегают к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, большую единицы, то есть, в квадрат, куб и т.д. Делается это на базе следующего утверждения:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень, большую единицы, дает равносильное уравнение (см. равносильные уравнения и уравнения-следствия).

Реже приходится обращаться к возведению обеих частей уравнения в другие степени, в частности, в дробные рациональные и иррациональные. В этих случаях отталкиваются от такого утверждения:

Уравнение A(x)=B(x) , на области допустимых значений переменной x для которого A(x)>0 или A(x)≥0 , B(x)>0 или B(x)≥0 , равносильно уравнению A r (x)=B r (x) , где r – положительное действительное число.

Видео:Возведение иррационального уравнения в квадратСкачать

Возведение иррационального уравнения в квадрат

Обоснование метода

Обоснованием метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень является доказательство утверждений из предыдущего пункта. Приведем эти доказательства.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x0 – его корень. Так как x0 является корнем этого уравнения, то A(x0)=B(x0) – верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x0)=B 2·k (x0) . А полученное равенство означает, что x0 является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .

Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, и уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, действительно, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, что то же самое 4=4 — верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, так как после подстановки нуля получаем равенство Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x0)=B(x0) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x0)=B 2·k+1 (x0) , которое означает, что x0 является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x0)=B 2·k+1 (x0) — верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Оно в свою очередь в силу тождества Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x0)=B(x0) . А это означает, что x0 является корнем уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Утверждение, касающееся возведения обеих частей уравнения в одну и ту же положительную действительную степень, доказывается аналогично с опорой на единственность степени положительного числа с действительным показателем.

Видео:Подготовка к ЕГЭ #56. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в степеньСкачать

Подготовка к ЕГЭ #56. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в степень

Алгоритмы решения уравнений методом возведения частей в одну и ту же степень

Есть смысл записать три алгоритма решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: первый – для возведения в нечетную степень, второй – для возведения в четную степень, третий – для возведения в ненатуральную положительную степень.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень:

  1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
  2. Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же четную степень:

  1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k .
  2. Решается полученное уравнение.
    • Если полученное уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения.
    • Если полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней любым методом, не завязанным на области допустимых значений, например, через проверку подстановкой.

Обратите внимание: этот алгоритм, в отличие от предыдущего, содержит пункт, касающийся отсеивания посторонних корней. Это связано с тем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к равносильному уравнению, а возведение обеих частей уравнения в четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Поэтому, в результате возведения в нечетную степень посторонние корни не возникают, а при возведении в четную степень посторонние корни могут появиться. Таким образом, при возведении частей уравнения в четную степень возникает необходимость в отсеивании посторонних корней. Почему отсеивание посторонних корней в этом случае нужно проводить методом, не использующим ОДЗ? Потому что возведение обеих частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ, и отсеять их по ОДЗ или по условиям ОДЗ невозможно.

Наконец, запишем алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же положительную дробную рациональную или иррациональную степень:

  1. Убеждаемся, что выражения в левой и правой части уравнения не принимают отрицательных значений на ОДЗ для решаемого уравнения.
  2. Возводим обе части уравнения в одну и ту же положительную степень.
  3. Решаем полученное уравнение. Его решение дает искомое решение исходного уравнения.

Видео:Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в степень. ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 #56Скачать

Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в степень. ГВЭ11 + ЕГЭ 2021 #56

Примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Большое количество попадающих под разбираемую тему примеров с подробными решениями приведено в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень. В добавление к этим примерам стоит разобрать решение уравнения через возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, не являющуюся натуральным числом.

Решите уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Решать заданное уравнение можно несколькими разными методами. Например, можно провести решение методом логарифмирования. Также можно преобразовать уравнение к виду Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи перейти к уравнению Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияна основании метода освобождения от внешней функции, или, сославшись на единственность степени с данным основанием и данным показателем. Но в рамках текущей статьи нас интересует решение уравнения методом возведения его обеих частей в одну и ту же степень, поэтому, проведем решение именно этим методом.

Учитывая свойство степени в степени (см. свойства степеней), несложно догадаться, что избавиться от иррациональных показателей позволяет возведение обеих частей уравнения в степень Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Здесь мимоходом заметим, что Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения— положительное число (при необходимости смотрите сравнение чисел), и при этом не натуральное. Мы вправе осуществить задуманное возведение частей уравнения в положительную ненатуральную степень, так как степени, находящиеся в левой и правой части исходного уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения не принимают отрицательных значений. При этом мы получим равносильное уравнение, что было обосновано в одном из предыдущих пунктов текущей статьи.

Итак, проводим возведение обеих частей уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияв одну и ту же степень Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Имеем Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Это уравнение равносильно исходному, значит, решив его, мы будем иметь интересующее нас решение.

Решаем полученное уравнение:
Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Так мы пришли к кубическому уравнению x 3 −x 2 +2=0 . Один его корень x=−1 легко подбирается. Разделив многочлен x 3 −x 2 +2 на двучлен x+1 , получаем возможность представить кубическое уравнение в виде (x+1)·(x 2 −2·x+2)=0 . Квадратное уравнение x 2 −2·x+2=0 не имеет решений, так как его дискриминант отрицательный. Из этого заключаем, что уравнение x 3 −x 2 +2=0 имеет единственный корень x=−1 .

В процессе решения мы дважды отмечали, что нам будет необходимо сделать проверку найденных корней. Сейчас пришло это время. Проверку выполним через подстановку найденного корня x=−1 в исходное уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, имеем
Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Видео:Как решить уравнение - возведение в квадрат | Профильная МатематикаСкачать

Как решить уравнение - возведение в квадрат | Профильная Математика

Возведение обеих частей уравнения в квадрат

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пусть даны два уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(1) и Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения— корень первого уравнения, то верно равенство Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, а это означает, что Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения— корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения; Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.Тогда Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.

3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.

Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения — следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим: Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Тогда Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то выражение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне имеет смысла.

Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.

Пример 2. Решить уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Решение. Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияили Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Тогда Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то выражение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне имеет смысла.

Если Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением — следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(3) и умножим обе части его на одно и тоже выражение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, имеющее смысл при всех значениях Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Получим уравнение: Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(4), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне имеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если обе части уравнения умножить на Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне имеет корней, то полученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне уже области допустимых значений переменной данного уравнения).

Пример 1. Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Заметим, что подобное преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих частей уравнения (4) на выражение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, как правило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случае могут «потеряться» корни уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Пример 2. Уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияимеет два корня: 3 и 4.

Деление обеих частей уравнения на Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияприводит к уравнению Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, имеющий только один корень 4, т.е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(5), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. Ясно, что уравнения (3) и (5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.

Пример 3. Уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияимеет корень 4. Если обе части этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, имеющие два корня: -2 и 4. Значит, уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения— следствие уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. При переходе от уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияк уравнению Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияпоявился «посторонний» корень: -2.

Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Пример 1. Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.

Определение 10. Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность обозначается следующим образом: Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Пример 1. Уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияравносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень – число 3. Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияУсловие возведения в квадрат обеих частей уравненияУсловие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Пример 2. Уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне равносильны, т.к. первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.

Пример 3. Уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияравносильны, т.к. множества их решений пусты. Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияУсловие возведения в квадрат обеих частей уравненияУсловие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Определение 11. Пусть даны уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи некоторое множество М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяют второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Пример 1. Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияи Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияне являются равносильными на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственный корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве единственный корень: 1.

Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, либо множеством всех действительных чисел.

Имеется ряд теорем о равносильности уравнений.

Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияУсловие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(обе части первого уравнения разделили на 2).

Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.

В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:

1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) введение новых (вспомогательных) переменных.

Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень — не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень — четное число, то получим уравнение — следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы.

Теорема 7. Уравнение вида Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияравносильно смешанной системе Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Уравнение вида Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Теорема 8. Уравнение вида Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияили Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Уравнение вида Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Решение иррациональных уравнений

Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияРешение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(1)

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(2)

В первом уравнении Условие возведения в квадрат обеих частей уравнениямы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1 . Решим уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Посмотрим внимательно на второе уравнение: Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения. В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения=0″ title=»g(x)>=0″/> Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения— это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения=0″ title=»f(x)>=0″/> Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения(4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияравносильно системе:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения=0> >>» title=»delim<matrix<<f(x)=g^2> =0> >>»/> Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Пример 2 . Решим уравнение:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Перейдем к равносильной системе:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения=0> >>» title=»delim<matrix<<2x^2-7x+5=^2> =0> >>»/> Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Неравеству Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения=0″ title=»1-x>=0″/> Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияудовлетворяет только корень Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решим уравнение:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

По тереме Виета:

Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения, Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияправая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При Условие возведения в квадрат обеих частей уравненияполучаем верное равенство.

Ответ: Условие возведения в квадрат обеих частей уравнения

💥 Видео

Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shortsСкачать

Уравнения с корнем. Иррациональные уравнения #shorts

Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)

Решение иррациональных уравнений.Скачать

Решение иррациональных уравнений.

показательно степенное уравнение методом логарифмирования обеих частей уравненияСкачать

показательно степенное уравнение методом логарифмирования обеих частей уравнения

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Сможешь решить иррациональное уравнение? Необычный метод решенияСкачать

Сможешь решить иррациональное уравнение? Необычный метод решения

Понятие модуля | Возведение уравнения в квадратСкачать

Понятие модуля | Возведение уравнения в квадрат

Возведение в квадратСкачать

Возведение в квадрат

Решение иррациональных уравнений 3Скачать

Решение иррациональных уравнений 3

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Иррациональные уравнения | Алгебра 8 класс #44 | ИнфоурокСкачать

Иррациональные уравнения | Алгебра 8 класс #44 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: