Условие и уравнение равновесия техническая механика

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Видео:Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Видео:Статика. Условия равновесия плоской системы сил (23)Скачать

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Статика. Момент сил. Условия равновесия тел | Физика ЕГЭ, ЦТ, ЦЭ | Физика для школьниковСкачать

Плоская система сил в теоретической механике

Содержание:

Плоская система сил:

Плоскую систему сил можно привести к более простой системе сил, состоящей из силы или пары сил. Эти случаи возможны, если система сил не находится в равновесии, т. е. если одновременно не равны нулю главные вектор и момент системы сил. Рассмотрим эти частные случаи.

Видео:Урок 70. Виды равновесия. Условие равновесия тела при отсутствии вращения.Скачать

Случай приведения к равнодействующей силе

1. Если при приведении плоской системы сил к какому-либо центру окажется, что главный вектор Равнодействующая сила в этом случае проходит через центр приведения, а по величине и направлению совпадает с главным вектором .
2. Если при приведении плоской системы сил главный вектор и главный момент , то такую систему можно упростить и привести к одной равнодействующей силе .

Эта сила по величине и направлению совпадает с главным вектором , но ее линия действия отстоит от первоначального центра приведения на расстоянии (рис. 40), которое определяют из соотношения

Рис. 40

Действительно, пусть при приведении к точке получаются главный вектор и пара сил, алгебраический момент которой равен главному моменту . По теореме об эквивалентности пар сил, расположенных в одной плоскости, пару сил можно поворачивать, передвигать в плоскости ее действия и изменять плечо и силы пары, сохраняя ее алгебраический момент. Выберем силы , , входящие в пару сил, равными по величине главному вектору. Тогда плечо пары сил определим по формуле

Повернем пару сил, чтобы ее силы были параллельны главному вектору , а точку приложения силы пары, противоположной по направлению главному вектору, совместим с центром приведения . Тогда

Так как , то такую систему сил можно отбросить.

Итак, систему сил, приведенную к силе с парой сил, в том случае, когда и , можно упростить и привести к одной силе —равнодействующей заданной системы сил, отстоящей от центра приведения на расстоянии

Равнодействующую силу , приложенную к твердому телу, можно перенести в любую точку линии ее действия. Случай, когда , возможен, если за центр приведения взять точку, лежащую на линии действия равнодействующей силы .

Видео:Урок 80 (осн). Момент силы. Правило моментовСкачать

Случай приведения к паре сил

Если при приведении плоской системы су л к какому-либо центру окажется, что главный вектор , а главный момент , то такую плоскую систему сил можно привести к одной паре сил, алгебраический момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения, и в этом случае главный момент не зависит от выбора центра приведения.

Если главный вектор равен нулю при приведении к одному какому-либо центру, то он равен нулю и при приведении к любому другому центру, так как главный вектор, являясь векторной суммой сил системы, не зависит от выбора центра приведения. Главный момент не зависит от центра приведения только в том случае, когда . В других случаях главный момент системы зависит от выбора центра приведения. Если бы при главный момент зависел от центра приведения, то одна и та же плоская система сил была бы эквивалентна парам сил, имеющим разные алгебраические моменты, что невозможно, так как эквивалентные пары сил, лежащие в одной плоскости, имеют одинаковые алгебраические моменты.

Таким образом, рассмотрены случаи, которые возможны при приведении плоской системы сил к какому-либо центру. Если и , то система сил находится в равновесии; если , a , или , , то система сил приводится к одной равнодействующей силе; если , , то система приводится к одной паре сил.

Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона)

Для случая, когда любая система сил, приложенных к твердому телу, плоская или пространственная, приводится к равнодействующей силе, часто применяют так называемую теорему Вариньона: векторный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

Рис. 41

Пусть на твердое тело действует любая система сил (рис. 41), имеющая равнодействующую , т. е.

Добавим к заданной системе сил ее уравновешивающую силу , которая равна по модулю, но противоположна по направлению равнодействующей силе и имеет с ней общую линию действия. Тогда

т.е. при добавлении к системе сил уравновешивающей силы, согласно определению уравновешивающей силы, образуется новая система сил, эквивалентная нулю и, следовательно, удовлетворяющая условиям равновесия системы сил, приложенных к твердому телу. В частности, сумма векторных моментов сил этой новой системы сил относительно любой точки равна нулю:

так как и — две равные и противоположно направленные силы, действующие вдоль одной прямой. Подставляя (5) в (4), получаем

откуда следует теорема Вариньона

Если правую и левую части векторного равенства (6) спроецировать на произвольную ось , проходящую через точку , то, учитывая связь момента силы относительно оси с проекцией векторного момента относительно точки на оси, получим теорему Вариньона относительно оси :

т. е. момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов сил системы относительно той же оси.

Для случая плоской системы сил, если точку выбрать в плоскости действия сил, из (6) получаем

Это теорема Вариньона для плоской системы сил: алгебраический момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен сумме алгебраических моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

Различные формы условий равновесия плоской системы сил

Получены общие условия равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, в следующей форме:

Условия равновесия (9) назовем условиями равновесия плоской системы сил в первой форме.

Условия равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, можно сформулировать в других эквивалентных формах. Существуют еще две эквивалентные формы необходимых и достаточных условий равновесия.

Рассмотрим эти условия равновесия в виде теоремы о трех моментах и третьей формы условий равновесия.

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия)

Для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю, т. е.

Необходимость этих условий равновесия плоской системы сил обусловлена тем, что если плоская система сил находится в равновесии, то силы этой системы удовлетворяют условиям равновесия в первой основной форме (9). А тогда из последнего условия (9) следует, что сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки (следовательно, и точек , , ) равна нулю (рис. 42).

Для доказательства достаточности условий (10) для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, можно привести следующие рассуждения. Так как главные моменты относительно трех точек , и равны нулю, то для любой из этих точек, взятых за центр приведения, система приводится или к равнодействующей, если главный вектор системы отличен от нуля, или система сил оказывается в равновесии, если главный вектор системы равен нулю. Предположим, что она приводится к равнодействующей силе . Тогда если выбрать за центр приведения точку , то, используя теорему Вариньона (8), согласно (10), получим

Рис. 42

Выбрав за центр приведения точку , аналогично имеем

Эти условия для равнодействующей силы , отличной от нуля, могут выполняться в том случае, если линия действия равнодействующей силы проходит через точки и .

Из последнего условия (10) после применения теоремы Вариньона получаем

Но , так как точка не находится на прямой, проходящей через точки и . Следовательно, равнодействующая сила равна нулю, что и является достаточным условием равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу.

Третья форма условий равновесия

Условия равновесия плоской системы сил можно сформулировать и так: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю, т. е.

где за ось принята любая прямая, не перпендикулярная . Необходимость условий (11) для равновесия плоской системы сил следует из первой формы условий равновесия (9). Первая часть теоремы о достаточности условий (11) для равновесия (линия действия равнодействующей силы проходит через точки и ) доказывается так же, как и в теореме о трех моментах.

Из последнего условия (11) (рис.43) следует, что

так как ось не перпендикулярна прямой, проходящей через точки и . Следовательно, равнодействующая сила равна нулю, что и доказывает достаточность условий (11) для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу.

В частном случае плоской системы параллельных сил можно сформулировать другую форму условий равновесия этой системы сил: для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости сил, были равны нулю, т. е.

Точки и нельзя брать на прямой линии, параллельной силам.

При применении условий равновесия (12) удобно за момент-ные точки и брать точки, через которые проходят искомые силы, например реакции связей. В этом случае получаются такие уравнения для определения искомых сил, в каждое из которых входит только по одной неизвестной силе; эти уравнения, как правило, решаются проще, чем уравнения, в каждое из которых входят обе неизвестные силы.

Рис. 43

Видео:Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Статически определимые и статически неопределимые задачи

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется только три независимых условия равновесия, каждое из которых не является следствием двух других. Независимые условия равновесия можно брать в трех различных формах.

Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных, а для плоских систем параллельных и сходящихся сил — не более двух неизвестных. Если в какой-либо задаче число неизвестных окажется больше числа независимых условий равновесия, то такую задачу нельзя решить методами статики без рассмотрения прежде всего деформаций тела, т. е. без отказа от основной гипотезы статики об абсолютно твердом теле.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называют статически определимыми. Для любой плоской системы сил, приложенных к твердому телу, в статически определимой задаче число неизвестных должно быть не больше трех, а для плоских систем параллельных и сходящихся сил — не больше двух.

Пример простейшей статически неопределимой задачи приведен на рис. 44, где представлена балка заданной длины, закрепленная на концах с помощью двух неподвижных цилиндрических шарниров и . На балку действуют активные силы и . Известны также и точки приложения этих сил. Так как для цилиндрического шарнира имеются две неизвестные, например составляющие силы реакции по осям координат, то число неизвестных будет четыре, а независимых условий равновесия можно составить только три.

Чтобы сделать задачу статически определимой, надо балку на одном конце закрепить, например с помощью так называемой катко-вой опоры. Тогда одна неизвестная будет равна нулю; если катковая опора находится в точке и плоскость опоры катков параллельна оси , то сила равна нулю.

Рис. 44

Равновесие системы тел

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе нескольких взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров, соприкасаться друг с другом и взаимодействовать одно с другим, вызывая силы взаимодействия. Такую систему взаимодействующих тел иногда называют сочлененной системой тел.

Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называют силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему.

Внутренними называют силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.

Если, например, рассматриваемой системой тел является железнодорожный поезд, то внешними силами являются силы веса вагонов и тепловоза, действие рельсов на колеса вагонов и тепловоза, силы сопротивления воздуха. Внутренними силами являются натяжения в стяжках, сила давления газа и т. п.

Силы веса для любой системы тел, в которую не входит Земля, всегда являются внешними.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил (силы и , рис. 45). Поэтому внешние силы, действующие на систему тел отдельно, без внутренних сил, удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, за которое следует принять эту систему тел.

Рис. 45

Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил (рис. 45). Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела

для тела

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем

Если сложить (13) и (14), учитывая (15 и (16), то

Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему двух тел.

Для системы тел в том случае, когда на каждое тело действует любая плоская система сил, можно составить условий равновесия и, следовательно, определить неизвестных. Если число неизвестных больше , то задача является статически неопределимой. В случае статически определимой задачи условий равновесия можно получить, если составлять их для каждого тела отдельно, учитывая и силы взаимодействия тел, или составлять условия равновесия для любых комбинаций групп тел, в том числе и для всей рассматриваемой системы тел. При этом внутренние силы для отдельных групп тел учитывать не надо.

Распределенные силы

В статике рассматривают силы, приложенные к твердому телу в какой-либо его точке, и поэтому такие силы называют сосредоточенными. В действительности обычно силы бывают приложены к какой-либо части объема тела или его поверхности, а иногда к некоторой части линии. Так как все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, приложенных к твердому телу, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенных сил к сосредоточенным в простейших, наиболее часто возникающих случаях.

Распределенные силы прежде всего характеризуются интенсивностью распределенной силы, т.е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или длины линии. В основном встречаются параллельные и сходящиеся распределенные силы. К параллельным силам, распределенным по объему тела, относится вес частиц этого тела. Сила давления воды на плотину относится к распределенным параллельным силам по поверхности плотины. Сила тяжести частиц тонкой проволоки характеризует распределенные силы по длине линии.

Рассмотрим замену сосредоточенными силами только распределенных сил по длине линии, т. е. линейных распределенных сил. Для простоты возьмем случаи, когда отрезок линии, по которому распределены силы, является отрезком прямой, а интенсивность этих сил или постоянна (силы распределены по прямоугольнику), или распределена по линейному закону, в простейшем случае — по треугольнику. Комбинируя эти два случая, можно получить линейное распределение интенсивности распределенной силы в более общем случае.

Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии

Пусть на участке прямой линии длиной распределены параллельные силы, интенсивность которых постоянна (рис. 46, а). Заменим эти распределенные силы сосредоточенными. Для этого отрезок разобьем на отрезки достаточно малых размеров по сравнению с его длиной. На каждый такой малый отрезок действует сила которую при достаточной малости длины отрезка можно считать сосредоточенной силой. Заменяя полученную таким образом систему сосредоточенных параллельных сил одной равнодействующей силой, получим

Рис. 46

Равнодействующая параллельна распределенным силам и приложена вследствие симметрии распределения сил в середине отрезка .

Если параллельные силы постоянной интенсивности распределены по отрезку прямой, наклоненному к распределенным силам, то модуль равнодействующей таких сил равен . Линия действия ее, параллельная распределенным силам, проходит через середину отрезка (рис. 46, б). Модуль равнодействующей в этом случае не равен площади параллелограмма, образованного прямой и распределенными силами.

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону

Рассмотрим распределенные параллельные силы, изменяющиеся по линейному закону (рис. 47, а). Обычно считают, что такие силы распределены по треугольнику. Параллельные распределенные по треугольнику силы приводятся к равнодействующей , по модулю равной

где — наибольшая интенсивность силы. Это легко можно проверить путем сложения параллельных сосредоточенных сил , приложенных к каждому элементарному отрезку длиной . Наиболее просто это можно сделать путем интегрирования. Действительно,

Рис. 47

Если отсчитывать от точки , то из подобия треугольников имеем

После этого, вставляя под интеграл вместо его значение, получаем

Точка приложения равнодействующей силы смещается в сторону, где интенсивность силы больше, и совпадает с центром тяжести площади треугольника, который находится в точке пересечения медиан, расположенной на расстоянии от основания треугольника и от его вершины , т. е. . Точку приложения равнодействующей силы можно также определить вычислив момент элементарных сосредоточенных сил , например относительно точки , и применив затем теорему Вариньона о моменте равнодействующей силы.

Заменяя его значением , получаем

Учитывая, что найдем

Если параллельные силы с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону, распределены по отрезку прямой, наклоненному к направлению сил (рис. 47, б), то их равнодействующая и делит отрезок так же, как и в том случае, когда распределенные силы перпендикулярны отрезку . Величина равнодействующей в этом случае не равна площади треугольника, образованного отрезком прямой и распределенными силами.

В более сложных случаях распределенных сил равнодействующую силу и ее точку приложения обычно определяют путем интегрирования и применения теоремы Вариньона. Величину равнодействующей в случае непараллельных распределенных сил находят так же, как и для параллельных, только суммируют (и, следовательно, интегрируют) не элементарные сосредоточенные силы , а их проекции на оси координат. По проекциям уже вычисляют равнодействующую силу и косинусы ее углов с осями координат.

Реакция заделки

Пусть имеем тело, например балку , один конец которой заделан в стену (рис. 48, а). Такое крепление конца балки называют заделкой в точке . Пусть на балку действует плоская система сил . Определим силы, которые надо приложить в точке (сечении) балки, если часть балки отбросить.

К части балки при освобождении ее от заделки в стене приложены распределенные силы. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке , то в точке получим силу (главный вектор элементарных сосредоточенных сил ) и пару сил с моментом (главный момент относительно точки элементарных сил ) Момент называют моментом заделки.

Таким образом, заделка в отличие от шарнира создает не только не известную по величине и направлению реакцию , но еще и пару сил с не известным заранее моментом в заделке (рис. 48, б).

Очевидно, если рассмотреть любую часть балки, расчленив ее мысленно по сечению , то в месте расчленения надо приложить неизвестные силу и пару сил, заменяющие действие отброшенной части балки на рассматриваемую ее часть, причем сила и момент пары сил, действующие на различные части балки, будут иметь противоположные направления действия и вращения соответственно, как всякое действие и противодействие.

Рис. 48

Решение задач на равновесие плоской системы сил, приложенных к твердому телу и системе тел

Рассмотрим общие положения о решении задач на равновесие плоской системы сил, действующих на одно твердое тело и на систему тел. Весь процесс решения задачи на равновесие сил можно расчленить на ряд этапов, которые характерны для большинства задач.

К выбранному для рассмотрения телу или системе тел надо приложить все действующие силы, как активные, так и реакции связей; если нужно, расчленить систему тел на отдельные тела или группы тел. Если связью является абсолютно гладкая поверхность какого-либо тела, то реакция связи в этом случае направлена по нормали к общей касательной в точке соприкосновения в сторону, противоположную тому направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела.

Если связью является цилиндрический шарнир, позволяющий телу вращаться вокруг его оси, то реакцию шарнира, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси, следует разложить на две заранее не известные составляющие по положительным направлениям осей координат. Если эти составляющие после их определения из уравнений равновесия будут иметь знак минус, то составляющие реакции направлены противоположно положительному направлению осей координат.

Все гибкие связи (канаты, тросы, ремни и т. п.) создают реакции, направленные по касательной к гибкой связи в данной точке.

Если связью является заделка, которая в отличие от цилиндрического шарнира не позволяет телу поворачиваться, то кроме двух неизвестных составляющих реакций в этой точке надо еще приложить пару сил с не известным заранее моментом заделки.

Эти же случаи связей возможны и при расчленении систем тел.

Выявление всех сил, действующих на рассматриваемое тело или систему тел, особенно правильная замена различных видов связей их реакциями, является одним из главных этапов при решении задач на равновесие.

При расчленении системы тел надо следить, чтобы силы взаимодействия между телами или группами тел сочленной системы в точках сочленения были равны по модулю, но противоположны по направлению. При рассмотрении системы тел (или их группы) силы взаимодействия между телами системы (или их группы) прикладывать не нужно, так как эти силы являются внутренними и в уравнения равновесия для системы тел (или группы) не войдут.

Рис. 49

После выявления всех сил надо выбрать оси координат и моментные точки, а затем, составив условия равновесия сил в одной из форм, решить полученные уравнения относительно неизвестных.

Решение уравнений будет более простым, если при их составлении в каждое из уравнений добавляется по одной новой неизвестной. Этого удается достичь, если за моментную точку брать такую, в которой пересекаются две искомые силы. Такой точкой обычно является цилиндрический шарнир. Оси координат надо брать так, чтобы одна или две неизвестные силы были перпендикулярны одной из осей координат и, следовательно, параллельны другой оси. В этом случае в соответствующее условие равновесия для одного тела войдет только одна неизвестная сила.

Приведем примеры решения задачи на плоскую систему сил.

Пример 1.

Дана система двух твердых тел, соединенных с помощью шарнира (рис.49). Балка , изогнутая под прямым углом, имеет заделку в точке . Круговая арка закреплена в точке с помощью стержня, имеющего на концах шарниры. Размеры тел и приложенные силы указаны на рисунке. Дуговая стрелка условно обозначает пару сил. Силами тяжести тел пренебречь. Определить силы реакций в точках и .

Решение. Заменим распределенные силы сосредоточенными. Величина равнодействующей силы (рис. 50) распределенных по треугольнику сил на участке определяется по формуле

Точка приложения силы отстоит от точки на , т.е. на 1 м. Значение равнодействующей распределенных по арке радиальных сил определяем как произведение длины хорды , стягивающей дугу , на интенсивность распределенных сил , т. е.

Рис. 50

Линия действия равнодействующей силы вследствие симметрии распределения сил проходит через центр арки , деля угол, стягивающий арку, на равные части.

Рассмотрим сначала равновесие системы двух тел, состоящих из балки и арки . На эту группу тел действуют силы пара сил с моментом , силы реакций в заделке и в опоре .

Реакции заделки в точке в общем случае дают три неизвестные: две составляющие силы по осям координат и момент пары сил; одна неизвестная сила имеется в точке . Ее дает шарнирный стержень. Таким образом, имеем четыре неизвестные, а независимых уравнений для их определения — только три. Систему тел следует расчленить на отдельные тела (рис. 51), приложив к каждому из них в точке силы действия одного тела на другое, которые равны по величине, но противоположны по направлению.

В дальнейшем целесообразно на рисунках у стрелок, изображающих силы, ставить только буквы, обозначающие значения сил, без знака вектора над ними (рис. 51). Это уменьшит число неизвестных и, следовательно, количество уравнений для их определения.

Всего имеется шесть неизвестных, считая составляющие силы реакции в шарнире . Составляя по три уравнения равновесия сил для каждого тела, можно получить шесть уравнений для нахождения из них всех неизвестных. Требуется определить только четыре неизвестные реакции в точках и . Поэтому составим уравнения так, чтобы в них не входили реакции в точке и по возможности в каждое уравнение входило не более одной новой неизвестной.

Рис. 51

Составим для арки одно условие равновесия сил в форме суммы моментов сил относительно точки . Имеем

откуда получаем .

После этого для всей системы тел применим условие равновесия в форме суммы проекций сил на оси и . Получим

откуда .

Для определения момента пары сил в заделке достаточно применить для тела условие равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки . Имеем

откуда .

Если дополнительно требуется определить силы и , то следует применить условия равновесия для тела в форме проекций сил на оси и . Тогда

Из этих уравнений получаем

Для контроля правильности определения реакций в точках и следует составить условие равновесия, например, в форме суммы моментов сил относительно точки для всей системы. Полученные ранее значения неизвестных должны обратить его в тождество.

Задача считается решенной, если известны проекции искомых сил на оси координат, так как по проекциям легко определяются модули этих сил и косинусы углов сил с осями координат.

Пример 2.

Для системы тел, находящихся в равновесии, определить реакцию шарнира (рис. 52). Необходимые данные указаны на рисунке. Стержни и , блоки и нить считать невесомыми. Трением в шарнирах пренебречь. Дуговой стрелкой обозначена пара сил, — модуль алгебраического момента.

Рис. 52

Решение. Рассмотрим всю систему тел, освободив ее от связей, т.е. от цилиндрических шарниров в и . Неизвестные по величине и направлению силы реакций этих шарниров разложим на составляющие предположив, что они направлены по положительному направлению осей координат. Неизвестных четыре, а условий равновесия сил для всей системы тел можно составить только три. Поэтому рассмотрим другие комбинации тел или отдельные тела.

Для определения удобно составить условие равновесия для всей системы тел в форме суммы моментов сил относительно точки . Имеем

откуда . Из приведенного уравнения получилось со знаком плюс; следовательно, предположение о первоначальном направлении в положительную сторону оси оказалось правильным.

Рис. 53

Другие условия равновесия сил для всей системы тел не позволяют определить неизвестную , так как в уравнения войдет неизвестная сила .

Рассмотрим отдельно равновесие стержня (рис. 53), освободив его от связей. В шарнире неизвестную силу реакции заменим составляющими, направленными параллельно осям координат в положительную сторону. В точке приложим силу натяжения отброшенной нити, которая по величине равна силе тяжести груза и направлена по нити.

Для определения составим условие равновесия для сил, приложенных к стрежню , в форме суммы моментов сил относительно точки . В это условие не войдут неизвестные силы и , которые определять не требуется. Имеем

Отсюда находим . Знак плюс у этой силы указывает на правильность предположения о направленности .

Для приобретения опыта силового анализа в системах тел рассмотрим дополнительно еще несколько вариантов частей системы тел и отдельных тел с приложенными к ним силами (рис. 54. 57).

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

Рис. 57

При замене отбрасываемых тел силами учтено, что оси блоков и являются цилиндрическими шарнирами и реакции от них следует разлагать на составляющие, параллельные осям координат. Рассматривая силы, с которыми тела действуют друг на друга, следует учитывать, что, согласно аксиоме статики, силы действия и противодействия равны по величине, но противоположны по направлению. Так, если стержень действует на блок в точке с силами и , направленными в положительные стороны осей координат (рис. 56), то блок будет действовать на стержень (рис. 57) с силами, равными по модулю, но направленными в противоположные стороны.

При отбрасывании нити следует учитывать, что ее натяжение во всех точках при отсутствии трения в осях блоков одинаково по величине и направлено по касательной к нити. Нить при этом должна испытывать только растяжение. При рассмотрении отдельного блока силы натяжения нитей следует приложить в двух точках, в которых отбрасываются части нити.

Теорема Вариньона

Из формулы, определяющей расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей,

(см. рис. 74) можно вывести уравнение, выражающее теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил:

момент равнодействующей относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же точки.

Теорема Вариньона находит широкое применение при решении задач по статике, в частности во всех тех задачах, где рассматривается равновесие рычага.

При помощи теоремы Вариньона очень просто определяется равнодействующая какого угодно числа параллельных сил (рис. 80).

Известно, что модуль равнодействующей любой плоской системы сил равен модулю главного вектора:

Но если в данном случае расположить оси проекции так, как показано на рис. 80, одну ось — перпендикулярно к силам, а другую—параллельно им, то

Таким образом, модуль равнодействующей, параллельной системы сил равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную этим силам.

Так как =0, то вектор равнодействующей направлен параллельно составляющим силам. Сторона, в какую направлен R, определяется по знаку Если у алгебраической суммы проекций получается знак «плюс», то равнодействующая направлена в сторону положительного направления оси; если получается знак «минус», то равнодействующая направлена противоположно положительному направлению оси.

Определив модуль и направление равнодействующей, по теореме Вариньона находим расстояние ОА, на котором расположена

KL- линия действия R от произвольно выбранного центра моментов О.

Задача 1.

Определить равнодействующую двух параллельных сил направленных в одну сторону (рис. 81, о), если

1. Примем за начало осей проекций точку А. Ось х расположим перпендикулярно к данным силам и направим ее вправо, а ось у направим вдоль силы вниз (рис. 81,6).

2. Найдем модуль равнодействующей:

Так как сумма проекций положительна, то вектор равнодействующей направлен тоже вниз.

3. Приняв за центр моментов точку А, найдем расстояние АС от точки A до линии действия равнодействующей.

В данном случае

Таким образом, равнодействующая двух данных сил численно равна 27 н, и линия ее действия расположена от точки А на расстоянии АС = 1 м (рис. 81, в).

Задача 2.

Найти равнодействующую двух параллельных сил направленных в разные стороны, если = 12 кн и = 60 кн (рис. 82, а).

1. Расположим оси Ох и Оу так, как показано на рис. 82, б.

2. Найдем модуль равнодействующей:

.
Сумма проекций заданных сил имеет отрицательное значение. Следовательно, равнодействующая направлена влево (ось Ох направлена вправо).

3. Приняв за центр моментов точку О и предположив, что линия действия R пересекает отрезок ОВ в точке А, составим уравнение

.

Числовое значение О А получается отрицательным, значит этот отрезок от точки О необходимо отложить в противоположную сторону от ранее предполагаемого.

Равнодействующая заданных сил численно равна 48 и, направлена влево, и линия ее действия лежит ниже точки О на 0,25 м (рис. 82, в).

Задача 3.

К концам прямолинейной однородной планки длиной 1,6 м и весом 5 н прикреплены два груза (рис. 83): слева —груз = 20 н, справа — = 15 н. В каком месте планки нужно приделать петельку, чтобы подвешенная на ней планка с грузами оставалась в горизонтальном положении?

1. Изобразим на рис. 83 в горизонтальном положении планку АВ с грузами Так как планка однородная, ее вес G —5 н приложен в середине (в точке С).

Таким образом, к планке приложена система трех параллельных сил, действующих в одну сторону (рис. 83, б).

2. Оси проекций расположим, как показано на рис. 83, б.

3. Найдем модуль равнодействующей сил

Равнодействующая направлена вертикально вниз.

4. Определим, на каком расстоянии AD от точки А (левого конца планки) расположена линия действия равнодействующей:

Линия равнодействующей проходит через точку D на расстоянии 0,7 м от левого конца планки.

В этом месте и необходимо прикрепить к планке петельку. Если теперь за петельку подвесить планку на гвоздь или прикрепить к нити, то планка будет находиться в равновесии, оставаясь горизонтальной, так как равнодействующая R уравновесится реакцией гвоздя или нити.

Задача 4.

Балансир АВ, на который действуют пять горизонтально направленных параллельных сил (рис. 84), должен находиться в равновесии в вертикальном положении, будучи насаженным на горизонтальную ось.

Определить, где необходимо поместить ось балансира, пренебрегая его весом.

1. Расположив оси проекций, как указано на рис. 84, найдем модуль равнодействующей системы параллельных сил:

Таким образом, равнодействующая направлена вправо.

2. Определим расстояние ВО от нижнего конца балансира до линии действия из уравнения Вариньона (центр моментов в точке В):

Следовательно, линия действия равнодействующей пересекает находящийся в вертикальном положении балансир на расстоянии 64,5 см от нижнего конца В. Здесь (в точке О) и нужно поместить ось балансира.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача 5.

Где необходимо поместить ось балансира, описанного в предыдущей задаче, если силу =15 кн направить в противоположную сторону?

Ответ. ВО = 29,5 см.

Задачи, приведенные ниже, решаются при помощи так называемого условия равновесия рычага, непосредственно вытекающего из теоремы Вариньона.

Рычагом можно назвать любое тело, поворачивающееся либо вокруг закрепленной оси, либо около линии контакта, образующейся при свободном направлении на другое тело.

Находясь под действием сил, рычаг уравновешен лишь в том случае, если линия действия равнодействующей пересекает ось или линию опоры. Причем если опорой рычага АВ служит закрепленная ось (неподвижный шарнир), то линия действия равнодействующей может быть направлена к рычагу под любым углом а (рис. 85, а). Если же рычаг АВ свободно опирается на идеально гладкую опору

(рис. 85, б), то линия действия равнодействующей должна быть перпендикулярна к опорной поверхности.

В любом нз этих случаев равновесие возникает потому, что система сил, действующих на рычаг, уравновешивается реакцией опоры численно равной равнодействующей. А так как момент равнодействующей относительно опоры равен нулю, то из выражения теоремы Вариньона следует уравнение

выражающее условие равновесия рычага.

Задача 6.

Масса неоднородного стержня составляет 4,5 кг. Для определения положения центра тяжести стержня его левый конец положен на гладкую опору, а правый зацеплен крюком динамометра (рис. 86, а). При горизонтальном положении стержня динамометр показывает усилие 1,8 кГ. Расстояние АВ —130 см от левой опоры до динамометра определено путем непосредственного измерения. Определить ^положение центра тяжести стержня.

1. Рассмотрим стержень как рычаг с опорой в точке А. Кроме реакции опоры, на него действуют две нагрузки: вес G = 4,5 кГ (1 кг массы притягивается к земле силой, равной 1 кГ), приложенный в центре тяжести на искомом расстоянии х от опоры А, и усилие пружины динамометра Я = 1,8 кГ (рис. 86, б).

2. Составим уравнение равновесия рычага:

В данном случае относительно точки А моменты создают две силы и G:

Решаем полученное уравнение:

Центр тяжести стержня расположен на расстоянии 52 см от левой опоры.

Задача 7.

Какова должна быть масса однородной доски (рис. 87, а), чтобы, опираясь в точке В на гладкую опору, она с положенными на нее грузами =100 кг и = 48 кг находилась в равновесии? Центр тяжести доски расположен в точке С.

1. Рассматривая доску как рычаг, видим, что на нее действуют гри нагрузки: вес левого груза вес правого груза

и собственный вес доски (рис. 87, б).

2. Для равновесия доски необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно опоры В равнялась нулю. Следовательно,

3. Подставив вместо весов их выражения через массы и разделив обе части равенства на постоянную величину g (ускорение свободного падения 9,81 получим

4. Отсюда находим массу доски:

Масса доски 8 кг.

Задача 8.

Предохранительная заслонка открывается в тот момент, когда давление в резервуаре превышает внешнее атмосферное на р=150 Заслонка прижимается к отверстию в резервуаре коленчатым рычагом АВС (рис. 88).

На каком расстоянии х от опоры рычага необходимо поместить груз весом G = 120 н, чтобы заслонка открылась при заданном давлении, если площадь отверстия в резервуаре а =12 см. Весом рычага пренебречь.

1. На рычаг АВС предохранительного устройства действуют две нагрузки: вес груза G = 120 н и сила Р, открывающая заслонку:

2. Условие равновесия рычага выразится уравнением

3. Решая это уравнение, находим

Груз необходимо поместить на расстоянии 30 см от опоры В.

Задача 9.

На рис. 89, а изображен коленчатый рычаг АВС, к короткому колену которого при помощи нити прикреплен груз массой = 50 кг, а к длинному — груз массой = 10 кг.

Под каким углом а к длинному колену необходимо расположить вторую нить, чтобы нить, удерживающая первый груз, образовала с АВ угол 30°? Расстояния

Считать, что при этом положении рычага линия действия собственного веса рычага проходит через ось В опорного шарнира рычага.

1. На рис. 89, б изобразим расчетную схему рычага; к точке А отвесно приложен вес первого груза к точке С под искомым углом а к СВ приложен вес второго груза Вес рычага приложен в точке В.

2. Замечая, что (так как плечо силы равно нулю), составим уравнение равновесия рычага:

3. Выразив плечи BD и BE через длины колен рычага, а веса и — через массы, получим уравнение

Этому значению sin а соответствует прямой угол. Следовательно,

Поэтому нить, удерживающую второй груз, нужно расположить перпендикулярно к длинному колену рычага.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

. Однородный стержень АВ длиной 2 м и весом 100 н прикреплен шарниром А к вертикальной стене АЕ (рис. 90). Под каким углом а к стержню должна быть направлена веревка с грузом Р = 50 н на конце, перекинутая через блок D, чтобы стержень находился в равновесии, образуя со стеной угол Трением на блоке пренебречь. Ответ, а —60 или 120°.

Равновесие произвольной плоской системы сил

Задача на равновесие произвольной плоской системы сил решается по той же общей схеме, которая приведена в § 8-2. Придерживаясь этой схемы, необходимо учитывать следующее.

Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту (Е. М. Никитин, § 26).

Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то(Е. М. Никитин, § 30). Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.

Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:

Первое и второе выражения — уравнения проекций — образуются из условия третье выражение — уравнение моментов — из условия

Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов

При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:

или

В первом случае линия, проходящая через точки А и В, не перпендикулярна к оси х. Во втором случае центры моментов А, В и С не лежат на одной прямой линии.

Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:

В этом случае точки А и В не лежат на прямой, параллельной силам.

В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.

Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).

Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.

В рассматриваемых ниже задачах используются лишь три разновидности нагрузок: сосредоточенные силы, равномерно распределенные силы * и пары сил (статические моменты) **.

Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки как пока-

заново на рис. 91, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам А или В тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 91, б.

Равномерно распределенные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 92, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров —интенсивности q и длины l на протяжении которой они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 92, б.

* К распределенным нагрузкам относятся также неравномерно распределенные нагрузки, но в настоящем пособии они не рассматриваются.
** Здесь не рассматриваются случаи, когда пары сил действуют на некотором расстоянии непрерывной цепочкой моментов (распределенные моменты).

Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами Р, действующими на тело так, как показано на рис. 93, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 93, б.

Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Q подвешен на конце бруса, жестко заделанного другим концом

в каком-либо теле (рис. 94, а). Если перенести действие силы в точку А тела (рис. 94, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента.

Как правило, в задачах по статике реакции связей —искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо

знать ее направление и числовое значение (модуль).

Направления реакций идеальных связей — связей без трения — определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.

1. При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела либо к поверхности связи рис. 95), либо к общей касательной обеих поверхностей рис. 95).

Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении —перпендикулярном к опорной поверхности.

2. Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми.

Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (рис. 96).

3. Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 97), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким

образом, подвижный шарнир (т. е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.

4. Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 98), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.

Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма или треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции

Направление реакции неподвижного шарнира непосредственно определяют в двух следующих случаях:

• а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;
• б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил (задачи 47-9 и 48-9).

5. Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 99). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.

ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).

Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.

6. Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 100). В отличие от гибкой связи (см. п. 2) такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.

Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, то в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.

Задача 10.

На горизонтальную балку АВ, левый конец которой имеет шарнирно-неподвижную опору, а правый —шарнирноподвижную, в точках С и D поставлены два груза: (рис. 101, а). Определить реакции опор балки.

1. Рассмотрим равновесие балки АВ, на которую в точках С и D действуют две вертикальные нагрузки (рис. 101, б).

2. Освободив правый конец балки от связи и заменив ее действие реакцией направленной перпендикулярно к опорной поверхности, увидим, что на балку действует система параллельных сил. Поэтому, если освободить и левый конец балки от шарнирно неподвижной опоры, то се реакция будет также направлена вертикально (рис. 101, б).

3. Составим систему уравнений равновесия вида (5), приняв для одного уравнения за центр моментов точку А, а для другого — точку В;

4. Решая уравнения, из (I) находим

5. Проверим правильность решения, составив уравнение проекций сил на вертикальную ось у:

Подставляя в это уравнение числовые значения, получаем тождество

14 — 10 — 20+16=0 или 0 =0

Значит задача решена правильно.

При решении задач рекомендуется не пренебрегать проверкой. От правильности определения реакций опор зависит правильность всего остального решения или расчета.

Задача 11.

На консольную балку, имеющую в точке А шарнирно-неподвижную, а в точке В шарнирно-подвижную опору, действуют две сосредоточенные нагрузки: 50 кн, как показано на рис. 102, а; угол а=40°. Определить реакции опор балки.

1. Рассматривая находящуюся в равновесии балку AD, видим, что в точке С на нее действует вертикально вниз нагрузка а в точке D под углом ос к АВ действует другая нагрузка (рис. 102, б).

2. Освобождаем балку от связен и заменим их действие реакциями. В месте шарнирно-подвижной опоры В возникает вертикальная реакция Направление реакции шарнирно-неподвижной опоры в данном случае непосредственно определить нельзя, поэтому заменим эту реакцию ее двумя составляющими

3. Для полученной системы из пяти сил, произвольно расположенных в плоскости, составим систему уравнений равновесия вида (3), расположив ось х вдоль балки, а за центры моментов приняв точки А и В:

4. Решаем полученные уравнения.

ХА = Р2 cos а = 50 cos 40° = 38,3 кн.

Так как

Знак минус, получившийся в последнем случае, показывает, что — вертикальная составляющая реакция неподвижного шарнира— направлена вниз, а не вверх, как предполагалось перед составлением уравнения (3).

5. При необходимости реакцию шарнира А легко определить (рис. 102, в).

Модуль реакции шарнира А найдем из формулы

Направление реакции Ra установим, определив угол

откуда

6. Проверим правильность решения задачи. Так как при решении не использовано уравнение проекций на ось у, то используем его для проверки:

Уравнение составлено по рис. 102, б.

После подстановки в это уравнение известных значений получим:

В данном случае, проверка решения при помощи уравнения проекций не дает возможности установить правильность определения полной реакции шарнира А. Чтобы проверить и этот этап решения, составим уравнение моментов относительно точки D, воспользовавшись рис. 102, в, на котором изображена реакция так, как она направлена в действительности:

Подставляем в это уравнение числовые значения, имея в виду, что

Расхождение в результатах, равное 0,3, получается из-за округлений при вычислениях.

В следующих задачах проверка решения не приводится и ее рекомендуется производить самостоятельно.

Задача 12.

Горизонтальная балка имеет в точке А шарнирноподвижную опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом а=25° (рис. 103, а), а в точке В — шарнирно-неподвижную опору. Балка нагружена в точках С и D двумя сосредоточенными силами = 24 кн и = 30 н.

Определить реакции опор.

1. Так же как и в задаче 75-14, балка нагружена двумя параллельными силами, но в отличие от этой задачи здесь реакция подвижного шарнира направлена не параллельно вертикальным нагрузкам, а под углом а к вертикали — перпендикулярно к опорной поверхности шарнира (рис. 103,6). Поэтому реакция неподвижного шарнира не будет направлена вертикально и, так же как в задаче 76-14, ее целесообразно заменить двумя составляющими

2. Расположив оси х и у как показано на рис. 103, б, составляем уравнения равновесия вида (1):

3. Решаем полученные уравнения. Из уравнения (3) находим

Из уравнения (2) находим

Из уравнения (1) находим

Таким образом, реакция шарнира А

а составляющие реакции шарнира В

и
4. Проверку решения производим при помощи уравнения моментов относительно точки С или D.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача 13.

На консольную балку, имеющую в точке А шарнирно-неподвижную, а в точке В шарнирно-подвижную опору,

действуют две нагрузки (рис. 104, а): в точке D — сосредоточенная нагрузка Р=8 кн, а на участке СВ — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q — 2 кн/м. Определить реакции опор.

1. В этой задаче, кроме сосредоточенной силы Р, на участке СВ действует равномерно распределенная сила, интенсивность которой q. Полная величина этой нагрузки (ее равнодействующая) равна q-CB и приложена в точке О посредине участка СВ (рис. 104, б), т. е.

2. Так же как в задаче 75-14, реакция подвижного шарнира направлена вертикально (перпендикулярно к опорной поверхности). Следовательно, и реакция неподвижного шарнира направлена вертикально. Таким образом, на балку действует система параллельных сил (см. рис. 104, б).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек В и А:

4. Из уравнения (1)

Отрицательное значение реакции означает, что она направлена вниз, а не вверх, как показано на рис. 104, б, потому что момент силы Р относительно опоры В больше, чем момент равномерно распределенной нагрузки.

Из уравнения (2) находим

Таким образом, реакция шарнира А равна 0,75 кн и направлена вертикально вниз; реакция шарнира В составляет = 14,25 кн и направлена вертикально вверх.

5. Для проверки решения можно использовать уравнение проекций на вертикальную ось.

Задача 14.

На двухконсольную балку с шарнирно-неподвижной опорой в точке Лис шарнирно-подвижной в точке В действуют, как показано на рис. 105,а, сосредоточенная сила Р—10 кн, сосредоточенный момент (пара сил)

М = 40 кн м и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q — 0,8 кн/м. Определить реакции опор.

1. В отличие от предыдущей задачи здесь, кроме сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки, равнодействующая которой приложена в точке О посредине участка на балку действует
момент М, направленный по часовой стрелке (рис. 105, б).

2. После освобождения балки от связей и замены связей их реакциями получаем уравновешенную систему, составленную из четырех параллельных сил и одной пары сил (момента).

* Перед тем как приступить к рассмотрению этой и следующих задач, необходимо вспомнить два важных свойства нары сил.

3. Составим два уравнения моментов относительно точек В и А:

4. Решая эти уравнения, находим, что

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача 15.

Жестко заделанная у левого конца консольная балка АВ (рис. 107, а) нагружена равномерно распределенной

нагрузкой интенсивностью q 5 сосредоточенной силой P= 12 моментом М = = 20 кн м. Определить реакции заделки.
Решение.

1. На балку действуют три нагрузки: в точке С—вертикальная сосредоточенная сила Р, по всей длине балки — равномерно распределенная нагрузка, которую заменим сосредоточенной силой

приложенной в точке Правый

конец балки нагружен моментом М, действующим против хода часовой стрелки (рис. 107, б).

2. Равновесие балки обеспечивается жесткой заделкой у точки А. Освободив балку от связи, заменим ее действие силой — реакцией связи и реактивным моментом Но так как реакцию заделки сразу определить нельзя (по тем же причинам, что и направление реакции неподвижного шарнира), заменим ее составляющими совместив их с осями х и у (см. рис. 107, б).

3. Составим уравнения равновесия —уравнение проекции на оси х и у и уравнение моментов относительно точки А:

4. Из уравнения (1)

а это означает, что горизонтальная составляющая реакции заделки равна нулю, так как в данном случае нет усилий, смещающих балку АВ в горизонтальном направлении.

Выше найдено, что значит реакция заделки перпендикулярна к оси х. Следовательно,

5. Проверку правильности решения можно произвести при помощи уравнения моментов относительно точки С или В. В любое из них входят обе найденные величины.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача 16.

Однородный брус длиной AB = 5 м и весом G = 400 н концом А упирается в гладкий горизонтальный пол и в гладкий вертикальный выступ, а в точке D— в ребро вертикальной стенки высотой ED=4 м. В этом положении брус образует с вертикальной плоскостью стенки угол a = 35° (рис. 109, а). Определить реакции опор.

1. В отличие от предыдущих задач здесь нет ни шарнирных опор, ни жесткой заделки. Брус свободно опирается о пол, выступ и ребро стенки. Нагрузкой является только вес бруса, приложенный по его середине, так как брус однороден.

2. Освободив брус от связей, изобразим его вместе со всеми действующими на него силами (рис. 109, б): в точке С на брус действует

его вес Пренебрегая поперечными размерами бруса, можно считать, что в точке А на брус действуют дв^ реакции: — вертикальная реакция пола и — горизонтальная реакция выступа; в точке D к брусу приложена реакция стенки. В данном случае брус свободно опирается о связи, поэтому реакция связей перпендикулярна к опорным поверхностям.

3. Таким образом, на брус действуют четыре силы: Расположив оси проекций как показано на рис. 109, б и приняв за центр моментов точку А, составим уравнения равновесия:

4. Решаем полученную систему уравнений.

Предварительно определяем АК и AD. Из рис. 109, б находим, что

И теперь из уравнения (3):

.

5. Проверку можно произвести при помощи уравнения моментов относительно точки С.

Задача 17.

Однородный брус АВ длиной 5 л и весом G = 180 и, прикрепленный к вертикальной стене шарниром А, опирается в точке D на выступ, ширина которого=1,5 м; при этом брус образует с вертикалью угол а=30°. К концу В бруса прикреплена нить, перекинутая через блок и несущая на другом конце груз Р = 360 н (рис. 110); угол = 40°. Определить реакцию выступа ED и полную реакцию шарнира А.

1. К брусу АВ приложены две нагрузки—его собственный вес G в середине бруса (так как брус однородный), действующий вертикальную вниз, и к нижнему концу —сила , направленная под углом к В А. Изобразим брус вместе с этими силами отдельно на рис. 111, а.

2. Брус, имеет две опоры. В точке D он свободно опирается на ребро выступа ED, и поэтому реакция выступа направлена перпендикулярно к брусу АВ. В точке А брус имеет шарнирнонеподвижную опору, направление реакции которой неизвестно. Заменим искомую реакцию двумя составляющими , допустив, что первая направлена горизонтально, а вторая — вертикально (см. рис. 111,о).

Таким образом, на брус АВ действует уравновешенная система пяти сил

3. Поместив начало осей координат в точке Е и расположив их в соответствии с выбранным направлением сил горизонтально и вертикально, составим уравнения равновесия:

4. Находим плечи AL, AD и АК

Теперь решаем полученные уравнения.

Из уравнения (3)

5. Знаки «минус» у числовых значений составляющих реакции шарнира А показывают, что составляющая направлена по горизонтали влево, а — по вертикали вниз, как это показано на рис. 111,6:

6. Находим модуль полной реакции шарнира Л и ее направление (угол на рис. 111,6):

Из рис. 111,6 видно, что реакция шарнира А образует с брусом АВ угол () = 49°10′.

Таким образом, реакция выступа перпендикулярна к брусу и равна н реакция шарнира направлена к брусу под углом 49°10′ и равна

Так как направление и числовое значение полной реакции шарнирно-неподвижной опоры не зависят от первоначально предполагаемого выбора направления составляющих , то при решении подобных задач можно расположить их как угодно.

1. Можно, например, предположить, что одна из составляющих реакции шарнира направлена вдоль бруса АВ, а вторая — перпендикулярно к нему.

2. Изобразим при таком предположении силы, приложенные к брусу, на рис. 112, а. Расположим оси х и у как показано на том же рисунке и составим уравнения равновесия, приняв за центр моментов [для уравнения точку D:

Теперь решим уравнения.

Из уравнения (2)

4. Как видно, реакция имеет такое же значение, что и в первом решении. Составляющие реакции направлены так, как показано на рис. 112, б. Используя этот рисунок, найдем модуль и направление (угол

Как видно, результаты получаются те же; небольшое расхождение (0,7%) в значении угла, определяющем направление реакции относительно бруса АВ, объясняется приближенностью вычислений.

Задача 18.

Балка АВ, нагруженная как показано на рис. 114, а, удерживается в равновесии стержнями 1, 2 и 3, имеющими по
концам шарнирные крепления. Определить реакции стержней.

При этом

1. На балку АВ действуют три нагрузки: в точке А— сосредоточенная сила и момент М, а на участке СВ = 6 м —равномерно

распределенная нагрузка интенсивностью которую заменим равнодействующей приложенной в точке О — посредине участка СВ. Следовательно (рис. 114,6),

2. Так как прямолинейные стержни при шарнирных креплениях могут только растягиваться или сжиматься, то реакции стержней направлены вдоль них. Предположим, что все стержни растянуты. Заменим их (см. рис. 114,6) реакциями

3. Составим, как обычно, три уравнения равновесия:

4. Из уравнения (3)

Знак «минус» указывает, на то, что стержень 3 сжат и реакция направлена вверх.

Из уравнения (1) выразим

Подставим полученное значение в уравнение (2) и найдем из него .

Таким образом, стержни 1 и 2 растянуты и их реакции стержень 3 сжат, его реакция

Рассмотренное решение неудобно тем, что оно требует подстановки в одно из уравнений неизвестного из другого уравнения.

Если из числа трех опорных стержней два имеют общий шарнир, то задачу можно решить иначе. Сначала определить реакцию общего шарнира, а затем, используя правило треугольника, найти реакции сходящихся у шарнира стержней.

В рассмотренной задаче обе нагрузки действуют вертикально, а момент только стремится повернуть балку; значит нет усилий, смещающих балку в горизонтальном направлении. Поэтому аналогично тому, как указывалось в задачах 4, нагрузки могут быть уравновешены двумя реакциями, перпендикулярными к балке. А так как реакция стержня 3 перпендикулярна к балке, то и равнодействующая реакций 1 и 2 перпендикулярна к ней. На этом и основывается следующее решение.

1. В отличие от первого решения реакции стержней 1 и 2 заменим их равнодействующей Тогда расчетная схема примет вид, показанный на рис. 115, а (штриховыми линиями показаны положения стержней 1 и 2).

2. Составим два уравнения моментов, приняв за центры моментов точки С и D:

3. Уравнение (1) аналогично уравнению (3) в первом решении. Решая уравнение (1), найдем, что

Таким образом, вертикальная равнодействующая реакций и двух первых стержней равна 134 кн.

4. Применив правило треугольника, разложим силу на составляющи (рис. 115,6), направления которых известны (реакции направлены вдоль стержней ).

На векторе как на стороне построим треугольник abc, стороны ас и сb которого, изображающие искомые реакции стержней, соответственно параллельны стержням

5. На основе теоремы синусов

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Видео:4.4 Аналитические уравнения равновесияСкачать

Справочный материал по статике

В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства систем сил, необязательно находящихся в равновесии.

Задачи статики можно условно разделить на три типа: задачи на равновесие системы сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, задачи произвольной плоской системы сил и задачи пространственной системы сил.

Нахождение координат центра тяжести тоже считается задачей статики. Хотя силы в этой задаче явно не присутствуют, основные формулы задачи следуют из уравнений равновесия системы параллельных сил.

Искомыми величинами в задачах статики могут быть реакции опор, усилия в элементах конструкций, геометрические (размеры, углы) и материальные (вес, коэффициент трения) характеристики систем. В статически определимых задачах число уравнений равновесия совпадает с числом неизвестных. Именно такие задачи и будут рассмотрены в этой части.

Для решения задач статики потребуются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси. Напомним, что проекция вектора силы на ось х определяется по формуле где а — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная.

Общее определение момента силы относительно точки О дается векторным произведением

где — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки О. Модуль момента вычисляем по формуле

где — угол между векторами Направление вектора момента вычисляется по правилу векторного произведения. Плечо силы относительно точки О — это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы;

Вектор момента перпендикулярен плоскости, в которой располагаются силы. Поэтому в задачах статики плоской системы сил момент можно рассматривать как скалярную величину — величину проекции вектора момента на нормаль к плоскости (ось ). Индекс для сокращения записи часто опускают и отождествляют момент силы относительно точки на плоскости со скалярной величиной — Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы относительно точки в плоских задачах статики. Для вычисления момента силы относительно точки О (рис. 1) сначала находим проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле Другой способ вычисления момента: — плечо силы относительно точки О.

Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный. На рис. 2 момент силы относительно точки О отрицательный. Если сила или линия ее действия пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

При решении задач пространственной статики (§ 4.3 — § 4.6) требуется вычислять момент силы относительно оси, или, что то же, проекцию момента силы относительно точки (1) на ось, проходящую через нее. Иногда эту величину удобнее искать как момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 3). Знак определяем по направлению вращения вокруг оси с точки зрения наблюдателя, находящегося на конце оси. Если вращение происходит по часовой стрелке, то момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный.

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее, т.е., если сила и ось лежат в одной плоскости.

Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — .это совокупность двух равных параллельных противоположно направленных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил относительно некоторой точки. Легко показать, что положение точки не существенно и на величину момента не влияет, поэтому момент пары является свободным вектором. Напомним, что вектор силы является вектором скользящим. В зависимости от знака момента пары на плоскости изображать пару будем изогнутой стрелкой Не путать эту стрелку с вектором пары! Вектор пары перпендикулярен ее плоскости.

Решение двух задач статики в системе Maple V приведено в § 15.1, 15.2. Большинство задач статики сводится к решению систем линейных уравнений. Рутинную часть работы по составлению и решению уравнений можно поручить Maple V. Простейшая программа может выглядеть, например, так:

Записывая уравнение на компьютере, а не на бумаге, вы достигаете сразу же нескольких целей. Во-первых, компьютер выполняет математические действия, часто весьма громоздкие. Во-вторых, уравнение легко поправить и сразу же пересчитать, если вы ошиблись при составлении уравнения и ответ не сходится. В-третьих, решение удобно оформить, распечатав его на принтере. Можно вывести график, таблицу результатов и т.д. Все эти действия можно выполнить и в других системах, в частности, в пакете AcademiaXXI.

Плоская система сходящихся сил

При изучении темы ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ вы научитесь составлять уравнения проекций и решать задачи равновесия плоских стержневых систем методом вырезания узлов. Этот метод лежит в основе компьютерной программы расчета ферм (§15.1).

Простая стержневая система

Постановка задачи. Плоская шарнирно-стержневая конструкция закреплена на неподвижном основании и нагружена в шарнирах силами. Найти усилия в стержнях.

Рассматриваем равновесие внутренних шарниров системы, не соединенных с неподвижным основанием. Такие шарниры будем называть узлами. Действие каждого стержня заменяем его реакцией — силой, направленной из узла к стержню. Усилие — это проекция реакции стержня на внешнюю нормаль к сечению. Если в результате решения задачи реакция стержня, приложенная таким образом к узлу, оказывается отрицательной, то стержень сжат, в противном случае стержень растянут.

• 1. Вырезаем узел, соединенный только с двумя стержнями. Действие стержней заменяем их реакциями.
• 2. Для полученной системы сходящихся сил составляем уравнения равновесия в проекциях на выбранные для этого узла оси.
• 3. Решаем систему двух линейных уравнений и находим искомые усилия.
• 4. Вырезаем очередной узел системы, тот, к которому подходят не более двух стержней с неизвестными усилиями. Составляем и решаем уравнения равновесия в проекциях на оси, выбранные для этого

Простая стержневая система:

узла. Этот пункт плана выполняем несколько раз для всех узлов до нахождения всех усилий.

• 5. Для проверки решения мысленно отделяем конструкцию от основания, заменяя действие рассеченных стержней найденными реакциями. Проверяем выполнение условий равновесия полученной системы сил.

Замечание 1. Существуют фермы , у которых к каждому узлу присоединены более двух стержней. Например, на рис. 4 изображена конструкция (сетчатая ферма В.Г.Шухова), к каждому узлу которой подходит по три стержня. Диагональные стержни расположены в разных плоскостях и не пересекаются.

Здесь нельзя определять усилия по предложенной схеме, переходя от одного узла к другому, так как нет узла, с которого можно начать расчет. В этом случае сначала составляются уравнения равновесия отдельных узлов, а потом совместно решается система полученных уравнений. Систему можно решать любым известным способом.

Замечании 2. Для упрощения уравнений равновесия одну из осей координат можно направить вдоль стержня с неизвестным усилием. Для каждого узла можно выбрать свою систему координат.

Замечание 3. Углы между осями и векторами усилий легче определять, если проводить через узлы вспомогательные вертикальные или горизонтальные прямые.

Замечание 4. Усилия в стержнях можно найти с помощью системы Maple V (Программа 1, с. 3-50).

*)Шарнирно-стержневая конструкция, нагруженная в шарнирах силами, называется фермой. Весом стержней фермы и трением в шарнирах пренебрегают.

Пример. Плоская шарнирно-стержневая конструкция закреплена на неподвижном основании шарнирами Е, D, С и нагружена в шарнире А горизонтальной силой Р = 100 кН (рис. 5). Даны утлы: Найти усилия в стержнях.

Конструкция состоит из шести стержней, соединенных тремя шарнирами (узлами). Узлы фермы находятся в равновесии. Для каждого узла А, В, F составляем по два уравнения равновесия в проекциях на выбранные оси. Из шести уравнений находим шесть искомых усилий.

1. Решение задачи начинаем с рассмотрения узла А, так как этот узел соединен только с двумя стержнями А В и AF. При вырезании узла действие каждого стержня заменяем силой, направленной из шарнира к стержню (рис. 6).

2. Составляем уравнения равновесия. Для упрощения уравнений ось направляем по стержню АВ. Получаем

где — проекции силы на ось х, a — проекции силы на ось

3.Решаем уравнения. Из первого уравнения системы находим усилие из второго — усилие

4. Рассматриваем узел F. К нему подходят три стержня (рис. 7).

Усилие в одном из них уже известно Усилия в двух других находим из уравнений для проекций:

Находим

Составляем уравнения равновесия узла В в проекциях на оси, направленные по стержням ВС и BD (рис. 8):

Решая уравнения, получаем:

5. Проверка. Рассматриваем равновесие конструкции в целом.

Горизонтальным сечением отсекаем ферму от основания. Действия стержней заменяем силами, которые направляем, как и раньше, по внешним нормалям к сечениям стержней, т.е. вниз (рис. 9).

Система сил, действующих на ферму, не является сходящейся. Для такой системы справедливы три уравнения равновесия, одно из которых — уравнение моментов. Составление уравнения моментов — тема задач статики произвольной плоской или пространственной системы сил (§2.1 — 3.2). Для того, чтобы не выходить за пределы темы поставленной задачи, в решении которой используются только уравнения проекций, составим два уравнения проекций на оси всех сил, действующих на ферму целиком:

Суммы равны нулю. Это подтверждает правильность решения. Результаты расчетов в кН заносим в таблицу

51.76	-73.21	73.21	-26.79	36.60	-63.40

Равновесие цепи

Постановка задачи. Определить положение равновесия плоского шарнирно-стержневого механизма, состоящего из последовательно соединенных невесомых стержней. Механизм расположен в вертикальной плоскости. В крайних точках механизм шарнирно закреплен на неподвижном основании. Средние шарниры нагружены силами. Найти усилия в стержнях.

Особенностью задачи является необычный для статики объект исследования — механизм, имеющий возможность двигаться. При определенном соотношении нагрузок и геометрических параметров механизм принимает положение равновесия. В качестве искомой величины может быть угол или какая-либо другая геометрическая характеристика конструкции. План решения

• 1. Записываем уравнения равновесия узлов системы в проекциях.
• 2. Решаем полученную систему уравнений. Определяем усилия в стержнях и искомый угол.
• 3. Проверяем равновесие конструкции в целом, освобождая ее от внешних связей. Проверочным уравнением может быть уравнение проекций на какую-либо ось.

Задача 19.

Определить положение равновесия плоского симметричного шарнирно-стержневого механизма. Концы А и Е шарнирно закреплены на неподвижном основании. Три внутренних шарнира В, С и D нагружены одинаковой вертикальной нагрузкой Q.
В положении равновесия — 60°. Определить угол и усилия в стержнях (рис. 10). Весом стержней пренебречь.

Конструкция, данная в условии задачи, представляет собой механизм, находящийся в равновесии только при некоторых определенных нагрузках. При изменении направлений и величин нагрузок меняется и конфигурация конструкции. Одной из неизвестных величин задачи (помимо усилий в стержнях) является угол . Для решения задачи используем метод вырезания узлов.

1. Записываем уравнения равновесия узлов системы. Составим уравнения равновесия узла С (рис.11):

Конструкция симметрична, поэтому уравнения равновесия узлов В и D запишутся одинаково. Рассмотрим равновесие узла В (рис.12).

Для упрощения уравнений направим ось у по стержню АВ, ось х — перпендикулярно АВ. Тогда, уравнение равновесия в проекции на ось х содержит только одну неизвестную величину:

2. Решаем систему уравнений (1-4). Из (1) получаем, что Это равенство объясняется симметрией конструкции и симметрией нагрузок. Из (2) и (4) с учетом полученного равенства находим

Выражаем из (5) и подставляем в (3):

Так как то после сокращения на получаем уравнение для

или Из (5) получаем усилие Стержень ВС сжат. Из (6) находим усилие

В силу симметрии задачи Результаты расчетов заносим в таблицу:

3. Проверка. Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом

Отсекая стержни от основания, заменим их действие реакциями, направленными по внешним нормалям к сечениям стержней, т.е. вниз (рис. 13). Уравнение проекций на ось х составлять не имеет смысла — в силу симметрии оно лишь подтвердит, что Проверяем равенство нулю суммы проекций всех сил на вертикаль:Задача решена верно.

Теорема о трех силах

Постановка задачи. Тело находится в равновесии под действием трех сил, одна из которых известна, у другой известно только направление, а у третьей не известны ни величина, ни направление. Используя теорему о трех силах, найти неизвестные силы.

В теореме о трех силах утверждается, что если на тело, находящееся в равновесии, действуют три непараллельные силы (включая реакции опор), то они лежат в одной плоскости, и линии их действия пересекаются в одной точке.

• 1. Найдем точку пересечения линий действия двух сил, направления которых известны. Через эту точку должна пройти и линия действия третьей силы.
• 2. Имея направления векторов трех сил, строим из них силовой треугольник. Начало одного вектора является концом другого. Если тело находится в равновесии, то сумма векторов сил, действующих на него, равна нулю. Следовательно, треугольник сил должен быть замкнут.
• 3. Из условия замкнутости треугольника по направлению заданной силы определяем направление обхода треугольника и, следовательно, направления искомых сил.
• 4. Находим стороны силового треугольника — искомые силы.

Задача 20.

Горизонтальный невесомый стержень А В находится в равновесии под действием трех сил, одна из которых вертикальная сила F = 5 кН (рис. 14), другая — реакция опорного стержня CD, а третья — реакция неподвижного шарнира А. Используя теорему о трех силах, найти неизвестные реакции опор.

1.3. Теорема о трех силах

1. Найдем точку пересечения линий действия двух сил, направления которых известны. Определим направление линии действия третьей силы.

На стержень АВ действуют три силы: заданная сила реакция шарнира А и реакция стержня CD. При этом линия действия вектора известна. Она совпадает со стержнем CD, так как стержень нагружен только двумя силами в точках С и D (вес стержня не учитывается). Согласно аксиоме статики эти силы равны по величине и направлены вдоль CD в разные стороны. Направление реакции шарнира А определяем по теореме о трех силах. Линии действия сил пересекаются в точке О (рис. 15). Следовательно, АО — линия действия силы Известны только линии действия сил поэтому векторы на рис. 15 не изображаем, пока из силового треугольника не узнаем их направления.

2. Строим силовой треугольник. Сумма векторов сил, находящихся в равновесии, равна нулю, следовательно, треугольник, составленный из должен быть замкнут.

Треугольник строим, начиная с известной силы (рис. 16). Через начало и конец вектора проводим прямые, параллельные направлениям

3.Из условия замкнутости треугольника по направлению внешней силы определяем направление обхода треугольника и, следовательно, направления реакций опор.

Замкнутость треугольника сил означает, что начало одной силы совпадает с концом другой. Отсюда определяем направление обхода треугольника, которое может быть различным в зависимости от способа построения силового треугольника (рис. 17 — против часовой стрелки, рис. 18 — по часовой стрелке). Направления и величины сил в обоих случаях одни и те же.

Изобразим реакции с учетом найденных направлений (рис. 19).

4. Определяем длины сторон силового треугольника — величины реакций опор. Найти стороны треугольника сил означает решить задачу. В нашем случае известны углы (по построению) и сторона F треугольника. Две другие стороны находятся по теореме синусов.

Можно поступить иначе, используя свойства подобия. На рис. 15 найдем треугольник подобный силовому. В ряде случаев этот треугольник очевиден. В общем же, для получения такого треугольника надо выполнить дополнительные построения: провести линии, проходящие через характерные точки (шарниры, точки приложения сил и т.п.), параллельно сторонам силового треугольника. Проведем, например, вертикаль Образуется треугольник подобный силовому (рис. 15, 17). Подобие следует из условия параллельности сторон треугольников.

Найдем стороны треугольника

Из подобия имеем соотношения

Отсюда вычисляем длины:

1.3. Теорема о трех силах

Из условия подобия треугольника сил и следует, что

Из этих пропорций находим искомые величины:

Предупреждение типичных ошибок

1. Размеры на чертеже сил, приложенных к телу (рис.15), измеряются в единицах длины (м, см), а на силовом треугольнике (рис. 17, 18) в единицах сил Не надо принимать линейные расстояния АО, СО и ВО за величины соответствующих сил.
2. Реакция гладкого основания перпендикулярна поверхности основания. Реакция гладкой поверхности тела о неподвижную опору перпендикулярна поверхности тела.
3. В данной задаче должно быть только три силы. Лишние силы возникают, если прикладывать вес тела там, где его нет, или если реакцию в шарнире А раскладывать на составляющие.

• Трение
• Пространственная система сил
• Центр тяжести
• Кинематика точки
• Моменты силы относительно точки и оси
• Теория пар сил
• Приведение системы сил к простейшей системе
• Условия равновесия системы сил

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Определение опорных реакций балки. Сопромат для чайников ;)Скачать

Условия равновесия твердого тела и системы сил

Видео:Определение реакций опор простой рамыСкачать

Термины «равновесие тела» и «равновесие системы сил»

Здесь мы рассматриваем условия, при которых твердое тело находится в состоянии равновесия. Под этим мы подразумеваем, что если тело в некоторый момент времени покоилось, то оно будет покоится и в последующие моменты времени, относительно некоторой инерциальной системы отсчета.

Об этом также говорят как об условиях равновесия системы сил. Под системой сил в статике всегда подразумеваются силы, действующие на абсолютно твердое тело, или на систему, которую, в соответствии с принципом затвердевания, можно считать единым твердым телом. Все законы преобразования сил относятся только к силам, действующим на одно тело. Под равновесием системы сил подразумевается уравновешенная система, которую эквивалентными преобразованиями можно свести к отсутствию сил, то есть к их взаимному уничтожению. Тогда если система сил находится в равновесии, то она эквивалентна отсутствию сил. Такая система не оказывает никакого влияния на движение тела. И если оно вначале покоилось, то будет покоиться и в последующие моменты времени.

Термин равновесие системы сил несколько отличается от термина равновесие твердого тела. Различие связано с тем, что силы, действующие на тело можно разбить на несколько систем. Некоторые из этих систем могут находиться в равновесии, и не оказывать влияния на движение. Их можно исключить. В тоже время могут существовать неравновесные системы, приводящие к изменению скорости движения центра масс и момента импульса тела.

Однако, если в систему сил включены все внешние силы, то эти понятия совпадают. Далее мы будем говорить об условиях равновесия твердого тела. Эти условия есть то же самое, что условия равновесия системы сил, если под системой сил подразумевать все внешние силы, действующие на тело.

Видео:§ 5.3. Уравнения равновесия плоской системы силСкачать

Основная форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма внешних сил, действующих на тело равнялась нулю, и чтобы векторная сумма моментов этих сил, относительно произвольно выбранного центра C , равнялась нулю:
(1.1) ;
(1.2) .
Доказательство ⇓

Здесь внешние силы приложены к телу в точках .

Если мы выберем прямоугольную систему координат Cxyz с центром в точке C , то условия (1.1) и (1.2) можно выразить через проекции сил и моментов на оси этой системы. Тогда мы получим шесть уравнений:
; ; ;
; ; .
Из этих уравнений можно определить шесть неизвестных величин, определяющих реакции опор тела.

Также мы можем произвольным образом выбрать три вектора, не лежащие в одной плоскости, и спроектировать уравнения (1.1) и (1.2) на их направления. В результате мы также получим систему из шести уравнений.

Видео:Произвольная плоская система сил. Задача 1Скачать

Вторая форма условий равновесия

Условия равновесия можно записать и в других формах, которые могут оказаться более удобными при решении некоторых задач. Вот вторая форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
(2.1) ;
(2.2) ;
(2.3) .
Доказательство ⇓

Если спроектировать условия (2.1) и (2.2) на оси координат, то получим три уравнения (2.1), три уравнения (2.2) и одно уравнение (2.3). Всего получается семь уравнений. Однако, как показано ниже, между шестью уравнениями (2.1) и (2.2) существует одна линейная зависимость (см. «Линейная зависимость моментов относительно двух точек ⇓»). Таким образом, в условиях (2.1-3) имеется 7-1=6 линейно независимых уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.

Видео:Теоретическая механика. Нахождение реакций связей на при плоской системе сил. Задача 1, часть 1Скачать

Третья форма условий равновесия

И наконец, имеется третья форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
(3.1) ;
(3.2) ;
(3.3) ;
(3.4) .
Доказательство ⇓

Если спроектировать условия (3.1), (3.2) и (3.3) на оси координат, то получим три уравнения (3.1), три уравнения (3.2) и три уравнения (3.3) – всего девять уравнений. Как показано ниже, между шестью уравнениями (3.1) и (3.2) существует одна линейная зависимость (см. «Линейная зависимость моментов относительно двух точек ⇓»). Аналогичным образом, между шестью уравнениями (3.1) и (3.3) существует еще одна линейная зависимость. И наконец, между шестью уравнениями (3.2) и (3.3) существует третья линейная зависимость. То есть, в условиях (3.1-3) имеется три линейных зависимости. Тогда число линейно независимых уравнений равно 9–3=6. Также, как и в предыдущих формах, из этих уравнений можно определить шесть неизвестных величин.

Видео:Термех. Статика. Равновесие плоской произвольной системы силСкачать

Условия равновесия плоского тела

Теперь рассмотрим плоскую систему, в которой тело может совершать движение только вдоль одной плоскости. При этом силы также направлены в этой плоскости. В этом случае мы выбираем систему отсчета так, чтобы оси x и y лежали в рассматриваемой плоскости, а ось z была ей перпендикулярна. Тогда приведенные выше формы условий равновесия сохраняют свой вид. При этом z – компоненты всех сил равны нулю: , а у моментов сил отлична от нулю только z – компонента: .

Выпишем условия равновесия для плоской системы, расписав их по компонентам.

Основная форма условий равновесия
;
;
.

Вторая форма условий равновесия
;
;
.

Третья форма условий равновесия
;
;
;
.

Здесь во всех формах имеется по три уравнения, из которых можно определить три неизвестных величины.

Видео:Решение задачи по теоретической механике, тема "Равновесие системы тел".Скачать

Доказательство условий равновесия

Основная форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма внешних сил, действующих на тело равнялась нулю, и чтобы векторная сумма моментов этих сил, относительно произвольно выбранного центра C , равнялась нулю:
(1.1)
(1.2)

Для доказательства воспользуемся законами движения твердого тела. Они описываются уравнениями:
(1.3) ;
(1.4) .
Здесь – ускорение центра масс тела; M – его масса; – момент импульса тела относительно произвольно выбранного центра C ; – внешние силы, действующие на тело, приложенные в точках .

Пусть тело находится в состоянии покоя относительно выбранной инерциальной системы координат. Тогда, в этой системе координат, скорость всех точек равна нулю. Отсюда
, .
Подставляя в (1.3) и (1.4), получаем (1.1) и (1.2).
Необходимость доказана.

Пусть выполняются условия равновесия (1.1) и (1.2). Подставляя их в уравнения движения (1.3) и (1.4), получаем:
;
.
Отсюда получаем, что скорость движения центра масс и момент импульса постоянны, не меняются со временем. Пусть теперь в начальный момент времени тело покоилось. Тогда скорость движения его центра масс и момент импульса равны нулю. А поскольку они не меняются со временем, то они равны нулю и в последующие моменты времени. То есть тело остается в состоянии покоя во все моменты времени.

Вторая форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
(2.1)
(2.2)
(2.3)

Пусть тело находится в состоянии равновесия. Возьмем произвольные точки и и выберем произвольный вектор , не перпендикулярный прямой : . Как уже было доказано при выводе основной формы условий равновесия ⇑, выполняются условия (1.1) и(1.2):
(1.1) :
(1.2) .
Поскольку здесь C – произвольная точка, то в качестве нее возьмем точку . В результате получим (2.1):
(2.1) .
Далее, в качестве C возьмем точку . Получим (2.2):
(2.2) .
Теперь спроектируем уравнение (1.1) на направление вектора . Получим (2.3):
(2.3) .
Это уравнение выполняется для любых векторов . В том числе и для тех, направление которых не перпендикулярно : .
Необходимость доказана.

Пусть выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.3). Докажем, что тогда тело будет находиться в состоянии равновесия. Воспользуемся векторным уравнением:
(2.4) .
Подставим его в (2.1):

.
Поскольку из (2.2), , то .
Отсюда
(2.5) ,
где λ – произвольная постоянная. Умножим это уравнение скалярно на и применим (2.3):
(2.6) .
По условию, . Поэтому .
Тогда, чтобы выполнялось (2.6) нужно положить . В результате из (2.5) получаем уравнение (1.1):
.
Условие (1.2) также выполняется, если положить . Таким образом мы получили, что если выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.3), то выполняются условия (1.1) и (1.2):
(1.1) ;
(1.2) .
Как мы уже доказали при выводе основной формы условий равновесия ⇑, это означает, что тело находится в равновесии.

Линейная зависимость моментов относительно двух точек

Докажем, что уравнения (2.1) и (2.2) линейно зависимы. Для этого из (2.1) вычтем (2.2) и воспользуемся (2.4):

.
Здесь мы ввели обозначение . Умножим это уравнение скалярно на :
.
В правой части стоит смешанное произведение векторов, в которое входит два одинаковых вектора . Поэтому оно равно нулю. В результате получаем линейную зависимость между уравнениями (2.1) и (2.2):
.

Третья форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
(3.1) ;
(3.2) ;
(3.3) ;
(3.4) .

Пусть тело находится в состоянии равновесия. Как уже было доказано при выводе основной формы условий равновесия ⇑, при этом выполняется условие (1.2):
(1.2) .
Возьмем произвольные точки , и , не лежащие на одной прямой. Поскольку в (1.2) C – произвольная точка, то в качестве нее возьмем последовательно точки , и . В результате получим уравнения (3.1), (3.2) и (3.3):
(3.1) ;
(3.2) ;
(3.3) .
Эти уравнения выполняются для любых точек , и . В том числе и для тех, которые не лежат на одной прямой:
(3.4) .
Необходимость доказана.

Пусть выполняются условия (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4). Докажем, что тело будет находиться в состоянии равновесия. Как и при доказательстве второй формы, воспользуемся векторным уравнением:
(3.5) .
Подставим его в (3.1):

.
Поскольку из (3.2), , то .
Отсюда
(3.6) ,
где – произвольная постоянная.

Выполняя те же действия с точками и , найдем:
(3.7) ,
где – также произвольная постоянная. Сравнивая (3.6) и (3.7) имеем:
(3.8) .
Поскольку векторы и не параллельны, то уравнение (3.8) может выполняться только при . Тогда из (3.6) следует, что .
Для доказательства того, что , достаточно умножить скалярно уравнение (3.8) на вектор, перпендикулярный и вектор, перпендикулярный .

Если обозначить точку как C , то (3.1) примет вид:
.

Итак, мы получили, что если выполняются условия (3.1), (3.2) и (3.3), то выполняются условия (1.1) и (1.2):
(1.1) ;
(1.2) .
Как мы уже доказали при выводе основной формы условий равновесия ⇑, это означает, что тело находится в равновесии.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-09-2019

📽️ Видео

Равновесие тел. Первое условие равновесия твердого тела | Физика 10 класс #22 | ИнфоурокСкачать

Определение реакций опор простой рамыСкачать

Система сходящихся сил. Решение задач по МещерскомуСкачать

определение реакций в стержнях от действия грузовСкачать

§ 5.5. Уравнения равновесия системы сходящихся силСкачать