Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Видео:11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

11 класс, 26 урок, Равносильность уравнений

«Равносильность уравнений» в 11 классе
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме » Равносильность уравнений»..

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Скачать:

ВложениеРазмер
План-конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме: «Равносильность уравнений»628 КБ

Видео:Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 классСкачать

Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 класс

Предварительный просмотр:

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема: «Равносильность уравнений»

Тип уроков: комбинированные уроки изучения нового материала, обобщения и систематизации знаний.

  • обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.
  • развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
  • воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Организационные формы общения: индивидуальная, групповая.

Оборудование: модуль «Решение иррациональных уравнений».

I Организационный этап — 2 мин.

II Актуализация опорных знаний — 4 мин.

III Цели урока — 2 мин.

IV Изучение теоретического материала и способов деятельности — 20 мин.

V Закрепление учебного материала — 12 мин.

V Закрепление учебного материала — 25 мин.

VI Самостоятельная работа — 10 мин.

VII Домашнее задание — 3 мин.

VIII Выводы по уроку — 2 мин.

I Организационный этап

II Актуализация опорных знаний

Краткое обсуждение с учащимися тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении уравнений.

Допустим, нам необходимо решить уравнение

Преобразуем данное уравнение, выстраивая цепочку уравнений и стараясь получить уравнение вида а х = b , т.е. линейное уравнение

6х — 15 = 2х + 5, 6х — 2х = 5 + 15, 4х = 20.

Откуда получаем, что 5 — корень уравнения. Причём, как последнего уравнения, так и любого из уравнений данной цепочки, так как они являются равносильными уравнениями. По сути, решением уравнения и является выстраивание подобных цепочек уравнений.

Однако при преобразовании уравнений (и неравенств в том числе) далеко не всегда легко получить им равносильные уравнения. И как быть тогда?

Изучением этих крайне важных вопросов нам и предстоит заняться.

Мы вернёмся к целому ряду понятий, связанных с решением уравнений, с которыми вы неплохо знакомы, и посмотрим на них как бы несколько иначе, глубже, обобщим и дополним рядом важных и принципиальных положений.

IV Изучение теоретического материала и способов деятельности

1) Определение. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и h(х) = р(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например, уравнения — 4 = 0 и ( х + 2)(2 Х — 4 ) = 0 равносильны; равносильны и уравнения х 2 + 1 = 0 и = — 2 — они не имеют корней.

2) Определение . Если каждый корень уравнения f(х) = g(х) (1)

является в то же время корнем уравнения h(х) = р(х) (2),

то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).

Например, уравнение х — 2 = 3 имеет корень 5 , уравнение Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский— 25 = 0 имеет корни ± 5 . Так как корень уравнения х — 2 = 3 является корнем уравнения х 2 — 25 = 0 , то уравнение х 2 — 25 = 0 является следствием,, уравнения х — 2 = 3.

Следовательно, два уравнения называют равносильными тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

3) Если в ходе преобразований, при переходе от одного из уравнений к уравнению-следствию, мы неуверенны в равносильности выполняемого перехода, то у последнего уравнения могут появиться посторонние корни в отношении исходного уравнения. Поэтому все полученные корни уравнения- следствия необходимо проверить, подставляя их в исходное уравнение. Тем самым, проверка найденных корней уравнения является не проверкой верности выполненных технических преобразований, а неотъемлемой частью, этапом решения уравнения.

4) Итак, мы выяснили, что в процессе решения уравнений (а ещё более при решении неравенств) на каждом этапе преобразований крайне важно знать, равносильный ли переход мы совершаем. Сформулируем и обсудим ряд важных для нас положений.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 3 . Показательное уравнение (где > 1, 1 ) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Определение . Областью определения уравнения f(х) = g(х) или ОДЗ переменной уравнения называется множество тех значений х , при которых одновременно имеют смысл обе части уравнения f(х) = g(х).

Теорема 4 . Если обе части уравнения f(х) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое имеет смысл всюду в области определения (ОДЗ) уравнения f(х) = g(х) и при этом нигде в этой области h(х) 0 , то уравнения f(х) = g(х) и h(х)∙ f(х) = h(х) g(х) равносильны.

То есть, мы можем обе части уравнения умножать или делить на одно и то же отличное от нуля число, не нарушая при этом равносильности уравнений.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны на ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийg n (x), равносильное исходному уравнению.

Теорема 6. Если f(х)>0, = g(х)>0 , то уравнение log α 2 f(x) = log α g(x) , где а>0, , равносильно уравнению f(х) = g(х).

5) Рассмотрим применение теоретических положений на практике. Пусть нам дано уравнение х — 1 = 3 , корень которого равен 4 .

а) Умножив обе части уравнения на выражение х — 2 , получим уравнение (х — 1 )(х — 2) = 3(х — 2). Решим полученное уравнение

х 2 — Зх + 2 = Зх — 6, х 2 — 6х + 8 = 0, x 1 = 2, х 2 = 4.

То есть, уравнение-следствие имеет два корня 2 и 4 , причём, 2 -посторонний корень для исходного уравнения. Каким образом у исходного уравнения появился посторонний корень? — Если бы мы вначале преобразовали исходное уравнение к виду х — 4 = 0 . За тем домножили обе части уравнения на х — 2 . То получили бы уравнение (х — 4)(х — 2) = 0 , которое равносильно совокупности уравнении . Тогда понятно, что уравнение х — 2 = 0 , по отношению к исходному уравнению х — 4 = 0 , является посторонним уравнением, отсюда и появление постороннего корня. Фактически мы умножили обе части исходного уравнения на выражение х — 2 , допуская при этом его равенство нулю, что невозможно по теореме 4 .

б) Возведём в квадрат обе части уравнения х — 1 = 3 . Получим уравнение-следствие (х-1) 2 = 9 . Откуда х 2 — 2х — 8 = 0, х 1 = — 2, х 2 = 4 . Вновь у уравнения-следствия появляется посторонний корень по отношению к исходному уравнению. Преобразовав уравнение (х-1) 2 = 9 к виду (х-4)(х+ 2)=0 , получаем постороннее уравнение х + 2 = 0 и посторонний корень -2 . Нарушено условие теоремы 5: возводя в квадрат, мы «забыли», что при возведении в квадрат должно выполняться условие х — 1 >0 .

в) Рассмотрим уравнение ln (2х — 4) = 1n(3х — 5). Потенцируя, получим уравнение 2х — 4 = Зх — 5. Откуда х = 1 . Проверкой убеждаемся, что 1 является посторонним корнем для исходного уравнения. В данном случае произошло не появление постороннего уравнения, а расширение ОДЗ исходного уравнения. У исходного уравнения ОДЗ: (2; + ), у полученного уравнения ОДЗ — вся числовая прямая. Тем самым не нарушены требования теоремы 6.

6) Выводы. Исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, значит, необходимо обязательное выполнение проверки всех найденных корней, если: расширилась ОДЗ уравнения; возводились в одну и ту же чётную степень обе части уравнения; выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и тоже выражение с переменной.

V Закрепление учебного материала

1) № 1663; № 1665(а, в); № 1666 (а, б).

2) Переходя к решению уравнений, мы будем стараться учесть следующие два момента. С одной стороны наши решения уравнений должны содержать необходимое теоретическое обоснование нашей деятельности. С другой стороны мы будем учитывать, что в дальнейшем, при решении неравенств, в большинстве случаев от нас потребуется обеспечение равносильности переходов в преобразованиях, и поэтому уже на данном этапе — при решении уравнений, мы будем отрабатывать именно эти навыки, дабы обеспечить преемственность способов деятельности.

Пусть на дано уравнение g(x) Возведя в квадрат обе части уравнения, получим уравнение f(х) = g 2 (х) которое можно записать так:

( -g(x)) ( Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский+g(x))=0

Откуда получаем совокупность уравнений: .

Имеем постороннее уравнение, и могут появиться посторонние корни. Следовательно, необходима проверка корней. Если мы захотим выполнить равносильный переход и обойтись без проверки, то исходное уравнение

равносильно смешанной системе:

3) Решим уравнения (двумя способами):

а) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: х > — 11 . После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим уравнение-следствие х 2 -Зх-10 = 0 с корнями — 2 и 5 . Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но это не меняет сути дела и мы вынуждены выполнить проверку корней.

Проверка. Подставив x 1 = — 2 , получим — неверное равенство, — 2 — посторонний корень.

Подставив х 2 = 5 , получим или 4 = 4 — верное равенство, 5 корень исходного уравнения.

а) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе

или решение системы и исходного

уравнения х 2 = 5.

б) Первый способ . Решение. ОДЗ уравнения: . Возведя обе части

уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение х 2 — х = 0 . Откуда x 1 = 0, х 2 = 1 . Опять оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но будут ли они корнями исходного уравнения ничего сказать нельзя.

Проверка . Подставив x 1 = 0 , получим — верное равенство, 0 — корень исходного уравнения.

Подставив х 2 = 1 , получим Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский— верное равенство, 1 — корень исходного уравнения.

б) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе

или . Откуда решение системы и исходного уравнения 0 и 1 .

в) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: -1 . Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Откуда x 1 = 0, х 2 = . Оба корня принадлежат ОДЗ

уравнения. Выполним проверку.

Проверка . Подставив x 1 = 0 , получим — неверное равенство, 0 -посторонний корень.

Подставив х 2 = , получим — неверное равенство, -посторонний корень.

Оба корня принадлежат ОДЗ переменной уравнения, но при этом являются посторонними корнями. Ответ: корней нет.

в) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе или . Система решений не имеет, значит, и уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Первый способ . Решение. ОДЗ уравнения задаётся решением системы , или которая решений не имеет. Значит, ОДЗ уравнения — пустое множество, уравнение решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Второй способ . Решение. Исходное уравнение равносильно системе или Система решений не имеет, значит, и исходное уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет .

Решение. Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, а второй сомножитель при этом имеет смысл.

а) х 2 — 9 = 0, х = ± 3.

Проверим, имеет ли смысл при этих значениях второй сомножитель.

При x 1 =-3, — имеет смысл, поэтому — 3 — корень уравнения; при х 2 = 3, — не имеет смысла, 3 не является корнем уравнения.

Уравнение равносильно системе или

Решением системы является число 1 . Так как х 2 — 9 имеет смысл при всех значениях переменной, то 1 является и корнем исходного уравнения.

5) Выводы. При решении иррациональных уравнений — возведении обеих частей уравнения в чётную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения уравнения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.

VI Самостоятельная работа

Решить уравнение двумя способами.

I вариант II вариант

VII Домашнее задание

§ 55 по учебнику; № 1673 по задачнику (решить двумя способами).

Видео:решение УРАВНЕНИЙ решение НЕРАВЕНСТВ 10 11 классСкачать

решение УРАВНЕНИЙ решение НЕРАВЕНСТВ 10 11 класс

Урок алгебры в 11-м классе на тему «Равносильность преобразований»

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Повторить основные понятия темы;
  • Проанализировать процесс решения уравнений (неравенств) и обосновать цепочку переходов от исходного уравнения (неравенства) к равносильному;
  • Способствовать познавательной активности учащихся при помощи информационных технологий;
  • Создавать условия для реализации творческих способностей учащихся.

Тип урока: Защита проекта, урок обобщения знаний, повторения.

Учитель: Решая сложные задания (особенно из части С), мы постоянно сталкиваемся с моментами, где в кажущейся простой ситуации мы допускаем ошибки. В чем проблема?

Иногда при решении уравнений случаются неприятности: появляются «лишние» корни, теряются «нужные», а иногда непонятно, что делать дальше, потому, что неизвестное исчезло, а осталось «уравнение» 0 = 2 или 1 = 1. Чтобы справляться с такими неприятностями, надо хорошо понимать, что такое уравнение, и что мы делаем с ним в процессе решения. (далее привожу выступление ученика по его проекту).

Докладчик: Начну с определения уравнения [слайд №3]

Уравнением называется запись f = g, где f и g — две функции, заданные на одном и том же множестве А. Множество А называется областью определения уравнения (или ОДЗ). Таким образом, чтобы задать уравнение, мало написать f = g, еще надо указать А — его область определения (сл.№4)

Обычно область определения уравнения не упоминается — нам говорят «решите уравнение», например, данное: х 2 + 2 = 4х и мы сразу понимаем, что область определения уравнения — любое число, т.к. при этом условии имеет смысл и f, и g.

Я разобрала на составные части процесс решения уравнения, чтобы точно узнать, откуда берутся ошибки, и какие меры предосторожности надо принимать.

Пусть дано уравнение [слайд №5] Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Упростив его левую и правую части по отдельности, получимУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Разделим числитель и знаменатель левой части на х 2 , а правой — на х, сделаем подстановку Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский. Получим уравнение [слайд 6]

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийоткуда. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский. Отсюда и = 0 или и = 1.

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский,
решений не дает.

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский,
x=1.

Казалось бы, уравнение решено. Если, однако, попытаться подставить в исходное уравнение х = 1, то мы убедимся, что это – не корень (на нуль делить нельзя!) [слайд№8] С другой стороны, легко проверить, что х = 0 – корень уравнения, который мы почему-то не нашли. Где же мы ошиблись? (идет обсуждение).

В уравнении: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, мы делили числители и знаменатели дробей на х, что можно делать только приУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский; стало быть, если 0 является корнем, то при этой операции мы его потеряем. В таких случаях проще всего сразу подставить х = 0 в уравнение и посмотреть, корень ли это. Убедившись, что в данном случае это – корень, и запомнив это, пойдем дальше. Но удобнее всего было бы перенести все в левую часть и привести к общему знаменателю: [слайд №9] Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

Решение этого уравнения очевидно (дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Рассмотрим простейшее иррациональное уравнение. [слайд № 10]

Пример 1. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(1)

Решение. Возведя обе части в квадрат, получим квадратное уравнениеУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(2). Все решения исходного уравнения (1) являются решениями уравнения (2) (если числа равны, то и их квадраты равны). Иными словами, уравнение (2) является следствием уравнения (1). Однако среди решений уравнения (2) могут быть не только нужные нам числа: ведь и данное (3):Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийпосле возведения в квадрат даст то же самое уравнение (2), а значит, все корни этого «постороннего» уравнения, если таковые есть, также будут корнями (2). [Слайд №11]. Поэтому, решив уравнение (2), надо еще отобрать среди найденных корней те, которые удовлетворяют нашему уравнению (1). В нашем случае это сделать совсем просто: решая (2), квадратное, находим Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский; подстановкой в (1) убеждаемся, что Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийподходит, а Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийнет.

Но часто бывает ситуация, когда подстановкой проверить корни почти невозможно.

Пример 2. (слайд №12) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(1) Возводим в квадрат, получаем уравнение:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(2). Находим корни: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

Мы выполнили неравносильные преобразования, возможно получили посторонние корни (решения уравнения (3), которое тоже при возведении в кв. дает (2), но как же теперь выбрать то, что нам нужно? Во всяком случае, подставлять такие числа в исходное уравнение (1) — занятие бесперспективное. Обратите внимание, что все корни квадратного уравнения – это либо корни нашего исходного уравнения, либо корни «постороннего» уравнения Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(3).

Т.к.. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, то всякий корень уравненияУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский– неотрицательное число, а всякий корень уравненияУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский– неположительное число. А нам нужен корень только исходного, значит неотрицательное число. И в ответ выходит положительный корень. Ответ. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

[Слайд №13] Итак, уравнение Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийравносильно системе:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Уравнение Б является следствием уравнения А, если все корни уравнения А являются корнями уравнения Б. Уравнения А и Б равносильны, если множества их корней совпадают. [слайд №14].

Считаю, что лучше тщательно изучить ход решения и выяснить, на каком этапе могли появиться «лишние» корни, и какие именно. Конечно, желательно, чтобы каждое новое уравнение было бы равносильно исходному (тогда лишних корней появиться не может), но этого можно добиться не всегда.

Я проанализировала некоторые ситуации при выполнении преобразований и выделила главные моменты. Что произойдет с естественной областью определения уравнения, если в нем заменить:

a) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(ОДЗ сужается: была: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, стала: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский)
б) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(ОДЗ расширилась: была: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, стала: x-любой)
г) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский( Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский)
д) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(идет обсуждение)

Кстати, к этому сводится известная шутка – «доказательство» равенства 2 = 4: [слайд №16]

Поэтому, чтобы избежать таких «шуток», надо пользоваться равенствами: [слайд №17]

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Решая уравнение из домашнего задания

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийя столкнулась с проблемами.

(Уравнение решается у доски и в тетрадях, затем докладчик продолжает).

0) Выпишем ОДЗ: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

1) Перейдем в левой части к логарифму по основанию 2 и разложим квадратные трехчлены на линейные множители:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийУрок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

2) Т.К. в ОДЗ Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, разделим обе части на Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийи прологарифмируем степень в правой части: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, получим:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

3) Перенесем все в левую часть и вынесем Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийза скобки [слайд№19]

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийили Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

4) Приравнивая к нулю сомножители, получим совокупность уравнений:

а) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский;
Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.
Ответ: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

б) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский;
Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский;
Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский; Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

В данном случае на каждом из шагов выполнялись равносильные преобразования, учитывая ОДЗ. Значит, проверку можно не выполнять.

Проанализируем, какие ошибки возможны при решении: [слайд №20] (идет обсуждение).

0) Забудем про ОДЗ.

1) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский
2) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, (допущены ошибки при логарифмировании степени).
3) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийили Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

Здесь уже приобретен посторонний корень Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(мы же не учли ОДЗ) и подготовлена потеря корней. (Применение неверной формулы Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийсузило ОДЗ: изначально Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, теперь строго > 4).

4) [Слайд №21] Тогда Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский;

а) если сократить на Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, то произойдет потеря корня Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийи мы получим данный неверный ответ а) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский,
б) если вынести Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийза скобки, то Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, все равно уйдем от правильного ответа б) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.

Я СДЕЛАЛА ВЫВОДЫ ИЗ РЕШЕННОГО ПРИМЕРА. [слайд №22]

1) Опасно делить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (можно потерять корни).
2) Если уравнение содержит общий множитель c неизвестным, его следует вынести за скобки и привести уравнение к совокупности двух, равных нулю.
3) При решении уравнений нельзя делать ошибок типа Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский– они могут привести к потере корней (из-за сужения ОДЗ).

Рассмотрим конкретный пример из задания С1 ЕГЭ прошлого 2007 года.

Задание: найти точки максимума функции Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Решение: (решение у доски, в тетрадях, затем продолжает докладчик) [слайды №23-24]

1) Найдем ОДЗ: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский
2) Преобразуем функцию: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский
3) Для нахождения точек максимума, найдем производную функции: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский. И стационарные точки: x= -1, x= 0, x=2
4) Определим знаки производной и поведение функции:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Выходит, что точек максимума две: x= -1 и x= 2. Но x= -1 не входит в область определения функции. Поэтому точка максимума одна: x=2.

Вывод: необходимо учитывать ОДЗ при решении любых задач, а особенно в тех случаях, когда выполняются неравносильные преобразования. Как в данном примере: область определения расширилась после того, как мы упростили функцию.

[Слайд №26] Ход решения неравенств устроен примерно так же, как и ход решения уравнений. Стоит добавить, что множество решений неравенства обычно бесконечно. Проверить все найденные числа трудно, поэтому необходимо избегать переходов к неравносильным неравенствам.

Пример 1. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский[слайд №27]

Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, это возможно только при неотрицательности обеих частей. Но что же нам делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом в ОДЗ, и, стало быть, сама неотрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, где возведенное в квадрат неравенство, неотрицательность правой части ОДЗ

Пример 2. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский[слайд №28]

Решение. Здесь опять же заведомо можно возвести в квадрат только тогда, когда Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский. Однако теперь уже нельзя отбросить тех, для которых правая часть отрицательна:

Итак, у нас получилось два случая: если правая часть неотрицательна Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, то из нашего неравенства следует система Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийЕсли же правая часть отрицательна, то нер-во верно на ОДЗ (ведь тогда отрицательная правая часть должна быть меньше положительной левой, а это верно на ОДЗ) и следует система Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийгде неотрицательность меньшей части и ОДЗ.

Неравенство Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийравносильно такой совокупности двух систем:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Пример 3. Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский[слайд №29]

Решение. На сей раз обе части неравенства всегда неотрицательны, так что возведение в квадрат дает неравенство, равносильное исходному на его естественной области определения. Возведение в квадрат дает неравенство: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, (8) область определения дает неравенства: Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(9) и Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский(10).

Мы не учитываем (10), т.к. если правое, меньшее, подкоренное выражение неотрицательно, то левое и подавно неотрицательно. Стало быть, из неравенства следует такая система:

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский, возведенное в кв. нер-во и неотрицательность меньшей части.

Неравенство Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольскийравносильно системе: [слайд № 30]

Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский

Учитель: Используя результаты ваших исследовательских работ, в данном случае Оксаны, мы проанализировали различные ситуации, выяснили причины появления таких неприятных моментов в нашей практике, как “лишние” корни, потеря нужных. Рекомендую всем заинтересованным в качественном решении использовать эти выводы.

2. Решить уравнения, неравенства:

1. 12 — 7х + х 2 = Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский4(х-3) Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский.
2. log2(x 3 -4) – log4(x 3 — 4) = log2 / x 6 -11x 3 +28
3. (21х-2х 2 +65) * Урок равносильные преобразования уравнений 11 класс никольский* log3 |x-9|.>0.

Видео:Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | Инфоурок

Конспект урока Равносильные преобразования уравнений 11 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

11 класс по учебнику Алгебра и начала математического анализа авторы С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.

Тема урока: «Равносильные преобразования уравнений»

Тип урока: урок изучения нового материала

— формировать навыки равносильных переходов при решении уравнений;

— создавать условия для закрепления, повторения и углубления знаний.

ввести понятие равносильности уравнений, рассмотреть теоремы равносильности,

рассмотреть примеры равносильных переходов при решении уравнений;

закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении уравнений;

способствовать расширению знаний по изучаемой теме;

развитие логического мышления, познавательного интереса;

формирование математической речи, умения анализировать и сравнивать, делать выводы;

развитие навыков работы над проектами;

развитие приемов умственной деятельности, умения искать рациональный способ решения поставленной задачи;

повышение информационной культуры учащихся, интереса к предмету;

развитие потребности к самообразованию, умение вырабатывать собственную позицию (обосновывать свой решения, свой результат);

обучение эстетическому оформлению записи в тетради и на доске,

воспитание ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе;

обучение умению выступать перед аудиторией и выслушивать других;

повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;

воспитание уважения друг к другу, коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу.

— умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; выстраивать аргументацию, приводить примеры и контр-примеры;

— креативность мышления, активность при решении математических задач;

— умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;

— формирование первоначальных представлений об идеях и о методах математики;

— умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;

-умение понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

— умение видеть различные стратегии решения задач;

умение определить значение идеи, методов и результатов алгебры для построения модели реальных процессов и ситуаций;

-усвоение учащимися решение неравенств с одной переменной, применяя теоремы о равносильности и используя решения ключевых задач.

-компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока, буклеты.

— индивидуальная, групповая, работа в парах.

— репродуктивный, дедуктивный, проблемно-поисковый.

Постановка цели и задач урока

Актуализация опорных знаний и их коррекция:

4) Изучение и закрепление материала:

5) Рефлексия. Подведение итогов урока

6) Домашнее задание

1) Организационный момент

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, запись в тетрадях числа и темы урока (слайд 1)

2) Постановка цели и задач урока

Ребята, я предлагаю сегодня на уроке привести в систему знания и расширить представление о равносильности уравнений. Дьёрдь По́йа сказал: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Где есть желание, найдется путь!» А я уверена, что у вас есть желание узнать новое, анализировать, делать выводы, найти свой путь решения и расширить знания, которые вам понадобятся для успешной сдачи ЕГЭ. Учитель вместе с учащимися формулирует цели и задачи урока. Здесь мы сначала дадим определение равносильных уравнений и приведем примеры. Дальше перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств и докажем их. А в заключение выясним, почему при решении нуравнений нужно использовать только равносильные преобразования.

3)Актуализация опорных знаний и их коррекция

Какие преобразования вы использовали при решении уравнениу

4.Изучение и закрепление материала

1. Теоремы о равносильности уравнений

В основном при решении уравнений используются шесть Теорем равносильности. Первые три теоремы Безусловные. Они гарантируют равносильность преобразований без дополнительных условий. Их применение обычно происходит автоматически, без особых размышлений.

Теорема 1. Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнения У]2х + — 2х + 5 = 0 и

V2x + 1 = 2х — 5 равносильны.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же НеЧетную Степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнения л/Зх + 2 = х И 3x + 2 = xJ равносильны.

Теорема 3. Показательное уравнение Af^X’ = A^X’ (где A > О, А Ф 1) равносильно уравнению Fix) = G(X). Например, показательное уравнение з =32дг»5 равносильно иррациональному уравнению

Теорема 4. Если обе части уравнения Fix) = G(X) Умножить на одно и то же выражение H(X Которое:

А) имеет смысл в области определения уравнения Fix) = G(X);

Б) нигде в этой области не обращается в нуль,

То получится уравнение Fix)H(X) = G(X)H(X), Равносильное данному.

Теорема 5 . Если обе части уравнения Дх) = g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень П Получится уравнение, равносильное данному: F»(X) = G»(X).

Теорема 6. Если Fix) > 0 и G(X) > О, то логарифмическое уравнение loga F <X) = Loga g(x) (где A > 0, A Ф 1) равносильно уравнению

Преобразования приводящие к равносильному уравнению

1. Перенос членов уравнения из одной части в другую с противоположными знаками

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, или на выражение, имеющее постоянный знак при всех значениях неизвестного

3. Замена части уравнения тождественно равным ему выражением

4. Возведение уравнения в нечетную степень

5. Извлечения корня нечтной степени из обеих частей уравнения

6 Логарифмирование показательного уравнения

Работа по учебнику — № 7.4 (а,в) , 7.5 (а,в) , 7.6 (а,в) , (У доски решает один из учащихся)

5) Рефлексия. Подведение итогов урока

Понятно, что, кроме равносильных преобразований неравенств, есть и неравносильные, от которых, решая неравенства, нужно держаться подальше. А дело здесь в том, что, выполнив переход к неравносильному неравенству, можно получить решение, которое не является искомым решением исходного неравенства. В некоторых случаях можно получить и верный ответ, но это будет не более чем везение, а в общем случае, выполняя неравносильные преобразования неравенств, будет получен неверный ответ.

Вывод ясен: при решении неравенств нужно выполнять только равносильные преобразования.

При обобщении изученного материала обучающие отвечают на вопросы:

Что нового было на уроке?

Больше всего затруднений вызвало…

Для меня непонятно было…

6) Домашнее задание

По учебнику решить — № 7.4 (б,г) , 7.5 (б,г) , 7.6 (б,г))

11 класс по учебнику Алгебра и начала математического анализа авторы С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.

🎦 Видео

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

11 класс, 28 урок, Равносильность неравенствСкачать

11 класс, 28 урок, Равносильность неравенств

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.

11 класс, 13 урок, Показательные неравенстваСкачать

11 класс, 13 урок, Показательные неравенства

Урок 5 ТОЖДЕСТВА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Урок 5 ТОЖДЕСТВА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 7 КЛАСС

Равносильность уравнений | Алгебра 11 класс #23 | ИнфоурокСкачать

Равносильность уравнений | Алгебра 11 класс #23 | Инфоурок

Равносильные уравнения, неравенстваСкачать

Равносильные уравнения, неравенства

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?

11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

11 класс, 12 урок, Показательные уравнения

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shortsСкачать

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shorts

11 класс, 33 урок, Системы уравненийСкачать

11 класс, 33 урок, Системы уравнений
Поделиться или сохранить к себе: