Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Видео:Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

Логарифмические уравнения. 11 класс.

Урок по теме: «Логарифмические уравнения»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Материал содержит разработку урока и презентацию

Видео:11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

11 класс, 17 урок, Логарифмические уравнения

Скачать:

ВложениеРазмер
konpekt_uroka.doc175.5 КБ
prezentatsiya_k_uroku.ppt966.5 КБ

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.

Предварительный просмотр:

Конкурсный урок алгебры и начала математического анализа

Тема: Логарифмические уравнения

Класс: 11 МОУ «Гимназия №1»

Учитель: Умарова Г.К. МОУ «Кабаньевская СОШ»

-организовать деятельность учащихся по изучению новой темы;

— обеспечить закрепление новых понятий логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений;

— научить учащихся решать логарифмические уравнения методом, основанным на определению логарифма, методом потенцирования;

— развивать умение анализировать, сопоставлять, делать выводы,синтезировать полученные знания и умения;

— воспитывать умение работать в парах; навык самооценки и взаимооценки.

Оборудование: мультимедийный проектор

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и очень нужный предмет. Наш урок я назвала уроком Красоты и гармонии. В вашем понимании, что такое красота? Что такое гармония?

Душой математики является красота и гармония. Я хочу, чтобы вы чувствовали эту красоту, и это чувство помогало вам в изучении такого замечательного предмета, как математика. О гармонии в математики, о ее красоте говорили очень многие. Об этом говорил и известный академик-геометр 20 века Александр Данилович Александров. Его слова является эпиграфом нашего урока:

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.

Эти слова я бы полностью отнесла к теме, которую мы с вами рассматриваем сегодня.

Что использовали для выполнения данного задания? (определение логарифма)

а) log 3 x = 4 (х=81)

б) ) log 3 (7х-9)=log 3 x (х= 1,5)

Как иначе сформулировать 3 задание? (решите уравнение)

А как вы думаете, какие это уравнения? (логарифмические)

Запишем тему урока: «Логарифмические уравнения»

Давайте сформулируем цели урока.

Можете сформулировать определение логарифмического уравнения?

Объяснение нового материала

Записать на доске, поясняя

log а f(x) = log a g(x), где а-положит. число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Посмотрим, как вы нашли корень 1 уравнения

Чем пользовались? (определением)

Итак, выделим первый метод решения логарифмических уравнений, основанный на определении логарифма.

Общий вид такого уравнения . Это уравнение может быть заменено равносильным ему уравнением .

Давайте оформим решение уравнения 2.

log 3 (7x – 9) = log 3 x

Применение формул потенцирования расширяет область определения уравнения. Поэтому необходима проверка корней. Проверим найденные корни по условиям 7х-9>0

Для решения данного уравнения мы использовали метод потенцирования . Этот метод применяется для уравнений вида и сводится к решению уравнения f(x)=g(x), х должен удовлетворять решению системы.

Мы рассмотрели с вами 2 метода решения логарифмических уравнений. Какие? (по определению, метод потенцирования)

Каким методом будем находить корень уравнения? (по определению)

А) 8 б) 1/7 в) 0,09 г) 4

№17 (а,б) с комментированием. Каким методом будем решать?

А) log 0,1 (x 2 +4x-20)=0 б) log 1/7 (x 2 +x-5)=- 1

x 2 +4x-20=0,1 0 x 2 +x-5=1/7 — 1

x 2 +4x-20=1 x 2 +x-5=7

x 2 +4x-21=0 x 2 +x-12=0

x 1 +x 2 = -4 x 1 +x 2 = -1

x 1 *x 2 =-21 x 1 *x 2 =-12

x 1 =-7, x 2 = 3 x 1 =-4, x 2 = 3

Каким методом будем решать? (потенцирования)

А) 3х-6=2х-3 б)14+4х=2х+2

х=3 2х= — 12, х= — 6. корней нет

Вам предложены уравнения. Ваша задача решить эти уравнения и соотнести ответы с соответствующей буквой. В результате должно получиться слово. Обращаю ваше внимание, что уравнения взяты из демоверсий ЕГЭ, задание В3.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№27 - Логарифмические уравнения.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№27 - Логарифмические уравнения.)

Конспект урока по теме «Методы решения логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Методы решения логарифмических уравнений»

§ образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;

§ развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;

§ воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование : мультимедиа проектор, презентация к уроку.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

(Демонстрируется слайды с заданиями для устной работы).

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

а) Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

б) Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

в) Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

д) Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

б) Урок по фгос по теме логарифмические уравненияи Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

5) Вычислите : Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

III. Ознакомление с новым материалом

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. ( Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма ).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: logax = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. ( Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х ). Из определения логарифма сразу следует, что аb является таким решением.

Запишите заголовок: Методы

1. По определению логарифма .

Так решаются простейшие уравнения вида Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Рассмотрим № 514(а ): Решить уравнение Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Как вы предлагаете его решать? ( По определению логарифма )

Решение . Урок по фгос по теме логарифмические уравнения, Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как Урок по фгос по теме логарифмические уравнения> 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать . Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим пример 2 (стр. 242) : Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны) . Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение 1 . ОДЗ: Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Потенцируем исходное уравнение Урок по фгос по теме логарифмические уравнения, получим уравнение 2x + 3 = х + 1. Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе :

Уравнение Урок по фгос по теме логарифмические уравненияУрок по фгос по теме логарифмические уравнения

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение Урок по фгос по теме логарифмические уравненияравносильно системе:

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение .

Решение 3 . Урок по фгос по теме логарифмические уравнения. Сделаем проверку: Урок по фгос по теме логарифмические уравненияневерно, так как не имеет смысла.

Ответ: корней нет .

Вопрос классу : Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной .

Рассмотрим № 520(г) . Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Что вы заметили? ( Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение . ОДЗ: х > 0.

Пусть Урок по фгос по теме логарифмические уравнения, тогда уравнение примет вид:Урок по фгос по теме логарифмические уравнения. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Вернемся к замене: Урок по фгос по теме логарифмические уравненияили Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения; Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Ответ : 27; Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение:Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Решение : ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения. Применим свойство логарифма степени:

(lgx + 3) lgx = Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lgx = -4,Урок по фгос по теме логарифмические уравнения; lgx = 1, Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

Ответ : 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

№ 523(в). Решите уравнение: Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

Урок по фгос по теме логарифмические уравненияили Урок по фгос по теме логарифмические уравнения;Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

6. Функционально-графический метод.

№ 509(г). Решить графически уравнение: Урок по фгос по теме логарифмические уравнения= 3 – x.

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков) .

Посмотрите ваше решение на слайде .

Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

Есть способ, позволяющий не строить графики . Он заключается в следующем : если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х .

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция Урок по фгос по теме логарифмические уравнениявозрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение Урок по фгос по теме логарифмические уравненияимеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как Урок по фгос по теме логарифмические уравнения.

IV. Первичное закрепление

«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен

Предложите метод решения уравнений:

1) № 520 (в). Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

2) № 514 (в) . Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

3) № 522 (а). Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

4) № 519 (в) . Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

5) № 509(в). Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

6) № 523(а). Урок по фгос по теме логарифмические уравнения

V. Домашнее задание

П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514, № 520 (в).

VI. Подведение итогов урока

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.

Видео:Логарифмические уравнения 🥷🏿Скачать

Логарифмические уравнения 🥷🏿

Урок математики по теме «Решение логарифмических уравнений»

Презентация к уроку

Цели:

  1. повторить понятия логарифма числа и свойства логарифмов. Ознакомить и закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появления типичных ошибок.
  2. Предоставить каждому обучающему возможность проверить свои знания и повысить их уровень.
  3. Активизировать работу класса через разные формы работы.
  1. Развивать навыки самоконтроля.
  1. Воспитывать ответственное отношение к труду, воспитывать волю и настойчивость для достижение конечных результатов.
  2. создать эмоционально-положительный комфорт (ситуацию успеха)

Задачи урока: Ранее усвоенные знания применять в нестандартных ситуациях.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, закрепят ученики в ходе урока:

  • знание понятия логарифма числа, логарифмической функции, свойств логарифмической функции;
  • знание основных приёмов решения логарифмических уравнений;
  • знание квадратичной функции и её свойств;
  • умение выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
  • умение применять свойства логарифмов при преобразовании выражений, содержащих логарифмы;
  • умение решать простейшие логарифмические уравнения и применение основных приёмов при решении более сложных уравнений;
  • умение решать квадратные уравнения;
  • использовать умение переносить ранее усвоенные знания в новую ситуацию.

Оборудование урока:

  • карточки с индивидуальными заданиями для самостоятельной работы;
  • карточки с заданиями для домашней работы;
  • справочный материал;
  • оценочный лист;
  • мультимедийный проектор, компьютер.

Формы работы:

  • фронтальная;
  • работа в парах;
  • индивидуальная.

Методы занятия: словесные и практические; контроль и обобщение знаний. При объяснении нового материала: объяснительно-иллюстративный (основное назначение – организация усвоения знаний);частично-поисковый (овладение элементарными навыками поиска знаний, учащиеся привлекаются к самостоятельному решению части проблемы).

План урока:

  1. Орг.момент.
  2. Устная работа (морской бой). Найди ошибки. Повторить основные формулы логарифмов.
  3. Программируемый контроль.
  4. Из истории математики.
  5. Изучение нового материала: «Логарифмические уравнения».
  6. Практическая работа: «Решение логарифмических уравнений».
  7. Решение проблемной ситуации (если возникнет).
  8. Итог урока.
  9. Рефлексия («Что знают», «Чего не знают», «Что получилось?», «Что нет?», «Что необходимо для этого повторить или выучить дома?»).
  10. Домашнее задание.

Видео:Логарифмические уравнения. Видеоурок 18. Алгебра 10 классСкачать

Логарифмические уравнения. Видеоурок 18. Алгебра 10 класс

Ход урока

I. Организационный момент. (Приветствие)

Вступительное слово преподавателя.

Я приветствую вас на сегодняшнем уроке алгебры. Тема урока: “Решение логарифмических уравнений”. Сегодня мы повторим понятие логарифма числа, свойства логарифма, закрепим умения применять эти понятия при решении уравнений.

Эпиграфом урока являются слова:

Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Дай мне действовать самому – и я научусь.
Древнекитайская мудрость

На доске: дата, тема, план, эпиграф урока.

Раздаются карточки самостоятельных работ, оценочный лист, программированный контроль. (Приложение 4, 6, 7)

II. Актуализация опорных знаний.

  • Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро нам понадобятся для успешного выполнения контрольной работы, а в дальнейшем и успешной сдачи экзамена. И я хочу вам в этом помочь!

  • Устная работа.
  • Повторение изученного материала
  • Поднимите руку те, кто хотя бы раз играл в «Морской бой»? Ну, тогда вы легко справитесь со следующим заданием. На слайде вы видите таблицу. Работаем в парах: один называет по горизонтали число, а по вертикали букву (например, 2А). Другой – отвечает, тот кто отвечает правильно получает 1 балл и записывает его в оценочный лист. Игра будет проходить по цепочке. (Учитель по ключу следит за правильностью ответов и подает сигнал к продолжению игры).
  • Игра «Морской бой»
  • Работа с технологической картой. (Ответы записаны на доске. Поменяйтесь карточками и выполните проверку, за каждый правильный ответ поставьте по 1 баллу).

III. Программированный контроль. 7 минут

Самопроверка. Эталоны ответов раздать заранее. Выставить баллы в оценочный лист.

IV. Из истории математики.

Совершаем небольшой экскурс в историю математики.

На прошлом занятии мы с вами говорили о логарифмах, а кого из ученых вы можете назвать, которые являются основоположниками логарифмов?

Джон Непер – 1614 год – изобретение логарифма

Бюрги Йест (1552 — 1632) – швейцарский часовщик и мастер астрономических приборов, любитель математики. Именно Й. Бюрги составил первые таблицы логарифмов

1703 год – перевод таблиц на русский язык

Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций — заслуга Леонарда Эйлера, так же как и их символика. (Приложение 1-2)

задание в виде сообщения. Тема “Логарифм и музыка” (Приложение 3)

(Играет музыка. Приложение 5)

Алгебра – сестра гармонии, а композиторы – первые программисты

Преподаватель: Ребята, логарифмы применяются на уроках физики. Закон радиоактивного распада имеет вид m=mе.Формула Циолковского, связывающая скорость ракеты с ее массой v=v ln .

Тема “Звезды, шум и логарифмы” (Сообщение обучающегося)

Преподаватель: Более того, коэффициент звукоизоляции стен измеряется также с помощью логарифма, по формуле D=A lg .

V. Изучение нового материала.

Итак, тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», а цель его какая? Научиться решать логарифмические уравнения.

  • Что значит решить уравнение? (слайд)
  • Что такое корень уравнения?
  • Какие уравнения называют логарифмическими?

А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?

(логарифмическое). Предложить ученикам дать определение логарифмического уравнения .

Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма.

  • Какое преобразование называют логарифмированием? (Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).
  • Какое преобразование называют потенцированием? (Действие, которое заключается в нахождении числа по данному логарифму, называют потенцированием).

Помни!

При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования и свойства логарифмов (они у нас на доске, и мы их сейчас повторили)

Следует иметь в виду, что указанные операции могут привести к уравнениям, не равносильным данным.

Логарифмирование – это опасная операция, т.к. при ней может произойти потеря корней.

Пример: х 2 = 25 ; прологарифмируем обе части log5х 2 = log525;

х1,2 = ± 5. уравнения по основанию 5: 2 log5х = 2; log5х = 1; х = 5 потеря корня х = — 5

Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.

При потенцировании потери корней не происходит, но могут получиться посторонние корни , которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение .

Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль, то этот корень надо отбросить как посторонний.

При решении логарифмических уравнений часто используются следующие методы:

  1. Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение logaх = b (а > 0, а≠ 1, b>0) имеет решение х = a b
  2. Метод потенцирования, т.е. переход от уравнения logaf(х) = logaφ(х) к уравнению следствию f(х) = φ(х);
  3. Метод введения новых переменных;
  4. Метод логарифмирования , т.е. переход от уравнения f(х) = φ(х) к уравнению logaf(х) = logaφ(х)
  5. Применение основного логарифмического тождества
  6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Сегодня мы рассмотрим несколько из них, а остальные на следующем занятии.

🌟 Видео

Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение логарифмических уравнений. Вебинар | Математика

ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать

ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэ

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | Математика

Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать

Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!

Логаримы для чайников с нуля — Как решать Логарифмы?Скачать

Логаримы для чайников с нуля — Как решать Логарифмы?

Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать

Интересная задача на логарифмы в ЕГЭ

Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?

Логарифмы. Видеоурок 14. Алгебра 10 классСкачать

Логарифмы. Видеоурок 14. Алгебра 10 класс

Логарифмы с нуля за 30 минут. Логарифмы 10 класс ЕГЭ профиль математика | УмскулСкачать

Логарифмы с нуля за 30 минут. Логарифмы 10 класс ЕГЭ профиль математика | Умскул

Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать

Умножаем логарифмы В УМЕ🧠

11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенстваСкачать

11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенства

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСкачать

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Логарифмические уравнения — сводный урокСкачать

Логарифмические уравнения — сводный урок

Учимся решать сложные логарифмические уравненияСкачать

Учимся решать сложные логарифмические уравнения
Поделиться или сохранить к себе:
Этапы урокаПримечание