Уравнения янга миллса для чайников (5 видео)

Теория Янга-Миллса

Развитие математики всегда шло рука

которой идёт речь в этой статье, это
как раз тот случай, когда наши знания
о природе потребовали новых
математических аппаратов. =+=+=+=

В античном мире не было проблем с соответствием между математическим и физическим аппаратами: материалистические теории древних греков были наивными, умозрительными и математического обоснования не требовали, а вершина математической мысли греков — идеи Архимеда — к физическим теориям отношения не имели и предназначались для нужд геометрии.

Однако уже начиная с Нового времени, математика и физика не могут жить друг без друга. В самом буквальном смысле: Ньютон разработал матанализ именно как математический аппарат для своих физических открытий и даже философских идей. Кстати, сэр Исаак был очень недоволен Лейбницем, который сделал анализ понятным, доступным и алгоритмическим, — по мнению Ньютона, высшая математика должна была быть эзотеричной[Я уж молчу про анализ Ферма, основанный на алгебраической бесконечно малой, о котором нужно рассказывать отдельно]. Ньютон, по обыкновению того времени, зашифровал свое «научное завещание» в латинской анаграмме. Единственная разумная расшифровка этой анаграммы выглядит примерно так: «Полезно решать дифференциальные уравнения». Следующие два века действительно прошли под знаком математического анализа и дифференциальных уравнений — мир представлялся французским математикам, лидерам тогдашней науки, гигантской системой дифференциальных уравнений. Стоит только решить ее, и развитие Вселенной будет предсказано точно и достоверно. К этому мировоззрению относится и гордое лапласовское «В этой гипотезе я не нуждался» в ответ на замечание Наполеона о том, что система мира Лапласа не предусматривает Бога.

Во второй половине девятнадцатого века маятник качнулся в другую сторону. Развитие математики несколько опередило развитие физических теорий. Самый яркий и широко известный пример — неевклидовы геометрии Лобачевского, Бойяи, Гаусса и позднее примкнувшего к ним Римана. Поначалу эти теории всего лишь закрыли вопрос с пятым постулатом Евклида[Пятый постулат равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Евклид сформулировал его запутанно и многословно (в отличие от других, кристально ясных постулатов). Многие математики потратили кучу сил и времени на попытки вывода пятого постулата из остальных постулатов евклидовой геометрии], продемонстрировав, что он не выводится из остальных аксиом, — результат интересный, но вряд ли сам по себе имеющий хоть какое-то прикладное значение. Но впереди был Эйнштейн, который, опираясь на работы классика геометрии Минковского, показал, что Вселенная, на самом деле, имеет переменную кривизну, а школьная евклидова геометрия, увы, всего лишь абстракция.

Затем существующей математики еще долго хватало для того, чтобы описывать физические теории. Так, квантовая механика и основанные на ней теории (например, теория суперструн) пользуются заранее разработанными разделами математики (в частности, теорией групп и функциональным анализом).

Проблемы с квантовой теорией Янга-Миллса — это мяч, который снова попал на математическое поле. Физика требует от математики теории, которая описывала бы накопленные физиками идеи и соотношения, а математика пока не может дать подходящего аппарата.

Взаимодействия между любыми природными объектами (телами, частицами, волнами) делятся на четыре типа: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. В физике не прекращались попытки создать теорию, которая бы объясняла все эти взаимодействия, так называемую общую теорию поля. Теория Янга-Миллса — это математический язык, который позволил физикам описать три из четырех основных сил природы (гравитация пока не поддается, так что об общей теории поля говорить рано).
Янг Чжэньнин (Chen Ning Yang) и Роберт Миллс (Robert Mills) в 1954 году опубликовали небольшую статью, которая до сих пор служит основой квантовой теории поля. О том, что такое теория поля, мы еще поговорим, а сейчас зададимся вопросом: что же отличает квантовые теории от классических? В классике основной объект изучения — частица или тело. Тела взаимодействуют друг с другом. Взаимодействие (как принято считать еще со времен Ньютона) осуществляется посредством полей, которые создаются частицами и воздействуют на другие частицы. Например, заряженная частица создает электромагнитное поле, частица с ненулевой массой — гравитационное. Отметим и одну из ключевых идей физики, как классической, так и квантовой: частица эквивалентна совокупности полей, которые она создает, ведь любое взаимодействие с другими частицами производится посредством этих полей; с точки зрения физики, рассматривать поля, порожденные частицей, — то же, что рассматривать саму частицу.

При квантовом подходе одну и ту же частицу можно описывать двумя разными способами: как частицу с некоторой массой и как волну с некоторой длиной. Единая частица-волна описывается не своим положением в пространстве, а волновой функцией (обычно обозначаемой как y), и ее местонахождение имеет вероятностную природу — вероятность обнаружить частицу в данной точке x в данное время t равна | ? (x,t)| 2 .

Как же описывать движение частиц? Какие законы предсказывают эволюцию волновой функции с течением времени? В классической механике движение осуществляется по принципу наименьшего действия. Для данной механической системы можно построить функцию (называемую лагранжианом), минимизация интеграла от которой и дает предсказание поведения системы — траектории движущихся тел. В квантовой механике понятие «траектория» теряет смысл, но понятие лагранжиана сохраняется, и с его помощью можно предсказать поведение волновых функций взаимодействующих частиц.

Возникает вопрос: каким образом учитывать поля квантовой системы при построении этого самого лагранжиана? Ответ на этот вопрос дают так называемые квантовые теории поля. Множественное число не случайно: лагранжиан можно строить разными способами, дело лишь в том, какой из них лучше описывает реальность.

Вернемся к волновым функциям. При измерении вероятность найти частицу в данной точке равна квадрату модуля волновой функции. Значит, функцию можно умножить на любое комплексное число с единичным модулем (сдвинуть фазу), и ничего не изменится: вероятность нахождения частицы в каждой конкретной точке останется точно такой же. Фактически конкретный вид волновой функции нам никогда не узнать, да он нас и не интересует; зато очень интересно, какие операции можно произвести над волновой функцией так, чтобы свойства системы не изменились.

Аналогично, лагранжиан вообще лучше всего характеризовать теми преобразованиями, которые он «выдерживает», — то есть при которых свойства системы не изменяются. Например, сдвиг фазы выдерживает лагранжиан, который описывает поведение одного электрона.

Совокупность таких преобразований в математике называют группой. Группы играют фундаментальную роль в разных областях знания — это язык, на котором в современной науке формулируется понятие симметрии. Группа преобразований, которая появилась в примере с электроном, носит название калибровочной группы. В математике ее обозначают U(1), и она очень проста — обычная окружность на плоскости (совокупность всех поворотов вокруг начала координат). Аналогичные теории для сильного и слабого взаимодействия приводят к более сложным калибровочным группам SU(3) и SU(2) (последняя эквивалентна трехмерной сфере, лежащей в четырехмерном пространстве).

Чтобы добраться до квантовых теорий Янга-Миллса, осталось сделать два важных шага. Первый шаг заключается в том, чтобы требования глобальной инвариантности дополнить требованиями локальной инвариантности. В предыдущем примере на число с единичным модулем нужно было умножать всю функцию сразу. Но ничего не изменилось бы, если бы это умножение произошло не во всем пространстве, а в какой-то его части. В математике это называется переходом от групп глобальных преобразований к группам локальных преобразований.

Второй принципиальный момент заключается в том, что в теориях Янга-Миллса приходится использовать так называемые неабелевы группы преобразований. Из-за этого нарушается принцип суперпозиции: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Так получается потому, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля! Из-за этого уравнения становятся нелинейными и весь арсенал математических приёмов для решения линейных уравнений к ним применить нельзя. Поиск решений и даже доказательство их существования становятся несравнимо более сложной задачей.

Янг и Миллс предложили общий вид лагранжианов, которые должны были привести к успеху. На основе теории Янга-Миллса сначала были объединены электрическая и слабая теории, а затем Мюррей Гелл-Манн (Murray Gell-Mann) построил теорию сильного взаимодействия. В этой теории, принесшей Гелл-Манну Нобелевскую премию, для объяснения наблюдаемых эффектов появились кварки — частицы с дробным электрическим зарядом, из которых состоят протоны, нейтроны и другие вовсе не элементарные частицы. Теория сильного взаимодействия получила название квантовой хромодинамики[Термин «хромодинамика» может показаться странным — какой может быть цвет (греческое chroma — цвет, краска) у элементарных частиц? Тем не менее свойства элементарных частиц порой носят неожиданные названия. Кварки, например, делятся на шесть типов, которые принято называть ароматами; ароматы отличаются квантовыми числами, среди которых не только заряд, но и странность и очарование. А цвет — это характеристика не только кварков, но и глюонов — частиц, которые, по мнению физиков, реализуют взаимодействие между кварками. У них еще и антицвет бывает, но в это мы углубляться не будем].

Чтобы теория могла описывать сильное взаимодействие, она должна обладать тремя свойствами, которые совершенно не свойственны классическим теориям:

mass gap («щель в спектре масс», ограничение снизу на «энергетический спектр»);

кварковый конфайнмент: кварки не могут «выбраться» за пределы элементарных частиц;

определенные нарушения симметрии (подробности здесь опускаем).

Многочисленные эксперименты — как in vivo, так и in silicio[«In vivo» означает «в живом» — это стандартный биологический термин для экспериментов в живой природе, а не в искусственных средах. Однако в последние десятилетия стали все более популярны компьютерные эксперименты. Для их обозначения биологи придумали меткий термин «in silicio» — «в кремнии»] — показали, что квантовая хромодинамика этими свойствами обладает. Однако математически это не доказано. Математически строгое построение квантовой теории поля, обладающей этими свойствами, и составляет предмет нашей сегодняшней задачи на миллион[Говоря более строгим языком, задача состоит в том, чтобы для каждой компактной простой калибровочной группы построить квантовую теорию Янга-Миллса в четырехмерном пространственно-временном континууме, обладающую свойством mass gap, — иными словами, такую теорию, спектр гамильтониана H которой (в квантовом случае аналог классического лагранжиана называется гамильтонианом) был бы отделен от нуля].

Впрочем, главной целью исследований в этой области, выходящей за рамки любых конкурсов, является, конечно, общая теория поля — универсальное математическое описание всех процессов, происходящих в нашей Вселенной. Достигнет ли теоретическая физика этой поистине грандиозной цели в XXI веке — покажет только время.

Содержание

Задачи тысячелетия. Просто о сложном
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Римана
Теория Янга — Миллса
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Гипотеза Пуанкаре
Заключение
Квантовая теория Янга
Особенности теории Янга-Миллса
Готовые работы на аналогичную тему
Проблемы теории Янга-Миллса
Принцип суперпозиции
📽️ Видео

Видео:Science show. Выпуск № 62. Теория Янга-Миллса и массовая щельСкачать

Задачи тысячелетия. Просто о сложном

Привет, хабралюди!

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (Polynomial time) — для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP-задачи (Non-deterministic Polynomial time), найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11. ). С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 — 2 простых числа, для 10 — уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга — Миллса

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Для уравнения x 2 + y 2 = z 2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик — нельзя». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.

Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

Видео:Семинар Л.Д. Фаддеева, О проблеме масс в уравнении Янга-МиллсаСкачать

Квантовая теория Янга

Вы будете перенаправлены на Автор24

Теория Янга-Миллса — гипотеза, включающая в себя принципы деления неабелевой калибровочной группой.

Рисунок 1. Теория Янга-Миллса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Калибровочные поля в данном учении называются полями Янга — Миллса. Такие идеи впервые были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом, но в течение длительного периода времени рассматривались только как некие математические изыски, не имеющие прямого отношения к действительности. Несмотря на это, именно на базе гипотез Янга — Миллса в начале 1970-го года были разработаны две краеугольные концепции в первичной модели элементарных частиц: квантовая хромодинамика и теория электрически слабых взаимодействий.

Видео:Геометрия=Сила. Теория Янга-Миллса.Скачать

Особенности теории Янга-Миллса

На сегодняшний день ученые выделили три основные особенности, которые характерны при использовании в науке полей Янга-Миллса. Среди них:

Неабелевость группы предполагает, что поля Янга — Миллса в силах взаимодействовать друг с другом, что влечет за собой возникновение новых уравнений, детально описывающих эволюцию развития указанных полей. Эти процессы являются нелинейными, следовательно, при распределении веществ невозможно наблюдать принцип суперпозиции.
Кванты магнитных полей Янга — Миллса считаются векторными частицами, обладающими нулевой массой и энергией. Однако посредством инструмента спонтанного нарушения симметрии физические тела Янга — Миллса приобретают особый потенциал и вес.
Нелинейность формул Янга — Миллса делает их достаточно неопределенными и сложными для дальнейшего решения. В режиме небольшой константы взаимосвязи эти уравнения возможно решить с помощью ряда гипотез возмущений, однако, как найти ответ в режиме сильной связи, пока невозможно.

Готовые работы на аналогичную тему

Неизвестно также, как именно эти критерии воздействуют на наблюдаемый в нашем мире круговорот взаимодействий физических тел. Проблема решения формул Янга — Миллса в общем является одной из семи «Основных проблем тысячелетия», за решение любой из которых Университет математики Клэя предоставит премию размером в 1 миллион долларов.

Основываясь на методах формирования фотонов и квантов света, физики установили, что сильное и слабое взаимодействия непрерывно связано с обменом квантами световой энергии, получившими официальное название квантов полей Янга-Миллса.

Данные механизмы являются комплексным обобщением полей Максвелла, введенного столетием ранее для описания свойств света, с единственной разницей — поле Янга-Миллса имеет электрический заряд и выглядит более многокомпонентной системой.

В результате едва уловимого взаимодействия квантов, которые соответствуют параметрам поля Янга-Миллса, конкретная частица приобретает заряд, равный +1, 0 или -1. В случае сильной зависимости квантовые элементы выполняют роль своеобразного «клея», удерживающего вместе протоны и нейтрон.

Несмотря на то, что в целом картина выглядела весьма убедительно, в 1960 году ученых сбивало с толку то, что поле Янга-Миллса нереально отнести к «перенормируемым», так как его принцип работы не дает значимых и конечных величин относительно к более простым взаимодействиям. Таким образом, с точки зрения трактовки слабых и сильных зависимостей квантовая теория в целом бесполезна. В результате чего физика квантов уперлась в глухую стену.

Видео:Алсигна, лекция 24. Точные решения уравнений Янга-Миллса. Стандартная модельСкачать

Проблемы теории Янга-Миллса

Рисунок 2. Проблемы теории Янга-Миллса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проблема гипотез Янга-Миллса возникла после того, как физики, определяя, что случится при внезапном столкновении двух частиц, использовались принципы теорий возмущений. При взаимодействии электрона с другой частицей появляется неуловимый элемент, который на практике можно описать «диаграммой Фейнмана». Это явление демонстрирует, что обмен квантом в слабом взаимодействии с W-частицей осуществляется с помощью электрона и нейтрона. В первом приближении возникает грубое, но вполне приемлемое соответствие экспериментальным данным.

Согласно квантовой теории, при таких результатах приближения необходимо внести небольшие поправки. Чтобы сделать итоговые вычисления точными, стоит добавить к диаграммам всевозможные активные линии, среди которых своеобразные «петли». В идеале такие квантовые дополнения обязаны быть совсем незначительными, так как квантовая теория для того и создана, чтобы вносить в ньютоновы учения крохотные квантовые поправки. Но, к ужасу исследователей, эти «петлевые линии», оказались бесконечными, а не «маленькими». Впоследствии расхождения и дальше обнаруживались при многочисленных вычислениях квантовых полей.

Более того, поле Янга-Миллса вскоре получило устрашающую и нерациональную репутацию способа, который достаточно усложняет расчеты — в сравнении с более простым методом Максвелла. Согласно заблуждениям, с которыми ассоциируется теория Янга-Миллса, для теоретических работ оно не подходит ввиду своей многогранности и сложности.

Вскоре, при более детальном исследовании ученые установили, что поле Янга-Миллса приобретает определенную массу, но остается конечной теорией, которую возможно не рассматривать в виде бесконечного действия благодаря графам с петлями.

Видео:Введение в Стандартную Модель, лекция 7: теория Янга-МиллсаСкачать

Принцип суперпозиции

Тот факт, что формулы классической электродинамики абсолютно линейны, является не правилом, а исключением. Многие фундаментальные гипотезы современной физики считаются нелинейными.

Например, квантовая хромодинамика — это фундаментальная теория сильных и постоянных взаимодействий, являющаяся всего лишь разновидностью идей Янга — Миллса, которая нестабильна по построению.

Это приводит в итоге к сильнейшему нарушению закона суперпозиции даже в классических решениях уравнений Янга — Миллса. Интересно, что только через 20 лет после того, как поле Янга-Миллса было предложено физиками, современники смогли доказать, что оно выступает однозначной и корректной гипотезой взаимодействия частиц.

Дальнейшее развитие событий было весьма стремительным. Оказалось, что более актуальна в наше время ранняя теория слабого взаимодействия, предложенная еще в 1967 году Абдусом Саламом и Стивеном Вайнбергом. В середине 1970-ого года поле Янга-Миллса было использовано и при сильном взаимодействий физических элементов. В этот же период к физикам пришло внезапное понимание, что поле Янга-Миллса может стать ключом к тайнам всей ядерной материи.

Таким в результате и оказался недостающий элемент головоломки, который связывает все бытие в одно целое, и это были не математические формулы Эйнштейна, а поле Янга-Миллса. По-видимому, именно эта научная идея представляла собой основной урок физики. Обобщая теорию калибровочных полей, классическая физика формулируется как теория, основанная на расслоениях, в которой классические поля являются всего лишь сечениями данных расслоений.