Уравнения высших степеней решение делением

Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком

Деление многочлена на многочлен столбиком

Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.

После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.

Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.

Решим уравнение Уравнения высших степеней решение делением

Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.

Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.

Уравнения высших степеней решение делением

Уравнения высших степеней решение делением

Уравнения высших степеней решение делениемявляется корнями многочлена Уравнения высших степеней решение делением, и он делится на двучлены Уравнения высших степеней решение делениеми Уравнения высших степеней решение делениембез остатка.

Разделим многочлен Уравнения высших степеней решение делениемна двучлен x-2 столбиком:

  • Видео:✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис Трушин

    «Решение уравнений высших степеней». 9-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 9

    Учебная:

  • Углубить знания учащихся по теме “ Решение уравнений высших степеней” и обобщить учебный материал.
  • Познакомить учащихся с приёмами решения уравнений высших степеней.
  • Научить учащихся применять теорию делимости при решения уравнений высших степеней.
  • Научить учащихся выполнять деление “уголком” многочлена на многочлен.
  • Развивать умения и навыки работы с уравнениями высших степеней.
  • Развивающая:

    1. Развитие внимания учащихся.
    2. Развитие умения добиваться результатов труда.
    3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

    Воспитывающая:

  • Воспитание чувства коллективизма.
  • Формирование чувства ответственности за результат работы.
  • Формирование у учащихся адекватной самооценки при выборе отметки за работу на уроке.
  • Оборудование: компьютер, проектор.

    1 этап работы. Организационный момент.

    2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

    Уравнение Уравнения высших степеней решение делениемодно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.

    В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. Уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней называются уравнениями высших степеней. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной.

    А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

    3 этап работы. Повторить ранее изученный материал. Ввести понятие уравнения высших степеней.

    1) Решение линейного уравнения.

    Линейным называется уравнение вида Уравнения высших степеней решение делением, где Уравнения высших степеней решение делениемпо определению. Такое уравнение имеет единственный корень Уравнения высших степеней решение делением.

    2) Решение квадратного уравнения.

    Квадратным называется уравнение вида Уравнения высших степеней решение делением, где Уравнения высших степеней решение делением. Количество корней и сами корни определяются дискриминантом уравнения Уравнения высших степеней решение делением. Для Уравнения высших степеней решение делениемуравнение корней не имеет, для Уравнения высших степеней решение делениемимеет один корень (два одинаковых корня)

    Уравнения высших степеней решение делением, для Уравнения высших степеней решение делениемимеет два различных корня Уравнения высших степеней решение делением.

    Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений видим, что количество корней уравнения не более его степени. В курсе высшей алгебры доказывается, что уравнение Уравнения высших степеней решение делением-й степени Уравнения высших степеней решение делениемимеет не более n корней. Что касается самих корней, то тут ситуация намного сложнее. Для уравнений третьей и четвёртой степеней известны формулы для нахождения корней. Однако эти формулы очень сложны и громоздки и практического применения не имеют. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул не существует и существовать не может (как было доказано в XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа).

    Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Некоторые уравнения высоких степеней удаётся решить с помощью двух основных приёмов: разложением многочлена Уравнения высших степеней решение делениемна множители или с использованием замены переменной.

    3) Решение кубического уравнения.

    Решим кубическое уравнение Уравнения высших степеней решение делением

    Сгруппируем члены многочлена, стоящего в левой части уравнения, и разложим на множители. Получим:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три линейных уравнения:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Итак, данное кубическое уравнение имеет три корня: Уравнения высших степеней решение делением; Уравнения высших степеней решение делением;Уравнения высших степеней решение делением.

    4) Решение биквадратного уравнения.

    Очень распространены биквадратные уравнения, которые имеют вид Уравнения высших степеней решение делением(т.е. уравнения, квадратные относительно Уравнения высших степеней решение делением). Для их решения вводят новую переменную Уравнения высших степеней решение делением.

    Решим биквадратное уравнение Уравнения высших степеней решение делением.

    Введём новую переменную Уравнения высших степеней решение делениеми получим квадратное уравнение Уравнения высших степеней решение делением, корнями которого являются числа Уравнения высших степеней решение делениеми 4.

    Вернёмся к старой переменной Уравнения высших степеней решение делениеми получим два простейших квадратных уравнения:

    Уравнения высших степеней решение делением(корни Уравнения высших степеней решение делениеми Уравнения высших степеней решение делением)

    Уравнения высших степеней решение делением(корни Уравнения высших степеней решение делениеми Уравнения высших степеней решение делением)

    Итак, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

    Уравнения высших степеней решение делением; Уравнения высших степеней решение делением;Уравнения высших степеней решение делением.

    Попробуем решить уравнение Уравнения высших степеней решение делениемиспользуя выше изложенные приёмы.

    4 этап работы. Привести некоторые утверждения о корнях многочлена вида Уравнения высших степеней решение делением, где Уравнения высших степеней решение делениеммногочлен n-й степени

    Уравнения высших степеней решение делением

    Приведём некоторые утверждения о корнях многочлена вида Уравнения высших степеней решение делением:

    1) Многочлен Уравнения высших степеней решение делением-й степени Уравнения высших степеней решение делениемимеет не более Уравнения высших степеней решение делениемкорней (с учётом их кратностей). Например, многочлен третьей степени не может иметь четыре корня.

    2) Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень. Например, многочлены первой, третьей, пятой и т.д. степени имеют хотя бы один корень. Многочлены чётной степени корней могут и не иметь.

    3) Если на концах отрезка Уравнения высших степеней решение делениемзначения многочлена имеют разные знаки (т.е. ,Уравнения высших степеней решение делением), то на интервале Уравнения высших степеней решение делениемнаходится хотя бы один корень. Это утверждение широко используется для приближенного вычисления корней многочлена.

    4) Если число Уравнения высших степеней решение делениемявляется корнем многочлена вида Уравнения высших степеней решение делением, то этот многочлен можно представить в виде произведения Уравнения высших степеней решение делением, где Уравнения высших степеней решение делениеммногочлен (Уравнения высших степеней решение делением-й степени. Другими словами, многочлена вида Уравнения высших степеней решение делениемможно разделить без остатка на двучлен Уравнения высших степеней решение делением. Это позволяет уравнение Уравнения высших степеней решение делением-й степени сводить к уравнению (Уравнения высших степеней решение делением-й степени (понижать степень уравнения).

    5) Если уравнение Уравнения высших степеней решение делениемсо всеми целыми коэффициентами (причём свободный член Уравнения высших степеней решение делением) имеет целый корень Уравнения высших степеней решение делением, то этот корень является делителем свободного члена Уравнения высших степеней решение делением. Такое утверждение позволяет подобрать целый корень многочлена (если он есть).

    5 этап работы. Показать как применяется теория делимости для решения уравнений высших степеней. Рассмотреть примеры решения уравнений высших степеней , в которых для разложения левой части на множители используется способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

    Пример 1. Решим уравнение Уравнения высших степеней решение делением.

    Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел: Уравнения высших степеней решение делением. Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен Уравнения высших степеней решение делениемможно представить в виде произведения Уравнения высших степеней решение делением, т.е. многочлен Уравнения высших степеней решение делениемможно без остатка разделить на двучлен Уравнения высших степеней решение делением. Выполним такое деление “уголком”:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Итак, данное уравнение имеет три корня:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Пример 2. Решим уравнение Уравнения высших степеней решение делением.

    Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9),т.е. равняется одному из чисел: Уравнения высших степеней решение делением;Уравнения высших степеней решение делением. Проверим:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Значит, многочлен Уравнения высших степеней решение делениемможно представить в виде произведения Уравнения высших степеней решение делением, т.е. многочлен Уравнения высших степеней решение делениемможно без остатка разделить на двучлен Уравнения высших степеней решение делением. Выполним такое деление “уголком”:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Аналогичным образом поступим и с многочленом Уравнения высших степеней решение делением.

    Если это уравнение Уравнения высших степеней решение делениемимеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: Уравнения высших степеней решение делением;Уравнения высших степеней решение делением. Проверим:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Значит, многочлен Уравнения высших степеней решение делениемможно представить в виде

    произведения Уравнения высших степеней решение делением, т.е. многочлен Уравнения высших степеней решение делениемможно без остатка разделить на двучлен Уравнения высших степеней решение делением. Выполним такое деление “уголком”:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

    Уравнения высших степеней решение делением

    6 этап работы. Закрепление изученного материала.

    Решите уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

    Уравнения высших степеней решение делением

    7 этап работы. Вывод урока.

    Решить уравнения высших степеней можно следующим образом:

    • используя формулы для нахождения корней (если они известны);
    • используя замену переменной;
    • раскладывая многочлен в левой части уравнения на множители, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком”.

    8 этап работы. Домашнее задание.

    Дома решить уравнения высших степеней, используя способ деления многочлена на многочлен “уголком” (раздать листы с заданиями).

    Видео:Уравнения высших степеней. Решение уравнений с помощью деления в столбикСкачать

    Уравнения высших степеней. Решение уравнений с помощью деления в столбик

    Решение уравнений высших степеней

    В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

    Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

    Видео:11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

    11 класс, 3 урок, Уравнения высших степеней

    Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

    Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :

    a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · ( a n ) n — 1 · x + a 0 · ( a n ) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

    Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

    Видео:Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

    Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степеней

    Схема решения уравнения

    Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

    Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) · P n — 2 ( x ) = 0 .Здесь P n — 2 ( x ) будет частным от деления P n — 1 ( x ) на x — x 2 .

    Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m ( x ) = 0 . Здесь P n — m ( x ) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

    Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

    У нас в итоге получилось уравнение P n — m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

    Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

    Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

    Решение

    Начнем с нахождений целых корней.

    У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

    При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

    Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на ( х — 1 ) в столбик:

    Уравнения высших степеней решение делением

    Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

    Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

    1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( — 1 ) 3 + 2 · ( — 1 ) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

    У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

    Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

    Уравнения высших степеней решение делением

    x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = ( x — 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )

    Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1 :

    — 1 2 + ( — 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( — 3 ) 2 + ( — 3 ) + 3 = 9 ≠ 0

    Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

    Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

    D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11 0

    Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

    Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

    x iкоэффициенты многочлена
    112— 1— 3
    111 + 1 · 1 = 22 + 2 · 1 = 4— 1 + 4 · 1 = 3— 3 + 3 · 1 = 0

    В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

    После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

    x iкоэффициенты многочлена
    1243
    112 + 1 · ( — 1 ) = 14 + 1 · ( — 1 ) = 33 + 3 · ( — 1 ) = 0

    Далее мы приходим к разложению x — 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.

    Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

    Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

    Решение

    У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

    Проверяем их по порядку:

    1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( — 1 ) 4 — ( — 1 ) 3 — 5 · ( — 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

    Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

    x iкоэффициенты многочлена
    1— 1— 5012
    21— 1 + 1 · 2 = 1— 5 + 1 · 2 = — 30 — 3 · 2 = 312 — 6 · 2 = 0

    В итоге мы получим x — 2 ( x 3 + x 2 — 3 x — 6 ) = 0 .

    Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 , начиная с двойки.

    2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

    Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2 :

    x iкоэффициенты многочлена
    11— 3— 6
    211 + 1 · 2 = 3— 3 + 3 · 2 = 3— 6 + 3 · 2 = 0

    В итоге получим ( x — 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .

    Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

    Решим квадратное уравнение:

    x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3 0

    Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

    Ответ: x = — 3 2 ± i 3 2 .

    Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

    Решение

    x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

    Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

    2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

    Заменяем переменные y = 2 x :

    2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

    В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

    Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

    Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

    📺 Видео

    Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

    Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!

    8 класс, 35 урок, Уравнения высших степенейСкачать

    8 класс, 35 урок, Уравнения высших степеней

    Теорема БезуСкачать

    Теорема Безу

    Уравнения высших степеней 1 часть (старший коэффициент равен 1)Скачать

    Уравнения высших степеней 1 часть (старший коэффициент равен 1)

    Деление многочлена на многочлен. 10 класс.Скачать

    Деление многочлена на многочлен. 10 класс.

    Схема Горнера. 10 класс.Скачать

    Схема Горнера. 10 класс.

    Уравнение четвертой степениСкачать

    Уравнение четвертой степени

    Метод группировки и метод деления уголком при решении уравнений высших степеней.Скачать

    Метод группировки и метод деления уголком при решении уравнений высших степеней.

    21 задание ОГЭ Решение уравнений высших степеней путем деления многочленовСкачать

    21 задание ОГЭ  Решение уравнений высших степеней путем деления многочленов

    Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать

    Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4

    Математика без Ху!ни. Деление многочлена на многочлен.Скачать

    Математика без Ху!ни. Деление многочлена на многочлен.

    Как решают уравнения в России и СШАСкачать

    Как решают уравнения в России и США

    ЕГЭ по математике. Деление многочлена на двучленСкачать

    ЕГЭ по математике. Деление многочлена на двучлен

    Приемы решения уравнений высших степеней.Скачать

    Приемы решения уравнений высших степеней.

    Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.Скачать

    Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.

    Схема Горнера / Деление многочлена высшей степениСкачать

    Схема Горнера / Деление многочлена высшей степени
    Поделиться или сохранить к себе: