Кубическим уравнением является полиномиальное уравнение третьей степени. Общий вид ax 3 +bx 2 +cx+d=0 , где a ≠ 0.
Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + сх + d = 0 . В уравнение должно присутствовать х 3 , в противном случае уравнение не будет кубическим, но некоторые или все из В , С и D могут быть равны нулю. Бесплатный онлайн калькулятор для расчета уравнения третьей степени, используется для нахождения корней кубического уравнения.
Например, Введите a=1, b=8, c=16
3 + bx 2 + cx + d = 0
- Формула кубического уравнения:
- Кубическое уравнение:
- Формула:
- term1 и r13 формула:
- Пример:
- Шаг 1:
- Шаг 2:
- Шаг 3:
- Шаг 4:
- Шаг 5:
- Шаг 6:
- Уравнение третьей степени
- Решение кубических уравнений
- Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0
- Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0
- Решение кубических уравнений с рациональными корнями
- Решение кубических уравнений по формуле Кардано
- 💥 Видео
Формула кубического уравнения:
Кубическое уравнение:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
где,
- a = коэффициент x 3
- b = коэффициент x 2
- c = коэффициент x
- d = constant.
Формула:
x1 = -term1 + r13 * cos(q 3 / 3)
x2 = -term1 + r13 * cos(q 3 + (2 * ∏) / 3)
x3 = -term1 + r13 * cos(q 3 + (4 * ∏) / 3)
term1 и r13 формула:
q = (3c — b 2 ) / 9
r = (-27d + b(9c — 2b 2 )) / 54
discriminant(Δ) = q 3 + r 2
r13 = 2 * √ (q)
Если discriminant(Δ) > 0 term1 = (b/3.0)
еще
- s = r + √ discriminant(Δ)
- t = r — √ discriminant(Δ)
- term1 = √ (3.0) * ((-t + s) / 2)
Пример:
Вычислить корни (x1, x2, x3) уравнения третьей степени, x 3 — 4x 2 — 9x + 36 = 0
Шаг 1:
Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = — 4, c = — 9 и d = 36.
Шаг 2:
Найдем значения q и r
q = ((3*-9) — (-4) 2 ) / 9 = -4.77778
r = (-27*36+(-4)*(9*(-9)-2*(-4) 2 ))/54 = -9.62963
Шаг 3:
Найдем значение дискриминанта, обозначается как знак дельта (Δ)
discriminant(Δ)= q 3 + r 2
discriminant( Δ ) = (-4.77778) 3 + (-9.62963) 2 = -16.3333
Значение дискриминанта меньше 0
Шаг 4:
Найдем term1 и r13
Если Δ term1 = -1.33333
где, q = -q = 4.77778
r13 = 2 * √ 4.77778 = 4.371626
Шаг 5:
Подставляем значения term1 и r13 в формулу кубического уравнения
x1 = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.77778 3 / 3) = 4
x2 = -term1 + r13 * cos(q 3 + (2 * ∏) / 3)
x2 = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.77778 3 + (2 * ∏)/ 3) = -3
x3 = -term1 + r13 * cos(q 3 + (4 * ∏) / 3)
x3 = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.77778 3 + (4 * ∏)/ 3) = -3
Шаг 6:
Мы получили корни уравнения, x1 = 4, x2 = -3 и x3 = -3.
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать
Уравнение третьей степени
Уравнение третьей степени имеет вид ax3 + bx2 + cx + d = 0. Онлайн калькулятор позволяет задать в соответствующих полях коэффициенты a, b, c, d и после расчета получить три значения X1, X2, X3.
Без помощи скрипта придется выполнить довольно сложные расчеты методом Кардано, включающем по меньшей мере 6 шагов. Расчет начинается с приведения исходного уравнения к виду y³ + py + q = 0 и т. д.
Вычисление уравнений третьей степени востребовано при решении многих фундаментальных и прикладных математических, физических, статистических, научно-исследовательских и инженерных задач.
Видео:Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать
Решение кубических уравнений
Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0
Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что
x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0
Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.
Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .
Решение
Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0
Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0
Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.
Ответ: x = 3 3 2 6 .
Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0
Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что
A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A
Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.
Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .
Решение
Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что
5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0
Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :
5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10
Ответ:
x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1
Видео:1 Как решать уравнения всех видов Решите уравнение Виды уравнений МАТЕМАТИКА ОНЛАЙНСкачать
Решение кубических уравнений с рациональными корнями
Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .
Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .
Решение
3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0
Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что
D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.
Ответ: х = 0 .
Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :
A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2
Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.
Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .
Решение
Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что
2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0
Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36
Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида
1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0
Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .
Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:
x i | Коэффициенты многочлена | |||
---|---|---|---|---|
2 | — 11 | 12 | 9 | |
— 0 . 5 | 2 | — 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12 | 12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18 | 9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0 |
2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9
После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.
Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .
Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.
Видео:✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать
Решение кубических уравнений по формуле Кардано
Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .
После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .
Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3
Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.
Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .
Решение
Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .
Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .
Отсюда следует, что
p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108
Производим подстановку в формулу Кордано и получим
y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3
— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.
— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2
Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2
Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6
Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2
Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .
Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .
Преобразуем при помощи формулы Кордано:
y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6
x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3
Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3
При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.
💥 Видео
Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители ДелениеСкачать
КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0Скачать
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать
Самый простой способ решить кубическое уравнениеСкачать
Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.Скачать
Решение кубических уравненийСкачать
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Решить кубическое уравнение. Два способаСкачать
🔻КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В ОГЭ. ЧТО ДЕЛАТЬ?Скачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать