Про уравнения - легко » Статьи

Уравнения вида acosx bsinx c

Обновлено
Семинар-практикум «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Тема тригонометрических уравнений начинается со школьной лекции, которая строится в виде эвристической беседы. На лекции рассматривается теоретический материал и образцы решения всех типовых задач по плану:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.
  • Основные методы решения тригонометрических уравнений.
  • Однородные уравнения.

На следующих уроках начинается самостоятельная отработка навыков, основанная на применении принципа совместной деятельности учителя и ученика. Сначала устанавливаются цели для учащихся, т.е. определяется, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше.

Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”. Исходя из этого, отбираются разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся. Такая работа позволяет осуществить индивидуальный подход к учащимся, включить каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самоорганизованности и самообучения, обеспечивать переход к активному, самостоятельному мышлению.

Семинар проводится после отработки основных навыков решения тригонометрических уравнений. За несколько уроков до семинара ученикам даются вопросы, которые будут рассматриваться на нем.

Семинар состоит из трех частей.

1. Во вводной части рассматривается весь теоретический материал, включая знакомство с проблемами, которые возникнут при решении сложных уравнений.

2. Во второй части рассматриваются решение уравнений вида:

  • а cosx + bsinx = c.
  • a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
  • уравнения, решаемые через понижение степени.

В этих уравнениях применяются универсальная подстановка, формулы понижения степени, метод вспомогательного аргумента.

3. В третьей части рассматриваются проблемы потери корней и приобретение посторонних корней. Показывается, как надо отбирать корни.

Ученики работают в группах. Для решения примеров вызываются хорошо подготовленные ребята, которые могут показать и объяснить материал.

Семинар рассчитан на хорошо подготовленного ученика, т.к. на нем рассматриваются вопросы несколько выходящие за рамки программного материала. В него включены уравнения более сложного вида, и особо рассматриваются проблемы, возникающие при решении сложных тригонометрических уравнений.

Семинар проводился для учеников 10 – 11 классов. Каждый ученик получил возможность расширить и углубить свои знания по этой теме, сравнить уровень своих знаний не только с требованиями, предъявляемыми к выпускнику школы, но и с требованиями предъявляемыми поступающим в В.У.З.

СЕМИНАР

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

  • Обобщить знания по решению тригонометрических уравнений всех типов.
  • Заострить внимание на проблемах: потеря корней; посторонние корни; отбор корней.
Содержание
  1. I. Вводная часть
  2. II. Примеры тригонометрических уравнений
  3. III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений
  4. Уравнения вида acosx bsinx c
  5. Простейшие тригонометрические уравнения
  6. 💡 Видео

I. Вводная часть

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений

  • Разложение на множители.
  • Введение новой переменной.
  • Функционально-графический метод.

2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям, относительно cos х = t, sin х = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Решаются методом введения новой переменной.

  • Однородные уравнения первой и второй степени

Уравнение первой степени: Asinx + Bcosx = 0 разделим на cos x, получим Atg x + B = 0

Уравнение второй степени: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделим на cos 2 x, получим Atg 2 x + Btgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

  • Уравнение вида: Аsinx + Bcosx = C. А, В, С Уравнения вида acosx bsinx c0
  • Понижение степени:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Решаются методом разложения на множители.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

  1. Сводятся к однородным: С = С(sin 2 х + cos 2 х).
  2. Сводятся к уравнению: Аsin2x + Bcos2x = C.
  • Уравнение вида: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Формулы.

  • Универсальная подстановка:Уравнения вида acosx bsinx c

х Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c+ 2 Уравнения вида acosx bsinx cn; Проверка обязательна!

  • Понижение степени: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
  • Метод вспомогательного аргумента.

Acosx + Bsinx заменим на Csin (x + Уравнения вида acosx bsinx c), где Уравнения вида acosx bsinx csin Уравнения вида acosx bsinx c= а/С; cosУравнения вида acosx bsinx c= в/С;

Уравнения вида acosx bsinx c – вспомогательный аргумент.

4. Правила.

  • Увидел квадрат – понижай степень.
  • Увидел произведение – делай сумму.
  • Увидел сумму – делай произведение.

5. Потеря корней, лишние корни.

  • Потеря корней: делим на g(х); опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями сужаем область определения.
  • Лишние корни: возводим в четную степень; умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями расширяем область определения.

II. Примеры тригонометрических уравнений

1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

1)Универсальная подстановка.О.Д.З. х – любое.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. х Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c/2 + Уравнения вида acosx bsinx cn;

Уравнения вида acosx bsinx cu = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Проверка: 3sin( Уравнения вида acosx bsinx c+ 2Уравнения вида acosx bsinx cn) + cos( Уравнения вида acosx bsinx c+ 2Уравнения вида acosx bsinx cn) + 1= 3 sin Уравнения вида acosx bsinx c+ cos Уравнения вида acosx bsinx c+ 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

х = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + Уравнения вида acosx bsinx cn, n э Z. Является корнем уравнения.

Ответ: х = arctg(–1/3) + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ. x = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

2)Функционально-графический метод. О.Д.З. х – любое.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Построим графики функций: y = sinx, y = cosx + 1.

Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: х = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + 2 Уравнения вида acosx bsinx cn, Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx cZ ; x = Уравнения вида acosx bsinx c+ 2Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

3) Введение вспомогательного аргумента. О.Д.З.: х – любое.

8cosx + 15 sinx = 17.

Уравнения вида acosx bsinx c

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то существует такое Уравнения вида acosx bsinx c, что sin Уравнения вида acosx bsinx c= 8/17,

cos Уравнения вида acosx bsinx c= 15/17, значит sin Уравнения вида acosx bsinx ccosx + sinx cos Уравнения вида acosx bsinx c= 1; Уравнения вида acosx bsinx c= arcsin 8/17.

sin (x + Уравнения вида acosx bsinx c) = 1.

Ответ: x = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + 2Уравнения вида acosx bsinx cn – Уравнения вида acosx bsinx c, x = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + 2Уравнения вида acosx bsinx cn – arcsin 8/17, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

2. Понижение порядка: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – любое.

Уравнения вида acosx bsinx c

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Ответ: х = Уравнения вида acosx bsinx c/20 + Уравнения вида acosx bsinx cn/10, n Уравнения вида acosx bsinx cZ. x = Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx ck/3, k Уравнения вида acosx bsinx cZ, x = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + Уравнения вида acosx bsinx cm, m Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Приk = 1 и m = 0
k = 4 и m = 1.		серии совпадают.

3. Сведение к однородному. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + Уравнения вида acosx bsinx c3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – любое.
5 sin 2 х + Уравнения вида acosx bsinx c3 sinx cosx + 6cos 2 х – 5 sin 2 х – 5 cos 2 х = 0
Уравнения вида acosx bsinx c3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) делить на cos 2 х нельзя, так как теряем корни.
cos 2 х = 0 удовлетворяет уравнению.
cosx ( Уравнения вида acosx bsinx c3 sinx + cosx ) = 0
cosx = 0, Уравнения вида acosx bsinx c3 sinx + cosx = 0.
х = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ. tgx = –1/Уравнения вида acosx bsinx c3 , x = –Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Ответ: х = Уравнения вида acosx bsinx c/2 + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ. , x = –Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx cZ

4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х – любое.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | 2 – 5t + 2 = 0. t1 = 2, t2 = Ѕ.
sinx + cosx = Ѕ. cosx = sin(x + Уравнения вида acosx bsinx c/2),
sinx +sin(x + Уравнения вида acosx bsinx c/2) = 1/2,
2sin(x + Уравнения вида acosx bsinx c/4) cos(–Уравнения вида acosx bsinx c/4) = 1/2
sin(x + Уравнения вида acosx bsinx c/4) = 1/2Уравнения вида acosx bsinx c2;
x +Уравнения вида acosx bsinx c/4 = (–1) k arcsin( 1/2 O 2 ) + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Ответ: х = (–1) k arcsin(1/2Уравнения вида acosx bsinx c2) – Уравнения вида acosx bsinx c/4 + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

5. Разложение на множители.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, корней нет.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Ответ: x = arctg(1/2) + Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений

1. Потеря корней: делим на g(х); применяем опасные формулы.

1) Найдите ошибку.

1 – сosx = sinx *sinx/2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 разделим на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х/2 = 2 Уравнения вида acosx bsinx cn, x = 4Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx c‘ Z.
Потеряли корни sinx/2 = 0, х = 2Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Правильное решение: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0
x = 2Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.		1 – сosx /2 = 0
x = 4p n, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

2. Посторонние корни: освобождаемся от знаменателя; возводим в четную степень.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – Уравнения вида acosx bsinx c3 ) = 0. О.Д.З.: sin2x Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(сos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
х = Уравнения вида acosx bsinx c/3 + 2Уравнения вида acosx bsinx cn/3, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.		2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Уравнения вида acosx bsinx c

I. х = Уравнения вида acosx bsinx c/3 + 2Уравнения вида acosx bsinx cn/3
1. n = 0
sin 2 Уравнения вида acosx bsinx c/3 = Уравнения вида acosx bsinx c3 / 2
не удовлетворяют. О.Д.З.

2. n = 1
sin 2Уравнения вида acosx bsinx c= 0
удовлетворяют О.Д.З.

3. n = 2
sin 2Уравнения вида acosx bsinx c/ 3 = –Уравнения вида acosx bsinx c3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

II. x = (–1) k Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ
1. k = 0
sin 2Уравнения вида acosx bsinx c/6 = Уравнения вида acosx bsinx c3 / 2
не удовлетворяют О.Д.З.
2. k = 1
sin 2*5Уравнения вида acosx bsinx c/6 = –Уравнения вида acosx bsinx c3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

Ответ: х = Уравнения вида acosx bsinx c+ 2Уравнения вида acosx bsinx ck, x = 5Уравнения вида acosx bsinx c/3 + 2Уравнения вида acosx bsinx ck, x = 5Уравнения вида acosx bsinx c/6 + 2Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

2). Уравнения вида acosx bsinx cвведем подстановку t = 2x,
Уравнения вида acosx bsinx c, cos t > 0.
1 – sin t = 2 cos 2 t

1). sin t = –1,
t = – Уравнения вида acosx bsinx c/2 + 2 Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ;		2). sin t = 1/2,
t = (–1) n Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx cZ;

Уравнения вида acosx bsinx c

I. t = – Уравнения вида acosx bsinx c/2 + 2 Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ;
1. k = 0
t = – Уравнения вида acosx bsinx c/2
удовлетворяют О.Д.З.		II. t = (–1) n Уравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx cn, n Уравнения вида acosx bsinx cZ;
1. n = 0
t = Уравнения вида acosx bsinx c/6
удовлетворяют О.Д.З.
2. n = 1
t = 5 Уравнения вида acosx bsinx c/6
не удовлетворяют О.Д.З.
Ответ:
t = – Уравнения вида acosx bsinx c/2 + 2 Уравнения вида acosx bsinx ck,
x = – Уравнения вида acosx bsinx c/4 + Уравнения вида acosx bsinx ck,
k Уравнения вида acosx bsinx cZ,		t = Уравнения вида acosx bsinx c/6 + 2 Уравнения вида acosx bsinx cn,
x = Уравнения вида acosx bsinx c/12 + Уравнения вида acosx bsinx cn,
n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

3. Отбор корней.

1). tgx + tg2x = tg3x О.Д.З.: х Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c/2+ Уравнения вида acosx bsinx ck, x Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c/4 + Уравнения вида acosx bsinx ck, x Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c/6 + Уравнения вида acosx bsinx ck, k Уравнения вида acosx bsinx cZ.

sin3x sinx sin2x = 0
sin3x = 0
x = Уравнения вида acosx bsinx cn/3, n Уравнения вида acosx bsinx cZ,

n = 0, x = 0 уд.
n = 1, x = Уравнения вида acosx bsinx c/3 уд.
n = 2, x = 2 Уравнения вида acosx bsinx c/3 уд.
n = 3, x = Уравнения вида acosx bsinx cуд.
n = 4, x = 4 Уравнения вида acosx bsinx c/3 уд.
n = 5, x = 5 Уравнения вида acosx bsinx c/3 уд.

sinx = 0
x = Уравнения вида acosx bsinx ch, h Уравнения вида acosx bsinx cZ,

h = 0, x = 0 уд.
h = 1, x = Уравнения вида acosx bsinx cуд.
h = 2, x = 2 Уравнения вида acosx bsinx cуд.

sin2x = 0
x = Уравнения вида acosx bsinx cm/2, m Уравнения вида acosx bsinx cZ.

m = 0, x = 0 уд.
m = 1, x = Уравнения вида acosx bsinx c/2 не уд.
m = 2, x = Уравнения вида acosx bsinx cуд.
m = 3, x = 3 Уравнения вида acosx bsinx c/2 не уд.

Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: x = Уравнения вида acosx bsinx cn/3, n Уравнения вида acosx bsinx cZ.

Видео:Уравнения вида a*sinx+b*cosx=cСкачать

Уравнения вида a*sinx+b*cosx=c

Уравнения вида acosx bsinx c

Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.

1. `sinx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a| 1`, решений нет. Если `|a| Уравнение распадается на два:

1) `2sinx-1=0`, `sinx=1/2` и `x=(-1)^npi/6+pin,n in Z`.

2) `3cosx+1=0`, `cosx=-1/3` и `x=+- arccos(-1/3)+2pin,n in Z`.

Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` и `m`), т. к. идёт перечисление решений.

Используя формулу приведения `sin2x=cos(pi/2-2x)`, преобразуем наше уравнение `cos(pi/2-2x)+cos(5x-pi/6)=0` или `2cos((3x+pi/3)/2)*cos((7x-(2pi)/3)/2)=0`.

Уравнение распадётся на два:

1) `cos((3x+pi/3)/2)=0`; `(3x+pi/3)/2=pi/2+pin,ninZ`;

II. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного

Решить уравнение `4sin^3x=3cos(x+(3pi)/2)`.

По формуле приведения `cos(x+(3pi)/2)=sinx`,

поэтому уравнение запишется: `4sin^3x=3sinx`.

Отметим, что в случае двух уравнений `sinx=+-(sqrt3)/2` мы записали не объединение стандартных формул `(-1)^n(+-pi/3)+pin,ninZ`, а более простую, которая получается, если изобразить решения этих уравнений на тригонометрическом круге (рис. 1). (Две верхние точки – решения уравнения `sinx=(sqrt3)/2`, а две нижние – решения уравнения `sinx=-(sqrt3)/2`).

Уравнения вида acosx bsinx c

`x=pin,ninz`; `x=+-pi/3+pin,n inZ`.

Решить уравнение `cos2x+sin^2x=0,5`.

Воспользуемся формулой `cos2x=1-2sin^2x`.

Получим: `1-sin^2x=0,5` или `sin^2x=1/2`, `sinx=+-1/sqrt2`.

Это уравнение можно решить и пользуясь формулой `sin^2x+(1-cos2x)/2`. Тогда оно преобразуется к виду: `cos2x=0`, `2x=pi/2+pin,ninZ`, или

Геометрически множества точек (1) и (2) совпадают (рис. 2). Так что решения тригонометрических уравнений могут быть записаны в разной форме.

Уравнения вида acosx bsinx c

III. Однородные уравнения

(хотя формально эти уравнения можно отнестик предыдущему типу)

Решить уравнение `5sin^2x-4sinx*cosx-cos^2x=0`.

Это однородное уравнение второго порядка. Так как `cosx!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что `sinx=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству `sin^2x+cos^2x=1`), то разделим наше уравнение на `cos^2x`. Получим уравнение `5″tg»^2x-4″tg»x-1=0`. Откуда `»tg»x=1` или `»tg»x=-1/5`. Следовательно, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-«arctg»1/5+pin,ninZ`.

Решить уравнение `2+3sinxcosx=7sin^2x`.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством `1=sin^2x+cos^2x`. Преобразуем наше уравнение к однородному уравнению второго порядка: `2(sin^2x+cos^2x)+3sinxcosx=7sin^2x` или `5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0`. Здесь `cosx!=0` (в противном случае из последнего уравнения следовало бы, что `sinx!=0` что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем уравнение `5″tg»^2x-3″tg»x-2=0`.

Откуда `»tg»x=1` или `»tg»x=-2/5`. И значит, `x=pi/4+pin,ninZ`, или `x=-«arctg»2/5+pin,ninZ`

Наконец рассмотрим уравнение, сводящееся к однородному третьего порядка.

Решить уравнение `sin^3x+13cos^3x-cosx=0`.

Перепишем это уравнение так:

Это однородное уравнение третьего порядка. Деля его на `cos^3x` (`cosx!=0` для решений нашего уравнения), получим уравнение относительно `»tg»x`

Делаем замену: `t=»tg»x`. Алгебраическое уравнение `t^3-t^2+12=0` имеет корень `t=-2` (находится подбором среди целых делителей числа `12`). Далее деля многочлен `t^3-t^2+12` на `(t+12)`, раскладываем левую часть алгебраического уравнения на множители

Уравнение `t^2-3t+6=0` не имеет действительных корней, т. к. `D sqrt2` не даёт решений. Число `|1-sqrt3| при `2x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`.

`max_Rf(x)=-2`, `min_R f(x)=-12`.

Рассмотрим теперь более сложные тригонометрические уравнения, в которых надо делать отбор корней.

V. Рациональные тригонометрические уравнения

Решить уравнение `(cos2x+cosx+1)/(2sinx+sqrt3)=0`.

Не будем решать это неравенство, а изобразим на тригонометрическом круге (рис. 3а) точки, не удовлетворяющие ОДЗ.

Решаем уравнение `cos2x+cosx+1=0`.

Преобразуем его: `(2cos^2x-1)+cosx+1=0`, `2cos^2x+cosx=0`,

Уравнения вида acosx bsinx c

Изобразим решения уравнения `cosx=0` на тригонометрическом круге (рис. 3б). Они удовлетворяют ОДЗ.

Изобразим решения уравнения `cosx=-1/2` на тригонометрическом круге (рис. 3в). Мы видим, что точки `x=-(2pi)/3+2pin,ninZ`, не удовлетворяют ОДЗ, а точки `x=(2pi)/3+2pin,ninZ`, удовлетворяют ОДЗ. Таким образом,

Решить уравнение `(sinx)/(sin3x)+(sin5x)/(sinx)=8cosxcos3x`.

Умножим уравнение на `sinx*sin3x`. Получим:

Преобразуем это уравнение:

Ещё раз воспользуемся формулой

в правой части последнего уравнения и умножим его на `2`. Получим

`(1-cos2x)+(cos2x-cos8x)=2(cos4x-cos8x)` или `1+cos8x-2cos4x=0`.

Далее: `1+(2cos^2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ iff left[beginmathrm4x=1.\ mathrm4x=0.endright.$$

Если `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.

1. Изображаем точки

на тригонометрическом круге (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).

2. Изображаем точки

которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).

Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c

Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки

С решениями уравнения

или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек — решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` – далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m` и `n` такие, что

`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`

`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.

Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.

Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m` и `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`. Видим, что `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т. е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. Но при `n=2k+1` в серии `x=(pin)/2` останутся `x=pi/2(2k+1)=pi/2+pik,kinZ`, что и было нами получено на тригонометрическом круге.

Иногда отбор решений предлагается сделать в условии задачи.

Видео:Уравнение вида a sin x + b cos x =cСкачать

Уравнение вида a sin x + b cos x =c

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a n arcsina+πn, n Уравнения вида acosx bsinx c.

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде:

x = (-1) n arcsin0,3+πn, n Уравнения вида acosx bsinx c.

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a 1, то решений нет. Ответ: решений нет.

б) x =(-1) k arcsin(- Уравнения вида acosx bsinx c)+ Уравнения вида acosx bsinx cx =(-1) k Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c

x =(-1) k +1 Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx cОтвет: (-1) k +1 Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x= Уравнения вида acosx bsinx c, x= Уравнения вида acosx bsinx c;

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c;

д) tgx = Уравнения вида acosx bsinx c, x = arctg Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx cx = Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx cОтвет: Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c

3.Виды тригонометрических уравнений:

1.Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Такие тригонометрические уравнения можно привести, например, к виду

где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из тригонометрических функций.

Например, 4sin 2 x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

4t 2 +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

Подставим найденные значения t1 и t2 в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения x= — Уравнения вида acosx bsinx cРешение второго уравнения

x =(-1) k+1 arcsin0,25+ Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: — Уравнения вида acosx bsinx c; (-1) k+1 arcsin0,25+ Уравнения вида acosx bsinx c

Решить уравнение sin 2 x + cosx +1= 0.

sin 2 x + cosx +1= 0, заменяя sin 2 x = 1- cos 2 x, получим 1- cos 2 x+ cosx +1= 0,

cos 2 x — cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t 2 -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

Подставим найденные значения t1 и t2 в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x= Уравнения вида acosx bsinx c

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c,

2.Однородные тригонометрические уравнения.

Такие уравнения можно привести к виду a∙sin 2 x+bsinxcosx+ k∙cos 2 x= 0,

a,b,k – некоторые действительные числа, a≠0, k≠0.

Например, 4sin 2 x +5sinx cosx+cos 2 x = 0.Такие уравнения – однородные уравнения второй степени

Чтобы решить такое уравнение, надо:

1. Разделить почленно обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0,т.е.

4 Уравнения вида acosx bsinx c;

2.Выполнить преобразования: 4 Уравнения вида acosx bsinx c4tg 2 x +5tgx+1=0.

3.Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.

tgx = -1, tgx = — 0,25.

x = arctg(-1)+πk, Уравнения вида acosx bsinx cили x = arctg(-0,25)+πn, Уравнения вида acosx bsinx c,

x = — Уравнения вида acosx bsinx c+πk, Уравнения вида acosx bsinx cили x = — arctg 0,25+πn, Уравнения вида acosx bsinx c.

Ответ: — Уравнения вида acosx bsinx c+πk, Уравнения вида acosx bsinx c; — arctg0,25+πn, Уравнения вида acosx bsinx c

Решить уравнение 4sin 2 x +sin2x -3 = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на 2sinxcosx, а 3- на 3sin 2 x +3сos 2 x , т.к. sin 2 x +сos 2 x =1, получим:

4sin 2 x +2sinxcosx-3sin 2 x -3сos 2 x =0, sin 2 x +2sinxcosx-3сos 2 x =0.

Последнее уравнение – однородное. Решим его:

1. Уравнения вида acosx bsinx c;

2. Уравнения вида acosx bsinx ctg2x +2tgx — 3= 0.

3. tgx =t, t 2 +2t — 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .

x = arctg1+πk, Уравнения вида acosx bsinx cили x = arctg(-3)+πn, Уравнения вида acosx bsinx c,

x = Уравнения вида acosx bsinx c+πk, Уравнения вида acosx bsinx cили x = — arctg 3+πn, Уравнения вида acosx bsinx c.

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c+πk, Уравнения вида acosx bsinx c; — arctg3+πn, Уравнения вида acosx bsinx c

Для решения однородных уравнений можно использовать следующую таблицу:

1. Привести уравнение к виду Уравнения вида acosx bsinx c2. Решить уравнение Уравнения вида acosx bsinx c

3.Уравнение вида asinx+bcosx=c

Чтобы решить уравнение такого вида (например,3sinx+4cosx=2), можно 1.Записать его в виде sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c( в нашем случае sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c,

sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c).

2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c

( в нашем случае sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c, x+t =(-1) k arcsin0,4 +πk, Уравнения вида acosx bsinx c;

x = (-1) k arcsin0,4 – t +πk, Уравнения вида acosx bsinx c;

3. Определить t, t = arctgb/a ( в нашем случае t = arctg4/3);

4. Записать ответ: x = (-1) k arcsin0,4 – arctg4/3+πk, Уравнения вида acosx bsinx c.

Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.

1. sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c, sin(x +t) = Уравнения вида acosx bsinx c;

2. x+t = (-1) k arcsin Уравнения вида acosx bsinx c+πk, Уравнения вида acosx bsinx c, x = (-1)k arcsin Уравнения вида acosx bsinx c-t+πk, Уравнения вида acosx bsinx c;

4. Уравнения вида acosx bsinx c, x = (-1) k arcsin Уравнения вида acosx bsinx c-arctg0,5 +πk, Уравнения вида acosx bsinx c/

Для решения уравнения вида Уравнения вида acosx bsinx c, где Уравнения вида acosx bsinx cможно использовать следующую таблицу:

УравнениеРавносильное уравнениеДополнительное условие
Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c, Уравнения вида acosx bsinx c, Уравнения вида acosx bsinx c.

Если левая часть тригонометрического уравнения Уравнения вида acosx bsinx cсодержит лишь одно из выражений Уравнения вида acosx bsinx cили Уравнения вида acosx bsinx cи функцию Уравнения вида acosx bsinx c(или произведение Уравнения вида acosx bsinx c), то, вводя новую переменную Уравнения вида acosx bsinx cили Уравнения вида acosx bsinx cи учитывая, что Уравнения вида acosx bsinx c, Уравнения вида acosx bsinx c, приходим к уравнению относительно Уравнения вида acosx bsinx c.

Для решения тригонометрических уравнений данным способом можно использовать таблицу

Уравнения вида acosx bsinx c

5.Некоторые другие виды тригонометрических уравнений

а) sin(3x+ Уравнения вида acosx bsinx c) = 0,5; б) sin2x + cosx = 0 ; в)sinx + cosx = 0

а) sin(3x+ Уравнения вида acosx bsinx c) = 0,5.

Обозначим 3x+ Уравнения вида acosx bsinx c= t, получим: sint = 0,5- простейшее уравнение, его решение t =(-1)k Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx cЗаменим t на 3x+ Уравнения вида acosx bsinx c, получим 3x + Уравнения вида acosx bsinx c= (-1)k Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c

Решим это уравнение относительно х:

3x = — Уравнения вида acosx bsinx c+ (-1)k Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c, разделим все члены правой части уравнения на 3, получим x = — Уравнения вида acosx bsinx c+ (-1)k Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c.

Ответ: — Уравнения вида acosx bsinx c+ (-1)k Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c.

б) sin2x – cosx = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле синуса двойного аргумента на 2sinxcosx, получим

2sinxсos + cosx = 0.

Затем вынесем cosx за скобки, получим: cosx (2sinx-1) = 0,

откуда сosx = 0 или 2sinx -1=0;

x = Уравнения вида acosx bsinx cили sinx = 0,5;

x = Уравнения вида acosx bsinx cили x = (-1)n Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c; (-1)n Уравнения вида acosx bsinx c+ Уравнения вида acosx bsinx c

в) sinx + cosx = 0.

Это уравнение можно рассматривать как однородное уравнение первой степени относительно функций синуса и косинуса. Чтобы решить это уравнение :

Разделим почленно обе части уравнения на cosx,получим:

Уравнения вида acosx bsinx c

tgx +1 = 0, tgx = -1 .

3.Решим простейшее уравнение tgx = -1, x= Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c

6.Уравнения, решаемые с помощью применения свойств ограниченности тригонометрических функций

Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c
1) Уравнения вида acosx bsinx c. Так как Уравнения вида acosx bsinx cи Уравнения вида acosx bsinx cдля Уравнения вида acosx bsinx c, то уравнение Уравнения вида acosx bsinx cравносильно системе Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx cТак как Уравнения вида acosx bsinx c, то Уравнения вида acosx bsinx c— корень исходного уравнения. Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c.

2) Уравнения вида acosx bsinx c

Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx c=2

Уравнения вида acosx bsinx c

Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c

Уравнения вида acosx bsinx c Уравнения вида acosx bsinx cУравнения вида acosx bsinx c

Уравнения вида acosx bsinx c

Ответ: Уравнения вида acosx bsinx c.

💡 Видео

Уравнение asinx + bcosx = cСкачать

Уравнение asinx + bcosx = c

Решение уравнения вида a sin x + b cos x = cСкачать

Решение уравнения вида a sin x + b cos x = c

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

10 класс, 30 урок, Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)Скачать

10 класс, 30 урок, Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Тригонометрические функции, y=tgx и y=ctgx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Тригонометрические функции, y=tgx и y=ctgx, их свойства и графики. 10 класс.

Решение уравнения a*sin^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*cos^2(x)=0Скачать

Решение уравнения a*sin^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*cos^2(x)=0

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Уравнения вида a sinx + b cosx = c (часть 2)Скачать

Уравнения вида a sinx + b cosx = c (часть 2)

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

4 Метода решения уравнений типа: asinx + bcosx = c. #тригонометрия #математика #решениеуравненийСкачать

4 Метода решения уравнений типа: asinx + bcosx = c. #тригонометрия #математика #решениеуравнений

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=A

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решенияСкачать

Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решения

Решение уравнения a*sinx+b*cosx=0Скачать

Решение уравнения a*sinx+b*cosx=0

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе:
О сайте | | © 2024 Про уравнения - легко.