Уравнения в неявном виде это (8 видео)

Производная функции, заданной неявно

Содержание

Производная первого порядка
Доказательство
Производные высших порядков
Примеры
Пример 1
Решение по формуле 2
Решение вторым способом
Пример 2
Пример 3
Неявные функции
Неявные функции, определяемые одним уравнением.
Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Локальная обратимость регулярного отображения.
Явные и неявные функции
🔥 Видео

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017

Видео:[Calculus | глава 6] Неявное дифференцирование — что здесь происходит?Скачать

Неявные функции

Видео:Производная неявной функцииСкачать

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция (F(x,y)) определена в (R^2). Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.label
$$

Множество (G_F) точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению eqref, было названо графиком уравнения. Через (A_F) будем обозначать проекцию графика (G_F) на ось (x). Будем рассматривать такие уравнения eqref, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения (x^2 + y^2 — 1 = 0) есть окружность, график уравнения ((x-1)(x+y-1)=0) есть пара прямых (x = 1) и (x+y-1=0) (рис. 28.1).

Рис. 28.1

Если график (G_F) уравнения eqref взаимно однозначно проектируется на (A_F), то существует единственная функция (f: ; A_Frightarrow R), график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому (xin A_F) ставит в соответствие тот единственный (y), для которого (F(x,y)=0). Говорят, что уравнение eqref определяет (y) как неявную функцию (x).

Но, как правило, график уравнения eqref не проектируется взаимно однозначно на (A_F). Тогда на (A_F) в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым подмножеством графика (G_F) уравнения eqref. Так, разбивая отрезок ([-1,1]) точками (x_0= -1 Рис. 28.2

Меняя местами переменные (x) и (y), можно говорить о том, что уравнение eqref определяет в некотором прямоугольнике переменную (x) как неявную функцию переменной (y).

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением eqref в некотором прямоугольнике.

функция (F(x,y)) имеет в окрестности точки ((x_0,y_0)) непрерывные частные производные (F_x(x,y)) и (F_y(x,y));
(F(x_0,y_0)=0);
(F_y(x_0,y_0)neq 0).

Тогда существует прямоугольник
$$
K = ,nonumber
$$
в котором уравнение (F(x,y) = 0) определяет (y) как неявную функцию (x). Функция (y=f(x)) непрерывно дифференцируема на интервале ((x_0-a,x_0+a)) и
$$
f'(x)=-frac.label
$$

(circ) Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия (F_y(x_0,y_0)neq 0) следует, что либо (F_y(x_0,y_0) > 0), либо (F_y(x_0,y_0) 0.label
$$
Если (F_y(x_0,y_0) 0).

Так как функция (F_y(x,y)) в точке ((x_0,y_0)) непрерывна и в силу условия eqref принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=,nonumber
$$
в котором функция (F_y(x,y) > 0).

Рис. 28.3

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
psi (y)=F(x_0,y),quad y_0-bleq yleq y_0+b.nonumber
$$
Функция (psi (y)) строго возрастает на отрезке ([y_0-b,y_0+b]), так как
$$
psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.nonumber
$$
Кроме того, в силу условия (F(x_0,y_0)=0)
$$
psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.nonumber
$$
Поэтому
$$
psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.label
$$
Неравенства eqref в силу непрерывности функции (F(x,y)) должны сохраняться в некоторых окрестностях точек ((x_0,y_0-b)) и ((x_0,y_0+b)). Поэтому существует такое (ain (0,a_1)), что для всех (xin [x_0-a,x_0+a]) выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) 0.label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=,nonumber
$$
уравнение (F(x,y) = 0) определяет (y) как неявную функцию (x).

Возьмем любую точку (x^*in [x_0-a,x_0+a]) и рассмотрим непрерывную на отрезке ([y_0-b,y_0+b]) функцию одной переменной (varphi (y)=F(x^*,y)). В силу условия eqref эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка (y^*in [y_0-b,y_0+b]), что
$$
varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.nonumber
$$

Так как (varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0), то функция (varphi(y)) строго возрастает на отрезке ([y_0-b,y_0+b]) и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого (xin [x_0-a,x_0+a]) найдется единственный (yin [y_0-b,y_0+b]) такой, что (F(x,y) = 0). Это означает, что в прямоугольнике (K) уравнение (F(x,y) = 0) определяет (y) как неявную функцию (x).

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике (K) функция (F_y(x,y)) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение (alpha). Так как (F_y(x,y) > 0) на (K), то
$$
F_y(x,y)geq a > 0,qquad (x,y)in K.label
$$

Непрерывная на (K) функция (F_x(x,y)) ограничена на (K). Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.

Если известно, что уравнение (F(x,y)=0) определяет в прямоугольнике (aleq xleq b, ; cleq yleq d) переменную (y) как неявную функцию (x), то связь между (dy) и (dx) можно установить, формально дифференцируя тождество (F(x,y(x)) = 0). Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал (d^2y)
$$
F_ dx^2 + 2F_ dx dy + F_ dy^2 + F_y d^2y = 0.nonumber
$$

Видео:11.1. Касательная к неявной функции / производная неявной функции ПРИМЕРЫСкачать

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему (m) уравнений с (n+m) неизвестными
$$
left<beginF_1(x_1,ldots,x_n,x_,ldots,x_)=0,\…..\F_m(x_1,ldots,x_n,x_,ldots,x_)=0endright.label
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если (A) и (B) — произвольные множества, то их декартово произведение (Atimes B) есть множество пар ((x,y)), где (xin A), (yin B). Так, декартово произведение ([a,b]times [c,d]) есть множество пар вещественных чисел таких, что (aleq xleq b,) и (cleq yleq d), то есть прямоугольник в (R^2).

Клеточной окрестностью точки (x^0 =(x_1^0,ldots,x_n^0)) будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=<x: ; xin R^n, ; -varepsilon_ileq x_i-x_i^0leq varepsilon_i, ; i=overline>,nonumber
$$
где (varepsilon_i, ; i =overline) — положительные числа, (x = (x_1,…,x_n)).

Легко видеть, что в том случае, когда (K_1(x^0)subset R^n) и (K_2(y^0)subset R^m) — клеточные окрестности, их декартово произведение (K_1(x^0)times K_2(y^0)) есть клеточная окрестность точки ((x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0) в пространстве (R^).

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая (x=(x_1,…,x_n), ; y=(y_1,…,y_m)), где (y_1=x_,…,y_m=x_).

Тогда систему уравнений eqref можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, ; i=overline.label
$$

Функции (F_i(x,y) = 0) будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки ((x^0,y^0)).

Пусть (K(x^0)subset R^n) и (Q(y_0)subset R^m) есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений (F_i(x,y)=0, ; i=overline), определяет в (K(x^0)times Q(y_0)) переменные (y_1,…,y_m) как неявные функции переменных (x_1,…,x_n), если для любого (xin K(x^0)) найдется единственный (yin Q(y^0)) такой, что (F_i(x,y) = 0, ; i=overline).

Пусть выполнены следующие условия:

Тогда найдутся клеточные окрестности (K(x^0) subset R^n) и (Q(y^0) subset R^m) такие, что в (K(x^0)times Q(y^0)) система уравнений eqref определяет переменные (y_1,…,y_m) как неявные функции переменных (x_1,…,x_n). Неявные функции (y_j =varphi_j(x)) непрерывно дифференцируемы в (K(x^0)) и (y_j^0=varphi_j(x^0), ; j=overline).

(circ) Воспользуемся методом индукции по числу уравнений (m). При (m=1) доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система eqref содержит (m-1) уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы eqref из (m) уравнений.

Так как определитель eqref отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров (m-1)-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
<begindisplaystylefrac&…&displaystylefrac<partial y_>\…&…&…\displaystylefrac<partial F_>&…&displaystylefrac<partial F_><partial y_>end>_neq0nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ (0) означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом (0)).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
beginK_1=displaystyleleft<(x,y_m): ; vert x_i-x_i^0vertleqvarepsilon_i’, ; i=overline, ; vert y_m-y_m^0vert Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Видео:27. Дифференцирование неявной функции двух переменныхСкачать

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве (Esubset R^n) заданы (n) функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).nonumber
$$

Они задают отображение (f: ; Erightarrow R^n), которое каждой точке (xin E) ставит в соответствие точку (y=f(x)), где
$$
y_1=f_1(x),quad,…,quad y_n=f_n(x).nonumber
$$

Точка (y=f(x)) называется образом точки (x) при отображении (f). Точка (x) называется прообразом точки (y).

Если (Omegasubset E), то множество
$$
f(Omega)=nonumber
$$
называется образом множества (Omega) при отображении (f). Если (omegasubset f(E)), то множество
$$
f^(omega)=nonumber
$$
называется прообразом множества (omega).

Пусть (G subset R^n) есть открытое множество. Отображение (f: ; Grightarrow R^n) называется непрерывным в точке (x^0), если (forall varepsilon > 0 ; existsdelta > 0) такое, что (forall x) таких, что (rho(x,x^0) Лемма 1.

Если (G) есть открытое множество, а (f: ; Grightarrow R^n) — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества (omegain f(G)) есть открытое множество.

(circ) Пусть (Omega= f^(omega)). Возьмем любую точку (x^0inOmega). Тогда (f(x^0)=y^0in omega). Так как множество (omega) открыто, то найдется окрестность (S_(y^0)in omega). В силу непрерывности отображения (f) в точке (x^0) найдется шаровая окрестность (S_(x^0)), для которой выполнено условие eqref.

Следовательно,
$$
S_(x^0)subset f^(omega)subsetOmega,nonumber
$$
и (Omega) — открытое множество. (bullet)

Как обычно, под окрестностью (A(x^0)) точки (x^0) будем понимать любое множество (A), для которого точка (x^0) внутренняя.

Пусть (G subset R^n) — открытое множество. Отображение (f: ; Grightarrow R^n) будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции (f_1(x),…,f_n(x)), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в (G). Непрерывно дифференцируемое отображение (f: ; Grightarrow R^n) будем называть регулярным, если в области (G) якобиан отображения (j_f(x)neq 0). Якобианом отображения (j_f(x)) называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=beginfrac&…&frac\…&…&…\frac&…&fracend.nonumber
$$

Пусть (G) — открытое множество в (R^n), а отображение (f: ; Grightarrow R^n) регулярно. Тогда в каждой точке (x^0in G) оно локально регулярно обратимо, то есть (forall x^0in G) найдутся такие окрестности (A(x^0) subset G) и (B(y^0)subset f(G)), где (y^0= f(x^0)), что отображение (f: ; A(x^0)rightarrow B(y^0)) будет взаимно однозначным, причем обратное отображение (f^: ; B(y^0)rightarrow A(x^0)) регулярно.

(circ) Рассмотрим в (Gtimes R^n) систему уравнений
$$
F_i(x,y)equiv y_i-f_i(x)=0,quad i=overline.label
$$

Пусть (x^0) — произвольная точка множества G и (y^0=f(x^0)). Тогда функции (F_i(x,y)) непрерывно дифференцируемы в (Gtimes R^n) и (y_i^0= f_i(x^0), ; i=overline). Так как отображение (f) регулярно, то
$$
<beginfrac&…&frac\…&…&…\frac&…&fracend>_=(-1)^nj_f(x^0)neq0.nonumber
$$
Для системы уравнений eqref выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
beginK(x^0)=left<x: ; vert x_i-x_i^0vertleqvarepsilon_i, ; i=overlineright>,quad K(x^0)subset G,\Q(y^0)=left<y: ; vert y_i-y_i^0vertleqdelta_i, ; i=overlineright>,quad Q(y^0)subset f(G),endnonumber
$$
что в (K(x^0)times Q(y^0)) система уравнений eqref определяет переменные (x_1,…,x_n) как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных (y_1,…,y_n):
$$
beginx_1=varphi_1(y),quad …,quad x_n=varphi_n(y),\xin K(x^0),quad yin Q(y^0),quad x_i^0=varphi_i(y^0),quad i=overline.endlabel
$$
Пусть (B(y^0)) есть внутренность (Q(y^0)):
$$
B(y^0) = left<y: ; |y_i-y_i^0| Следствие.

Если (f: ; Grightarrow R^n) есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества (Omegasubset G) есть открытое множество.

(circ) Пусть (omega=f(Omega)). Возьмем произвольную точку (y^0inomega) и пусть (x^0) есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности (A(x^0) subset Omega) и (B(y^0) subset omega); что отображение (f: ; A(x^0)rightarrow B(y^0)) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка (y^0inomega) принадлежит (omega) вместе с некоторой окрестностью (B(y^0)). Множество (omega=f(Omega)) открыто. (bullet)

Видео:14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

Явные и неявные функции

Определение.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Такая функция имеет вид: , т.е. переменная y выражается через х.

Например, ; ; .

Определение.

Неявной функцией y независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего х и y и, не разрешенного относительно y.

Неявная функция имеет вид: .

Например, ; .

Замечание.

Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.

Основные характеристики функции

Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:

1) четность или нечетность функции;

2) периодичность функции;

4) возрастание или убывание функции (монотонность функции);

5) ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.

Четные и нечетные функции

Определение.

Функция называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. .

Например, ; ; – четные функции.

График четной функции расположен симметрично относительно оси (рис.1.4).

Определение.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. .

Например, ; – нечетные функции.

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).

Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.

Например, ; ; .

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.

Периодические функции

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что в области определения функции.

Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции .

Например, функции , являются периодическими с периодом .

Нули функции

Определение.

Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, , называется нулем функции.

Например, нулями функции являются значения и .

Монотонные функции

Определение.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).