- Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям: трехчленные уравнения и уравнения вида (ax + b)(ax + b + c)(ax + + b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
- Трехчленные уравнения
- Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
- Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящихся
- Решение уравнений, сводящихся к квадратным
- Биквадратные уравнения
- Метод разложения на множители
- Метод замены переменной
- Выделение полного квадрата
- Примеры
- 📽️ Видео
Видео:Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида
(ax + b)(ax + b + c)(ax +
+ b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
 | Трёхчленные уравнения |
| Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии |
| Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени |
| Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени |
| Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
Видео:Уравнения, сводящиеся к квадратным. Биквадратное уравнениеСкачать
Трехчленные уравнения
Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида
| a f 2 (x)+ b f (x) + c = 0, | (1) |
а также уравнения вида
 | (2) |
где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.
Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим
| y = f (x), | (3) |
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :
| ay 2 + by + c = 0 . | (4) |
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Покажем, как это осуществляется на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
| (x 2 – 2x) 2 – – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0 . | (5) |
Решение . Если обозначить
| y = x 2 – 2x , | (6) |
то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение
| y 2 – 2y – 3 = 0 . | (7) |
В первом случае из равенства (6) получаем:
Во втором случае из равенства (6) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
 | (8) |
Решение . Если обозначить
 , | (9) |
то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
| 2y 2 – 3 y – 2 = 0 . | (10) |
В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (9) получаем:
Ответ : 
Пример 3 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
 | (12) |
то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
| y 2 – 5y – 6 = 0 . | (13) |
В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:
Во втором случае из равенства (12) получаем:
Ответ : 
Пример 4 . Решить биквадратное уравнение
| x 4 – x 2 – 12 = 0 . | (14) |
Решение . Если обозначить
| y = x 2 , | (15) |
то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение
| y 2 – y – 12 = 0 . | (16) |
В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (15) получаем:
Пример 5 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
| y = x 2 – 3x, | (18) |
уравнение (17) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
| y 2 + 2y – 8 = 0 . | (19) |
В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (18) получаем:
Ответ : 
Пример 6 . Решить уравнение
Решение . Если обозначить
 , | (21) |
уравнение (20) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
| 3y 2 – 2y – 1 = 0 . | (22) |
В первом случае из равенства (21) получаем уравнение
Во втором случае из равенства (21) получаем:
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
| (ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d , | (23) |
где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b , а разность равна c .
Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.
| y = ax + b. | (24) |
Тогда уравнение (23) примет вид:
| y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d . | (25) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:
| [y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d . | (26) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:
| [y 2 + 3cy][y 2 + + 3cy + 2c 2 ] = d . | (27) |
Если теперь в уравнении (27) обозначить
| z = y 2 + 3cy , | (28) |
то уравнение (27) станеи квадратным уравнением
| z 2 + 2c 2 z – d = 0 . | (29) |
Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .
Пример 7 . Решить уравнение
| (2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 . | (30) |
Решение .Если обозначить
| y = 2x + 3, | (31) |
уравнение (30) превращается в уравнение
| y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 . | (32) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):
| [y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 . | (33) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:
| [y 2 + 6y][y 2 + + 6y + 8] = 384 . | (34) |
Если теперь обозначить
| z = y 2 + 6y , | (35) |
то уравнение (34) станет квадратным уравнением
| z 2 + 8 z – 384 = 0 . | (36) |
В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:
которое корней не имеет.
Во втором случае из равенства (35) получаем:
В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:
Во втором случае из равенства (31) получаем:
Ответ : 
Видео:Тема 13. Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениямСкачать
Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящихся
Разделы: Математика
Планируя урок, мы рассматриваем его как целостную совокупность ориентированных на достижение определенной цели взаимодействующих управленческих функций, выполняемых одновременно или в некоторой последовательности. К этим управленческим функциям относятся:
планирование, то есть определение целей и средств их достижения;
организация, то есть создание и совершенствование взаимодействия между управляемой и управляющей системами для выполнения планов;
контроль, то есть сбор информации о процессе выполнения намеченных планов;
регулирование, то есть корректировка планов и процесса их реализации;
анализ, то есть изучение и оценка процесса результатов выполнения планов.
Этот вопрос можно решить при помощи организации уроков “по вертикали”, то есть уроков, на которых работают подгруппы разных классов, что позволяет старшим детям обратиться к ранее изученному материалу на другом качественном уровне, а младшим школьникам в диалоге со старшими товарищами систематизировать изученный материал и обобщить способы действия с ним. Варианты таких уроков:
– “Признаки равенства треугольников” в 7-м классе и “Признаки подобия треугольников” в 8-м классе;
– “Площади” в 8-й классе и “Площадь поверхности многогранников” в 11-й классе;
– “Формулы сокращенного умножения” в 7-м классе и “Действия с алгебраическими дробями” в 8-м классе; и т. д.
Одним из таких уроков является урок по теме “Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящимся”, который проводится по окончании изучения темы “Квадратные уравнения” в 8-м классе и в теме “Повторение” в 11-м классе. Уравнения и неравенства – наиболее распространенные типы задач, решаемых учащимися в школе. По сложившейся традиции эти задачи всегда предлагаются и на школьных выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы. В связи с тем, что изменяется форма проведения экзаменов в виде тестов, возникает еще одна проблема: надо научить учащихся быстро находить правильный ответ.
Цель урока: Использовать квадратное уравнение как модель, описывающую различные зависимости между величинами.
научить учащихся использовать данную модель для планирования своей работы;
анализировать математическую модель с точки зрения поиска рациональных методов решения;
формировать целостное представление о применении данной математической модели;
показать применение данной математической модели в других темах математики.
Данному уроку предшествовал урок – зачет, когда учащиеся 8-го класса отвечали на заранее определенные вопросы учащимся 11-го класса, работая в парах:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. Какое квадратное уравнение называется полным, неполным?
3. Какое уравнение называется приведенным, не приведенным?
4. Является ли квадратным каждое из следующих уравнений: 
5. Решите уравнения:
а) 3х 2 –21=0 б) 0,5х 2 –2=0 в) 5х 2 –8х=0
6. Может ли уравнение вида ах 2 +с=0 не иметь действительных корней?
7. Может ли неполное квадратное уравнение быть приведенным?
8. Какое выражение называется дискриминантом?
9. Напишите формулы для нахождения корней квадратного уравнения.
10. Решите квадратные уравнения:
а) 3х 2 –5х+2=0 б) 3m 2 x 2 –mx–4=0 в) (m+n)y 2 –2my+m–n=0
11.Решите относительно z уравнение: (a–z):(1–az)=(1–bz):(b–z)
12. Как по дискриминанту определить, сколько и каких корней имеет квадратное уравнение?
13.Как читается теорема Виета?
14. Как читается обратная теорема Виета?
15. Как, не решая уравнения, определить знаки его корней?
16. Каков порядок составления квадратных уравнений по известным его корням?
17. Один из корней уравнения х 2 – 6х – q = 0 больше другого на 2. Найдите q.
18. Определите знаки корней, не решая уравнений:
a) 4х 2 –11х+7=0 б) Зх 2 – 8х + 6 =0 в) 9х 2 – 6х + 1 = 0 г) х 2 + 2х – 15 = 0
19. Найдите корни уравнений, воспользовавшись теоремой Виета:
а) х 2 – х – 6 = 0 б) z 2 +2az–8a 2 =0
20. При каком условии сумма корней уравнения х 2 + рх + q = 0 равна их произведению?
21. Что называют квадратным трехчленом?
22. Как разложить квадратный трехчлен на множители?
23. Разложите на множители трехчлены: 2х 2 + 5х – 3; х 2 – х – 56.
24. Какие уравнения называются биквадратными?
Второй этап работы – урок–обобщение, когда при той же парной работе материал темы был систематизирован в схемах и таблицах, которые далее прилагаются к материалам. Эти таблицы определяют основное содержание структуры всей темы, в них включены формулы рационального счета, не пользующиеся широкой известностью, но часто спасающие учащихся на вступительных экзаменах в вузы от громоздких вычислений и экономящих время на решение более сложных задач.
Третий этап – повторительно-обобщающий урок, где реализуется работа с моделью квадратного уравнения.
Рассмотрим реализацию основных направлений учебно-управленческих умений на предлагаемом уроке:
Планирование осуществлялось через:
справочник, где материал систематизирован в схемах и таблицах, которые определяют основное содержание структуры всей темы;
работу с одной моделью;
использование модели для планирования своей работы;
формирование целостного представления о применении данной модели.
Организация осуществлялась при помощи:
работы в парах;
четкой постановки целей.
1. Обобщить и повторить методы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним.
2. Увидеть использование этих методов при решении уравнений в других темах алгебры старших классов.
Для 11-го класса:
1. Повторить рациональные методы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящимся к ним, для подготовки к тестированию по алгебре и началам анализа.
2. Разделить обязанности при работе над уравнением.
решения восьмиклассников проверяют старшеклассники, а одиннадцатиклассники рассказывают, как они решают незнакомые для восьмиклассников уравнения (взаимоконтроль);
проверка решения группы (пары) всеми учащимися.
через систему жетонов;
безнаказанность ошибочного решения;
поощрение верных идей по поиску рациональных способов решения, по поиску ошибки.
анализ модели с точки зрения поиска рациональных способов решений;
подведение итогов урока: Что узнали восьмиклассники? Что узнали одиннадцатиклассники? Что дала работа в парах?
На уроке учащиеся работают парами восьмиклассник — одиннадцатиклассник, задачей которых является быстро и правильно отвечать на поставленные вопросы и зарабатывать баллы, из которых в конце урока складывается их совместная оценка.
Какие виды квадратных уравнений вам известны?
Учащиеся перечисляют известные им виды уравнений и получают задание: заполнить таблицу, распределив уравнения по видам.
Уравнение
Полное
Неполное
Приведенное
7х 2 +9х+2=0
y 2 –3у–4=0
ax 2 –1=0
x 2 – 5? x? =0
m 2 + 
–5=0
6x 2 +x=0
x 2 –3x–5–
=0
5m 2 +2(
–1)m+7=0
8x 2 –0,75=0,53
x 2 :3=3
2p 2 –3? p? –2=0
Таблицу заполняют учащиеся 8-го класса, а учащиеся 11-го класса производят контроль. У доски одна пара выполняет такую же работу, затем класс проверяет правильность заполнения таблицы.
II. Занятие проводится в форме аукциона. Товаром на аукционе являются уравнения. Каждая пара, согласовав свое решение, может купить лот, стоимость которого от 1 до 5 баллов. Тот, кто дает максимальную цену, рассказывает решение уравнения, зарабатывая стоимость лота. В случае ошибочного решения часть баллов снимается.
Предлагается устно решить уравнение х 2 – 8х – 20 = 0. Учитель предлагает купить лот, не показывая вида уравнения. Кто из учащихся первым дает большее количество баллов, тот становится покупателем. К доске выходит пара. восьмиклассник подробно объясняет решение уравнения, а одиннадцатиклассник следит за решением, и если есть замечания, то дополняет.
Выставляется на продажу задание: Определяя, имеет ли квадратное уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 корни, учащиеся дали два решения:
1). Так как а = 2, b = 5, с= 7, D= 81, D > 0, значит, уравнение имеет два корня.
2). Так как а > 0, с 0.Уравнение имеет два корня.
Кто решил верно?
К доске выходит пара, которая купила этот лот. Восьмиклассник комментирует решение, выбирает рациональный способ. Одиннадцатиклассник следит за ответом, помогает, поправляет.
Продается «кот в мешке».
На продажу выставляются 3 уравнения, которые надо решить рациональным способом, но лот предлагается купить, не видя уравнений.
1). 1999у 2 –1997у–2=0
Ученик должен решить его так:
Т.к. 1999 + (–1997) + (–2) = 0, то у1 = 1, у2 = с/а, т.е. у2 = –2/1999.
2). 67х 2 –106х–173=0
Ученик должен решить его так:
3). 2z 2 –11z + 12 = 0
Ученик должен рассуждать так: 2z 2 –11z+12=0, z 2 – 11z + 24 = 0. По теореме, обратной теореме Виета т1 = 8, т2 = 3. Корни искомого уравнения будут равны: z1=8/2 =4 и z2=3/2=1,5
Разыгрываются два уравнения, которые предлагаются решить всем письменно рациональными способами. Каждое уравнение продается отдельно.
1. (х+5) 4 + 8(х+5) 2 –9=0
2. (4/49)у 2 + 9 + (12/7)у = 0
Две пары учащихся решают у доски эти уравнения.
Выставляется на продажу три уравнения. Каждая пара покупает одно из следующих уравнений, которое она должна решить
1. 2001sin 2 x – 2000sinx – 1 = 0
2. 
3. 
Каждое уравнение, кроме того, решается на доске парами, причем первую часть решения выполняет старшеклассник, рассказывая восьмикласснику о своих действиях, а квадратное уравнение решает восьмиклассник, одиннадцатиклассник же выполняет роль контролера.
Подводя итог урока, выясняется, что нового узнали восьмиклассники, а что одиннадцатиклассники? Что дала работа в парах? Домашнее же задание дает возможность еще раз проанализировать работу на уроке, придумав уравнения по данной теме.
Еще в “Великой дидактике” Яном Амосом Коменским было заявлено, что альфой и омегой школы должно быть изыскание способа, при котором учащие меньше бы учили, а учащиеся больше бы учились. Реализация программы общеучебных умений является движением к новой парадигме познавательной компетентности, переходом школы от декларации “учись учиться” к реальному освоению учениками целостной системы методов познания.
Таблица для распознавания знаков корней
Видео:Биквадратные уравнения. 8 класс алгебра.Скачать
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D gt 0$, $z_ = frac<-b pm sqrt> $. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.
Если D = 0,$z_0 = -frac$. Проверить условие $z ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = pm sqrt$.
Шаг 4. Работа завершена.
Шаг 1. $z = x^2 ge 0, z^2+7z-30 = 0$
$z_1 = -10 lt 0, z_2 = 3 gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ = pm sqrt$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
- множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
- множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
- вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
- группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
- формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
- метод неопределённых коэффициентов;
- выделение полного квадрата и т.п.
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = frac$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное quad сложное quad уравнение iff <left< begin Новая quad переменная quad (урав. quad связи quad со quad старой quad переменной \ Исходное quad урав. quad в quad «упрощ.» quad виде end right.>$
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 iff <left< begin z = x^2 ge 0 \ az^2+bz+c = 0 end right.> $$
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax+b sqrt+c = 0 iff <left< begin z = sqrt ge 0 \ az^2+bz+c = 0 end right.> $$
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^+bx^n+c = 0 iff <left< begin z = x^n \ az^2+bz+c = 0 end right.> , n in Bbb Q $$
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Раскроем скобки:$ x^2-x = frac$. Сделаем замену:
$$ z = frac Rightarrow z(z-2) = 24 Rightarrow z^2-2z-24 = 0 Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -4 \ z_2 = 6 end right.$$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ left[ begin x^2-x = -4 \ x^2-x = 6 end right. Rightarrow left[ begin x^2-x+4 = 0 \ x^2-x-6 = 0 end right. Rightarrow left[ begin D lt 0, x in varnothing \ (x-3)(x+2) = 0 end right. Rightarrow left[ begin x_1 = -2 \ x_2 = 3 end right. $$
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ = a Biggl(x+frac Biggr)^2 — frac = a Biggl(x+ frac Biggr)^2- frac, D = b^2-4ac $$
Нами выделен полный квадрат $(x+frac)^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D ge 0$.
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ left[ begin x^2+2-sqrt = 0 \ x^2+2+sqrt = 0 end right. Rightarrow left[ begin x^2 = sqrt -2 gt 0 \ x^2 = -(2+sqrt) lt 0 end right. Rightarrow x_1,2 = pm sqrt<sqrt-2> $$
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 iff <left< begin z = x^2 ge 0 \ 2z^2+7z-4 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = frac = left[ begin z_1 = -4 lt 0 \ z_2 = frac gt 0 end right. $$
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 iff <left< begin z = (x+3)^2 ge 0 \ z^2-10z+24 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = 4 \ z_2 = 6 end right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin (x+3)^2 = 4 \ (x+3)^2 = 6 end right. Rightarrow left[ begin x+3 = pm sqrt \ x+3 = pm sqrt end right. Rightarrow left[ begin x_ = -3 pm 2 \ x_ = -3 pm sqrt end right. Rightarrow left[ begin x_1 = -5 \ x_2 = -1 \ x_ = -3 pm sqrt end right. $$
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
Делаем замену: $x+4 sqrt-60 = 0 iff <left< begin z = sqrt ge 0 \ z^2+4z-60 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -10 \ z_2 = 6 end right.$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 iff <left< begin z = (x-1)^3 \ z^2-7z-8 = 0 end right.>$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -1 \ z_2 = 8 end right.$
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin (x-1)^3 = -1 \ (x-1)^3 = 8 end right. Rightarrow left[ begin x-1 = -1 \ x-1 = 2 end right. Rightarrow left[ begin x_1 = 0 \ x_2 = 3 end right. $$
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 Rightarrow left[ begin z_1 = -6 \ z_2 = 7 end right.$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin x^2+6x = -6 \ x^2+6x = 7 end right. Rightarrow left[ begin x^2+6x+6 = 0 \ x^2+6x-7=0 end right. Rightarrow left[ begin D = 12, x = frac<-6 pm 2 sqrt> \ (x+7)(x-1) = 0 end right. Rightarrow left[ begin x_ = -3 pm sqrt \ x_3 = -7 \ x_4 = 1 end right. $$
Делаем замену: $ frac + frac = 2 iff left[ begin z = x^2+3 ge 3 \ frac + frac = 2 end right.$
Решаем уравнение относительно z:
$$ frac + frac = 2 Rightarrow frac = frac Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 cdot 2 cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = frac = left[ begin z_1 = — frac lt 3 \ z_2 = 4 gt 3 end right. $$
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x_ = pm 1$$
Пример 4*. Решите уравнения:
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a =
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
Замена переменных $z = x+a_$:
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 iff <left< begin t = z^2 ge 0 \ t^2-10t-936 = 0 end right.> $
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 cdot 936 = 3844 = 62^2, t = frac = left[ begin t_1 = -26 lt 0 \ t_2 = 36 gt 0 end right. $$
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = pm sqrt = pm sqrt = pm 6 $$
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = pm 6-4 = left[ begin x_1 = -10 \ x_2 = 2 end right. $$
$$ z- frac =2,1 |times z (z neq 0) $$
$$ z^2-2,1z-1 = 0 Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = frac = left[ begin z_1 = -0,4 \ z_2 = 2,5 end right. $$
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ left[ begin frac = -0,4 \ frac = 2,5 end right. Rightarrow left[ begin x^2+1 = -0,4x \x^2+1 = 2,5x end right. Rightarrow left[ begin x^2+0,4x+1 = 0 \ x^2-2,5x+1 = 0 end right. $$
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $Rightarrow left[ begin x_1 = frac \ x_2 = 2 end right.$
📽️ Видео
Алгебра 8. Решение уравнений, сводящихся к квадратнымСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным. Видеоурок 31. Алгебра 10 классСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать
Урок 99 Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям (8 урок)Скачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным | Квадратный трёхчлен #4 | Ботай со мной #023 | Борис ТрушинСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать
Алгебра 10 класс Уравнения,сводящиеся к квадратнымСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать
Уравнения, сводящиеся к квадратным #1Скачать
