Уравнения статики и динамики систем

При проектировании и исследовании САУ необходимо знать уравнения, описывающие их движения. Процессы в САУ описываются дифференциальными, разностными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями, которые называют ее математической моделью. При исследовании САУ на различных этапах математическая модель может быть различной. Начинают исследования САУ с простейшей математической моделью, а затем ее усложняют, учитывая дополнительные связи и влияния. Такой подход объясняется тем, что к математической модели предъявляются противоречивые требования. Математическая модель должна достаточно полно описывать динамику САУ и при этом быть по возможности простой.

В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения, в неявной форме которые могут быть записаны

, (3.1)

, где (3.2)

x, x ( i )	— управляемая (выходная) величина и ее производные ;
g, g ( j )	— задающая (входная) величина и ее производные ;
ai и bj	— постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы;
с и m	— числа, определяющие порядок производных , причем n определяет порядок дифференциального уравнения;
t	— независимая переменная (время).

Уравнения (3.1) и (3.2) могут быть записаны в явной форме, разрешенные относительно старшей производной (например, (3.2))

.

Данное дифференциальное уравнение в явной форме n-го порядка можно преобразовать в систему n дифференциальных уравнений первого порядка:

путем введения новых неизвестных

Если в дифференциальное уравнение (3.2) входит n неизвестных функций , тогда можно записать систему из n уравнений первого порядка в виде

,

где – переменные, характеризующие состояние системы.

В векторной форме дифференциальное уравнение будет иметь вид

,

Широкое применение в ТАУ получила операторная форма записи дифференциального уравнения. Это объясняется тем, что от дифференциального уравнения посредством интегрального преобразования (например, преобразования Лапласа) переходят к операторной форме. Операторное уравнение является алгебраическим и его решение проще, чем дифференциальное. Затем из полученного решения операторного уравнения с помощью обратного преобразования получают решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение (3.1) при нулевых начальных условиях

в операторной форме можно записать

,

где — преобразование Лапласа от ;

— преобразование Лапласа от ;

— характеристический многочлен (3.1);

— изображение правой части (3.1);

— параметр преобразования Лапласа.

Операторная форма записи дифференциального уравнения, когда начальные условия по всем переменным равны нулю, совпадает с символической формой, когда , а p – символ дифференцирования. Поэтому для получения операторной формы записи дифференциального уравнения, когда начальные условия нулевые, применяют приемы символической формы.

Уравнение движения САУ в любой форме полностью описывает весь процесс управления, т.е. процесс изменения управляемых величин как в переходном, так и в установившемся режимах.

Под установившимся режимом понимают процесс, при котором регулируемая (управляемая) величина изменяется по закону, определяемому лишь законом изменения задающего воздействия. Установившейся режим САУ, относительно которого рассматривается движение системы в процессе управления, называется исходным.

Переходным режимом называется изменение управляемой величины при переходе САУ из одного в другое установившееся состояние.

Если в установившемся режиме воздействия после их приложения больше не изменяют своих величин во времени, то в САУ устанавливается так называемый статический режим.

Уравнение статики может быть получено из уравнения движения САУ (3.1), если все члены, содержащие производные, приравнять нулю, то есть

или ,

где — коэффициент передачи САУ.

Графическое отображение данной зависимости, т.е. зависимости между выходной x и входной g величинами САУ в статическом режиме, называется статической характеристикой (рис. 3.1).

Рис.3.1. Статические характеристики элементов САУ

Статические характеристики элементов САУ и систем в целом могут быть как линейными (кривая 1, рис. 3.1), так и нелинейными (кривая 2, рис. 3.1). Если характеристика нелинейная, то необходимо учитывать влияние данной нелинейности на динамику САУ.

Дата добавления: 2015-12-11 ; просмотров: 1344 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Основные понятия и аксиомы статикиСкачать

Уравнения автоматических систем. Описание систем в пространстве состояний. Динамические характеристики автоматических систем

Страницы работы

Содержание работы

Видео:Основные определения статикиСкачать

Математическое описание автоматических систем.

Уравнения автоматических систем (АС)

Различают два вида уравнений, которыми могут быть описаны свойства автоматических систем: уравнения статики и уравнения динамики.

Уравнения статики – это зависимость между параметрами системы в установившемся режиме.

Уравнения статики имеют вид: , где — входная величина объекта управления или системы, — выходной параметр.

Уравнения динамики — это зависимость между параметрами системы во времени, то есть с учетом предистории этих параметров. Уравнения динамики имеют вид: или , с начальными условиями: . Начальные условия представляют собой численные значения параметров системы в момент времени .

Рассмотрим алгоритм составления уравнений динамики автоматической системы.

1. Составляем зависимость между входными и выходными параметрами всей системы или ее части на основе различных законой физики. Получаем в общем виде дифференциальное уравнение динамики:

2. Дифференциальное уравнение (1) записываем в отклонениях и проводим его линеаризацию. Каждому параметру дифференциального уравнения даем приращение относительно значения в установившемся режиме:

Подставим выражение (2) в дифференциальное выражение (1) и получаем дифференциальное уравнение в отклонениях:

Линеаризацию осуществляем разложением дифференциального уравнения (3) в сокращенный ряд Тейлора . Получим:

Линеаризация исходного дифференциального уравнения необходима для использования методов решения линейных дифференциальных уравнений, так как общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не существует.

3. Из уравнения динамики (1) получаем уравнение статики, приравнивая все производные к нулю. в установившемся режиме уравнение статики имеет вид:

4. Вычтем из уравнения (4) уравнение (5). Обозначим значения частных производных коэффициентами для выходных параметров и для входных величин. получим дифференциальное уравнение:

Обозначая из уравнения (6) получим:

Уравнение (7) – это дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, описывающее динамику системы.

Пример. Составить уравнение динамики для бака со свободным сливом. Входным воздействием для этого объекта является расход воды на входе , выходным параметром – уровень воды в баке .

Площадь поперечного сечения в баке обозначим . Запишем уравнение бака:

, где — приращение времени, — приращение уровня. При уравнение (1) будет иметь вид: , откуда

Расход воды зависит только от уровня воды в баке: . Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Уравнение (3) – это уравнение динамики объекта управления. После линеаризации этого уравнения в отклонениях получим:

Из уравнения (4) после преобразований согласно алгоритму, получим:

или

Решение уравнения (5) состоит из двух составляющих: . Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид: .

, . Тогда . Учитывая начальные условия: .

Коэффициент равен отношению выходной величины к входному сигналу в установившемся режиме.

Пусть выходной параметр в установившемся режиме равен , тогда . Коэффициент называется коэффициентом передачи. — это постоянная времени. Ее размерность . Постоянная времени характеризует инерционность объекта управления: чем больше ее численное значение, тем более инерционен объект управления.

Пример. Составить уравнение динамики для объекта управления, составленному из двух баков со сливом. Входной параметр , выходной — .

Уравнение первого бака:

.

Так как , тогда .

Подставим уравнение (2) в дифференциальное уравнение (1), получим:

.

Запишем уравнение второго бака:

Подставим дифференциальное уравнение (4) в уравнение (3) и найдем уравнение, описывающее динамику объекта управления.

1. В чем отличие уравнений статики от уравнений динамики?

2. Какие должны быть начальные условия в уравнениях дтнамики? А в уравнениях статики?

3. Почему нелинейные дифференциальные уравнения необходимо преобразовывать к линейному виду?

4. Поясните термин “инерционность объекта управления”. От каких параметров она зависит? Зависит ли она от — коэффициента передачи?

5. В чем отличие и ? В чем измеряется ?

6. Как определить численно?

7. Как получить уравнение статики из уравнения динамики? Какие должны быть начальные условия в уравнении статики?

8. Каково структурное отличиедифференциального уравнения динамики

9. Что является входным и выходным параметром для АСР?

Описание систем в пространстве состояний

Аналитические свойства системы могут быть описаны в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши:

Набор переменных однозначно и единственным образом описывает систему в любой момент времени. Переменные называются переменными состояния. в матричном виде систему (1) можно представить:

Видео:Статика. Момент сил. Условия равновесия тел | Физика ЕГЭ, ЦТ, ЦЭ | Физика для школьниковСкачать

2. Математическое описание систем автоматического управления

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

Видео:Общее уравнение динамики. Задача 1Скачать

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

если , то уравнение принимает вид:

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

тогда, разделив на k, имеем:

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

, что эквивалентно

где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:

где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

где дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

Видео:Принцип ДаламбераСкачать

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

1. Нелинейностью статической характеристики.
2. Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
3. Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N₀ Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если , то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки будет выглядеть так:

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

или в операторном виде:

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x₀, y₀), если полное уравнение динамики имеет вид:

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

1. Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
2. Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

Заметим, что:
.

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:

Вводим новые обозначения:

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

Видео:Статика. Условия равновесия плоской системы сил (23)Скачать

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем:

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

где: — решение однородного дифференциального уравнения y_(t) $inline$ — частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2) Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:

где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

Суммируя , имеем:

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

💥 Видео

Общее уравнение динамики. Расчет механической системы.Скачать

Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Теоретическая механика. Статика, кинематика, динамикаСкачать

Применение общего уравнения динамикиСкачать

Урок 93. Основное уравнение динамики вращательного движенияСкачать

Статика. Система сил. Лекция (12)Скачать

Всё, что нужно знать о статике/динамикеСкачать

Теоремы динамики системыСкачать

МЕХАНИКА. ДИНАМИКА И СТАТИКА I Финальный Курс I ЕГЭ 2024 I Эмиль Исмаилов - Global_EEСкачать

Основная теорема статикиСкачать

Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Введение в динамикуСкачать

Термех. Общее уравнение динамики - ч.1Скачать