Уравнения со знаком больше меньше

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение неравенства методом интервалов

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Часть 1| Математика

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5y +1/7y^2
Результат: ( 3frac — 5frac y + fracy^2 )

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку Уравнения со знаком больше меньшедля изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnline

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), frac ) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а — b положительна, т.е. а — b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и b > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, quad ax

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Решение квадратных неравенств | Математика

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
( ax^2+bx+c >0 ) и ( ax^2+bx+c 0 ) или ( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 ) ) или ниже оси x (если решают неравенство
( ax^2+bx+c

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnline

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х — 3)(х — 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5) ) и ( (5; +infty) )

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х — 3)(х — 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

( (-infty; -2) )( (-2; 3) )( (3; 5) )( (5; +infty) )
x+2+++
x-3++
x-5+

Отсюда ясно, что:
если ( x in (-infty;-2) ), то f(x) 0;
если ( x in (3;5) ), то f(x) 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5), ; (5; +infty) ) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

-235

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x1)(x-x2) . (x-xn),
где x–переменная, а x1, x2, . xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, . xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

-400,5

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -4; ; 0 right) cup left( 0,5; ; +infty right) )
или
( -4 0,5 )

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -infty; ; 1 right) cup left[ 4; ; +infty right) )
или
( x

Видео:Математика 1 класс (Урок№11 - Равенство. Неравенство. Знаки «больше», «меньше», «=».)Скачать

Математика 1 класс (Урок№11 - Равенство. Неравенство. Знаки «больше», «меньше», «=».)

Решение линейных неравенств

Уравнения со знаком больше меньше

О чем эта статья:

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Видео:Решение системы неравенствСкачать

Решение системы неравенств

Типы неравенств

  1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
  2. a > b и b > и

Видео:Математика. Знаки больше, меньше, равно.Скачать

Математика. Знаки больше, меньше, равно.

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

  1. Если а > b , то b а.
  2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Видео:Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные фактыСкачать

Алгебра 9. Урок 7 - Неравенства. Метод интервалов - основные факты

Правила линейных неравенств

  1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
  • 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
  • Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
  • Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x

    Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

    Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnline

    Решение линейных неравенств

    Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

    где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

    Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

    Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.

    Равносильные преобразования

    Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

    Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

    Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

    Как решаем:

    • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
    • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

    Видео:11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенстваСкачать

    11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенства

    Метод интервалов

    Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

    Метод интервалов заключается в следующем:

    • вводим функцию y = ax + b;
    • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
    • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
    • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

    Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

    • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

    Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

    • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
    • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

    Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

      если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

    Как решаем:

    В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

    Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

    Уравнения со знаком больше меньше

    Определим знаки на промежутках.

    Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

    Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

    Видео:Знаки неравенства (больше, меньше)Скачать

    Знаки неравенства (больше, меньше)

    Графический способ

    Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

    Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

    • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
    • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

    Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

    Как решаем

    • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
    • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
    • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
    • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

    Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

    Видео:4 класс, 3 урок, Знаки "больше или равно" и "меньше или равно"Скачать

    4 класс, 3 урок, Знаки "больше или равно" и "меньше или равно"

    Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

    Уравнения со знаком больше меньше

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    • Неравенства
    • Линейные неравенства

    Видео:Математика 2 класс. 28 сентября. Меньше большеСкачать

    Математика 2 класс. 28 сентября. Меньше больше

    Неравенства

    Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

    ≥ больше или равно,

    ≤ меньше или равно,

    то получится неравенство.

    Линейные неравенства

    Линейные неравенства – это неравенства вида:

    a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

    где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

    Примеры линейных неравенств:

    3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

    Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

    x c x ≤ c x > c x ≥ c

    где c – некоторое число.

    Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

    • Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .

    Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

    • Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .

    Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

    • Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

    Таблица числовых промежутков

    Уравнения со знаком больше меньше

    НеравенствоГрафическое решениеФорма записи ответа
    x cx ∈ ( − ∞ ; c )
    x ≤ cx ∈ ( − ∞ ; c ]
    x > cx ∈ ( c ; + ∞ )
    x ≥ c

    Алгоритм решения линейного неравенства

    1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

    a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

    1. Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
    • Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .
    • Если a 0 , то знак неравенства меняется на противоположный , неравенство приобретает вид x ≥ b a .
    1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

    Примеры решения линейных неравенств:

    №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

    Решение:

    Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

    − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

    Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

    №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

    Решение:

    Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

    6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

    6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

    3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.

    x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

    Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

    №1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

    Решение:

    Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

    6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

    Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

    Ответ:

    1. x – любое число
    2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
    3. x ∈ ℝ

    №2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

    Решение:

    Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

    x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

    − 8 x + 8 x > 48 − 6

    Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

    Квадратные неравенства

    Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.

    Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

    Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

    Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

    1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .
    1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

    Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые.

    Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

    1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x .

    Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

    Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

    Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

    Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

    Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

    Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

    1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

    Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

    Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

    Примеры решения квадратных неравенств:

    №1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    a = 1, b = − 1, c = − 12

    D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

    Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

    Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

    №2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    a = − 1, b = − 3, c = − 2

    D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

    x 1 = − 2, x 2 = − 1

    Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

    − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

    Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

    №3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x .

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    a = − 1, b = − 3, c = 4

    D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

    Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

    − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

    Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

    №4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    a = 1, b = − 5, c = − 6

    D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

    Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -.

    Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

    Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

    №5. Решить неравенство x 2 4.

    Решение:

    Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

    ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

    Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − .

    Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

    Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

    №6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

    Решение:

    Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

    x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

    Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

    В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

    Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

    Дробно рациональные неравенства

    Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

    f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

    Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

    Примеры дробно рациональных неравенств:

    x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

    Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

    Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

    1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

    f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

    1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя .
    1. Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя .

    В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

    1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .

    Вне зависимости от знака неравенства
    при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые .

    Если знак неравенства строгий ,
    при нанесении на ось x нули числителя выколотые .

    Если знак неравенства нестрогий ,
    при нанесении на ось x нули числителя жирные .

    1. Расставить знаки на интервалах.
    1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

    Примеры решения дробно рациональных неравенств:

    №1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

    Решение:

    Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

    1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
    1. Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

    x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

    1. Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

    x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .

    1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

    При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

    1. Расставляем знаки на интервалах.

    Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

    Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

    В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

    №2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

    Решение:

    Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

    1. Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

    3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

    3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

    3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

    3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

    − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

    1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

    x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

    x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

    1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

    x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

    1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

    При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

    1. Расставляем знаки на интервалах.

    Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

    − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

    Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

    В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

    №3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

    Решение:

    Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

    1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
    1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

    ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

    x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

    1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

    x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

    1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

    При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

    1. Расставляем знаки на интервалах.

    Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

    x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

    Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

    В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

    Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

    Системы неравенств

    Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

    Пример системы неравенств:

    Алгоритм решения системы неравенств

    1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x .
    1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x .
    1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x .
    1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

    Примеры решений систем неравенств:

    №1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

    Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Решаем второе неравенство системы.

    − 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

    Графическая интерпретация решения:

    Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Наносим оба решения на ось x .
    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

    №2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

    Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Решаем второе неравенство системы.

    3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

    Графическая интерпретация решения:

    Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

    1. Наносим оба решения на ось x .
    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

    Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

    №3. Решить систему неравенств 5 − x

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    Графическая интерпретация решения:

    1. Решаем второе неравенство системы

    2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

    Графическая интерпретация решения:

    1. Наносим оба решения на ось x .
    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

    №4. Решить систему неравенств 0 2 x + 3 ≤ x 2

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    Графическая интерпретация решения первого неравенства:

    1. Решаем второе неравенство системы

    Решаем методом интервалов.

    a = − 1, b = 2, c = 3

    D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

    D > 0 — два различных действительных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

    Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

    Графическая интерпретация решения второго неравенства:

    1. Наносим оба решения на ось x .
    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .

    Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

    🎦 Видео

    МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ. БОЛЬШЕ НИКАКИХ ПОДСТАНОВОК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАКОВ!Скачать

    МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ. БОЛЬШЕ НИКАКИХ ПОДСТАНОВОК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАКОВ!

    Знак Больше Меньше Равно / Математика / 1 класс / Сравнение чисел / Развивающие МУЛЬТИКИ для детейСкачать

    Знак Больше Меньше Равно / Математика / 1 класс / Сравнение чисел / Развивающие МУЛЬТИКИ для детей

    НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМСкачать

    НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
    Поделиться или сохранить к себе: