Уравнения сложных функций и их графики (6 видео)

Гурский И.П. Графики сложных функций: пособие для учителей/ И.П Гурский. — М: Просвещение, 1968г — 215с.

Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности/ С. В. Дворянинов// Математика в школе. — 2009. — № 05. – с. 32.

Дорофеев Г.В. Для чего нам нужны графики функций/ Г.В. Дорофеев// Математика в школе. – 2007. — № 07. — с. 50.

Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы: учебное пособие / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов — М: Дрофа , 2007. — 666с

Содержание

Построение графиков сложных функций
Скачать:
Подписи к слайдам:
Построение графиков функций
Понятие функции
Понятие графика функции
Исследование функции
Построение графика функции
💥 Видео

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Построение графиков сложных функций

В работе описаны основные методы построения элементарных функций с преобразованиями и рассмотрено построение графиков сложных функций (без производной): «y=f(v(x))», «y=f(x)+g(x)», «y=f(x)*g(x)».

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
Презентация к работе «Построение графиков сложных функций»	250.5 КБ
В работе описаны основные методы построения элементарных функций с преобразованиями и рассмотрено построение графиков сложных фу	463.5 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:Графики сложных функций. Подготовка к ОГЭ. Задание № 22. Вебинар | МатематикаСкачать

Подписи к слайдам:

Графики сложных функций Работу выполнил: ученик 11 класса МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка» Закиев Ринат Руководитель: Шапеева А.В. – учитель математики МАОУ «ЛИИТ №36»

Цели Выявить способы построения графиков сложных функций

Задачи изучить основные методы построения элементарных функций и приемы их преобразования; выделить способы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций, и научиться их строить. Объектом исследования является сложная функция, а предметом исследования — графики сложных функций.

Прием №1 График функции у = f ( x )+ b получается из графика функции у = f ( x ) (рис.1) на вектор (0, b ) вдоль оси ординат у = f ( x ) у = f ( x )+ b

Прием №2 График функции у = f ( x + b ) получается из графика функции у = f ( x ) на вектор (- b ,0) вдоль оси абсцисс у = f ( x + b ) у = f ( x ) у = f ( x )+ b

Прием №3 График функции у = — f ( x ) получается симметрией графика функции у = f ( x ) относительно оси абсцисс у = f ( x ) у = — f ( x )

Прием №4 График функции у = f (а x ) получается сжатием графика функции у = f ( x ) к оси ординат в а раз, если a > 1, и растяжением от оси ординат в раз, если 0 1, и сжатием к оси абсцисс в раз, если 0 Муниципальное образовательное учреждение

«Гимназия № 36 «Золотая горка»

Построение графиков сложных функций

Выполнил: ученик 11 класса

МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»

Шапеева А.В., учитель математики

МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»

Методы построения элементарных функций…………………………..6
Метод построения функции y = f(v(x))………………………………….9
Метод построения функции у = f(x) + g(x)……………………………..16
Метод построения функции у = f(x)∙g(x). ……………………………. 18

При решении неравенств и уравнений иногда приходится использовать функционально – графический метод. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. При этом реализация метода основывается на выполнении следующих действий:

Преобразовать исходное уравнение к виду f(x)=g(x). Где f(x) и g(x) функции, графики которых можно построить.
Построить графики функции f(x) и g(x).
Определить точки пересечения построенных графиков.
Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
Записать ответ.

Замечание. Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток – в том, что корни, в общем случае, определяются приближенно.

Пример 1. 2 х = -х 2 +3

К этому уравнению нельзя применить стандартные приемы решения. Если построим эскиз графиков функции у =2 х и у = -х 2 +3, то увидим, что уравнение имеет два корня, один из них равен 1 (проверяем), а значение другого корня -1,7 (точное значение не можем определить).

Пример 2. Что можно сказать о корнях уравнения ?

Обе функции — убывающие на своих областях определения. Хотя бы два корня можно угадать: и . Остается вопрос: есть ли другие корни и сколько их, какому промежутку они принадлежат?

Построим графики функции .

По рис.1 мы видим, что на некотором промежутке графики функции

« сливаются», по рисунку 2 можем определить только промежуток, которому принадлежат корни уравнения [0;1] , а о количестве корней ничего не можем сказать (рисунки отличаются по масштабу).

После решения несколько таких уравнений, я понял, что умения строить графики различных функций и знание их свойств является важным условием решения нестандартных уравнений и неравенства.

Исследование посвящено проблеме совершенствования умений и навыков построения графиков сложных функций. Актуальность этой проблемы определяется тем, что нестандартные уравнения и неравенства часто решаются функционально – графическим методом. В заданиях ЕГЭ (и в части В, и в части С) имеются задания, при решении которых используется функционально – графический метод, свойства функций. Многие задачи с параметрами невозможно решить другим методом. ( В.П.Моденов. Задачи с параметрами. Координатно – параметрический метод. М: «Экзамен»,2006).

В пособие для поступающих (Е.М.Родионов, С.Л. Синякова. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им.Н.Э.Баумана,2003) много заданий на построение графиков функций..

Поскольку в школьном курсе математики на эту тему «Построение графика сложной функции» отводится мало времени, то я решил изучить методы построения сложных функций (без производной).

Построение графиков элементарных функций не составляет труда, в школьном курсе математики они достаточно хорошо описаны. Я предположил: если знаем свойства элементарных функций и умеем строить их графики, то сможем построить и графики сложных функций.

— выявить способы построения графиков сложных функций.

— изучить основные методы построения элементарных функций и приемы их преобразования;

— выделить способы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций, и научиться их строить.

Объектом исследования является сложная функция, а предметом исследования — графики сложных функций.

(Сложную функцию y=f(v(x)) называют также композицией двух функций )

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике.

Методы построения элементарных функций

Умения строить графики функций и их читать, т.е. определять промежутки монотонности и другие характеристики функции по их графику, — важный элемент математической культуры. Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения. Поэтому необходимо владеть простыми приемами построения графиков. Перечислим эти приемы:

График функции у = f(x)+b получается из графика функции у = f(x) (рис.1) на вектор (0,b) вдоль оси ординат (рис.2).

График функции у = f(x+b) получается из графика функции у = f(x) на вектор (-b,0) вдоль оси абсцисс (рис.3).

График функции у = f(x) Графики функции у = f(x)+b и у = f(x+b)

График функции у = -f(x) получается симметрией графика функции у = f(x) относительно оси абсцисс (рис.4).

График функции у = f(аx) получается сжатием графика функции

у = f(x) к оси ординат в а раз, если a > 1, и растяжением от оси ординат в раз, если

График функции у = f(-x) получается симметрией графика функции у = f(x) относительно оси ординат (рис.6).

График функции у = аf(x) получается умножением каждой ординаты графика функции у = f(x) на а, т.е. растяжением от оси абсцисс в а раз, если a > 1, и сжатием к оси абсцисс в раз, если 0

График функции у = совпадает с графиком функции у = f(x) там, где f(x) 0, и получается из него симметрией относительно оси абсцисс там, где f(x)

График функции у = при x 0 совпадает с графиком функции у = f(x) , при x

Например, при построении графика функции у = 2sin( ) используются приемы 4, 2, 8, 6 (рис.10)

Прием 4. Прием 2.

2. Построение графика функции y=f(v(x))

Посмотрим схему построения графиков сложных функции вида y=f(v(x)) без использования производной.

Пусть нам нужно построить график y=f(v(x)). Обязательно на бумаге или мысленно нужно построить оба графика: график внутренней функции у = v(x) и график внешней функции у = f(v).

Если удобно строить график внешней функции по контрольным точкам, то лучше, для большой наглядности, построив график внутренней точки, разметить ось ординат контрольными значениями аргумента для внешней функции, а затем построить прямо по графику, в каких точках внутренняя функция принимала эти значения.

Построить график функции у = arctg2 x .

Решение. Данная функция является композицией двух функции v=2 x и y= arctgv. Функцию v = v(x) назовем внутренней, y = y(v) – внешней. Внутренняя функция является строго возрастающей: при возрастании х от — ∞ до + ∞ v(x) возрастает от 0 до + ∞. По графику внешней функции определяем, что такому возрастанию v соответствует возрастание у от 0 до /2, т.е. при возрастании х от — ∞ до + ∞ у возрастает от 0 до /2

График функции v=2 x График функции y(v)= arctgv.

График функции у = arctg2 x имеет вид:

Контрольная точка: при х=0 у = π /4

Пример 2. Построить график функции у =

Решение. Построим графики функции у = и f(v)=

Выделяем промежутки монотонности функции у = : (- ∞;0) и (0; + ∞). При возрастании х на промежутке (- ∞ ;0) v(x) убывает от 0 до — ∞. Такому изменению v соответствует убывание у от 1 до 0. Если х возрастает от 0 до + ∞, то v(x) убывает от +∞ до 1.

Для более точного построения графика следует использовать контрольные точки, выбирая те значения аргумента х, при которых легко вычислять значения у(х).

Таким образом, построение графика сложной функции y=f(v(x)) в некоторых случаях можно выполнить по следующему алгоритму:

Начертить графики внутренней и внешней функций.
Определить промежутки монотонности внутренней функции y=v(x) и отметить их на оси Ох плоскости хОу.
На каждом промежутке определить границы изменения v=v(x) и выбрать те значения, которые попадают в область определения функции y=f(v).
По графику внешней функции у = f(v) найти характер изменения функции у.
В системе координат хОу начертить график у = у(х).

Такая работа позволяет по графику следить за изменением функции при изменении аргумента и, наоборот, по заданному изменению функции строить ее график.

Использование схемы построения графика функции у = у(х) помогает сложиться умению представлять сложную функцию в виде композиции двух функции, — внутренней и внешней, овладеть навыком «видеть» эти две функции. На мой взгляд, это поможет ученику не только при прохождении тем сложной функции, построения функций и тому подобных, но еще и при проведении различных алгебраических преобразований выражений. Умение проводить операции анализа-синтеза значительно уменьшает трудности учеников при выборе способа тождественного преобразования выражения.

3. Построить график функции у = .

Решение. Построим графики внутренней и внешней функций.

Если х возрастает от 0 до + ∞, то v(x) возрастает от 1 до + ∞. Этому изменению v соответствует убывание у от 1 до 0. Изобразим график функции у = у(х) при х 0, а затем используем четность данной функции.

4.Построить график функции у = ln(x 2 – 3x +2).

Решение. Построим графики функций y= x 2 – 3x +2 и y = lnv.

Если х возрастает от — ∞ до 1, то v(x) убывает + ∞ до 0, а у при этом убывает от + ∞ до — ∞. При х [1; 2] v(x) 0 и при этих значениях х функция не определена. Если х возрастает от 2 до + ∞, то v(x) возрастает от 0 до + ∞, а у при этом возрастает от + ∞

5.Построить график функции .

Решение. (Алгоритм построения графика этой функции и функции у = log 2 sinx дан в учебнике 11 класса «Алгебра и начала анализа» С.М.Никольский и др.)

Данная функция является композицией двух функции v = sinx и y = 2 v

Область определения функции — множество всех действительных чисел. Поскольку функция v = sinx периодическая с главным периодом 2 , то функция также периодическая с главным периодом 2 . На промежутке [- ; ] функция v = sinx возрастает от -1 до 1, значит, функция y = 2 v возрастает на этом промежутке от до 2.

На промежутке [ ; ] функция v = sinx убывает от 1 до -1, функция y = 2 v убывает на этом промежутке от 2 до .

Перечисленные свойства позволяют построить схематический график на отрезке [- ; ], затем продолжить его периодически.

Построить график функции .

Решение. Предложенная схема применима и тогда, когда сложная функция является композицией не двух, а большего числа функций, графики которых известны. Данная функция является композицией трех функций. Аналогично рассуждая, получаем следующие графики функций: u = x 2 – 4x +3, v =1/u, y= 2 v .

Графики этих функций:

u = x 2 – 4x +3 v =1/u

При построении графиков сложных функций надо использовать все элементарные средства: переносы, отражения, сложение графиков т.д.

Построить график функции .

8. Построить график функции y = arctg(lnx).

9. Построить график функции y = arctgx 2

3. Метод построения функции у = f(x) + g(x)

Для построения графика функции у = f(x)+g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо произвести алгебраическое сложение соответствующих ординат функций. Применение такого способа целесообразно, например, когда слагаемые являются основными элементарными функциями разных типов.

Пример. Построить график функции у = х + sinx.

Строим графики функции у = х и у = sinx и получаем график заданной функции путем сложения соответствующих ординат.

При построении следует обратить внимание на два обстоятельства:

1) , а потому имеет смысл провести прямые у = х+1 и у = х-1, параллельные прямой у = х, между этими двумя прямыми располагается график функции у = х + sinx.

2) В тех точках, где sinx = 0 у = х ( соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х).

В тех точках, где sinx = -1 у = х-1 (соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х).

Пример 2. Построить график функции у = .

Так как существует лишь при х > 0 (sinx существует на всей числовой оси), то областью существования для заданной функции является промежуток (0; + ∞). Модули не могут быть отрицательными, то у 0. Строим графики функции только при х>0 производим сложение графиков . При этом обращаем внимание на то, что значение второй функции равно нулю только в одной точке х = 1. Наибольшее значение первой функции достигается в точках , в этих точках у = .

4, Метод построения функции у = f(x)∙g(x )

Для построения графика функции у = f(x) ∙ g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо перемножить соответствующие ординаты функций. Применение такого способа целесообразно, например, когда множителями являются основными элементарными функциями разных типов.

Пример. Построить график функции у = х ∙ sinx.

Строим графики функции у = х и у = sinx и получаем график заданной функции путем умножения соответствующих ординат.

Построение производим при х 0, а затем отражаем полученный график относительно оси ординат, так как у = х ∙ sinx является четной функции. При этом учитываем, что в точках с координатами х=k , sinx = 0 произведение х ∙ sinx=0. Наибольшее значение функции у = sinx равно 1 при . В этих точках соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х. Наименьшее значение функции у = sinx равно -1 при . В этих точках соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = -х. Значит, график колеблется между прямыми у = х и у = — х.

Я провел работу по построению графика сложной функции и сделал следующие выводы:

1.Графики функций y=f(v(x)), у = f(x)+g(x), у = f(x) ∙ g(x) можно построить без использования производных, особенно этот метод особенно подходит, если f(x) и g(x),v(x) – функции разные элементарные функции.

2.Для построения графиков нужно знать свойства функции, уметь читать графики полученных функции, исследовать поведение графиков в бесконечности.

3. Построение графиков, как и всевозможные другие способы геометрической интерпретации, является весьма эффективным средством для решения алгебраических задач, в том числе и задач с параметрами. Поэтому научиться строить графики функции, в том числе и сложных, для решения задач просто необходимо. При выполнении этой работы, я выяснил, что есть класс уравнений и неравенств, при решении которых требуется умения и навыки построения графиков функций и умения их читать. (Многие уравнения неравенства с параметрами решаются функционально — графическим методом).

Итак, в результате графических и компьютерных экспериментов, я убедился, что графики сложных функций можно строить не только с помощью производных, но и путём исследования внутренних и внешних функций, преобразованиями элементарных функций, поведения графиков функции при х  ±∞, преобразованиями элементарных функций.

При выполнении этой работы:

— повторил и углубил знания свойств и методов построения графиков элементарных функций;

— приобрел опыт построения графиков таких функций, как:

y=f(v(x)); у = f(x)+g(x),у = f(x) ∙ g(x);

— научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере;

— узнал, что тема « Методы построения графиков функций», очень объемная и интересная, рассмотреть все методы сразу невозможно, т.е. есть можно дальше продолжать работу по данной теме.

По моему мнению, умение проводить такие преобразования (построения) графиков функций позволяет ученикам:

1) научиться читать графики различных функций и использовать их при решении уравнений и неравенств;

2) освоить свойства функций;

3) лучше различать графики различных функций.

Поэтому, на мой взгляд, использование этих способов в педагогической практике целесообразно (хотя бы факультативно), ведь их в тематическом плане нет, а это поможет успешно и эффективно подготовится к выпускным и вступительным экзаменам.

При построении графиков функций я использовал систему компьютерной математики Maple 8.

Видео:Урок 13. Функции и их свойства. Построение графиков сложных функций. Вебинар | МатематикаСкачать

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Как построить график функции без таблицыСкачать

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Видео:Математика без Ху!ни. Исследование функции, график. Первая, вторая производная, асимптоты.Скачать

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;
точки экстремума;
нули функции;
точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.
Найти область допустимых значений функции.
Проверить не является ли функция четной или нечетной.
Проверить не является ли функция периодической.
Найти нули функции.
Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
Найти асимптоты графика функции.
Найти производную функции.
Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

x	y
0	-1
1	2

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

x	y
0	2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

x	y
0	0
1	2

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.