306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.
- Просмотр содержимого документа «Уравнение прямой, плоскости и сферы»
- Уравнения прямой и плоскости
- Уравнение сферы, плоскости, прямой
- Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат
- Тело вращения — сфера
- Определение сферы Элементы сферы
- На плоскости В пространстве Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии
- На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у;z)
- Уравнение плоскости и прямой
- Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 где
- Особые случаи уравнения: D = 0
- Особые случаи уравнения: А = В = 0
- Особые случаи уравнения: A = D = 0
- Уравнения координатных плоскостей x = 0, плоскость
- Две плоскости в пространстве: параллельны, если существует такое число k, что
- Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
- Если известна какая-нибудь точка плоскости
- Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку
- Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
- Уравнение прямой в пространстве
- Уравнение прямой в пространстве
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»
Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.
З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ: Самостоятельная работа
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве
Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу
П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.
Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0
0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно
Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.
Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.
Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением
Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0
Решить задания №1, №2
О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
R – радиус сферы, т. О – центр сферы.
Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.
Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .
Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.
1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64
2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,
Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.
Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6
Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.
Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать
Уравнения прямой и плоскости
Практическое занятие 36
Форма проведения: Практическая
Обучающая: закрепить понятие уравнения сферы,плоскостии прямой
Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности учащихся.
Воспитывающая: воспитывать взаимопомощь у учащихся через работу в группах; уважение к мнению других.
раздаточный материал: карточки с заданиями, заготовки для вывода уравнения сферы, шкалы для оценки урока на этапе рефлексия, маркеры, магниты, чистые листы;
глобус, разминка для глаз в виде полушарий земной поверхности;
Ход урока
Девиз урока Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! Древнегреческий поэт Нивен
Уравнения прямой и плоскости
Уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат можно задать уравнением вида
для случая, когда прямая не параллельна оси OY, и уравнением
для вертикальной прямой. Но прямая может быть также задана и другим способом. Достаточно указать вектор направления этой прямой и какую-нибудь точку , лежащую на этой прямой. При этом точки, лежащие на прямой, могут быть заданы с использованием векторных операций в виде так называемого параметрического уравнения прямой
в котором параметр t пробегает все значения числовой прямой. Координаты точки, соответствующей некоторому значению этого параметра, определяются соотношениями
( 3.4) |
Прямую в пространстве тоже можно задавать параметрическим уравнением, которое очень легко получить из предыдущего простым переходом от двумерных векторов к трехмерным. Пусть . Тогда это уравнение будет определять прямую в пространстве, а координаты точек этой прямой будут определяться формулами
( 3.5) |
Как известно из элементарной геометрии, через любые три точки в пространстве проходит плоскость. С другой стороны, через каждую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. При этом все эти прямые будут параллельны друг другу, а значит, они имеют общий вектор направления. Этот вектор будем называть нормалью к плоскости. Если длина вектора равна единице, мы будем называть его единичной нормалью. В компьютерной графике часто приходится решать задачу построения нормали к некоторой плоскости, заданной тремя точками, а также задачи пересечения прямой с плоскостью и двух плоскостей.
Плоскость в пространстве можно задать, указав вектор нормали к ней и какую-либо точку, принадлежащую данной плоскости. Пусть — вектор единичной нормали, а — некоторая точка на плоскости. Тогда для любой точки , лежащей на плоскости, вектор будет ортогонален вектору нормали, а следовательно, выполняется равенство
Раскрывая это выражение в координатном виде, получаем
Теперь перепишем это уравнение в виде
( 3.6) |
где . Это уравнение называется каноническим уравнением плоскости. При этом совершенно ясно, что если все это уравнение умножить на какой-либо отличный от нуля множитель, то оно будет описывать ту же самую плоскость, т.е. коэффициенты для каждой плоскости задаются с точностью до произвольного ненулевого множителя. Но если при этом вектор имеет единичную длину, то задает расстояние от начала координат до данной плоскости.
В алгоритмах компьютерной графики довольно часто приходится сталкиваться с задачей построения плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть три точки , и , не лежащие на одной прямой, имеют координатами и . Для канонического уравнения необходимо построить нормаль к плоскости, что легко можно осуществить, используя операцию векторного произведения. Поскольку векторы и лежат в искомой плоскости, то вектор будет ортогонален этой плоскости. Пусть , тогда уравнение плоскости будет иметь вид
Остается определить значение . Так как точка принадлежит этой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Подставим их в уравнение и получим
и после подстановки окончательно получим:
( 3.7) |
В большинстве алгоритмов, использующих плоскости, достаточно знать нормаль к ней и какую-либо точку, принадлежащую плоскости. Очевидно, что по аналогии можно вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, если задана нормаль к ней и принадлежащая прямой точка.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O1(x0;y0;z0). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O1(x0;y0;z0) равно радиусу R, т. е. O1M= R. Но , где . Следовательно,
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы Ο1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .
Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y; z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x;y;z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
1. Сфера задана уравнением (x – 1) 2 + y 2 + (z – 2) 2 = 9.
1. Найдите координаты центра и радиуса сферы.
2. Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1; 3; -1) и В(2; 2; 1).
2. Сфера с центром в точке О(0; 1; -2) проходит через точку А(-3; 1; 2).
1. Составьте уравнение сферы.
2. Найдите координаты точек оси абсцисс, принадлежащих данной сфере.
3. Точки А(1; 2; -3) и В(7; 2; 5) лежат на сфере радиуса 13. Найдите
расстояние от центра сферы до прямой АВ.
1. Сфера задана уравнением x 2 + (y +3) 2 + (z – 2) 2 = 25.
1. Найдите координаты центра и радиуса сферы.
2. Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(4; -3; -1) и В(0; 1; 3).
2. Сфера с центром в точке О(-1; 0; 2) проходит через точку А(1; 2; 1).
1. Составьте уравнение сферы.
2. Найдите координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере.
3. Точки А(1; 5; 6) и В(1; -1; -2) лежат на сфере, центр которой удален от
середины отрезка АВ на 12. Найдите радиус сферы.
1. Сфера задана уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 2y – 4z = 4.
a) Найдите координаты центра и радиуса сферы.
b) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и
В(1; 1; m — 2) принадлежат данной сфере.
2. Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2; -1; 4) и В(2; 7; 10).
a) Составьте уравнение сферы.
b) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Оxy.
3. Сфера задана уравнением (x + 3) 2 + (y – 4) 2 + (z + 1) 2 = 25. Найдите
длину линии, по которой данная сера пересекается с плоскостью Оyz.
Видео:11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать
Уравнение сферы, плоскости, прямой
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат
Понятие сферы и её элементов
Уравнение сферы в заданной системе координат
Видео:11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскостиСкачать
Тело вращения — сфера
Тело вращения — сфера
Видео:Лекция 25. Виды уравнений плоскости в пространстве.Скачать
Определение сферы Элементы сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
т.О — центр сферы
ОА – радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы.
ВС – диаметр сферы.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы
d=2r
Видео:Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать
На плоскости В пространстве Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии
Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии
Уравнение с тремя переменными х,у,z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности
Видео:11 класс, 24 урок, Взаимное расположение сферы и прямойСкачать
На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у;z)
Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Уравнение плоскости и прямой
Уравнение плоскости и прямой
Видео:Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 где
Общее уравнение плоскости
где А, В, С, D – числовые коэффициенты
Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать
Особые случаи уравнения: D = 0
Особые случаи уравнения:
D = 0 Ax+By+Cz = 0
плоскость проходит через начало координат.
А = 0 Ву + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Ох.
В = 0 Ах + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Оу.
C = 0 Ax+By+D = 0
плоскость параллельна оси Oz.
Видео:УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать
Особые случаи уравнения: А = В = 0
Особые случаи уравнения:
А = В = 0 Сz + D = 0
плоскость параллельна плоскости Оху.
А = С = 0 Ву + D = 0
плоскость параллельна плоскости Охz.
В = C= 0 Ах+D = 0
плоскость параллельна плоскости Оуz.
Видео:9 класс, 5 урок, Уравнение линии на плоскостиСкачать
Особые случаи уравнения: A = D = 0
Особые случаи уравнения:
A = D = 0 By+Cz = 0
плоскость проходит через ось Ox.
B = D = 0 Ax + Cz = 0
плоскость параллельна оси Оy.
C = D = 0 Ах + By = 0
плоскость параллельна оси Оz.
Видео:Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать
Уравнения координатных плоскостей x = 0, плоскость
Уравнения координатных плоскостей
x = 0, плоскость Оyz
y = 0, плоскость Оxz
z = 0, плоскость Оxy
Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Две плоскости в пространстве: параллельны, если существует такое число k, что
совпадают, если существует такое число k, что
Две плоскости в пространстве:
параллельны, если существует такое число k, что
В остальных случаях плоскости пересекаются.
Видео:Уравнение прямой в пространстве. 11 класс.Скачать
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Итак, пусть произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется вектором нормали к этой плоскости.
Видео:17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать
Если известна какая-нибудь точка плоскости
Если известна какая-нибудь точка плоскости M0 и какой-нибудь вектор нормали к ней, то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид:
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать
Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку
Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е.
Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :
Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
Видео:Уравнение прямой на плоскостиСкачать
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
Используем формулу
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Решение:
Ответ: 5x + y — 4z — 3=0
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Прямую, проходящую через точку A0(x0,y0,z0) с направляющим вектором (a,b,c) можно задавать параметрическими уравнениями
В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор (x2-x1,y2-y1,z2-z1) и в качестве точки А0 точку А1, получим следующие уравнения